Spé PC*/PC Ondes EM dans le vide

Spé PC*/PC
Ondes EM dans le vide
1) Effet Doppler :
Une onde plane progressive monochromatique de fréquence ν est émise par un objet
s’éloignant à la vitesse v << c (c est la célérité de l’onde) d’un observateur immobile (la
direction observateur – source est prise colinéaire à la vitesse de la source).
a) Quelle est la forme de l’onde émise ? Par un changement de référentiel pour les
coordonnées, trouver la période T’ de l’onde perçue par l’observateur.
b) Retrouver le résultat en supposant que la source émet un bip tous les T, en évaluant
l’intervalle T’ entre deux réceptions successives de bips par l’observateur. Quelles sont des
applications de ce phénomène ?
2) Laser, pression de radiation (CCP) :
Un laser en continu émet en permanence P = 100 W dans un faisceau lumineux
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monochromatique (de longueur d’onde λ = 632,6 nm), de section s = 0,25 cm .
a) Trouver les valeurs numériques des amplitude des champs électrique et magnétique associé
aux ondes planes.
b) Déterminer le nombre de photons par unité de volume dans le faisceau.
c) En déduire la pression de radiation, en pascals, sur un miroir parfait.
(On donne h = 6,62.10
- 34
J.s).
3) Propagation d'une onde cylindrique dans le vide :
Une source, placée dans le vide, supposée confondue avec l'axe (Oz), émet une onde
électromagnétique progressive, monochromatique. On cherche une solution des équations de
Maxwell dont le champ électrique en un point M de coordonnées cylindriques (r,θ,z)
s'exprime dans la base (ur,uθ,uz) et en notation complexe sous la forme :
E = f(r)expj(ωt-kr) uz
avec k = ω / c où c est la vitesse de la lumière dans le vide.
a) Déterminer, à l'aide de l'équation de Maxwell-Faraday, le vecteur champ magnétique en M.
b) Etablir l'équation différentielle dont doit être solution f(r) pour que l'expression précédente
satisfasse à l'équation de Maxwell-Ampère. On ne cherchera pas à résoudre cette équation.
c) En utilisant l'expression du champ magnétique établie à la question (1) et en supposant f(r)
réel, calculer le vecteur de Poynting en M. En déduire la puissance électromagnétique
moyenne traversant un cylindre d'axe (Oz), de hauteur unité et de rayon r. Pourquoi cette
puissance est-elle constante, égale à p0 ? Déterminer alors la fonction f(r).
4) Onde plane progressive harmonique polarisée circulairement :
Une onde EM plane progressive harmonique est polarisée circulairement. Elle se propage
dans le vide suivant l’axe (Oz) dans le sens des z croissants.
a) Expliciter les champs électrique et magnétique.
b) Calculer le vecteur de Poynting.
c) On superpose deux ondes identiques à celle étudiée précédemment, l’une étant circulaire
gauche et l’autre circulaire droite. Etudier l’onde résultante dans l’hypothèse de composantes
en phase suivant (Oy).
5) Propagation dans un milieu chiral :
a) Rappeler l’équation de propagation du champ électrique dans le vide
b) On suppose que dans un milieu transparent, le champ EM se propage exactement de la
même manière que dans le vide, à la condition de remplacer c par c / n, où n est l’indice du
milieu. Quelle est alors l’équation de propagation du champ électrique ? Quelle est la relation
entre k et ω pour une onde plane progressive harmonique ?
c) Un milieu chiral est un milieu transparent dans lequel les ondes circulaires droites et
gauches ne se propagent pas à la même vitesse. Pour les ondes circulaires gauches
(resp.droites), l’indice est ng (resp.nd). on envoie dans un tel milieu une onde initialement
r
r
polarisée rectiligne selon u x et se propageant dans la direction u z . On supposera qu’à
l’interface vide-milieu chiral, la pulsation de l’onde ne varie pas. Quelle est l’expression de
l’onde dans le milieu chiral ?
d) Quelle est, après la traversée d’une cuve de longueur e, la polarisation de l’onde ?
Caractériser le changement observé.
6) Champ rayonné par une plaque de courants :
r
r
Dans le plan z = 0, des courants surfaciques js = js0 exp(i (ωt − αx))u y (avec α < ω / c )
engendrent un champ EM dans tout l’espace. Partout ailleurs, l’espace est vide.
a) Trouver la densité surfacique de charges σ portée par le plan z = 0 à l’aide d’une équation
de conservation de la charge surfacique.
b) Expliquer pourquoi on peut chercher le champ électrique sous la forme :
r
r
E = f ( z ) exp(i (ωt − αx))u y
c) Trouver l’équation vérifiée par la fonction f et la résoudre. On pose β =
ω2
c
2
−α2 .
d) Quelle est la forme du champ électrique pour z > 0 et z < 0 (on écrira le champ sous la
forme de la superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques) ? Vu le
problème, éliminer une des deux ondes dans chaque demi-espace.
e) Conclure en utilisant les relations de passage pour les champs.
f) Quelle est la relation entre le module du vecteur d’onde et la pulsation ?
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