Université des Sciences et de la Technologie Houari

22/09/2013
Programme du Math1
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene
Faculté de Mathématiques
1. Ensembles, Relations, Applications
2. Structures Algébriques fondamentales
Math1
L1 – Semestre 1
SM – ST
3. Suites numériques
4. Fonctions d’une variable réelle:
Calcul différentiel et intégral
Dr. M. ZIDANI-BOUMEDIEN
5. Algèbre Linéaire
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Avant-propos
Bibliographie:
Le programme de ce cours est bien chargé, n’est-ce pas?
Oui, et c’est pour cette raison qu’un support de cours adapté à ce
programme est absolument indispensable et c’est aussi pour cette
raison que nous insisterons sur la compréhension des concepts
nouveaux de ce cours en tenant compte de ce que vous avez déjà
appris au lycée. Nous traiterons chaque concept, autant que
possible, selon différentes représentations:
symbolique, numérique, visuel et verbal.
Une fois ces concepts de base bien assimilés, vous n’aurez aucun
mal dans la suite de votre cursus, à vous approprier les
techniques associées à chaque concept selon votre spécialité.
1) Nikolaï Piskounov. « CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL »,
Tome 1 et 2. Editions Mir, MOSCOU 1980 ou Ed. Ellipses 1993.
2) B. Démidovitch. « RECUEIL D’EXERCICES ET DE PROBLÈMES
D’ANALYSE MATHÉMATIQUE». Editions Mir, MOSCOU 1984.
3) James STEWART. «Analyse : concepts et contextes Vol 1
Fonctions d'une variable ». Editeur DE BOECK, 2011.
4) exo7.emath.fr
5) http://www.bibmath.net/
6) …
Vu que les filières SM et ST s’intéressent essentiellement aux
mathématiques appliquées, dans ce cours, les démonstrations
purement formelles ne seront pas prioritaires.
4) et 5) pour vous exercer mais ne vous dispersez pas avec trop
de lectures sur le web!
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Avant-propos
Évidemment, pour réussir ce cours de base, il faut au moins:
Lire et Relire le cours, Faire les exercices proposés, Poser des
questions et Persévérer!
Les chapitres 1 et 2 sont particulièrement nouveaux pour vous
mais le cours sera mis sur la page web de la faculté de
mathématiques, par chapitre. Certains chapitres sont déjà prêts,
d’autres restent à faire.
Comme nul n’est infaillible, des erreurs pourraient se glisser dans
cette première contribution malgré mes multiples vérifications.
Les remarques et/ou questions, sont les bienvenues de la part de
mes collègues ou même des étudiants à qui nous disons:
‫بالتوفيق‬
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Chapitre 1.
1. Notions de Logique.
2. Ensembles
3. Relations: d’ordre et d’équivalence.
4. Application, injection, surjection,
bijection.
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1.
1.
Notions de Logique
Notions de Logique
1) Mots Mathématiques
Considérons la situation suivante:
Deux étudiants Salim et Rachid veulent travailler ensemble à la
bibliothèque le lendemain de leur rencontre. Rachid dit à Salim:
« s’il pleut, je ne viendrai pas ». Salim lui répond: « Ok ». Il n’a
pas plu mais Rachid n’est pas venu, donc Salim s’est fâché,
considérant que Rachid a manqué à sa parole. Rachid, a-t-il
vraiment manqué à sa parole?
Cette situation est une des ambiguïtés du langage courant (qui
crée d’énormes problèmes entre les gens!) que la logique par
son langage rigoureux permet d’éviter.
D’autre part, si une question se pose, donner une réponse,
n’avance à rien si celle-ci n’est pas justifiée. C’est par une
démarche logique, un raisonnement ou une démonstration, que
la réponse est jugée vraie (juste) ou fausse.
C’est donc par les moyens que donne la logique, qu’il est
possible de construire un raisonnement mathématique
rigoureux.
En plus des termes primitifs, ou mots du langage courant avec le sens
courant, il existe des mots spécifiques aux mathématiques:
Une assertion est un énoncé qui prend une seule des 2 valeurs logiques:
soit vrai, soit faux. Exemples: « 1=0 » est une assertion fausse;
"e x  0, pour tout x réel " est une assertion vraie; " x 2 " n’est pas une assertion.
