MAP-SIM2 : Génération de maillages dans une

MAP-SIM2 : G´en´eration de maillages dans une g´eom´etrie polygonale
sujet propos´e par Nicolas Kielbasiewicz :[email protected]
20 janvier 2016
1 Triangulation d’un polygone `a Csommets
1.1 Cas C= 2 : le segment
Soit P1et P2les extr´emit´es d’un segment. Un maillage r´egulier de ce segment en N´el´ements est
d´efini par les sommets Viv´erifiant Vi=P1+i−1
N(P2−P1), i = 1, N + 1
1.2 Cas C= 3 : le triangle
On va consid´erer dans un premier temps le triangle de r´ef´erence.
Soit P1,P2et P3les sommets d’un triangle rectangle en P1et on note P1P2=aet P1P3=b.
P1P2
P3
En consid´erant le mˆeme nombre de mailles Nsur chacun des cot´es du triangle, il existe un
algorithme tr`es simple pour g´en´erer la liste des sommets du maillage pour obtenir un maillage triangulaire
structur´e. Il suffit de commencer par mailler le segment P1P2, puis pour chaque point de ce maillage, de
tracer la verticale jusqu’`a l’hypot´enuse et de mailler ce segment qui sera d’autant plus court que le point
d’origine est loin de P1. On en d´eduit un algorithme g´en´eral qui tire partie ce de principe.
Algorithme 1 Calcul des coordonn´ees des noeuds du maillage
Entr´ees : P1P2P3triangle isoc`ele rectangle de r´ef´erence, Nnombre de mailles sur chaque cot´e
1: pour i= 1, N + 1 faire
2: pour j= 1, N + 2 −ifaire
3: k=j+
i−1
X
l=1
N+ 2 −l
4: Vk=P1+i−1
N(P2−P1)++j−1 N(P3−P1)
5: fin de boucle pour
6: fin de boucle pour
Sorties : Vk, k = 1,(N+ 1) (N+ 2)
2
Il suffit alors de construire la liste des 3 sommets de chaque maille pour obtenir la liste des triangles.

1.3 Cas g´en´eral
1.3.1 L’algorithme des oreilles 
On d´esigne par oreille un triangle dont 2 des 3 cot´es sont ´egalement des cot´es du polygone.
Pour C≥3, il en existe au moins une.
Si on consid`ere un polygone orient´e `a Ncot´es, dont les sommets sont Pialors une oreille est
finalement un triangle Pi−1PiPi+1, i = 2, N −1.
Le principe de l’algorithme des oreilles est donc de construire le maximum d’oreilles `a partir d’un
polygone, ce qui permet d’obtenir un polygone avec un nombre de cot´es strictement inf´erieur `a N. On
r´eit`ere le proc´ed´e.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
En prenant l’octogone initial,, on construit les oreilles P1P2P3,P4P5P6, ce qui permet de traiter
lors d’une deuxi`eme it´eration le pentagone P1P3P4P6P7, pendant laquelle on construit les oreilles P1P3P7
et P3P4P6. Il reste le polygone P3P6P7, qui est un triangle. L’algorithme s’arrˆete.
1.3.2 Notion de triangle admissible
Il faut faire attention `a ce que l’oreille consid´er´ee respecte les 2 crit`eres suivants :
— le triangle doit ˆetre `a l’int´erieur du polygone. Ex : P5P6P7n’est pas admissible
— aucun autre sommet du polygone ne se trouve `a l’int´erieur du triangle. Ex : P3P4P5n’est pas
admissible
Plusieurs questions se posent :
— Comment choisir le sommet de d´epart `a chaque it´eration ?
— Comment estimer la qualit´e du triangle construit ?
— Comment estimer si le triangle est admissible ?
— Comment am´eliorer la qualit´e de la triangulation ?
— Que faire si toutes les oreilles possible `a une it´eration donn´ee sont de mauvaise qualit´e ?
1.3.3 D´efinir la qualit´e des triangles
Pour d´efinir la qualit´e d’un triangle, on va faire appel `a un crit`ere de forme. Les crit`eres de forme
comparent un triangle au triangle le plus r´egulier qu’est le triangle ´equilat´eral. Le crit`ere optimal est
donc atteint pour un triangle ´equilat´eral, et le crit`ere est nul pour les triangles d´eg´en´er´es (pour lesquels
les 3 sommets sont align´es).
Il existe une infinit´e de crit`eres de forme. On se concentrera sur l’un d’entre eux qui demande de
calculer le rapport entre le rayon du cercle inscrit au triangle et le rayon du cercle circonscrit au triangle.
Soit a,bet cles 3 longueurs du triangle Kconsid´er´e. On note PKle demi-p´erim`etre, SKl’aire
de K,ρKle rayon du cercle inscrit `a Ket rKle rayon du cercle circonscrit `a K. On a les formules
suivantes :
2

PK=a+b+c
2
SK=PK(PK−a) (PK−b) (PK−c) (formule de H´eron)
ρK=SK
PK
rK=abc
3SK
1.3.4 Choisir le bon sommet de d´epart
Estimer la qualit´e d’un maillage revient `a sommer le crit`ere de forme de chaque triangle du maillage.
Une fa¸con de proc´eder est donc de choisir les oreilles de meilleure qualit´e. On commence par la
meilleure, puis la meilleure parmi les oreilles encore possibles et ainsi de suite jusqu’`a ne plus pouvoir
choisir d’oreilles.
1.3.5 Am´eliorer la qualit´e de la triangulation
Une fois la triangulation obtenue, on peut am´eliorer la triangulation `a l’aide du crit`ere du
Delaunay : pour chaque triangle, le cercle circonscrit ne doit contenir aucun autre sommet du polygone.
C’est le cas dans la figure ci-dessous du triangle P4P5P6.
Dans le cas contraire, on supprime l’arˆete commune aux 2 triangles consid´er´es et on la remplace
par l’autre arˆete possible (l’arˆete P2P7dans le cas du triangle P1P3P7).
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
C137
C456
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
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2 El´ements de conception
2.1 L’objet Point
Un sommet est enti`erement d´efini par ses coordonn´ees. On d´efinira la classe Point comme h´eritant
de la classe vector de la STL.
2.2 L’objet Polygone
Un polygone est d´efini par ses sommets. La classe Polygone comprendra donc entre autres un
vecteur de Point. Il contiendra aussi le r´esultat de sa d´ecomposition `a l’issue du d´eroulement de
l’algorithme des oreilles sous la forme d’un vecteur de pointeurs sur un objet Polygone.
2.3 L’objet Triangle
Un triangle est un polygone `a 3 sommets. Il en d´ecoule que la classe Triangle h´erite de la classe
Polygone.
2.4 L’objet Maillage
Un maillage est constitu´e de l’ensemble des points d´efinissant les sommets du maillage, de
l’ensemble des triangles constitutifs de la triangulation et des ´el´ements de bords, d´efinis relativement `a
leur parent.
3 Organisation du travail (3p)
Apr`es s’ˆetre concert´e sur la d´efinition des classes et du prototype des fonctions, le travail pourra
ˆetre r´eparti de la fa¸con suivante :
— d´efinition des classes ´el´ementaires Maillage,Point,Polygone et Triangle avec export du
maillage vers le format Paraview pour visualisation, ainsi que la r´ealisation des tests de
validation
— impl´ementation de l’algorithme des oreilles et du crit`ere de Delaunay
— impl´ementation du maillage sur un triangle, ainsi que de la construction du maillage final
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