Sommes continues d`espaces de Hilbert, I

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
ROGER G ODEMENT
Sommes continues d’espaces de Hilbert, I
Séminaire N. Bourbaki, 1948-1951, exp. no 19, p. 117-122
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Séminaire BOURBAKI
(Décembre 1949)
SOMMES CONTINUES D’ESPACES DE HILBERT,I
par
1.
Champs
Soit
Z
Roger GODEMENT
de vecteurs continus.
espace localement compact, à chaque
un champ de vecteurs
espace de Hilbert
dont la valeur en 03B6 ~ Z est un élément de
un
j6 ( ~ ) ;
sur
Z
duquel est attaché
est
une
fonction
X(03B6) .
On rencontre dans la nature des familles
fierons de fondamentales
point $
-~-
de
champs
un
x(5)
de vecteurs que nous
quali-.
lorsqu’elles vérifient les axiomes suivants :
Lorsqu’une famille fondamentale A est donnée on peut définir la notion c~e
champ de vecteurs continu : x(C) sera continu en Sa si, pour tout ~ ~ 0 ~
il existe
et un voisinage U
dans Z tels que
de 0
Soit )
damentale
CA
a.
la famille des
A ;3
est
un
on a
champs de vecteurs continus relativement à la famille
propriétés suivantes; presque toutes triviales :
les
module
sur
l’anneau des fonctions scalaires
fon-
continues ; il est
fermé pour la topologie de la convergence compacte ;3 si x, y sont continus, il
en est de même de la fonction scalaire
(x, y) ; pour que x soit continu, il est
nécessaire et suffisant qu’on puisse l’approcher uniformément sur tout
compact par
des
champs
fi
sont des fonctions scalaires continues
de vecteurs de la forme
03A3fi (03B6)xi(03B6),
au sens
où les
ordinaire.
continuité du produit scalaire : si des
x. continus prennent
linéairement indépendantes, il en est de même au voisinage
déterminant de Gram). On déduit de là que les 03B6 ~ Z où
xi ~ 039B et
Conséquence
en ~
de 03B6o
X(03B6)
~
n
(n fini)
dimension
~,(~)
n
sont
forment
un
fermé ;
donc
les £ «
Z
où
~( ~ )
où les
de la
des valeurs
(écrire
le
est de dimension
est exactement de
(finie) forment un ensemble localement compact dans Z . Si tous les
séparables, ces conditions sont aussi suffisantes pour être sar de
l’existence d’au moins
une
famille fondamentale.
117
R. GODEMENT
b. Théorème de
tions à
K
ce
ceci
étant,
il existe
points donnés (en
toujours
sur
Z
sur
K
sur
est
en
prolongeable
en un
tout entier.
de vecteurs continu dont les valeurs
champ
un
fini)
nombre
K~
sorte que l’on
de vecteurs défini et continu sur
K" -
soient arbitraires.
(~) .
A3
d’une famille fondamentale
part
compact Kc Z ; les restric-
tout
2. Espaces
On
un
famille fondamentale
une
de vecteurs défini et continu
des
soit
signifie l’expression "un champ
champ de vecteursdéfini et continu
que
Conséquence :
en
il forment
des
sait
champ
prolongement d’Urysohn ;i
par L039B
désigne
Z (relativement
champ de vecteurs
on
de vecteurs continus et à support compact sur
une mesure de Radon positive sur Z . Pour un
l’ensemble des
à
A ).
champs
Soit ~
arbitraire
x ~
posons
où le
symbole
désigne l’intégrale supérieure
du second membre
positive )) x(~ ) ~ ~ .On
relativement à .n et à
si
la fonction
mable
M
N2 ,
norme
par des éléments de
de vecteurs. C’est évidemment
des
champs
soient
?
est
à
Lz ( )
L2039B ( ) ,
qu’on connait
1°
est
et
espace
partout, c’est-à-dire
i
on a
un
espace vectoriel normé
n .
