Calcul d`une différence de chemin optique :

OPTIQUE PC* 13-14
1. Relations de conjugaison et de grandissement :
Pour toutes les questions, définir soigneusement, schéma à l’appui, les grandeurs utilisées. Écrire les
relations de conjugaison et de grandissement :
1. de la lentille mince avec origine au centre.
2. de la lentille mince avec origine double aux foyers.
3. du miroir sphérique avec origine au centre.
4. du miroir sphérique avec origine au sommet.
5. du miroir sphérique avec origine au foyer.
2. Construction géométrique d’images :
Faire (si possible) une construction géométrique de l’image d’un petit objet AB transversal (A sur l’axe
optique) dans les cas suivants :
Lentille convergente :
1. objet réel et image réelle.
2. objet virtuel et image réelle.
3. objet réel et image virtuelle.
4. objet virtuel et image virtuelle.
Lentille divergente :
1. objet réel et image réelle.
2. objet virtuel et image réelle.
3. objet réel et image virtuelle.
4. objet virtuel et image virtuelle.
3. Prisme de petit angle, sous faible incidence :
Un prisme d’indice n et de petit angle A est plongé dans l’air. Un faisceau parallèle incident fait un petit
angle avec la normale à la face d’entrée de ce prisme ; le plan d’incidence est perpendiculaire à l’arête du
prisme. Montrer que le faisceau sortant forme avec le faisceau incident un angle : D  (n-1)A.
4. Rayon lumineux dans une fibre à gradient d’indice :
y
n5
n4
n3
n2
n1
n0
1. Soit une succession de dioptres plans perpendiculaires à un
axe Oy.
a) Montrer que la trajectoire du rayon lumineux est plane.
b) Quel est l’invariant le long du rayon lumineux ?
z
O
i0
2. On considère maintenant un milieu inhomogène d’indice
n  n0 1  p 2 y 2 où p et n0 sont des constantes.
En raisonnant sur une strate d’épaisseur dy de milieu d’indice considéré égal à n(y) établir l’équation
différentielle à laquelle obéit la trajectoire y(z) du rayon. On posera i(0) = i0 . En déduire y(z) et
représenter la trajectoire du rayon.
5. Étude d’un système afocal de deux lentilles :
On considère un système centré transformant un faisceau parallèle à l’entrée en un faisceau sortant
parallèle dont la largeur a été multipliée par  ( = 20).
1. Le système est composé de 2 lentilles convergentes L1 et L2. La première est de distance focale :
9,5 mm. Calculer la distance focale de la seconde ainsi que la distance entre les deux lentilles. Tracer le
faisceau.
2. Même question pour L1 divergente de distance focale : -6,6 mm.
3. Si à l’entrée du système les rayons ne sont pas tous parallèles entre eux, peut-on utiliser un
diaphragme (et comment) pour qu’ils le soient à la sortie ?
4. Soit A un point de l’axe optique. Déterminer l’image d’un petit objet transversal AB.
1
6. Télescope Cassegrain :
On considère un système optique constitué d’un miroir principal
sphérique concave (de centre C1, sommet S1, avec C1S1  R1  6 m )
et d’un miroir secondaire sphérique convexe (centre C2, sommet S2,
avec C2S2  R2  60 cm ).
F1 étant le foyer associé au premier miroir, on prendra :
S2
S1
S2 F1  e  25 cm .
A l’aide d’un tel dispositif on observe un objet lumineux à l’infini de
diamètre apparent  = 0,5°.
Déterminer les caractéristiques (position, dimension) de l’image fournie par ce système optique.
Objet à l’infini
7. Ondes scalaires planes
Deux ondes lumineuses planes monochromatiques de pulsation  se propagent
dans les directions n1 et n2 à la célérité c .
1. Représenter les surfaces d’onde des deux ondes planes en O et en un point M
quelconque. Représenter quelques rayons lumineux.