Un axiome est un énoncé qu’on ne peut pas démontrer parce qu’ils
sont les premiers, ils sont vrais par convention. Exemple, les axiomes
d’Euclide.
Les énoncés qui se démontrent, sont classés selon leur importance:
•un théorème est une assertion vraie déduite d’autres assertions déjà
connus en utilisant les seules règles de la logique au moyen d’une
démonstration. Il s’agit en général d’un résultat important à retenir ;
•un lemme est un résultat préalable utile pour démontrer un théorème;
•un corollaire est une conséquence importante d’un théorème ;
•une proposition est une assertion jugée vraie ou fausse sans
ambiguïté, par une démonstration facile. Une proposition est moins
importante qu’un théorème.
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1.
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Notions de Logique
1.
2) Symboles mathématiques de base
A. Le quantificateur universel  et le quantificateur existentiel  :
Si, pour toute valeur de la variable x d’un ensemble E, la proposition P
est vraie (vérifiée), on écrira: x , P vraie.
S’il existe au moins une valeur de la variable telle que la proposition P
soit vérifiée, on écrira: x , P vraie.
Exemples: Soit les propositions suivantes contenant la variable x réelle:
A(x) : x 2  1  0; B(x) : x 2  x  x(x 1); C(x) : x  1  x .
Pour dire si ces propositions sont vraies ou fausse en utilisant les
quantificateurs, on écrira:
x  -1,1 tel que A(x) vraie ou x  -1,1 A(x) vraie
 x, B(x) vraie ou simplement  x, B(x);  x,C(x) fausse.
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MATH1 - L1- S1
Notions de Logique
3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques
Connecteurs logiques
opérations entre propositions
formalisme mathématique
A. Négation: La négation de P, notée P ou « non P » ou P , est la
proposition qui est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie.
Exemples: P: «x est pair »,P : « x impair»; Q: « a = b », non Q: «a ≠ b»
H: «x , P vraie », non H: « x , P non vraie ».
B. Conjonction « et »: « P et Q » veut dire P est vraie et Q est vraie en
même temps. Notation de « et » : 
C. Disjonction « ou »: « P ou Q » indique que l’une au moins, des deux
propositions est vraie, (mais, P et Q faux en même temps: impossible)
donc le sens cumulatif du « ou »se traduit par l’une des expressions:
On peut aussi résumer avec un tableau de vérité:
valeurs de « P ou Q » en vert
9
1.
Notions de Logique
3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques (suite)
D. Implication: une relation entre deux propositions (ou entre deux
ensembles de propositions): « P et Q » , qui veut dire
« si P est vraie, alors Q est vraie ».
On note P  Q; on dit: P implique Q ou P entraine Q.
L’énoncé verbal d’une implication constitue un théorème:
P  hypothèse et Q  conclusion;
on peut aussi énoncer:
Pour que P soit vraie, il faut que Q soit vraie;
Q est une condition nécessaire de P.
Pour que Q soit vraie, il suffit que P soit vraie;
P est une condition suffisante de Q.
L’implication est transitive i.e. Si P, Q et A sont trois propositions, les
hypothèses P  Q et Q  A entrainent P A.
L’implication n’est pas tjs symétrique i.e. P  Q n’entraine pas tjs Q P.
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1) P vraie, Q faux; 2) Q vraie, P faux; 3) P et Q vraies.
B. Égalité « = »:
« a = b » veut dire « a désigne le même élément que b ».
Par abus de langage, on dit « a égal b ».
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P/Q
V
F
V
V
V
F
V
F
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1.
Notions de Logique
3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques (suite)
E. Équivalence: Si P Q et Q P, on a une équivalence logique.
On note:  et on énonce : P est équivalente à Q .
On peut aussi énoncer:
Pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q soit vraie;
P est vraie si et seulement si Q soit vraie;
Le symbole  s’utilise
aussi dans le cas d’une définition, on note cette
def
équivalence verbale: 
4) Méthodes de raisonnement ou de démonstration
opérations logiquesméthodes de raisonnement ou de démonstration.
But: Montrer l’implication H  C.
A. Démonstration directe: déduire logiquement C de H, en se basant
sur la transitivité de l’implication (raisonnement déductif).