et
y
tels que
--~x
le sous-espace
par
N2(x) = 0 ,
et
l’application canonique
suivants, parfaitement analogues
sont deux
champs
des
champs de
alors la série
T~x.( ~)
sa somme
L2039B ( ) ,
x
x
complet 3 si
+
partout absolument convergente,
carré sommable, et x est, dans
2° Si
de
pour les fonctions scalaires :
presque
ral
et
les théorèmes
de carré sommable vérifient
de
àp
qu’un champ de vecteurs est de carrésoml’on peut l’approcher, au sens de la semion note
l’ensemble de ces champs
L039B; vectoriel ; désignons
l’espace quotient
rapport
dira
de vecteurs nuls presque
une norme sur
ceux
un
par
la
x( C)
somme
de vecteurs de carré
est
un
champ
vecteurs
de vecteurs
de la série de terme
sommable,
xn
est
géné-
la fonction
SOMMES CONT’INUES D’ESPACES DE
Lz ( )
permet de munir
HILBERT,
1
d’une structure d’espace de Hilbert.
Lp
REMARQUE. . On peut aussi construire des espaces
en
introduisant les semi-
normes
on a encore
le théorème
suites presque
On
L2 ( (n)
appellera
~(r ) .
aussi étendre le théorème de
1 ; on peut
partout convergentes
la
somme
et
majorées
continue
Lebesgue
sur
les
de fonctions sommables etc.
(relativement à 039B
Il n’est pas difficile de voir que,
Z
et
à )
des espaoes
est discret et
lorsque
que f
placée
chaque point de Z i on retrouve la notion
habituelle de somme directe (en effet, dans ce cas, tout champ de vecteurs est continu). On peut aussi remplacer les
par des Banach.
est tonnée d’une
+
masse
1
en
‘~( )
3. Champs de vecteurs localement mesurables.
THEOREME DE LUSIN. Si un champ de vecteurs
compact KCZ
est continu et
Ce théorème
limite,
en
x
nombre ~ > 0 , il existe
qui vérifie
LE.
et tout
un
sommable,
compact K’ C K
sur
our
tout
le uel
x
(K ~ K’)
se
au sens
démontre,
comme
L2039B ( )
de
dans le
cas
d’une suite de
classique,
champs
déduire que cette suite converge uniformément
voisins de
est de carré
K~
ce
qui
en
observant que
x
est la
de vecteurs
sur
des
continus ; il faut
compacts arbitrairement
est facile.
On dira
qu’un champ de vecteurs x est localement mesurable s’il possède la
propriété exprimée par le théorème de Lusin. Ces champs de vecteurs forment un
module
sur
l’anneau des fonctions scalaires
mesurables ; le produit scalaire de deux
champs de vecteurs mesurables est une fonction mesurable ; si une suite de chanps
de vecteurs localement mesurables converge presque partout vers un
champ de vecteurs
x , celui-ci est localement mesurable. Enfin pour que
sommable, il faut et il suffit que :
a.
x
b.
on
soit localement
ait
N2(x) Z
4. Structure de
On
va
+
(par exemple)
x
soit de carré
de
dénombrabilité :
mesurable
00
().
maintenant introduire
un
axiome
supplémentaire
R. GODEMENT
il existe
(
~
)
:
denses dans
:
t )
quel
tout)
pour presque
seulement localement
Partons alors de
b. Pour
On
en’n(03B6)
().
male de
on
tout 5 E Z 9
les
maintenant modifier les
va
soient partout
il suffirait que
chaque S e Z ~
suite
e’ de champs
pour
mesurables ;
qui ne sont pas nuls
et construire
e’~
)
soit vérifié
ce
pourrait aussi supposer que les xn
et
xn’
sont localement
en
(en fait,
E Z
on
x( %
telle que les
appliquons-leur,
Schmidt ; on obtient une
propriétés suivantes
ces
visiblement les
Tous les
a.
que soit
seulement, et
mesurables).
d’orthononnalisation de
possède
e:. A
suite
une
une
forment
suite
une
en ;
sont
procédé
le
de vecteurs qui
base orthonor-
tout
d ’abord,
définit
el(’~)
:
dans la suite ordonnée
fois défini
el’
ez ( ) ;
premier qui
parmi
ment,
sauf
suite
ne
si,
e2 ;3
les vecteurs
de
soit pas nul
à la n-ième
e’( ~ ) ;
fastidieux)
forment
Une famille de
von
une
champs
vecteur
qui suivent
clair qu’on peut poursuivre
est
effectuées,
on
voit
el ( ~.) ~
ce
tous les vecteurs
e ( ~)
(mais
=
0
non
pour
par
oider la structure de
°~ ( ~ )
est
n ( ~ ) ( + eo ) ,
base orthonormale de
de vecteurs
L2039B( ),
procèdes
due triviale par des
un espace de Hilbert étant
non
c’ est le
nuls de la
p ~ n .
