Rappels sur les corps de nombres

Rappels sur les corps de nombres
Soit K un corps de nombres : K est une extension algébrique
finie de Q
K = Q(α) (théorème de l’élément primitif)
P un polynôme minimal de α
n = [K : Q] = deg P
α1 , . . . αr1 les racines réels de P
αr1 +1 , ᾱr1 +1 , . . . , αr1 +r2 , ᾱr1 +r2 les paires de racines complexes
On a n = r1 + 2r2 .
On définit σi : K ,→ R par σi (α) = αi , i = 1, . . . r1
σj : K ,→ C par σj (α) = αr1 +j et σ̄j (α) = ᾱr1 +j ,j = 1, . . . r2 .
L’anneau des entiers de K est l’anneau
OK = {x ∈ K est une racine d’un polynôme untaire à coefficients entiers}
√
Exemple:
( √si K = Q( d), où d n’a pas de facteurs carrés, alors
Z[ d]
si d ≡ 2, 3 mod 4
√
OK =
1+ d
Z[ 2 ] si d ≡ 1 mod 4.
Deux idéaux I , J de OK sont équivalents s’il existe α, β ∈ OK non
nuls, tels que αI = βJ.
1. Tout idéal I de OK est inversible: il existe α ∈ OK non nul et
un idéal J ⊂ OK tels que IJ = αOK . L’ensemble des classes
d’idéaux forme un groupe ClK . Ce groupe est fini.
2. Tout idéal premier non nul de OK est maximal.
3. Tout idéal I de OK se décompose de manière unique (à une
permutation près) en produit des idéaux premiers.
On peut donc définir ordp (I ) = max{n ≥ 0 | I ⊂ pn } et
ordp (x) comme l’odre en p de l’idéal (x).
Pour p un premier, on a pOK = pe11 . . . pemm avec pi , i = 1, . . . m
idéaux premiers distincts et ei ≥ 1.
On dit alors que pi | p.
On a
m
X
n = [K : Q] =
ei fpi ,
(1)
i=1
où fpi = [OK /pi : Fp ].
Formules magiques 1
I
x2P =
xP4 −2axP2 −8bxP +a2
.
4(xP3 +axP +b)
Formules magiques 1
xP4 −2axP2 −8bxP +a2
.
4(xP3 +axP +b)
I
x2P =
I
Les polynômes P0 (T , X ) = 4T (X 3 + aXT 2 + bT 3 ) et
P1 (T , X ) = X 4 − 2aX 2 T 2 − 8bXT 3 + a2 T 4 n’ont pas de zéro
commun dans P1 :
Formules magiques 1
xP4 −2axP2 −8bxP +a2
.
4(xP3 +axP +b)
I
x2P =
I
Les polynômes P0 (T , X ) = 4T (X 3 + aXT 2 + bT 3 ) et
P1 (T , X ) = X 4 − 2aX 2 T 2 − 8bXT 3 + a2 T 4 n’ont pas de zéro
commun dans P1 : (3x 2 + 4a)(x 4 − 2ax 2 − 8bx + a2 ) − (3x 3 −
5ax − 27b)(x 3 + ax + b) = 4a3 + 27b 2 .
Formules magiques 1
xP4 −2axP2 −8bxP +a2
.
4(xP3 +axP +b)
I
x2P =
I
Les polynômes P0 (T , X ) = 4T (X 3 + aXT 2 + bT 3 ) et
P1 (T , X ) = X 4 − 2aX 2 T 2 − 8bXT 3 + a2 T 4 n’ont pas de zéro
commun dans P1 : (3x 2 + 4a)(x 4 − 2ax 2 − 8bx + a2 ) − (3x 3 −
5ax − 27b)(x 3 + ax + b) = 4a3 + 27b 2 .
I
Conclusion: pour Φ : P1 → P1 , Φ = (P0 : P1 ), on a
Φ(1 : xP ) = (1 : x2P ) et
h(2P) = h(1 : x2P ) = h(Φ(1, xP )) = 4h(P) + O(1).
Formules magiques 2
2(xP +xQ )(a+xP xQ )+4b
.
(xP −xQ )2
(xP xQ −a)2 −4b(xP +xQ )
.
(xP −xQ )2
I
xP+Q + xP−Q =
I
xP+Q xP−Q =
Formules magiques 2
2(xP +xQ )(a+xP xQ )+4b
.
(xP −xQ )2
(xP xQ −a)2 −4b(xP +xQ )
.