B. Substitution par une ou des propositions équivalentes.
C. Cas par cas. Exemple: Montrez que x   1,3, x  1  2.
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1.
Notions de Logique
4) Méthodes de raisonnement ou de démonstration (suite)
C. Démonstration par l’absurde: H  C équivalente à H  C , donc
on suppose que H  C vraie et on montre qu’on aboutit alors à une
impossibilité (absurdité). Ce qui entraine que H  C est fausse d’où
H  C est vraie. Exemple: Montrez que √2 est irrationnel.
D. Démonstration par la contraposée: montrer C  H (car H  C
équivalente à C  H) . Exemple: Montrez que n² est pair n pair.
E. Démonstration par contre-exemple: on trouve une ou des valeurs de
x pour lesquels H (x) est vraie et C (x) est fausse.
F. Démonstration par récurrence: pour montrer une proposition P
portant sur un sous-ensemble F de l’ensemble des entiers naturels N.
On vérifie la proposition pour le premier élément (le plus petit) de F,
ensuite on suppose que la proposition est vraie jusqu’au rang n, et on
démontre que la proposition P est vraie pour le rang suivant n+1.
on conclut alors que la proposition est vraie pour tout n dans F.
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2.
Ensembles
1) Notations et vocabulaire (suite)
C. Représentations d’un ensemble:
a) Graphique: Les éléments de l'ensemble
sont placés dans une zone délimitée par
une courbe fermée(ellipse sur l’exemple): Exemple: Cet ensemble A
contient trois éléments a, b et c.
Diagramme de Venn.
b) En extension: tous les éléments que l’ensemble fini contient, sont
énumérés entre accolades {…}. Exemple: A=a ,b , c .
c) En compréhension: l’ensemble est défini à partir des éléments d'un
autre ensemble E qui satisfont une certaine propriété P.
Forme générale: A  x  E P x  , i.e.
A contient tous les éléments x de E, qui vérifient la propriété P.
d) Autre notation: symbole  pour les ensembles infinis en extension.
Exemple:   0 ,1,2 ,3,.
e) Ensemble vide: noté , ensemble unique, ne contient aucun élément.
f) Singleton: noté . , un ensemble qui ne contient qu’un seul élément.
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2.
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Ensembles
2.
Ensembles
Un ensemble est un objet mathématique représentant une
collection d'objets, appelés éléments de l'ensemble.
Ensembles déjà connus: ensembles de nombres (entiers, relatifs,
réels, complexes).
1) Notations et vocabulaire
A. Appartenance: Symbole d'appartenance ∈.
On écrit: a ∈ A, on lit «l'élément a appartient à l'ensemble A » ou
« a est un élément de l'ensemble A ».
Pour indiquer qu'un élément a n'appartient pas à un ensemble A,
on écrit a ∉ A.
B. Cardinal: Card A ou |A|.
Le cardinal (ou taille) d'un ensemble A: nombre d'éléments dans
l'ensemble A.
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2.
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Ensembles
2) Comparaison d’ensembles
A. Égalité:
Définition : Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si ils sont
composés des mêmes éléments.
En d’autres mots, si tous les éléments de A se trouvent également dans B
et réciproquement. On écrit: A  B ssi x , x  A  x  B
Exemple: Si A  0,1,2,3,4,5,6,7; B  x  N 0  x  7 alors A  B
B. Inclusion; Sous-ensemble ou partie d’un ensemble
Définition L’ensemble A est inclus dans l'ensemble B si et seulement si
tous les éléments de A sont des éléments de B mais tous les éléments de B
ne sont pas nécessairement dans A.
On note A  B ssi x  A  x  B ; on lit: «A est inclus ou égal à B».
On dit aussi que A est un sous-ensemble ou une partie de B.
Inclusion stricte: A  B ssi A  B et A  B .
Autre définition de l’égalité de deux ensembles A et B:
A  B ssi A  B et B  A
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Opérations sur des ensembles  un nouvel ensemble
A. Intersection: Symbole 
Définition: L'intersection de deux ensembles A et B, notée A  B , est un
ensemble contenant les éléments appartenant à A et à B :
A  B = { x | x∈ A et x∈ B }.
Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e}. A  B ={c}.
2.