2. Exprimer la durée de parcours de chaque onde plane entre ses plans d’ondes
passant par O et par M, en fonction de OM , n1 et n2 .
3. Les amplitudes maximales des ondes (1) et (2) sont respectivement a1 et a2 , leurs retards de phase en O
sont 1 et 2 . Comment se traduit le fait que ces deux ondes sont mutuellement cohérentes ? Exprimer
A1 (M, t ) et A2 (M, t ) les amplitudes scalaires en M de chaque onde. Déterminer l’amplitude scalaire
complexe résultant de leur superposition, en déduire l’éclairement en M et l’exprimer en fonction des
coordonnées ( x, y) du point M.
4. Lorsque 2  1   et a1  a2  a , que voit-on sur un écran perpendiculaire à Ox ? Et sur un écran
perpendiculaire à Oy ?
8. Calcul d’une différence de chemin optique
Deux rayons passant par les points S1 et S2 traversent une lentille L et
se superposent en M dans son plan focal image.
1. Calculer la différence de chemin optique   S2 M   S1M 
(l’indice de l’air vaut n0  1 ).
2. On translate S1S2 d’une distance h verticalement sur la figure.
Quelle est la nouvelle valeur de  ?
9. Largeur spectrale d'une raie
Un interféromètre est éclairé par une lampe à vapeur de mercure derrière laquelle on a placé un filtre
interférentiel afin de sélectionner la raie verte de longueur d’onde  = 546,1 nm. Lorsque la différence de
chemin optique est supérieure à 2 cm on ne peut plus distinguer d’interférences.
1. Calculer  la largeur spectrale en terme de fréquence de la source utilisée. L’exprimer en terme de
longueur d’onde  .
2. La durée 0 des trains d’ondes émis par un atome de mercure isolé lors de la transition électronique
associée à la raie étudiée est de 0  1, 4 ns . Quelle est la largeur naturelle  n de cette raie ?
2
3. Une cause d’élargissement des raies spectrales est l’effet Doppler dû à l’agitation thermique. On peut
3k BT
2u
montrer que la largeur spectrale induite par ce phénomène est  D 
est la vitesse
 , où u 
m
c
quadratique moyenne des atomes de mercure, c la vitesse de la lumière dans le vide, T la température du
gaz (plasma) dans l’ampoule. La largeur spectrale observée peut-elle s’interpréter par l’effet Doppler ?
Données :
M  200 g.mol1 , masse molaire du mercure ;
R  8,31 J  K 1  mol 1 ;
T  600 K .
10. Interféromètre de Michelson en lame d’air
On considère un interféromètre de Michelson réglé en lame d’air. Lorsqu’on est au contact optique,
l’index du miroir mobile est de 2,56 mm. Actuellement il est de 3,38 mm. Il est éclairé avec une source
étendue à l’infini en forme de disque de rayon angulaire   0, 2 rad , monochromatique (   0,55 m ).
1. Comment réaliser dans la pratique la source indiquée ? Où peut-on voir des interférences. Comment les
observer avec une lentille de distance focale f 2  50 cm ? Faire un schéma du montage.
2. Quel est approximativement le nombre d’anneaux observés dans le champ d’interférences ?
11. Mesure interférométrique d'un indice de réfraction
On place devant le miroir fixe d'un interféromètre de Michelson réglé au coin d'air, une cuve de verre à
faces parallèles de longueur intérieure d  2,5 cm . L’interféromètre est éclairé en lumière blanche. La
cuve contient initialement de l'air sous la pression atmosphérique (indice : n0  1,00029 ). Les franges
d’interférences en lumière blanche sont irisées, c’est pourquoi il est aisé de repérer la frange centrale
(frange achromatique). On remplace l'air par un gaz ce qui produit une translation des franges. En
déplaçant le miroir mobile d’une distance e  12  2 m , la frange centrale retrouve sa position initiale. En
déduire l'indice n du gaz.
