amplificateur opérationnel - Math Plp

I.U.F.M. de Créteil
Mathématique
Le modèle de l'amplicateur opérationnel.
Mythe ou réalité, l'amplicateur opérationnel existe-t-il ?
Objectif.
L'objectif de ce dossier est de montrer comment on adapte un modèle mathématique à un objet technologique.
Il n'est absolument pas question ici de faire l'étude de l'amplicateur opérationnel, nous laissons à nos collègues techniciens
le dicile travail d'expliquer comment on crée un objet technologique ajusté à un modèle mathématique.
Après un aperçu historique rappelant pourquoi et comment a été inventé le concept d'amplicateur opérationnel et un rappel
indispensable sur la loi au noeud de Kirchho nous présentons les trois modèles retenus, réel, imaginaire et diérentiel
sachant que :
• Le modèle réel suppose implicitement des tensions continues stabilisées ou des composants annexes exclusivement résistifs.
• Le modèle imaginaire opère dans l'espace ane des tensions périodiques de même pulsation ω et suppose un régime stabilisé.
• Le modèle diérentiel permet de prendre en compte des signaux non sinusoïdaux ou des régimes transitoires.
La similitude des résultats obtenus en utilisant les deux derniers modèles est soulignée.
L'ensemble se veut progressif de façon à pouvoir servir de base à des prestations de niveaux très diérents.
La brève présentation du mode saturé dans les paragraphes I-4 et I-5 n'est là que pour familiariser le lecteur avec le composant
et l'inciter à tenter des manipulations pratiques qui lui permettront de mesurer les diérences entre un objet technologique et
son modèle mathématique.
Attention !
Il est hors de question d'appliquer directement les modèles étudiés à une réalisation pratique, notre amplicateur opérationnel
parfait n'existe pas, ou pas encore, dans la technologie actuelle.
I-1. Calculs ou calcul.
Dès l'origine des temps, l'homme a essayé de faire faire son travail, tant manuel qu'intellectuel par des machines, le domaine
des mathématiques appliquées n'échappe pas à la règle.
Dans cette quête on distingue deux principes fondamentataux : le calcul analogique et le calcul discret ou digital.
Dans le premier on projette sur un phénomène physique continu les résultats mesurés sur un autre phénomène qui suit les
même lois, dans le second on utilise des représentations codées, puis chirées de diverses unités physiques ou économiques
essentiellement discrètes.
Un exemple de calcul analogique élémentaire est la mesure du temps à l'aide d'une clepsydre ou d'une bougie qui se consume.
La base du calcul arithmétique est la matérialisation des entiers par des petits cailloux, les calculs pour régler des
transactions commerciales.
Le calcul symbolique est actuellement un des derniers avatars de cette digitalisation qui remplace une proposition logique
par un code chiré.
Pour le mathématicien, la diérence fondamentale est que le calcul digital, souvent appelé calcul numérique, travaille dans un
ensemble ni de codes, ensemble assimilé à une partie de Z ou de N, alors que le calcul analogique opère dans des ensembles
continus comme R, C ou un ensemble de fonctions de C dans C.
Considérons ainsi l'exemple classique du calcul de la section d'une aile d'avion :
Dans un calculateur digital les paramètres d'entrée son tapés sous forme numérique et le résultat est une famille nie de
points que l'on relie par des segments de droites ou des courbes de lissage.
Nous n'en dirons pas plus sur le calcul digital qui sort de cet exposé.
Un calculateur analogique consiste en un vaste circuit où sont enchées des fonctions.
Une palette de boutons permet de xer les paramètres d'entrée et un traceur ache, en temps réel, le résultat obtenu.
Au laboratoire, on réalise facilement un moyenneur mécanique avec deux ressorts parfaitement identiques :
0
5
10
15
Calcul analogique, page 2/28 - 7 mai 2009
I-2. Historique de l'amplicateur opérationnel.
Après avoir utilisé les phénomènes physiques les plus divers, le calcul automatique s'est récemment recentré sur l'électronique
qui présente l'avantage de pouvoir concentrer à peu de frais une large palette des fonctions les plus diverses.
Dans un calculateurs électronique il y a les composants passifs qui imposent leur loi et un composant actif privilégié, l'amplicateur opérationnel qui assure la fourniture de l'énergie nécessaire et les adaptations d'impédence indispensables.
Le terme d'amplicateur opérationnel est dû à John R. Ragazzini en 1947 ( Source Wikipedia ) alors que ces composants
étaient élaborés avec des tubes à vide.
On considère généralement que c'est le constructeur Fairchild qui popularise la notion d'amplicateur opérationnel avec son
µA702 en 1963, suivi de près par le µA709 en 1965 et l'incontournable µA741 en 1968 ( source Wikipedia ).
Le concept d'amplicateur opérationnel est maintenant stabilisé pour quelques décennies.
I-3. Principe d'un amplicateur opérationnel.
Un amplicateur opérationnel se compose essentiellement d'une paire à longue queue T3 , T4 , chargée par un miroir de
courant T1 , T2 .
Même si, pratiquement, cet ensemble minimal est largement étoé pour augmenter le gain et tenter de corriger toutes les
dérives possibles, on peut retenir ce modèle comme adapté à notre développement.
+Vcc
+Vcc
T1
T2
Out
I−
I+
I−
I+
T3
T4
−
Out
+
−Vee
−Vee
A droite, le schéma traditionnel d'un amplicateur opérationnel.
Historique, page 3/28 - 7 mai 2009
I-4. Un composant courant.
Pour quelques centimes, il est possible de se procurer un bon amplicateur opérationnel µA741 ou mieux TL081.