Ensembles
3) Opérations sur les ensembles (suite)
B. Union: Symbole 
Définition: L‘union de deux ensembles A et B est un ensemble contenant
les éléments appartenant à A ou à B : A  B = { x | x∈ A ou x∈ B }.
Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e}. A  B ={a, b, c, d, e}.
Propriétés
• L'opération d‘union est commutative et associative:
Définition: Deux ensembles A et B sont dits disjoints lorsque leur
intersection est vide. On note : A B  .
Propriétés
• L'opération d'intersection est commutative et associative et on a donc :
A  B = B A et
A (B  C) = (A  B)  C.
• L'intersection de deux ensembles est toujours un sous-ensemble des
deux ensembles originaux: A  B  A et A  B  B.
• L'intersection de deux ensembles est toujours un sous-ensemble des
deux ensembles originaux: A  A  B et B  A  B.
C. Ensemble des parties: P(.)
Définition: L'ensemble des parties d'un ensemble E, noté P(E), est un
ensemble qui contient tous les parties (ou sous-ensembles) de E :
P ( E ) = { S | S  E } et Card P (E) = 2Card E .
3) Opérations sur les ensembles
A B  B  A
et
A  B  C    A  B  C
Exemple: A={a, b, c}, P(A)={{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, }.
(Card P(A)= 2³ = 8)
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Ensembles
3) Opérations sur les ensembles (suite)
D. Différence. Complémentarité: Symbole /
Définition La différence de deux ensembles A et B, notée A / B, est un
ensemble contenant les éléments appartenant à A, mais n'appartenant
pas à B :
A / B = { x | x ∈ A et x ∉ B }.
La différence A/B est appelée complémentaire de B par rapport à A. On
note alors A/B = C A B (ou B).
Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e}. A/B= C A B  a,b.
Propriétés
• En général, cette opération n’est ni commutative, ni associative
• On a toujours: A/B  A .
E. Opérations sur les complémentaires:
Le complémentaire de l'union de deux ensembles est l'intersection de
leurs complémentaires : A  B  A  B.
Le complémentaire de l'intersection de deux ensembles est l'union de
leurs complémentaires : A  B  A  B.
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Relations: d’ordre et d’équivalence
 Terme primitif: relation ou correspondance.
 Compare entre les éléments de deux ensembles E et F .
 Représentée par un ensemble de paires ordonnées.
Exemples: 1) considérons les sections de L1 (USTHB) et les enseignants
de math L1. On a par exemple: B et H sont l’enseignant de la section
ST11 (math1 et math2), Z est l’enseignant de la section ST31, A est
l’enseignant de la section ST1, C est l’enseignant de la section SM1, … ;
on a donc des paires ordonnées (enseignant, section). Notons L
l’ensemble de ces paires:
L = { (B, ST11), (Z, ST31), (A, ST1), (C, SM4), (C, ST5), (H, ST11), …}.
Cet ensemble définit la relation ‘est l’enseignant de’ entre 2 ensembles:
l’ensemble des enseignants et l’ensemble des sections du L1(USTHB).
2) Considérons les ensembles A={ -2,0,1, 2, 3,4} et B={ -1, 0, 1, 6, 8, 9}. La
relation D « est le double de » est représentée par { (-2,-1),(0,0),(2,1)} .
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21
3.
Relations: d’ordre et d’équivalence
2) Image, antécédent d’un élément
Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e}.
A×B= { (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (b,e) }.
Les deux ensembles A et B sont représentés par des segments de droite,
les points en rouge sont les éléments du produit cartésien, ils sont
entourés par le rectangle qui représente l’ensemble produit cartésien.
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Reprenons l’exemple 2 précédent sur les nombres. Considérons les
ensembles A={ -2,0,1, 2, 3,4} et B={ -1, 0, 1, 6, 8, 9}.
La relation T: « est le double de » est représentée par:
{ (-2,-1),(0,0),(2,1)}  A B
Trois représentations visuelles d’une relation binaire:
Diagramme à flèches
Tableau
Graphe
-2
-1
4
3 0
1
1
6
9
0
2
8
x
y
-2
-1
0
0
2
1
A
B
A: ensemble de départ ou Domaine de T; B: ensemble d’arrivée ou image
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3.
A
B
Maintenant, formalisons !
