Algorithmes de Monte Carlo

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Algorithmes de Monte Carlo
Fait une erreur de temps en temps mais trouve la bonne r´eponse
avec une grande probabilit´e.
Exemple: V´erifier un produit matriciel AB =C.
fonction verif(A,B,C,n)
pour j=1 `a n faire
X[j]= uniforme{0,1}
si (XA)B=XC alors retourner vrai
sinon retourner faux
Temps ∈θ(n2)
Remarque: Cet algorithme retourne toujours la bonne r´eponse
lorsque AB=C.

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Analyse: On suppose que AB 6=C. Soit D=AB −C6= 0.
Montrons que Pr(XD=0) ≤1/2
Puisque D6= 0 alors il existe une ligne de D (disons la i−i`eme) qui
est non nulle.
•Si Xet Ysont deux vecteurs identiques sauf `a la i-i`eme
position alors XD 6=Y D
•Pr(XD = 0) ≤1/2 puisqu’on ne peut avoir XD = 0 pour les
deux choix possibles de Xi

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Remarque: Le fait qu’un algorithme de MC retourne une bonne
r´eponse avec une grande probabilit´e ne veut pas dire qu’il
fonctionne correctement sur une majorit´e d’entr´ees.
Exemple: D´eterminer si un nombre est premier.
fonction faux premier(n)
m=2*3*5*7*11*13
si pgcd(n,m)=1 alors
retourner vrai
sinon
retourner faux
•Correct dans 80% des cas
•Pour certain n, cet algorithme retourne toujours une mauvaise
r´eponse.

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Algorithmes biais´es
D´efinition: Soit p∈Rt.q. 1/2< p < 1. Un algorithme de MC
est p-correct s’il retourne une bonne r´eponse avec une
probabilit´e ≥p.
D´efinition: Un algorithme de MC est (faux) biais´e s’il est
toujours correct lorsqu’il retourne faux.

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Probl`emes de d´ecision
Algorithmes biais´ees:
Nous nous int´eressons aux algorithmes dont la probabilit´e d’erreur
est ≤1/2
Algorithmes non biais´ees:
Nous nous int´eressons aux algorithmes dont la probabilit´e d’erreur
est ≤1/2−²o`u ² > 0.