Ce composant est disponible sous plusieurs boîtiers, mais le plus courant est encore le dip 8 en plastique présenté
ci-dessous, à gauche.
+Vcc
Offset
In −
1
8
2
7
4,7 kΩ
+ Vcc
3
6
In
Out
− Vee
5
Out C
+
B
y
4
−
4,7 kΩ
x
9V
In +
In
A
4,7 kΩ
V
4,7 kΩ
Offset
−Vee
Pour découvrir et prendre en main le circuit, nous vous proposons le montage de test de la gure de droite.
Une pile de neuf volts ou une alimentation régulée de douze volts, une petite diode au silicium ( e.g. 1N4148 ), un volmètre
et quatre résistances susent pour apprendre bien des choses que nous résumons dans le tableau suivant.
Les pointes de touche x et y peuvent être connectées à diérents points du circuit.
Entrée
Contact
x
Contact
y
Tension en sortie
(1)
VI+ < VI−
x↔A
y↔B
VO ' −Vee
(2)
VI− < VI+
x↔B
y↔A
VO ' +Vcc
(3)
VI− = VO
x↔C
y↔A
VO = V I+
(4)
VI− = VO
x↔C
y↔B
VO = V I+
(5)
VI− = VI+
x↔A
y↔A
imprévisible
Les lignes (1) et (2) correspondent au fonctionnement en comparateur ou régime saturé, alors que les lignes (3) et (4)
présentent un cas très particulier du régime linéaire, le montage suiveur.
En ligne (5), les deux entrées sont reliées entre elles mais le circuit n'est pas bouclé, les deux régimes saturés −Vee et +Vcc
sont donc équiprobables.
Un composant courant, page 4/28 - 7 mai 2009
I-5 Le trigger de Schmitt.
Pour enfoncer encore un peu le clou, il est possible de présenter le trigger de Schmitt, un montage simple qui met en évidence
le fonctionnement en mode saturé et l'inuence d'une boucle de réaction :
R1
u
+Vcc
R2
Oh
u
+Vcc
+Vcc
Oh
Th
In
−
0 ref
Out
V In
+
t
−Vee
+Vcc
u
V Out
Tl
Ol
0 ref
Ol
−Vee
−Vee
Tl
−Vee T h
Le montage est classique et son explication sort des limites xées à cet exposé.
II. Le modèle de l'amplicateur opérationnel.
Un amplicateur opérationnel est une application, f , de R2 \ {(x, y), x = y} dans R dénie par :





f (x, y) = +∞
x<y
f (x, y) = −∞
y<x
La fonction f n'est pas dénie sur la diagonale, {(x, y), x = y}, si l'environnement assure l'égalité Vi− = Vi+ , la valeur V o
peut être absolument quelconque.
Nous retrouvons ici le principe Shadok qui veut que si il n'y a pas de solution, il ne puisse pas y avoir de problème.
Les électroniciens disent que l'amplicateur opérationnel parfait est un amplicateur diérentiel à couplage continu dont
l'impédance d'entrée et le gain en boucle ouverte sont innis, mais ils n'ont jamais su le réaliser.
Notre démarche consiste ainsi à déterminer à quelles conditions sur la tension de sortie, Vo, les deux entrées de l'amplicateur
sont au même potentiel.
Il va de soi que cette condition relativement simple à mettre en oeuvre, n'est qu'une
en rien l'utilité pratique du montage ni sa stabilité de fonctionnement.
condition nécessaire qui ne présage
Le modèle de l'amplicateur opérationnel, page 5/28 - 7 mai 2009
III. La loi au noeud de Kirchho.
Le principe la somme des courants arrivant en un point est nulle se décline plus ou moins simplement sur trois modes
selon qu'on utilise le modèle réel ou le modèle imaginaire pour représenter une tension, ou que l'on veut traiter le problème
dans toute sa généralité.
III-1 Le modèle réel est adapté quand tous les dipôles utilisés sont des dipôles purement résistifs :
Si K est un noeud connecté à une famille de n points Ai , i ∈ [1..n] par des dipôles de conductance Yi , i ∈ [1..n], le
potentiel du noeud K est déni par l'expression barycentrique :
n
P
v(K) =
i=1
Yi v(Ai )
n
P
i=1
(1)
Yi
Comme exemple d'application, nous vous proposons un moyenneur à trois entrées :
+Vcc
R
A1
−
R
A2
K
R
Out
v(Out) = v(K) =
+
1
[v(A1 ) + v(A2 ) + v(A3 )]
3
A3
−Vee
L'analogie avec le moyenneur mécanique du paragraphe I-1 saute aux yeux.
Nous retrouvons le montage suiveur de l'amplicateur opérationnel vu dans l'exemple (3)-(4) du paragraphe I-4.
Rappelons que l'impédance d'entrée étant innie, le fait de mettre une résistance entre la sortie et l'entrée inverseuse ne
modie en rien le fonctionnement du système théorique.
Pratiquement, pour réaliser ce montage avec un circuit TL 081 , nous suggérons de prendre trois résistances identiques
de l'ordre de 10 kΩ et de relier la sortie et l'entrée inverseuse par une résistance de l'ordre de 3 , 3 kΩ de façon à équilibrer
les deux entrées.
La loi au noeud de Kirchho, page 6/28 - 7 mai 2009
III-2. Le modèle imaginaire est réservé au cas où toutes les tensions mises en cause sont des tensions sinusoïdales de même
pulsation.
Notons qu'il est possible de dépasser cette limitation en utilisant le développement de Fourier d'un signal non sinusoïdal et
en appliquant un théorème de superposition.