En fait, on a définit la relation par trois ensembles:
1) L’ensemble de départ (des flèches)
2) L’ensemble d’arrivée (des flèches)
3) L’ensemble des flèches
chaque flèche montre les éléments liés par la relation donc un couple.
Exemple: (B, 11), (Z, 31),etc.
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Si Card A= m et Card B=n, alors
Card A × B=mn.
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22
Relations: d’ordre et d’équivalence
3) Définitions formelles
Image d’un élément:
- A, B, H, Z ont chacun une seule image.
- C a deux images.
- D, N, T n’ont pas d’image.
Antécédent d’un élément:
- 1, 4, 5, 31 ont chacun un seul antécédent.
- 11 a deux antécédents.
- 23, 2 n’ont pas d’antécédent.
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Définition: Le produit cartésien de deux ensembles A et B, noté A×B, est
un ensemble contenant des paires (ou couples) d'éléments provenant des
ensembles A et B :
A × B = { (x,y) | x∈ A, y∈ B }.
3.
Relations: d’ordre et d’équivalence
2) Représentation visuelle d’une Relation
1) Qu’est-ce qu’une Relation?
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2.
Ensembles
3) Opérations sur les ensembles (suite)
F. Produit Cartésien: Symbole ×
A. Relation binaire
Définition: Soient E et F deux ensembles, on appelle relation binaire R
de E vers F toute proposition définie sur le produit cartésien E × F. Le
graphe G de la relation est l’ensemble des couples pour lesquels la
proposition est vraie.
Si (x, y) ∈ G, on note par exemple xR y. G  E × F.
Exemple: La relation d’égalité x = y est une relation binaire.
B. Domaine et Image:
Domaine: DR  x  E y  F , xR y .
Image: ImR  y  F x  E , xR y.
Exemple: Donnez la relation représentée par le diagramme suivant en
mots, puis en ensemble de paires ordonnées. Quel est son domaine et
son Image?
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36
0 -1
5
1
6
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3.
Relations: d’ordre et d’équivalence
3.
4) Propriétés des relations
Définition: Soit une relation R sur E. On dit que R est :
• Réflexive si ∀x ∈ E, x R x ;
• symétrique si ∀(x, y) ∈, x R y ⇒ y R x ;
• antisymétrique si ∀(x, y) ∈ E2, x R y et y R x ⇒ x = y ;
• transitive si ∀(x, y, z) ∈ E3, x R y et y R z ⇒ x R z.
A. Relation d’ordre:
Définition: Soit une relation R sur E. On dit que R est une relation
d’ordre si R est une relation réflexive, antisymétrique et transitive.
Exemples:
• La relation d’ordre la plus commune: la relation ‘supérieure ou égale’
(resp. ‘inférieur ou égal’) sur l’ensemble R des nombres réels. Cette
relation se note ≥ (resp. ≤).
Exemple: Soit l’ensemble A= { -1, 1, 2,3,4} et R la relation ≤.
• R Réflexive: oui car ∀x ∈ E, x R x ;
• R symétrique: non car si ∀(x, y) ∈, x R y ⇒ y R x ;
• R antisymétrique: oui car si ∀(x, y) ∈ E2, x R y et y R x ⇒ x = y ;
• R transitive: oui car si ∀(x, y, z) ∈ E3, x R y et y R z ⇒ x R z.
•
• La relation ‘n divise m’ est une relation d’ordre sur N.
Exercice:
Étudiez ces propriétés pour les exemples des sections 3.1 et 3.2
MATH1 - L1- S1
• La relation ’<’ sur N n’est pas d’ordre (pas réflexive).
25
3.
Relations: d’ordre et d’équivalence
5) Relations particulières (suite)
B. Relation d’équivalence:
Définition: Soit une relation R sur E. On dit que R est une relation
d’équivalence, si R est réflexive, symétrique et transitive.
MATH1 - L1- S1
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A. Relation versus Fonction:
Une relation met en couples les éléments de deux ensembles E et F si
ces deux éléments sont liés par une loi donnée, sans conditions.
Définition: Une fonction de E vers F est un cas particulier de relation,
telle que chaque élément de E possède au plus une image.
Exemples:
• La relation de l’exemple 2 de la section 3.1 précédente est une
fonction.
• La relation de l’exemple 1 n’en est pas une car l’élément C de E a deux
images dans F.
