Enonce corrige

Révisions EM TSI2_2015_2016
Exercice 1 : Identification d’un champ
Les cartes 2D ci-dessous sont celles de champs en régime stationnaire. Prévoir s’il s’agit
d’un champ électrostatique ou magnétostatique et identifier la nature des
sources (invariantes par translation suivant un axe  à la feuille):
Champ électrostatique
Champ magnétostatique
implique l’impossibilité de ligne
de champ fermé
implique l’impossibilité d’une
convergence (ou divergence) en un point
des lignes de champ.
Exercice 2 : Théorème de Gauss
Soit une plaque d’épaisseur  chargée en volume avec une densité  supposée uniforme.
La plaque est supposée infinie suivant  et et le repérage est tel que  est un plan
de symétrie de la distribution de charge.
2 charges ponctuelles positives
2
fils infinis parcourus par un courant positif
Série
de charges positives
2
fils infinis parcourus par des courants de sens opposés
2 charges + et 2 charges
-
Spire parcourue par un courant

Révisions EM TSI2_2015_2016
1) Donner l’expression du champ électrostatique en tout point de l’espace en
appliquant le théorème de Gauss
2) En déduire l’expression du potentiel électrique  si .
3) On fait tendre  en maintenant . Montrer que le champ
électrique est discontinue
4) En déduire l’expression du champ électrique dans et à l’extérieur d’un
condensateur plan dont on néglige les effets de bords (on suppose les plaques
placées dans un milieu assimilé à du vide et chargées avec une densité )
5) On note  la surface des deux plaques du condensateur précédent et  la
distance qui les sépare. Donner l’expression de la capacité  du condensateur
plan. On notera  la différence de potentiels appliquée aux plaques.
6) Montrer que l’énergie électrique  accumulée s’exprime en fonction de  et .
L’analyse des symétries et invariances conduisent à  . On peut prendre une
surface de Gausse centrée sur Oxy
-  : 
Donc 
-  : En prenant un cylindre de hauteur 2z
Donc 
Pour cette situation stationnaire :
-  : donc 
-  : donc   avec la continuité du potentiel, on
a :  donc  soit 
On obtient l’expression des champs en  par symétrie : 
 et
Dans le cas d’une distribution sans épaisseur :
On a  et l’énergie électrique s’obtient avec la densité d’énergie
électrique  (ici uniforme) donc 

Révisions EM TSI2_2015_2016
Exercice 3 : Théorème d’Ampère
On se propose dans cet exercice de calculer le champ créé par une nappe de courant.
Un plan conducteur supposé infini  est parcouru par un courant surfacique dirigé
selon le vecteur unitaire  . L’intensité de ce courant est répartie uniformément sur le
plan. On trouve ainsi un courant   sur un segment de longueur  selon .
1) Définir le vecteur densité de courant surfacique en fonction des données du
problème.
2) Déterminer l’intensité  champ magnétostatique en un point quelconque de l’espace à
l’aide du théorème d’Ampère.
3) Tracer la fonction  et apprécier la discontinuité du champ magnétostatique pour
cette distribution idéalisée.
4) Un second plan parallèle au premier se trouve à la cote  selon . Il est parcouru
par un courant de même intensité mais circulant dans l’autre sens. Exprimer le
champ magnétostatique engendré par la distribution.
L’uniformité du courant permet alors d’écrire : 
Et sur une longueur :   donc 
On a le plan zOy qui est un plan de symétrie de la distribution de courant. Donc le champ
magnétostatique est tel que : 
Le caractère infini de la distribution entraîne une invariance de la distribution par
translation suivant Oy et Ox, donc  .
On peut proposer un contour rectangulaire tel que AB = h
Donc, le théorème d’Ampère donne :
µ .
Avec  alors 
µ
. Donc :
µ
pour z>0 et 
µ
pour z<0.
On trouve donc une discontinuité du champ au passage de cette nappe donnée par
.
Si on rajoute un deuxième plan parcouru par un courant le traversant en sens inverse par
rapport au 1
e
alors les champs vont s’additionner et on va avoir un champ total donné par
µ
entre les deux plans
A
B
C
D
1
2
3
4