Si K est un noeud connecté à une famille de n points Ai , i ∈ [1..n] par des dipôles d'admittance Yi , i ∈ [1..n], le
potentiel du noeud K est déni par l'expression barycentrique :
n
P
v(K) =
i=1
Yi v(Ai )
n
P
i=1
(2)
Yi
Comme exemple d'application, nous vous proposons un petit ltre inverseur :
+Vcc
C
A1
R1
K
v(K) =
A2
R2
−
Out
R2 v(A1 ) + (R1 + R1 R2 C ω i) v(A2 )
R1 + R2 + R1 R2 C ω i
v(K) = 0 ⇐⇒ v(A2 ) =
−R2
v(A1 )
R1 + R1 R2 C ω i
+
⇐⇒ v(Out) =
0 ref
−Vee
R2 (R2 C ω i − 1)
v(In)
R1 (1 + R22 C 2 ω 2 )
Même si, pratiquement la présence de la résistance R2 est indispensable, le cas R2 = ∞ est intéressant, on a alors :
i
v(Out) =
v(In)
R1 C ω
Le signal de sortie est en quadrature avance sur le signal d'entrée bien que le circuit soit fondamentalement un intégrateur,
cela ne doit pas nous surprendre car l'amplicateur inverseur induit un déphasage de π .
Dans le cas où on supprime le condensateur, C = 0, on trouve un simple amplicateur inverseur :
−R2
v(In)
v(Out) =
R1
Le modèle imaginaire, page 7/28 - 7 mai 2009
III-3. Le modèle diérentiel.
Une étude exhaustive du sujet dépasserait largement l'ambition de cet exposé et nous nous limitons aux seuls composants
R-C parallèle et R-C série .
Plus compliquée que les deux modèles précédents la représentation diérentielle implique une modélisation explicite des dipôles
mis en jeu et le retour à la base de la loi au noeud de Kirchho, i.e. un bilan des intensités.
Nous considérons le dipôle < K.An > reliant le point An au noeud K et nous convenons de dénir le sens des intensités de
An vers K :
• Dipôle purement résistif de résistance Rn :
i(< An .K >) =
1
[v(An ) − v(K)]
Rn
• Dipôle R-C parallèle .
L'intensité traversant la résistance est donnée par la formule déjà vue :
iR (< An .K >) =
1
[v(An ) − v(K)]
Rn
Par contre, l'intensité traversant le condensateur fait intervenir explicitement le temps :
iC (< An .K >) = Cn
d(v(An ) − v(K))
dt
L'expression de l'intensité résultante est ainsi :
i(< An .K >) =
d(v(An ) − v(K))
1
[v(An ) − v(K)] + Cn
Rn
dt
Dans ces deux cas, l'écriture de la loi au noeud de Kirchho :
n
X
i(< Ak .K >) = 0
k=1
(3)
Débouche rapidement sur une équation diérentielle sur les potentiels.
Le modèle diérentiel, page 8/28 - 7 mai 2009
Comme exemple d'application, nous reprenons l'intégrateur inverseur déjà vu au paragraphe III-2.
Dès le début du travail, nous utilisons le fait que v(K) = 0 pour simplier les calculs :
A1
R1
K
n
X
+Vcc
C
k=1
A2
R2
i(< Ak .K >) = 0 ⇐⇒
−
Out
1
1
dv(A2 )
v(A1 ) +
v(A2 ) + C
=0
R1
R2
dt
⇐⇒ C
1
dv(A2 )
−1
+
v(A2 ) =
v(A1 )
dt
R2
R1
⇐⇒ C
dvOut (t)
1
−1
+
vOut (t) =
vIn (t)
dt
R2
R1
+
0 ref
−Vee
Dans le cas où la valeur de C est nulle, nous retrouvons immédiatement le cas particulier vu au paragraphe III-2 :
R2
v(In)
R1
Si on supprime la résistance R2 , l'équation diérentielle se ramène à une simple intégration :
−1 Z t
vOut (t) =
vIn (x) dx + vOut (0 )
R1 C 0
C'est cette propriété qui dénit le montage comme un montage intégrateur.
v(Out) = −
Soulignons encore une fois que, concrètement, ce montage ne peut pas fonctionner car, dans la réalité technologique, il reste
toujours une petite composante continue, un petit décalage qui, une fois intégré, amène la tension de sortie à atteindre une
des deux tensions d'alimentation, ce qui bloque le système.
Pour le cas général, nous nous limitons à une tension d'entrée sinusoïdale : vIn (t) = V ei ω t , ce qui nous donne l'équation
diérentielle :
dvOut (t)
C R 1 R2
+ R1 vOut (t) = −R2 V ei ω t
(Ed)
dt
L'équation diérentielle (Ed) est une équation diérentielle linéaire du premier ordre à coecients constants.
Nous cherchons les solutions de (Ed) dans l'ensemble des fonctions complexes de la variable réelle.
Intégrateur, page 9/28 - 7 mai 2009
Résolution de l'équation sans second membre.
−b
La solution générale de l'équation a y 0 + b y = 0 a 6= 0 étant y = k e a t , nous obtenons ici :
−t
v1 (t) = k e R2 C
k ∈ C
Recherche d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
Le second membre est une fonction exponentielle ; −R2 vIn (t) = −R2 V ei ω t , nous cherchons donc une solution de la
même forme : t 7−→ y(t) = ζ ei ω t
ζ ∈ C.
