R_et_N

Activité proposée : Comprendre ce qu’est une équation de courbe
(Figure avec un logiciel de géométrie - voir exemple p 2/12 document ressource)
Activité autour de deux points du programme :
propriété caractéristique
appartenance à un ensemble
Observation - conjecture :
1.Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, placer les points
A (-5 ; 0), B (1 ; 4,9), C (4 ; 3), D ( − 2 ; 3,5 2 ), E ( −
3
24
; − ) et F (2,5 ; -4,3).
2
5
Quelle conjecture peut-on faire sur ces points ?
D
B
Réponse attendue : ils sont sur un cercle
de centre O et de rayon 5 ; on trace alors le cercle,
zoom, D et E semblent ne pas être sur le cercle,
les autres points semblent bien sur le cercle.
C
o
A
Etude de la conjecture:
2.a.Comment traduire en langage mathématique le fait
qu’un point M est sur ce cercle ?
F
E
Réponse attendue : OM = 5
Quelle condition doivent vérifier les coordonnées x et y du point M
pour qu’il appartienne à (c)?
Réponse attendue :
= 5 ou x² + y² = 25
b.Pour chacun des points A, B, C, D, E et F, valider ou invalider la conjecture
Réponse attendue : A ∈ (c) , B ∉ (c) , C ∈ (c) , D ∉ (c) , E ∉ (c) et F ∉ (c)
On a donc utilisé les deux propriétés :
(P1) Si x² + y² = 25 alors le point M (x ; y) appartient au cercle de centre O et de rayon 5.
(P2) Si x² + y² ≠ 25 alors le point M (x ; y) n’appartient pas au cercle de centre O et de
rayon 5.
(P2) peut aussi s’écrire :
(P’2) Si le point M(x ; y) appartient au cercle de centre O et de rayon 5 alors x² + y² = 25
(P1) peut aussi s’écrire :
(P’1) Si le point M (x ; y) n’appartient pas au cercle de centre O et de rayon 5
alors x² + y² ≠ 25.
On dit que x² + y² = 25 est une condition nécessaire et suffisante pour que le point M(x ; y)
appartienne au cercle de centre O et de rayon 5.
x² + y² = 25 est une propriété caractéristique de l’appartenance d’un point M (x ; y) au
cercle de centre O et de rayon 5
Le couple de propositions (P1), (P’2) peut s’écrire sous la forme d’une équivalence :
M є (c) ⇔ x² + y² = 25.
Dans un repère orthonormé :
On dit que x² + y² = 25 est l’équation du cercle (c).
A retenir :
Une équation d’une courbe est une relation vérifiée par les coordonnées de
tous les points de la courbe et par eux seulement.
C’est une CNS (condition nécessaire et suffisante) pour qu’un point appartienne à la
courbe.
C’est une propriété caractéristique de la courbe.
Utilisation de l’équation :
3.a.Existe-t-il des points de (c) dont l’abscisse est 2 ? 0 ? 6 ?
1
? − 2 ?
2
4. On considère la courbe (p) d’équation y = x 2 − 2 x − 3
b.Existe-t-il des points de (c) dont l’ordonnée est
Le point de coordonnées (2 ; -3) est-il sur la courbe ?
Existe-t-il des points de la courbe d’abscisse 1
Existe-t-il des points de la courbe d’ordonnée 5
Travail en groupes :
5. Pour chacune des courbes dont les équations sont les suivantes :
3 x − 2 y + 5 = 0 ; xy = 1 ; y =
3
5
1
x + ; y = ; y = x 2 ; 3x + 5 = 0 ; x = y 2
2
2
x
a.Le point de coordonnées (-1 ; 1) appartient-il à la courbe ?
b.Existe-t-il des points de la courbe d’abscisse 0 ? D’abscisse 2 ?
c.Existe-t-il des points de la courbe d’ordonnée 0 ? D’ordonnée -2 ?
Mise en commun un même ensemble de points peut avoir plusieurs équations différentes
d. Chacune des courbes précédentes représente-elle une fonction?