RESOLUTION DE PROBLEMES (PARTIE PHYSIQUE)

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RESOLUTION DE PROBLEMES (PARTIE PHYSIQUE)
(d’après Centrale TSI 2011)
ETUDE THERMODYNAMIQUE D’UN CYCLONE TROPICAL
Données :
− Accélération de la pesanteur : 𝑔 = 9,81 𝑚. 𝑠 −2
− Constante des gaz parfaits : 𝑅 = 8,31 𝐽. 𝐾 −1 . 𝑚𝑜𝑙 −1
− Masse molaire de l’air : 𝑀𝑎 = 28,8 𝑔. 𝑚𝑜𝑙 −1
− Rapport des capacités thermiques massiques de l’air :
𝑐𝑃
𝑐𝑉
= 𝛾 = 1,40
− Enthalpie massique de vaporisation de l’eau (supposée indépendante de la température) : ℓ𝑣𝑎𝑝 = 2,25 ×
106 𝐽. 𝑘𝑔−1
Les mouvements verticaux des masses d’air donnent naissance aux perturbations atmosphériques. Sous certaines
conditions, certaines perturbations peuvent dégénérer en cyclones. Du point de vue thermodynamique, un cyclone peut
être modélisé comme un moteur thermique, fonctionnant de façon cyclique, entre deux sources idéales : l’océan (source
chaude de température 𝑇0 ) et la haute troposphère (source froide de température 𝑇1 < 𝑇0 ).
La Figure 1 montre un cyclone tropical en coupe et illustre la circulation radiale cyclique des masses d’air en son
sein. Les différents points du cycle sont définis sur la figure.
8 à 15 km
Figure 1 : Circulation radiale des masses d’air dans un cyclone
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1. On considère un système ouvert avec une entrée et une sortie. Rappeler, sans démonstration, la formulation
du premier principe de la thermodynamique adaptée à l’étude d’un écoulement permanent à travers ce système.
Les grandeurs introduites seront en Joules. On formulera ce principe en introduisant 𝐻, 𝐸𝑐 , 𝐸𝑝 respectivement
l’enthalpie, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle, ainsi que 𝑄, le transfert thermique et 𝑊′, ce qu’on
appelle travail « utile ».
Première étape du cycle de A à B
-
De A à B, une parcelle d’air, constituée initialement d’une masse m a d’air se charge d’une masse δmv « ma
d’eau au contact de l’océan.
-
Le système {masse ma d’air + masse δmv d’eau} est appelé (𝛴) dans la suite.
-
Dans toute la suite, on notera 𝑉𝑀 la norme de la vitesse d’écoulement du système (𝛴) en un point M du cycle.
L’altitude d’un point M est notée 𝑧𝑀 .
-
L’évolution du système (Σ) de A à B se fait à la température constante 𝑇0 .
-
Suite à son interaction avec l’océan, (Σ) reçoit le transfert thermique 𝑄1 et le travail utile 𝑊′1 .
-
La phase gazeuse du système (Σ) est assimilée à un gaz parfait de masse ma et de mêmes caractéristiques
thermodynamiques que l’air.
-
La transformation est supposée réversible.
2. Donner l’expression des variations d’enthalpie et d’entropie de la masse ma d’air au cours de cette étape. On
fera intervenir la constante des gaz parfaits R, la masse molaire de l’air Ma, ainsi que les pressions PA et
PB aux points A et B.
3. Donner l’expression des variations d’enthalpie et d’entropie de la masse δmv d’eau qui se vaporise entièrement
à la température 𝑇0 au cours de cette étape. On fera intervenir l’enthalpie massique de vaporisation ℓ𝑣𝑎𝑝 . On
négligera l’influence de la pression pour cette question.
4. Par application du second principe de la thermodynamique, montrer que l’expression du transfert thermique Q1
𝑚
𝑃
est : 𝑄1 = − 𝑎 𝑅𝑇0 𝑙𝑛 ( 𝐵 ) + 𝛿𝑚𝑣 ℓ𝑣𝑎𝑝 .