Nous reportons y(t) = ζ ei ω t et y 0 (t) = ζ ω i ei ω t dans l'éqation (Ed) :
ζ C R1 R2 ω i ei ω t + ζ R1 ei ω t = −R2 V ei ω t
cette identité est vériée si et seulement si nous avons :
ζ C R1 R2 i ω + ζ R1 = −R2 V
Nous en tirons :
−R2 V
C R 1 R2 i ω + R1
La solution particulière obtenue est donc de la forme :
−R2 V
−R2
t 7−→ vOut (t) =
ei ω t =
vIn (t)
R1 + C R 1 R2 ω i
R1 + C R 1 R2 ω i
On peut rapprocher cette formule du résultat obtenu avec le modèle imaginaire en régime sinusoïdal.
ζ=
La solution générale de l'équation complète est ainsi :
−t
R2 (R2 C ω i − 1) i ω t
R
vOut (t) = V
e + k e 2C
R1 (1 + R22 C 2 ω 2 )
La constante k dépend des conditions initiales et n'intervient que pendant le régime transitoire :
−t
0 < R2 C =⇒ lim k e R2 C = 0
t→+∞
En régime permanent, nous retrouvons le résultat du paragraphe III-2.
Equation diérentielle, page 10/28 - 7 mai 2009
• Dipôle R-C série :
An
A’n
Rn
K
C
.
Si on note A0n la jonction entre le condensateur et la résistance, l'intensité traversant le dipôle est donnée par les deux
formules déjà vues :
1
d(v(A0n ) − v(K))
0
i(< An .K >) =
[v(An ) − v(An )] = Cn
Rn
dt
0
On peut aussi considérer la loi au noeud intermédiaire An pour obtenir le même résultat.
Nous développons ce cas sur un exemple simple, le diérentiateur avec une source sinusoïdale, vIn (t) = V ei ω t ,.
R2
+Vcc
v(K) = 0
A2
A1
A’1
R1
K
−
Out
C
i(<
A01 .K
i(<
A1 .A01
dv(A01 )
1
>) + i(< A2 .K >) = 0 ⇐⇒ C
+
v(A2 ) = 0
dt
R2
+
0 ref
>) = i(<
A01 .K
dv(A01 )
v(A1 ) − v(A01 )
−C
>) ⇐⇒
=0
R1
dt
−Vee
1
dv(A01 ) v(A01 )
=
V ei ω t , nous donne rapidement :
L'intégration de la deuxième équation diérentielle : C
+
dt
R1
R1
−t
1 − C R1 ω i i ω t
R1 C
vA01 (t) = V
e
+
k
e
1 + C 2 R12 ω 2
Nous reportons ce résultat dans la première équation ce qui nous donne :
−t
(C R1 ω i − 1) R2 C ω i i ω t
k
R1 C
vA2 (t) = V
e
−
e
1 + C 2 R12 ω 2
R1 C
Dans le cas particulier où R1 = 0, le résultat se simplie radicalement en vA2 (t) = V R2 C ω i, à condition que la constante
k soit nulle !
La pratique conrme que, pour R1 = 0, un tel système est fondamentalement
instable.
Diérentiateur, page 11/28 - 7 mai 2009
IV. Montages à noeuds ottants.
Jusqu'à présent, et à l'exception du montage suiveur aperçu dans les paragraphes I-4 et III-1, le niveau de l'entrée non
inverseuse de l'amplicateur opérationnel a toujours été xe et considéré comme la référence de tension, ce qui simpliait
grandement les calculs.
IV-1. Le montage potentiométrique.
Le montage potentiométrique, corollaire de la loi au noeud de Kirchho, est un pré requis indispensable pour ce qui suit, nous
rappelons rapidement cette formule magique :
A2
R2
K
R1
R
Cette expression se généralise aux impédances imaginaires en :
v(K) =
0 ref
A
R1
v(K) =
v(A2 )
R1 + R2
Z1
v(A2 )
Z1 + Z2
K
C
0 ref
Sur le montage particulier de la gure de droite, que nous alimentons avec une tension sinusoïdale de pulsation ω ,
vA (t) = VA sin(ω t)
nous obtenons :
1−RC ωi
v(A)
1 + R2 C 2 ω 2
1
= √
VA sin(ω t + ϕ)
1 + R2 C 2 ω 2
v(K) =
avec : ϕ = −Arctan(R C ω)
La tension v(K) est inférieure à la tension v(A) et en déphasage retard par rapport à cette tension.
Montage potentiométrique, page 12/28 - 7 mai 2009
Nous considérons maintenant des montages où les deux entrées de l'amplicateur opérationnel, les deux noeuds K1 et K2 ,
sont ottants.
IV-2. Amplicateur non inverseur.
On remarque que, contrairement à celui de l'amplicateur inverseur, le gain de l'amplicateur non inverseur guré ci-dessous
à gauche, est limité à l'intervalle [1, +∞[.
+Vcc
R2
A2
K
A’
−
v(Out) =
R2
R1 + R2
v(A0 )
R1
A2
K
Out
+
v(Out) =
R1
+Vcc
R10
R1 + R2
× 0
× v(A02 )
R1
R1 + R20
A’2
R’2
K’
R’1
−Vee
0 ref
−
Out
+
R1
−Vee
0 ref
Il est possible de pallier ce défaut en rajoutant deux résistances comme on le voit à droite.
IV-3. Sommateur.
Même si ce ne paraît pas évident a priori, la façon la plus simple de faire une somme est encore de multiplier la moyenne par
le nombre des termes de la somme :
R2
+Vcc
R1 + R2 v(A01 ) + v(A02 )
v(Out) =
×
R1
2
A2
A’1
R’
A’2
R’
K
−
Out
En prenant R1 = R2 , cela donne tout simplement :
+
K’
R1
−Vee
v(Out) = v(A01 ) + v(A02 )
0 ref
Sommateur, page 13/28 - 7 mai 2009
IV-4. Soustracteur.