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Exercice 4 : Théorème de Gauss et champ gravitationnel
1) Rappeler l’expression du champ électrostatique   créé en un point  par
une charge ponctuelle  située en un point  et placée dans du vide
2) En déduire alors, en mesurant le flux  de  à travers une sphère centrée sur
 et de rayon , que  .
3) Rappeler l’expression du champ gravitationnel  créé en un point  par une
masse ponctuelle  située en un point 
4) Mesurer le flux  de  à travers une sphère de rayon  et centrée sur .
5) Proposer une écriture inétgrale, analogue au théorème de Gauss, relative au
flux du champ gravitationnel.
6) Proposer une écriture locale, analogue à l’équation de Maxwell-Gauss, relative
au flux du champ gravitationnel.
Théorie électrostatique : donc 
Théorie gravitationnelle :  donc 
Donc  et  soit  et  avec ρ masse volumique.
Rq : Ce résultat est tout à fait généralisable à une distribution plus complexe de 
charges  et une surface de Gauss  de géométrie quelconque. D’après le principe de
superposition : 
La quantité  correspond à la projection de  suivant  et donc à  :
- pour des charges dans  alors pour décrire toute la surface :
- Pour des charges extérieures   à cause du flux rentrant et
sortant intégrés sous le même angle solide mais au signe près. Donc 
Exercice 5 : Champs créé par une spire
Soit une spire, de rayon , d’axe  et chargée uniformément avec une densité linéique
1) Exprimer et représenter soigneusement le champ électrostatique
 créé sur l’axe de cette spire
2) Une autre charge, supposée ponctuelle et notée  coulisse sans
frottement suivant . Donner l’expression de la masse maximale de
la charge  pour que cette dernière puisse léviter au dessus de la
spire
On peut proposer une infinité de plans de symétrie de la distribution contenant alors
l’axe Oz et le point M : le champ électrostatique en M est sur l’axe Oz
La projection du champ élémentaire suivant la direction Oz donne : .
On peut étudier la dérivée de la fonction à tracer pour z>0 :
Cette fonction s’annule pour  et est donc positive pour 
Donc la masse maximale est 
Distribution

Révisions
Exercice 6 : champ créé par un solénoïde
Soit un solénoïde de longueur , de rayon , constitué de
traversée par un courant d’intensité 
. On travaillera dans l’approximation des régimes
quasi stationnaire et tel que 
ce qui permettra de négliger les effets de bords
milieu est assimilé dans lequel est placé le solé
noïde est assimilé à du vide.
1)
En postulant la nullité du champ pour une distance radiale infini, déterminer
- Le champ magnétique en dehors de la structure
- Le champ magnétique dans la structure
2) Calculer le flux propre  du champ magnétique
à travers le bobinage
déduire l’expression de son inductance 
3)
Retrouver ce résultat en exprimant l’énergie magnétique
la structure.
1)
Nous sommes dans le cas d’un champ uniforme car les lignes de champ sont
parallèles et que   et 
. Avec un champ nul à l’extérieur (ce que
l’on peut justifier car les lignes de champ ne peuvent se fermer si le solénoïde
est infini), le théorème d’Ampère donne alors 
2)   donc 
3)  donc 
EM
spires. Chaque spire est
. On travaillera dans l’approximation des régimes
ce qui permettra de négliger les effets de bords
. Le
noïde est assimilé à du vide.
En postulant la nullité du champ pour une distance radiale infini, déterminer
:
à travers le bobinage
et en
Retrouver ce résultat en exprimant l’énergie magnétique
emmagasinée par
Nous sommes dans le cas d’un champ uniforme car les lignes de champ sont
. Avec un champ nul à l’extérieur (ce que
l’on peut justifier car les lignes de champ ne peuvent se fermer si le solénoïde
Exercice 7 : Induction
Soient deux tiges  et 
identiques (même masse
même résistance 
au courant) parallèles et posées sur
deux rails distants de 
. Un champ magnétique uniforme,
stationnaire et vertical est imposé. A l’instant initial,
est animée d’une vitesse  . On néglige
tout frottement et
l’inductance propre du circuit.
Le parallélisme des
est conservé.
A) est maintenue fixe
, le centre de masse de
1)
Donner l’équation différentielle d’ordre 1 vérifiée par la vitesse instantanée
 de la tige  .
2)
Résoudre cette équation différentielle et donner l’expression de
introduisant un temps de réponse caractéristique de la tige.
B) et
ont leur centre de masse en translation
1)
Etablir la loi de variation des vitesses
2) Faire un bilan de puissance
et montrer que l’énergie mécan
diminue.
L’équation électrique est :
Et l’équation mécanique est
Soit :  Donc 
Si les deux tiges sont mobiles :
Et :   avec aussi 
Donc
avec 
Soit   et 
D’un point de vue énergétique :
TSI2_2015_2016
identiques (même masse
 et
au courant) parallèles et posées sur
. Un champ magnétique uniforme,
stationnaire et vertical est imposé. A l’instant initial,
tout frottement et
Le parallélisme des
et 
, le centre de masse de
est en translation
Donner l’équation différentielle d’ordre 1 vérifiée par la vitesse instantanée
Résoudre cette équation différentielle et donner l’expression de
 en
introduisant un temps de réponse caractéristique de la tige.
ont leur centre de masse en translation
Etablir la loi de variation des vitesses
de chacune des tiges au cours du temps.
et montrer que l’énergie mécan
ique du système
Et l’équation mécanique est
:
Donc
Et : 