car ce
vd~( )
possédant les propriétés a’
(??). On va maintenant s’en
canoni ues
une
e ( 5)
~ x( ) ~ e ( ) ~
le soient.
effet, l’équation
avec
et b’ est
appelée
servir pour élu-
peut 3tre renprécision est essentielle,
et montrer comment cette structure
(cette
toujours trivial).
Soit e
alors les
et les autres sont nuls.
famille
dernière
mesurable ;
pour
qu’un champ de vecteurs
soit localement mesurable, il faut et il suffit e toutes les fonctions
En
une
procédé indéfini-
démontre pas,
on ne
nul ;
mesurables ;
NEUMANN "famille mesurable"
PROPOSITION 1. -
premier
en ( ~ )
opération, on a épuisé
éventualité, on pose
sont
b’ . si la dimension de
ny)
la suite
c’est le
que :
a’, tous les
p ~
; il
dans cette
Ces constructions étant
serait
en( ~ ) ~
passe à
on
x
SOMMES CONTINUES D’ESPACES DE
montre
La
qu’alors
proposition
est la limite d’une
x
1
exprime l’identité
suite
de
HILBERT,
champs
I
de vecteurs mesurables.
de la mesurabilité "faible" et de la
mesura-
bilité "forte".
n
Pour
+ oo ,
est de dimension
pour
n
+
teur
n
en
désignons
Zn
n ;
oo ).
Pour
X(03B6 )
maintenant par
l’ensemble
où
est localement mesurable (et même localement compact
des 03B6 ~ Z
Zn
chaque n ~
on
peut donc définir dans
posant
LA ( )
un
opéra-
_
Il est visible que :
a. les
sont des
En
projecteurs deux à
b. le domaine des valeurs de
En
deux
orthogonaux ;
est le sous-espace
X
des
champs de vecteurs
somme directe des
(
Zn ,
sous-espaces .
Par suite, tout revient à examiner la structure de l’espace
Pour cela,
choisissons une fois pour toutes un prototype
les
espaces de Hilbert de
n pour
dimension n , et prenons, aussi une fois pour toutes, une base
orthogonale aP de
. nuls
n .
en
dehors de
Pour
x
E
à valeurs dans
à
Or
x
Xn .
la fonction
l’espace
fixe
Hn ;
immédiatement de là que
l’espace
Zn .
Lz )
n
est la
a
associons alors à
il suit
et
Xn
on a
est
des fonctions à valeurs dans
canoniquement isomorphe (par
n qui sont do carré sommable
Ceci utilise naturellement la proposition 1.
x ~
x’)
pour
dernier espace peut être lui aussi trivialisé
canoniquement. Désignons
effet par
l’espace des fonctions scalaires de carre ’ sommable pour
ce
t’"
sur
en
sur
~. GODEMENT
Zn ,
et construisons le
ment
@a_ (f.6’
on
produit tensoriel
L2C(Zn) ,
a. e.
H)
L-(Z
la fonction
constate aussitôt
on
quence,
choisie, la
crète)
3 si l’on associe à l’élé-
03A3fi(03B6)ai
définie
LA ( n. )
)@H .
continue
somme
des espaces
[1] GODEMENT (Roger). Annals of
von
Zn ,
qu’on a un isomorphisme des deux espaces en question. En conséobtient le résultat définitif suivant : une famille mesurable étant
est canoniquement
isomorphe à la
BIBLIOGRAPHIE
[2]
sur
NEUMANN
Annals of
Math.,
Sur la théorie des représentations
Series 2, t. 53, 1951, p. 68-124.
unitaires,
(John). - On rings of operators, Reduction theory,
Math., Series 2, t. 50, 1949, p. 401-485.
122
somme
(dis-