La loi au noeud K s'écrit comme nous l'avons vu au paragraphe III-1, formule (1) :
R2 v(A01 ) + R1 v(A2 )
v(K) =
R1 + R2
La loi au noeud K0 s'écrit de même :
R10
v(K ) = 0
v(A02 )
0
R1 + R2
Notons que nous retrouvons la formule du potentiomètre.
0
La condition d'équilibre est donc :


R1 + R2  R10
R1
0
v(K) = v(K ) ⇐⇒ v(A2 ) =
×
v(A02 ) −
v(A01 )
0
0
R1
R1 + R2
R1 + R2
Pour obtenir seulement un soustracteur, on simplie radicalement les formules en prenant les quatre résistances identiques :
R2
+Vcc
A2
A’1
R1
K
A’2
R’2
K’
−
Out
R1 = R2 = R10 = R20 = R
+
R’1
−Vee
v(Out) = v(A02 ) − v(A01 )
0 ref
Mise en oeuvre.
Les montages sommateurs et soustracteurs sont en général des montages qui fonctionnent bien.
Un ou deux générateurs basse fréquence, un oscilloscope et un amplicateur opérationnel peuvent montrer bien des choses.
Notons seulement deux points : utiliser des résistances de l'ordre de 10 KΩ et raccourcir au maximum les connections !
Soustracteur, page 14/28 - 7 mai 2009
IV-5. Un gyrateur.
Avec un gyrateur, il est possible de simuler une inductance sans utiliser de bobine.
+Vcc
+Vcc
+Vcc
R1
A
i
i
K
A
−
C
OA 1
+
R1
−
OA 2
+
K’
R1
i
C
A’
+
R2
R2
0 ref
K’
−
i2
L
−Vee
K
A
−Vee
−Vee
0 ref
0 ref
Sur la gure de gauche, l'amplicateur OA1 monté en suiveur ne sert qu'à adapter l'impédance d'entrée du circuit (C, R2 ) :
v(A0 ) = v(A)
(4)
A l'équilibre, l'amplicateur actif OA2 assure que les deux noeuds K et K0 sont au même potentiel :
v(K0 ) = v(K)
Nous notons q la charge du condensateur C , nous avons ainsi : v(A0 ) − v(K0 ) =
(5)
q
et v(A0 ) − v(K0 ) = R1 i.
C
Avec les égalités (4) et (5), cela nous donne : q = C R1 i.
dq
di
Dans la branche (C, R2 ), nous avons v(K0 ) = R2 , soit, en utilisant la relation précédente, v(K0 ) = C R2 .
dt
dt
L'intensité, i, est solution de l'équation diérentielle caractéristique d'une inductance L = C R1 R2 :
di
+ R1 i(t)
dt
Notons que, souvent on omet l'amplicateur OA1 ( gure de droite ) en négligeant tout simplement le courant i2 .
vA (t) = C R1 R2
(6)
Nous ne retenons pas cette option qui donne un modèle mathématique moins propre.
Gyrateur, page 15/28 - 7 mai 2009
V. Filtres et oscillateurs.
En bouclant l'entrée et la sortie d'un amplicateur opérationnel sur un ltre assez pointu, on obtient un oscillateur.
Notre propos est ici de montrer comment, avec une calculatrice, on calcule un ltre et l'oscillateur associé.
Notre première tâche est la dénition d'une boîte à outils de base qui dénit quelques fonctions simples :
V-1. Quelques fonctions élémentaires.
1
Cωi
zcon()
(C, ω) 7−→
zself ()
(L, ω) 7−→ L ω i
- impédance d'un condensateur.
- impédance d'une inductance.
z1 z2
- résultante d'impédances en parallèle.
z1 + z2
z1
potar()
(z1 , z2 , u) 7−→
u
- potentiomètre diviseur de tension.
z1 + z2
z2 u1 + z1 u2
noeud() (z1 , u1 , z2 , u2 ) 7−→
- noeud de Kirchho, barycentre de deux sources.
z1 + z2
Pour homogénéiser l'ensemble nous avons rajouté la fonction serie() dont l'intérêt n'est pas évident.
paral()
(z1 , z2 ) 7−→
Au passage, nous vérions l'identité : potar(z1 , z2 , u) = noeud(z1 , 0, z2 , u).
Calculatrice et ltre, page 16/28 - 7 mai 2009
V-2. Filtre en pont de Wien.
Le pont de Wien est un simple montage potentiométrique, comme nous le voyons ci-dessous :
R1
C1
A
K
R2
vK
− C1 R2 ω i
=
vA
C1 .(C2 R2 ω − i).ω.R1 − (C1 R2 ω + C2 R2 ω − i).i
A la résonnance, cela donne :
C2
0 ref
vK
C 1 R2
1
=
pour ω 0 = √
.
vA
C1 .R2 + (C1 + C2 ).R2
R1 C 1 R2 C 2
Pour la suite, nous nous contentons d'un montage simplié dans lequel les deux résistances R1 et R2 d'une part, les deux
capacités, C1 et C2 d'autre part sont égales, ce qui nous permet de calculer facilement la tension et le déphasage du point K
par rapport au point A pris comme unité et comme origine des phases :
f ()

g()
- amplitude du signal au point K pour C = 1F, R = 1 Ω, vA = 1 V.
ω 7−→ |v(K)|
ω 7−→ Arg


v(K) 
v(A)
- déphasage du signal au point K pour C = 1F, R = 1 Ω.
Pont de Wien, page 17/28 - 7 mai 2009
Une représentation graphique illustre ces résultats.