12. Vélocimétrie laser
Deux faisceaux de lumière de même intensité provenant d’un même laser de longueur d’onde dans le vide
0  633 nm se propagent dans l’air (indice 1) et se croisent dans un petit volume V . Ils sont assimilables
à des ondes planes dont les directions forment un petit angle 2 entre elles.
1. Montrer qu’il apparaît dans V des franges d’interférences planes équidistantes et calculer l’interfrange.
On donne   0,05 rad .
2. Les deux faisceaux forment toujours le même angle entre eux dans l’air, mais ils se réfractent dans un
milieu d’indice n avant de se croiser dans le petit volume V ; les angles d’incidence des faisceaux à
l’interface air-milieu sont identiques en module. Calculer l’interfrange dans le milieu et montrer qu’étant
donnée la petitesse de l’angle  le résultat est peu sensible à une petite dissymétrie des incidences.
3. Le milieu d’indice n est un liquide en mouvement. Ce liquide contient des particules solides
(poussières) micrométriques qui suivent fidèlement le mouvement du fluide. Du fait de leur petite
dimension, ces particules, lorsqu’elles sont éclairées, diffusent de la lumière dans toutes les directions
avec une intensité proportionnelle à l’intensité qu’elles reçoivent. Un système de photo-détection permet
de recueillir cette lumière diffusée et d’analyser son spectre fréquentiel par transformation de Fourier.
3
Interpréter l’oscillogramme
expérimental obtenu ci-dessus.
Quelle information précise
concernant la vitesse du fluide
dans le volume V peut-on
déterminer ? Comment compléter
le dispositif pour déterminer
entièrement la vitesse du fluide au
niveau de V ?
13. Mesure de la différence entre deux longueurs d’ondes voisines
Un interféromètre de Michelson est réglé en lame d’air, et éclairé avec une source étendue.
1. Où sont localisées les interférences ? Quel montage doit-on réaliser pour les observer ?
2. La source est une lampe à vapeur de sodium qui émet essentiellement deux longueurs d’ondes très
proches 1 et  2 (doublet jaune). En translatant le miroir mobile on observe que le contraste de la figure
d’interférence est tantôt très bon, tantôt très mauvais. Expliquer le phénomène.
3. Exprimer   2  1 en fonction de la distance entre deux positions successives du miroir
correspondant à un contraste minimal.
4. On connaît la plus petite des longueurs d’onde : 1  589,00 nm . On pointe un contraste minimal pour
la position x0  0,17  0,01 mm du miroir mobile. On compte 14 zones successives de faible contraste
après x0 , le pointé sur le dernier minimum de contraste étant x14  4, 23  0,01 mm . Calculer  et
l’incertitude de cette mesure.
14. Spectre cannelé
On considère une expérience d'interférences à deux ondes. En un point M du champ d'interférences, la
différence de marche entre les deux rayons qui interfèrent vaut   10 m . La source est ponctuelle, et
émet toutes les longueurs d'onde comprises entre 1  0, 4 m et 2  0,75 m . On place au point M la
fente d'entrée d'un spectroscope à prisme. Donner un schéma de principe et décrire le fonctionnement du
spectroscope. Expliquer précisément ce que l’on observe dans l'appareil. Application numérique.
15. Réseau de trous
On considère N trous Oi , i de 1à N , identiques de très petit diamètre, alignés, régulièrement espacés
(distance p entre deux trous successifs), percés dans un écran opaque. Ce réseau est éclairé par une onde
plane monochromatique en incidence normale et on observe le phénomène obtenu sur un écran placé dans
le plan focal image d’une lentille convergente ( f '  10 cm ).
Exprimer la différence de marche  , en un point M de l’écran, entre deux ondes issues de deux trous
successifs. Décrire ce que l’on observe sur l’écran.
On utilise une lumière poly chromatique (lampe à vapeur de mercure) dont les principales longueurs
d’onde sont : jaune : 577 et 579 nm, vert : 546 nm, rouge : 623 nm, bleu : 492 nm, violet : 436 nm.