Notations:
f : E → F veut dire que f est une fonction, E est son ensemble de départ
et F son ensemble d’arrivée.
y= f(x) veut dire que y est l’image de x par f , x E (ensemble de
départ de f ) et y  F (ensemble d’arrivée de f ).
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4. Applications
Exercice: Dire si les relations suivantes sont une relation, fonction ou
application:
2) Application
y: R R telle que x  y  1, (y=y(x)); u: R [-1, 1] tq u(x)= cos x.
Définitions: Une application est une relation, telle que:
chaque élément de E possède exactement une image.
Une application est un cas particulier de fonctions.
Pour une fonction f : E → F , si E = D f , alors f est une application.
Exemples:
• La relation de l’exemple 2 de la section précédente n’est pas une
application car par exemple, l’élément 1 de E n’a pas d’image.
• La relation de l’exemple 1 n’en est pas une car l’élément C de E a deux
images dans F: sections 4 et 5.
• f : R  R , x  x 2 est une application.
3) Propriétés des Applications
f: R  R , x   x 2 ; g: R  R , x  x ; h: R   R , x  Log (x),
2
MATH1 - L1- S1
28
4. Applications
B. Domaine de définition d’une fonction
Le domaine de définition d’une fonction f : E → F est le sous-ensemble
D f de E ne contenant que les éléments qui ont une image.
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4. Applications
1) Fonction
Deux éléments sont équivalents s’ils sont liés par une relation
d’équivalence.
Exemples:
• L'égalité sur tout ensemble quelconque de nombres est une relation
d'équivalence.
• Le parallélisme sur un ensemble de droites (dans un plan) est une
relation d'équivalence.
• La relation ’≤’ sur N n’est pas d’équivalence (réflexive et transitive mais
pas symétrique).
• La relation ‘xy≠0’ sur N, n’est pas d’équivalence sur N (symétrique et
transitive mais pas réflexive).
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Soit E un ensemble. La relation ‘A B’ est une relation d’ordre sur
les parties d’un ensemble E (ou P(E)).
• La relation ‘AB’ n’est pas une relation d’ordre sur les parties d’un
ensemble E (ou P(E)) (pas réflexive).
Qu’en est-il alors de la relation C définie par < dans A?
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Relations: d’ordre et d’équivalence
5) Relations particulières
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Mise en situation:
Prenons l’exemple classique d'une station de vacances où un
groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de
répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être
représentée par une application de l'ensemble des touristes, X,
vers l'ensemble des chambres, Y (à chaque touriste est associée
une chambre):
R: X  Y
t c
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4.
3)
Applications
4. Applications
3)
Propriétés des Applications (suite)
Propriétés des Applications (suite)
On visualise:
On définit en mots,
A. Injectivité
Une fonction f de E vers F est injective si et seulement si tout
élément de F possède au plus un antécédent dans E.
B. Surjectivité
Une fonction f de E vers F est surjective si et seulement si tout
élément de F possède au moins un antécédent dans E.
C. Bijectivité
Une fonction f de E vers F est bijective si et seulement si tout
élément de F possède exactement un antécédent dans E (ce
qui équivaut à dire que f est à la fois injective et surjective).
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4.
3)
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Applications
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3) Propriétés des Applications (suite)
Propriétés des Applications (suite)
On s’exerce:
Trouvez si les fonctions ou applications suivantes sont
injectives, surjectives ou bijectives. Faites les corrections
nécessaires pour que la fonction ait l’une des propriétés:
On formalise:
A. Injectivité
Une fonction f de E vers F est injective si et seulement si:
x1 , x2  E  E , f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2
B. Surjectivité
Une fonction f de E vers F est surjective si et seulement si:
y  F , x  E tq y  f ( x).
• f : ℝ → ℝ, f(x) = x - 1,
C. Bijectivité
Une fonction f de E vers F est bijective si et seulement si:
y  F , ! x  E tq y  f ( x).
• u : ℝ → ℝ, u(x)= 3 x ,
x 1
• v : ℝ → ℝ, v(x)= x .
• g : ℝ → ℝ, g(x) = x2 ,
• h : ℝ → ℝ, h(x)= Log x,
~~~ Fin du Chapitre 1 ~~~
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