Contrairement aux habitudes des techniciens, nous utilisons des échelles linéaires pour ω , pour le gain en tension et pour le
déphasage en radians. Pour le gain nous utilisons une échelle de trois unités graphiques pour un gain unitaire.
V-3. Oscillateur à pont de Wien.
Nous complétons le pont de Wien, A, K, par un diviseur potentiométrique A, K .
Une étude rapide montre que les noeuds K et K0 sont au même potentiel si et
seulement si on vérie :
1
R20
=
ω = ω 0 et 0
0
R1 + R2
3
Quand ces deux conditions sont vériées, l'amplicateur opérationnel est en régime
indéterminé.
Un petit décalage aléatoire peut lancer l'oscillation du système.
+Vcc
R’1
0
K’
−
Out
A
+
R’2
K
C
C
R
R
−Vee
0 ref
R20
1
0 le système bouclé peut s'auto entretenir.
Pour 0
=
,
nous
avons
v
=
v
K
K
R1 + R20
3
Pratiquement, on remplace le diviseur (R1 , R2 ) par un système non linéaire qui permet le démarrage tout en limitant le gain
en fonctionnement.
Pont de Wien, page 18/28 - 7 mai 2009
Une autre approche du problème utilise le modèle diérentiel vu au paragraphe III-3.
• Le dipôle R-C parallèle déni par (C2 , R2 ) donne les identités :
i (K)
C2
K
0 ref
R2
1
dv(K)
v(K) + C2
= i(K)
R2
dt
(Ed-1)
1 dv(K)
d2 v(K) di(K)
+ C2
=
R2 dt
dt2
dt
(Ed-1')
1
di(K) dV (A) dV (K)
i(K) + R1
=
−
C1
dt
dt
dt
(Ed-2)
• Le dipôle R-C série déni par (C1 , R1 ) donne l'identité :
i (K)
A
R1
K
C1
• L'équilibre du pont donne la dernière relation : v(K) = v(K 0 ) ⇐⇒ R10 v(K) = R20 (V (A) − V (K)).
(Eq-3)
En combinant les identités (Ed-1), (Ed-1'), (Ed-2) et (Eq-3), nous obtenons l'équation diérentielle :


d2 v(K)  C2 R1 R10  dv(K)
1
R1 C2
+
−
v(K) = 0
+
+
dt2
C1 R2 R20
dt
C1 C2
Il est hors de question de discuter ici cette équation diérentielle dont les solutions comportent en général une composante
exponentielle ( cf. l'étude du paragraphe VII-1 ).
C2 R1 R10
+
−
= 0, la solution est une fonction sinusoïdale de pulsation :
Si nous nous limitons au cas où
C1 R2 R20
1
ω0 = √
C1 C2 R1 R2
En particulier, quand les deux résistances R1 et R2 d'une part, les deux capacités, C1 et C2 d'autre part sont égales, nous
retrouvons le résultat de l'étude précédente :
ω0 =
1
R10
= 2.
pour
RC
R20
Pont de Wien, page 19/28 - 7 mai 2009
VI. Filtre actif passe bas de Sallen et Key.
VI-1 Modèle imaginaire.
Avant de foncer tête baissée dans les calculs, prenons le temps d'examiner le problème.
• Le potentiel de sortie gure implicitement en deux points diérents K et K0 , les calculer en fonction du potentiel d'entrée
v(A1 ) va conduire à un système de deux équations qu'il faudra résoudre.
L'application v(A1 ) 7−→ v(A3 ) est, a priori, une application ane de C dans C
Nous proposons de calculer,
facile à inverser.
formellement, la tension d'entrée v(A1 ) en fonction de la tension v(A3 ) = v(K) = v(K0 ).
• Dans le cas où le noeud de Kirchho n'est connecté qu'à deux points, il est facile d'inverser la formule pour calculer,
formellement, la tension d'un des points extrêmes en fonction de la tension du noeud et de celle de l'autre point extrême.
Avec les notations de la formule (2) du paragraphe III-2 ( A1 ← Y1 → K ← Y2 → A2 ), cela donne ( dueon_y ) :
v(A1 ) =
(Y1 + Y2 ) v(K) − Y2 v(A2 )
Y2
= v(K) +
(v(K) − v(A2 ))
Y1
Y1
Traduit en fonction des impédances, cela donne :
vA1 =
(z1 + z2 ) v(K) − z2 v(A2 )
z2
+Vcc
(7)
Nous utilisons cette formule pour calculer v(A2 ) en fonction
de la tension v(K) = v(A3 ) :
vA2 = (1 + R2 C2 ω i) vA3
K’
C1
In
A1
R2
R1
K
R1 (1 + R2 C1 ω i)
(v(A2 ) − v(A3 ))
R2
Out
A3
+
A2
Nous reprenons la même formule (7) pour déterminer v(A1 )
en fonction de v(A2 ) et de v(K0 ) = v(A3 ) :
v(A1 ) = v(A2 ) +
−
C2
0 ref
−Vee
Filtre Sallen et Key, page 20/28 - 7 mai 2009
Les deux gures ci-dessous présentent l'essentiel des fonctions dénies plus haut.
dueony ()
dueon()
(y1 + y2 ) u1 − y2 u2
y1
(z1 + z2 ) u1 − z1 u2
(z1 , u1 , z2 , u2 ) 7−→
z2
(y1 , u1 , y2 , u2 ) 7−→
- expression en fonction des conductances.
- noeud de Kirchho, formule (7).