Que voit-on maintenant sur l’écran (application numérique) ?
4
16. Diffraction de Fraunhofer par une fente
On observe la diffraction de Fraunhofer d’une onde plane par une ouverture rectangulaire de largeur d et
de hauteur h .
1. Expliquer précisément comment fabriquer l’onde plane à partir d’une lampe à vapeur atomique.
2. Où doit-on observer la figure de diffraction ? Faire un schéma complet du montage.
3. On donne d  0,05 mm , h  3 cm . Pour réaliser l’image finale on utilise une lentille (un « objectif »)
de distance focale f 2  200 mm . Quelles sont les dimensions caractéristiques de la figure de diffraction
(hauteur, largeur) ?
4. En tenant compte des valeurs numériques ci-dessus, calculer l’amplitude diffractée dans le plan
d’observation, puis l’éclairement correspondant (expressions littérales) et représentez son allure.
17. Télémétrie laser Terre-Lune (d’après X 94)
Pour mesurer avec précision la distance Terre-Lune, on émet une impulsion laser (de longueur d’onde
  530 nm ) au foyer F d’un télescope (de surface S  1,8m2 ) placé sur Terre. Ce télescope est pointé en
direction d’un réflecteur posé sur la Lune, qui renvoie vers la Terre la lumière qu’il reçoit. La mesure du
temps  écoulé entre l’émission et la réception du signal en F permet de déterminer la longueur du chemin
optique aller-retour  parcouru par le rayon lumineux, dont on déduit la distance Terre-Lune d (distance
moyenne Terre-Lune d  3,84 105 km ).
1. Le faisceau laser sortant du télescope a un diamètre minimal d’environ a  2,5cm . Estimer l’ordre de
grandeur du diamètre du faisceau au niveau de la surface lunaire.
2. Le réflecteur lunaire est un coin de cube qui possède la propriété de renvoyer les rayons qu’il reçoit
exactement dans la direction d’incidence, quelle que soit son orientation. Sa surface apparente est
  1cm2 . Le faisceau de retour présente une divergence due à la diffraction qui a lieu lors de la réflexion
sur le coin de cube. Estimer l’ordre de grandeur de la fraction de la puissance lumineuse émise depuis la
Terre qui est recueillie à son retour par le télescope si on néglige les effets liés à l’atmosphère et les pertes
à la réflexion.
3. Expliquer pourquoi le diamètre minimal a choisi pour le faisceau laser correspond à un optimum.
c
4. L’énergie  d’un photon de longueur d’onde  est   h , où la constante de Planck vaut

34
h  6,63 10 J  s . Le laser émet à chaque impulsion une énergie lumineuse E1  0,3J . Quel est le
nombre moyen de photons arrivant à chaque impulsion sur le télescope ?
5. Dans la réalité, le réflecteur posé sur la lune est formé de cent coins de cubes identiques encastrés dans
un support plan orthogonal à la direction Terre-Lune. Combien faut-il alors d’impulsions laser en
moyenne pour détecter un photon en retour ?
6. Si l’on néglige l’effet de l’atmosphère terrestre, comment sont reliés  et  ? Quelle est la valeur
approximative de  ? Si la précision sur la mesure de  est donnée par la durée   50 ps de l’impulsion
laser, quelle est la précision de la détermination de  ?
18. Diffraction par une fente de transparence variable
On s’intéresse à la diffraction de Fraunhofer d’une onde plane en incidence normale sur des fentes de
largeur a (selon la direction Ox ) et de grande hauteur h . Ces fentes ont une transparence variable t ( x) .
1. Appliquer le principe de Huygens-Fresnel à cette situation pour exprimer l’amplitude de l’onde
diffractée dans la direction  .
2. Comparer les figures de diffraction par une fente de transparence t1 ( x)  1 et par une fente de
 x
transparence t2 ( x)  cos 
.
 a 
5