TD no1 : Énergies - Université Paris Diderot

Travaux Dirigés 2016–17
PACES – UE 3 – Physique
TD no1 : Énergies
Dans tous les exercices « exprimer » signifie donner l’expression littérale et « calculer » demande l’expression
littérale puis l’application numérique.
Données utiles pour les exercices
— Accélération de la pesanteur : g = 9.81 m.s−2
— 1 calorie = 4.19 J
— constante de la gravitation G = 6.67 ×10−11 m3 kg−1 s−2
1
Escalier roulant
Un escalier roulant est conçu pour élever N = 20 personnes (de poids moyen m = 60 kg) par minute entre
deux étages. La différence d’altitude vaut h = 5 m. Son moteur électrique a un rendement η = 95%.
1. Calculer la puissance électrique P minimale requise.
2
Jogging
En jogging, vous dépensez une puissance métabolique d’environ Π = 200 W pour vous maintenir à la vitesse
constante v = 5 km/h horizontale. La force de frottement contre l’air s’exprime selon F = 12 ρAv 2 où la
masse volumique de l’air vaut ρ = 1.3 kg m−3 et votre surface de frottement à l’air vaut A = 0.9 m2 . Votre
rendement pour transformer l’énergie métabolique en énergie mécanique vaut = 50 %.
1. Calculer la fraction f de puissance métabolique qui vous sert à vaincre la résistance de l’air.
2. Quelle fraction f 0 vous faudra-t-il fournir pour faire du vélo à v 0 = 20 km/h en terrain plat si la puissance
métabolique Π0 pour appuyer sur les pédales est équivalente à la précédente et la surface de frottement,
incluant le vélo, est réduite à A0 = 0.75A ?
3. Sachant qu’un gramme de graisse peut vous fournir une énergie ω = 9.3 kcal, quelle masse m de graisse
avez-vous brûlée après une demi-heure de jogging et une demi-heure de vélo ?
3
Boxe
Un boxeur frappe un sac de sable pendu en équilibre au plafond. Juste avant le choc, la vitesse
du poing est horizontale et vaut vp constante. La durée dt de la collision est très brève à
l’échelle des temps du problème. Le choc est supposé mou : à la fin de la collision, le sac, de
masse M = 40 kg, et le bras du boxeur, de masse m = 6 kg, ont la même vitesse. Juste après
la collision, le boxeur retient son bras de sorte que le sac, assimilable à un pendule simple de
longueur L = 1 m, oscille librement. On néglige les frottements de l’air.
1. Exprimer la vitesse initiale v0 du sac.
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2. Indiquer quelles forces agissant sur le sac, une fois lancé, travaillent.
3. Utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour trouver une relation entre l’angle maximum θmax des
oscillations du sac et sa vitesse initiale v0 .
4. Retrouver ce résultat en utilisant le fait que le poids du sac dérive d’une énergie potentielle. Pour exprimer
cette énergie, on prendra un axe Oz vertical, orienté vers le haut et avec une origine z = 0 à la position
au repos du sac avant l’impact du poing.
5. On mesure θmax = 10◦ . Calculer la vitesse du poing vp juste avant le choc.
4
Chute d’ascenseur
Une cabine d’ascenseur de masse m = 500 kg chute avec une vitesse initiale nullle d’une altitude z0 = 12 m
au-dessus du sol. Des ressorts amortisseurs sont disposés au sol. L’ensemble des amortisseurs est assimilé à un
seul ressort vertical, de raideur k, de hauteur à vide, au repos zR = 1 m, qui peut se comprimer au maximum
sur la moitié de sa longueur au repos. On néglige les frottements de l’air et la masse du ressort. On prendra
un axe Oz orienté vers le haut et une origine O située au sol, à la base du ressort.
1. Les forces pouvant agir sur la cabine dérivent-elles d’une énergie potentielle ? Si oui, les exprimer.
2. Faire le bilan des énergies
— au point A de départ de la chute libre,
— à l’instant où la cabine touche le haut du ressort (point B),
— au point C lorsque la cabine s’enfonce au maximum dans le ressort.
3. Exprimer la vitesse de chute libre v à l’altitude zR .
4. Calculer la raideur minimum du ressort sachant que les freins de secours ont déjà réduit la vitesse de la
cabine à 10% de la vitesse de chute libre à l’altitude zR .
5
Philae et la comète 67P/Churyumov–Gerasimenko
La petite sonde européenne Philae, de masse m = 100 kg, s’est posée le 12 novembre 2014 sur la comète 67P/Churyumov–Gerasimenko. Celle-ci a une forme de
cacahuète et Philae s’est posée sur l’un des deux lobes qu’on considérera comme
une boule sphérique de rayon R = 1.4 km, de masse M et de masse volumique
ρ = 0.4 g cm−3 . On orientera l’espace depuis le centre du lobe sphérique et radialement vers l’extérieur. Pour l’approche finale on néglige l’attraction gravitationnelle
de l’autre lobe de la comète (contrairement aux ingénieurs qui ont réellement fait
atterrir Philae !).
1. Exprimer l’énergie potentielle de Philae en fonction de sa distance r du centre du lobe. On conviendra de
prendre une énergie potentielle nulle à l’infini.
2. Calculer la vitesse minimum ve que doit avoir Philae pour pouvoir redécoller et s’évader du lobe de la
comète. Commenter.
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