Pour dénir la fonction h, nous dénissons les fonctions auxiliaires va1 et va2 :
(r1 , r2 , c1 , c2 , v2 , v3 , ω) 7−→ v2 +
r1 (1 + r2 c1 ω i)
(v2 − v3 )
r2
(r2 , c2 , v3 , ω) 7−→ (1 + r2 c2 ω i) v3
Soit, sur la calculatrice :
Dene va_1 (r_1, r_2, c_1, c_2, v_2, v_3, ω ) = dueon(r_1, v_2, paral(r_2,zcon(c_1, ω )),v_3)
Dene va_2 (r_2, c_2, v_3, ω ) = dueon(r_2, v_3, zcon(c_2, ω ),0)
On dénit la fonction h dans la foulée :
Dene h_1 (r_1, r_2, c_1, c_2, ω ) = v_3 / va_1(r_1, r_2, c_1, c_2, va_2 (r_2, c_2, v_3, ω ), v_3, ω )
Filtre Sallen et Key, page 21/28 - 7 mai 2009
Contrairement à sa dénition, l'expression de la fonction h est relativement simple, comme nous le découvrons ci-dessous.
−1
h(r1 , r2 , c1 , c2 , ω) =
2
c1 c2 r1 r2 ω − c2 (r1 + r2 ) ω i − 1
Dans la suite du problème, nous prenons r1 = r2 = r et c1 = c2 = c, ce qui simplie encore cette expression.
1
h(r, r, c, c, ω) =
(c r ω i + 1)2
Comme pour le pont de Wien vu au paragraphe V-2, nous dénisssons les fonctions f = |h| et g = Arg(h) pour obtenir une
représentation graphique de la réponse du ltre.
Filtre Sallen et Key, page 22/28 - 7 mai 2009
La gure précédente montre l'évolution du gain et du déphasage en fonction de la pulsation, ω , une représentation spatiale
de la fonction complexe h peut être plus explicite comme nous le voyons ci-dessous :
x
y
1
1
ϕ
0
ω0
ω
Quand ω varie, le vecteur d'axe h(ω) = x(ω) + i y(ω) tourne autour de l'axe (O, ω) d'un angle ϕ.
−i
1
, obtenue pour ω0 =
.
Après h(0) = 1, nous remarquons la valeur h(ω0 ) =
2
RC
rad dB
0.01
1
0.1
10
ωc ω0
0
ω
−1
−2
G
ϕ
−3 dB
−3
−π
Dans la tradition classique, on utilise une échelle logarithmique pour reporter les valeurs de la fréquence ou de la pulsation et
on exprime le gain, G, en décibel.
Filtre Sallen et Key, page 23/28 - 7 mai 2009
VI-2. Modèle diérentiel.
+Vcc
Une analyse élémentaire du schéma nous permet d'écrire
les cinq identités suivantes :
d(v(A2 ) − v(K0 ))
i1 = C 1
dt
v(A2 ) − v(K) = R2 i2
dv(K)
i2 = C 2
dt
v(A1 ) − v(A2 ) = R1 (i1 + i2 )
v(K0 ) = v(K)
i1
(8)
(9)
(10)
K’
C1
In
A1
R2
R1
i1 + i 2
A2
K
Out
A3
+
i2
C2
(11)
(12)
−
0 ref
−Vee
Après avoir dérivé l'identité (9), nous éliminons les variables intermédiaires pour obtenir l'équation diérentielle :
d2 vK (t)
dvK (t)
+ vK (t) = vA1 (t)
R1 R2 C 1 C 2
+
(R
+
R
)
C
1
2
2
dt2
dt
Equation que nous réécrivons sous la forme globale :
d2 vOut (t)
dvOut (t)
R1 R2 C1 C2
+
(R
+
R
)
C
+ vOut (t) = vIn (t)
1
2
2
dt2
dt
Nous reconnaissons l'équation diérentielle caractéristique d'un circuit R - L - C série :
Comme dans le gyrateur vu au paragraphe IV-5, l'amplicateur opérationnel
In R 1 + R2
crée un inductance ctive de valeur L = R1 R2 C1 ce qui nous donne :
d2 vOut (t)
dvOut (t)
L C2
+
(R
+
R
)
C
+ vOut (t) = vIn (t)
1
2
2
dt2
dt
On pourrait reprendre le modèle imaginaire pour vérier que les deux montages
sont bien équivalents.
L = R 1 R 2 C1
(13)
L
Out
C2
0 ref
Filtre Sallen et Key, page 24/28 - 7 mai 2009
VII. Création d'une résistance négative.
Des zones de résistance négatives apparaissent dans certains composants comme la diode tunnel, un simple amplicateur et
trois résistances permettent de réaliser facilement ce dipôle surprenant.
Soit i l'intensité qui parcourt la branche (A0 , K, A), on a :
R1
0
v(K) − v(A ) = R i
+Vcc
R2
Les points K et K0 sont au même potentiel, nous avons donc :
K’
v(K) − v(A)
v(K0 ) − v(A)
R1
=
=
v(A0 ) − v(K) v(A0 ) − v(K0 ) R2
Nous en tirons immédiatement :
A
v(K) − v(A)
R1
=
−R
i
v(A0 ) − v(K)
R2
−
+
K
Rn
Out
A’
R
L'ensemble du montage se comporte comme un dipôle résistif dont
0 ref
i
−Vee
R1
la résistance, Rn = −R
, est négative.
R2
La simplicité du résultat est particulièrement signicative si on prend R1 = R2 , puisqu'on obtient alors Rn = −R.
VII-1 Réalisation d'un oscillateur L-C.
Le circuit précédent dénit la résistance négative , Rn, présente entre le point K et
la masse de référence A.
K
Entre ces deux points K et A, nous connectons le circuit bouchon ρ, L, C ci-contre.