𝑀𝑎
𝑃𝐴
5. Par application du bilan énergétique de la question 1., et en considérant que cette étape se fait sans variation
d’altitude, déterminer l’expression du travail utile 𝑊′1 en fonction de δmv, ma, ℓ𝑣𝑎𝑝 , R, Ma, 𝑇0 , PA et PB et
des vitesses d’écoulement 𝑉𝐴 et 𝑉𝐵 .
6. On suppose que 𝑉𝐴 << 𝑉𝐵 . En déduire qu’une expression simplifiée de 𝑊′1 est :
𝑊 ′1 =
𝑚𝑎
𝑃
𝑅𝑇0 𝑙𝑛 ( 𝐵 )
𝑀𝑎
𝑃𝐴
1
2
+ 𝑚𝑎 𝑉𝐵2 .
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Seconde étape du cycle de B à C
-
Lors de la seconde étape, l’évolution du système (Σ) est globalement adiabatique et se fait sans travail utile.
-
La masse ma s’élève vers la haute troposphère ; au point C, sa température est égale à 𝑇1 .
-
La masse δmv d’eau se liquéfie entièrement et retombe dans l’océan.
-
La phase gazeuse du système (Σ) à un gaz parfait de masse ma et de mêmes caractéristiques thermodynamiques
que l’air.
-
La transformation est supposée réversible.
7. Donner l’expression de la variation d’enthalpie de la masse ma d’air au cours de cette étape.
8. Donner l’expression de la variation d’enthalpie de la masse δmv d’eau au cours de cette étape.
9. En utilisant le bilan de la question 1., donner alors l’expression littérale de la variation d’altitude 𝑧𝐶 − 𝑧𝐵 en
fonction de δmv, ma, ℓ𝑣𝑎𝑝 , 𝑇1 , 𝑇0 , 𝑉𝐵 , 𝑉𝐶 , g et 𝑐𝑃 .
10. On suppose que 𝑉𝐶 << 𝑉𝐵 . En déduire une expression simplifiée de 𝑧𝐶 − 𝑧𝐵 .
Les deux dernières étapes du cycle, de C à D puis D à A ne modifient pas le travail utile reçu par le système (𝛴) au
cours d’un cycle.
Bilan thermodynamique global et Ordres de grandeur
11. Donner l’expression du rendement 𝜂 du « moteur » en fonction de 𝑊 ′ 1 et 𝑄1 , quantité de chaleur apportée
par la « source chaude ».
𝑇
12. Sachant que pour un moteur idéal, 𝜂 = 1 − 1, montrer alors que 𝑉𝐵2 = 2
𝑇0
𝑅
𝑃
𝑇 𝛿𝑚
𝑇 𝑙𝑛 ( 𝐴 ) − 2 (1 − 1 ) 𝑣 ℓ𝑣𝑎𝑝 .
𝑀𝑎 1
𝑃𝐵
𝑇0 𝑚𝑎
Applications numériques :
Pour le cyclone Katrina, le 28 août 2005, on a mesuré 𝑃𝐵 = 9,34 × 104 𝑃𝑎 et des vents soufflant jusqu’à
280 𝑘𝑚. ℎ−1 . On donne par ailleurs 𝑃𝐴 = 1,01 × 105 𝑃𝑎, 𝑇1 = 200 𝐾, 𝑇0 = 300 𝐾 et 𝛿𝑚𝑣 ⁄𝑚𝑎 = 1,83 × 10−3 .
13. Donner une estimation numérique de 𝑉𝐵 , en utilisant 12. et de 𝑧𝐶 − 𝑧𝐵 en utilisant 10.. Que pensez-vous
des résultats obtenus ?
14. En utilisant 6., exprimer la puissance mécanique utile 𝑃′ 1 développée par le cyclone (donc > 0). On introduira
notamment 𝐷𝑚𝑎 , le débit massique d’air.
15. On estime que, pour un cyclone comme Katrina, 𝑃′ 1 est de l’ordre de 1013 𝑊. En déduire la valeur numérique
du débit massique d’air 𝐷𝑚𝑎 correspondante.
16. Quelle est l’ordre de grandeur de la masse d’eau prélevée dans l’océan par unité de temps ? Commenter.