(xP −xQ )2
I
xP+Q + xP−Q =
I
xP+Q xP−Q =
I
Les polynômes homogènes
U 2 − 4TV , 2U(aT + V ) + 4bT 2 , (aT − V )2 − 4bTU n’ont
pas de zéro commun dans P2k .
Formules magiques 2
2(xP +xQ )(a+xP xQ )+4b
.
(xP −xQ )2
(xP xQ −a)2 −4b(xP +xQ )
.
(xP −xQ )2
I
xP+Q + xP−Q =
I
xP+Q xP−Q =
I
Les polynômes homogènes
U 2 − 4TV , 2U(aT + V ) + 4bT 2 , (aT − V )2 − 4bTU n’ont
pas de zéro commun dans P2k .
Soit Φ(T , U, V ) : P2 → P2 , (T : U : V ) 7→ (U 2 − 4TV :
2U(aT + V ) + 4bT 2 : (aT − V )2 − 4bTU) on a
I
h(Φ(x)) = 2h(x) + O(1).
Soient
ψ : (E \ 0E )2 → P2
(P, Q) 7→ (1 : xP + xQ , xP xQ )
et µ(P, Q) = (P + Q, P − Q).
Formules magiques 2
2(xP +xQ )(a+xP xQ )+4b
.
(xP −xQ )2
(xP xQ −a)2 −4b(xP +xQ )
.
(xP −xQ )2
I
xP+Q + xP−Q =
I
xP+Q xP−Q =
I
Les polynômes homogènes
U 2 − 4TV , 2U(aT + V ) + 4bT 2 , (aT − V )2 − 4bTU n’ont
pas de zéro commun dans P2k .
Soit Φ(T , U, V ) : P2 → P2 , (T : U : V ) 7→ (U 2 − 4TV :
2U(aT + V ) + 4bT 2 : (aT − V )2 − 4bTU) on a
I
h(Φ(x)) = 2h(x) + O(1).
Soient
ψ : (E \ 0E )2 → P2
(P, Q) 7→ (1 : xP + xQ , xP xQ )
et µ(P, Q) = (P + Q, P − Q). On a alors ψ ◦ µ = Φ ◦ ψ.
Formules magiques 2
2(xP +xQ )(a+xP xQ )+4b
,
(xP −xQ )2
2
(x x −a) −4b(x +x )
xP+Q xP−Q = P Q (x −x )2 P Q .
P
Q
I Φ(T , U, V ) = (U 2 − 4TV : 2U(aT + V ) + 4bT 2 :
(aT − V )2 − 4bTU), ψ(P, Q) = (1 : xP + xQ , xP xQ )
I
xP+Q + xP−Q =
µ(P, Q) = (P + Q, P − Q), avec ψ ◦ µ = Φ ◦ ψ.
et
Formules magiques 2
2(xP +xQ )(a+xP xQ )+4b
,
(xP −xQ )2
2
(x x −a) −4b(x +x )
xP+Q xP−Q = P Q (x −x )2 P Q .
P
Q
I Φ(T , U, V ) = (U 2 − 4TV : 2U(aT + V ) + 4bT 2 :
(aT − V )2 − 4bTU), ψ(P, Q) = (1 : xP + xQ , xP xQ )
I
xP+Q + xP−Q =
I
µ(P, Q) = (P + Q, P − Q), avec ψ ◦ µ = Φ ◦ ψ.
α, β ∈ Q. Alors
et
1/2H(α)H(β) ≤ H(1 : α + β : αβ) ≤ 2H(α)H(β).
Formules magiques 2
2(xP +xQ )(a+xP xQ )+4b
,
(xP −xQ )2
2
(x x −a) −4b(x +x )
xP+Q xP−Q = P Q (x −x )2 P Q .
P
Q
I Φ(T , U, V ) = (U 2 − 4TV : 2U(aT + V ) + 4bT 2 :
(aT − V )2 − 4bTU), ψ(P, Q) = (1 : xP + xQ , xP xQ )
I
xP+Q + xP−Q =
I
µ(P, Q) = (P + Q, P − Q), avec ψ ◦ µ = Φ ◦ ψ.
α, β ∈ Q. Alors
et
1/2H(α)H(β) ≤ H(1 : α + β : αβ) ≤ 2H(α)H(β).
I
D’où h(ψ(P, Q)) = h(xP ) + h(xQ ) + O(1) et
h(P+Q)+h(P−Q) = h(1 : xP+Q +xP−Q : xP+Q xP−Q )+O(1) =
= h(ψ ◦ µ(P, Q)) + O(1) = h(Φ ◦ ψ(P, Q)) + O(1) =
= 2h(ψ(P, Q)) + O(1) = 2h(P) + 2h(Q) + O(1).