Nous notons Req la résistance équivalente aux deux résistances ρ et Rn en parallèle :
Req =
C
L ρ
ρ Rn
ρ + Rn
Il ne reste plus qu'à étudier les réactions du circuit bouchon Req , L, C.
Rn
A
0 ref
Résistance négative, page 25/28 - 7 mai 2009
Sans entrer dans les détails, en utilisant implicitement les notations habituelles, nous avons :
dvK (t)
diC (t)
d2 vK (t)
et donc
=C
.
dt
dt
dt2
diL (t)
2. Pour l'inductance L, vK (t) = L
.
dt
diReq (t)
dvK (t)
3. Pour la résistance Req , vK (t) = Req iReq (t) et donc
= Req
.
dt
dt
diC (t) diL (t) diReq (t)
4. Au noeud K, iC + iL + iReq = 0 et donc
+
+
= 0.
dt
dt
dt
Nous regroupons ces quatre conditions pour obtenir l'équation diérentielle :
1. Pour le condensateur C, iC (t) = C
d2 vK (t)
1 dvK (t) 1
C
+
+ vK (t) = 0
dt2
Req dt
L
v
u
(14)
v
u
u 1
u 1
1
−1
1
t
, ω=u
Pour
< Req , nous posons k =
−
et
ω
=
.
t
0
2
2
4C
2 C Req
L C 4 C Req
LC
La solution générale de l'équation diérentielle (14) s'écrit alors sous la forme traditionnelle :
vK (t) = A ek t sin(ω t + ϕ)
Trois cas sont envisageables :
1. ρ + Rn < 0 ou 0 < Req , le circuit est un circuit R, L, C classique, l'amortissement empêche toute oscillation entretenue.
2. ρ + Rn = 0, la résistance négative Rn compense parfaitement la résistance ρ, nous avons donc un oscillateur sinusoïdal
parfait de pulsation ω0 .
3. 0 < ρ + Rn ou Req < 0, la partie exponentielle est croissante, les oscillations s'amplient et devraient diverger.
Pratiquement, la tension de sortie de l'amplicateur est limitée aux bornes −Vee et +Vcc ce qui limite l'amplitude de
l'oscillation en déformant le signal qui n'est plus sinusoïdal.
Résistance négative, page 26/28 - 7 mai 2009
VII-2 Un exemple d'application.
Pour terminer le débat nous vous présentons une manipulation concrète
réalisée avec un résistance négative.
Ce montage est inspiré des capteurs magnétiques qui remplacent les pédales qui, au feu rouge, attendaient qu'on leur passe
dessus pour déclencher la mise au vert.
Le matériel utilisé devrait être disponible dans beaucoup d'établissements :
un amplicateur opérationnel
TL 081 de Texas Instruments
une bobine de 500 spires
MAE, sans noyau
un condensateur de 1 µF
une résistance R1 de 12 k Ω
une résistance R2 de 22 k Ω
une résistance R de 1, 5 k Ω
une résistance ρ de 1, 5 k Ω
un oscilloscope pour suivre l'activité du montage.
La résistance de la bobine est négligeable et son impédance présumée de 11 mH, le calcul nous donne alors :
Rn ' −820 Ω et Req = −1, 8 k Ω pour une fréquence de l'ordre de 1, 4 kHz.
Sur la gure de droite, nous avons placé un noyau de fer dans la bobine ce qui a pour eet de diviser la fréquence d'oscillation
par deux en simulant la passage d'un véhicule sur la boucle inductive.
Résistance négative, page 27/28 - 7 mai 2009
Le circuit TL 081 est placé sur un circuit imprimé de fabrication maison dont
la disposition suit de très près le schéma théorique.
L'oscillation du circuit dépend beaucoup de la qualité des composants, il peut
éventuellement être nécessaire de diminuer la valeur de la résistance R1 ou
celle du condensateur C1 pour obtenir l'accrochage.
En jouant sur ces valeurs on met en évidence la distorsion du signal qui
s'éloigne alors nettement de la sinusoïde, mais, comme nous l'avons déjà dit,
cela sort des limites de notre exposé.
VIII. S'il faut conclure.
Nous n'avons fait qu'eeurer les notions de ltre et d'oscillateur, nous n'avons même pas saisi l'occasion pour vous parler de
Q , le facteur de qualité d'un ltre.
Comme mentionné dans l'introduction, le domaine est vaste et nous laissons aux techniciens compétents le soin d'en exploiter
la substantique moelle.
Les notions d'amplicateur non linéaire, logarithmique ou exponentiel, ont aussi été écartées et cela pour deux raisons :
1. Dans la réalité le modèle logarithmique est souvent limité à des intervalles de R très restreints et s'éloigne donc rapidement
de la perfection mathématique.
2. Nous ne connaissons pas assez la psychologie des électrons pour maîtriser les récentes aaires de dopage du silicium et
présenter des composants qui suivent susamment bien une loi logarithmique.
Nous retiendrons que quelques outils mathématiques élémentaires disponibles dès le lycée comme les nombres imaginaires et
les équations diérentielles linéaires à coecients constants susent pour modéliser des problèmes intéressants.
Par ailleurs, il apparaît qu'un emploi structuré de la calculatrice permet d'alléger des calculs rebutants et donne rapidement
des résultats spectaculaires.
Malgré toutes ses imperfections, le composant vendu comme amplicateur opérationnel justie aisément quelques exercices
de mathématique susceptibles d'intéresser un large public, ce qui, nalement, est le fond de notre problématique.
Le modèle de l'amplicateur opérationnel, page 28/28 - 7 mai 2009