Devoir en temps libre no 2: Mécanique quantique

MPSI2, Louis le Grand Devoir en temps libre no2: Mécanique quantique Pour le lundi 5 octobre
Problème 1 : Interactions photon-matière
On étudie les variations de la quantité de mouvement d’un atome de sodium Na lors de l’absorption ou
l’émission d’un photon. Dans un premier temps, l’atome est décrit classiquement comme un objet ponctuel
de masse met de quantité de mouvement p. On caractérise les photons par leur longueur d’onde λ.
I Absorption d’un photon
I.1. Rappeler l’expression de l’énergie, notée Ep, et de la quantité de mouvement notée ppd’un photon de
longueur d’onde λen fonction de c, h,λ.
I.2. Lors de l’absorption d’un photon par un atome, l’énergie interne de l’atome (qui reflète sa configu-
ration électronique) varie de la valeur Ef(état fondamental) à la valeur Ee(état excité). On étudie la
variation de la quantité de mouvement d’un atome initialement immobile lors de l’absorption d’un
photon de longueur d’onde λse propageant selon la direction +#» ex. On désigne par pxla quantité de
mouvement de l’atome selon #» exquand il a absorbé le photon.
avant après
électron
atome
x
Ef
Ee
px
#»
ex
photon
(a) On définit la fréquence ν0= (Ee−Ef)/h. Donner l’expression de la longueur d’onde λ0d’un pho-
ton de fréquence ν0. Calculer l’ordre de grandeur (en eV) de Ee−Efpour λ0dans le domaine du
visible. On considère dans toute la suite que les photons ont une longueur d’onde suffisamment
proche de λ0pour que leur absorption / émission soit possible par l’atome.
(b) Quelle est la quantité de mouvement du système {photon + atome} avant l’absorption du photon.
(c) Quelle est la variation d’énergie totale, interne et cinétique, de l’atome au cours de l’absorption.
(d) On admet que l’énergie et la quantité de mouvement totales du système {photon + atome} doivent
être conservées au cours de l’absorption. En déduire le système de deux équations vérifié par la
longueur d’onde λdu photon absorbé et la quantité de mouvement pxacquise par l’atome.
(e) En déduire pxen fonction de het λ0en supposant qu’on peut négliger l’énergie cinétique acquise
par l’atome devant Ee−Ef. Vérifier que cette hypothèse est pertinente pour λ0dans le domaine
du visible. On considère cette condition réalisée dans toute la suite.
(f) Quelle sera la variation de quantité de mouvement d’un atome dans l’état interne d’énergie Ee
qui émet un photon selon +#» exen retombant dans l’état interne d’énergie Ef. On précisera suc-
cinctement à quelle condition il est légitime de négliger l’effet Doppler et on supposera cette
hypothèse vérifiée dans toute la suite.
I.3. (a) Calculer la vitesse acquise par un atome de sodium absorbant un photon d’un laser à la longueur
d’onde λ0= 589nm.
(b) On admet qu’un atome dans l’état Eese désexcite spontanément pour retomber dans l’état Ef
en émettant un photon dans une direction aléatoire. Quelle sera la vitesse acquise au bout d’un
grand nombre N cycles d’absorption/émission de photon ?
II Diffraction de Bragg
Dans cette question, l’atome est placé dans le champ de deux lasers se propageant res-
pectivement selon +#» ex(faisceau 1, de fréquence ν1) et −#» ex(faisceau 2, de fréquence ν2).
L’atome est initialement au repos. On étudie le processus, nommé dif-
fraction de Bragg, au cours duquel :
•l’atome absorbe un photon de fréquence ν1provenant du fais-
ceau 1,
•puis réemet de manière stimulée un photon de fréquence ν2dans
la direction −#» exdu faisceau 2.
Les longueurs d’onde des deux faisceaux sont très proches de λ0.
atome
ν1ν2
#»
ex
II.1. Effectuer le bilan de quantité de mouvement et d’énergie du I.2d. En déduire que le processus proposé
n’est pas réalisable si ν1=ν2.
II.2. On considère donc dans toute la suite qu’il existe une différence ∆ν ≡ν1−ν2entre les fréquences des
deux faisceaux.
(a) Déterminer l’expression reliant les valeurs de ν1et ν2lors du processus envisagé.
(b) En déduire les expressions de ∆ν en fonction de h,m et λ0en approximant les longueurs d’onde
de chaque faisceau par λ0. Donner également l’expression de la quantité de mouvement commu-
niquée à l’atome, notée p0. On effectuera cette approximation dans toute la suite.
(c) Calculer la valeur de ∆ν pour un atome de sodium et λ0= 589nm, ainsi que celle de la vitesse
p0/m. Commenter.
II.3. On illumine un condensat de Bose-Einstein d’atomes de Na par le système de faisceaux pré-
cédemment décrit pendant une durée permettant la réalisation de la diffraction de Bragg.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.1/42015-2016

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La figure ci-contre représente l’évolution ultérieure du
condensat. Les images (a),(b),(c),(d) ont été prises respecti-
vement 0, 2,2, 5,6 et 10ms après la fin de l’illumination. Le
champ horizontal de l’image correspond à une distance de
1,4mm. Aucune connaissance sur les condensats n’est néces-
saire, on le considérera comme un nuage d’atomes de sodium
indépendants initialement au repos.
(a) Déterminer la quantité de mouvement communiquée
à la partie centrale du condensat par la diffraction de
Bragg. Comparer à la valeur déterminée au II.2c et com-
menter.
(b) Justifier brièvement qu’on peut expliquer la différence
en considérant que les deux faisceaux ne sont pas exac-
tement contrapropageants. Quel peut être à votre avis
l’intérêt d’une telle configuration ?
(c)Question subsidiaire à n’aborder que succinctement et
en fin de devoir. Pourquoi observe-t-on un trou dans
le nuage des atomes qui n’ont pas subi la diffraction de
Bragg ?
x= 1,4mm
III Transitions de Bragg dans une cavité
Dans cette partie, l’atome de sodium est confiné dans une cavité de longueur L très petite selon la direc-
tion x. Il doit donc être décrit comme une onde de matière. On ne se préoccupera pas des directions yet z:
le problème est unidimensionnel selon x.
III.1. (a) Établir, par analogie avec les modes propres d’une corde vibrante :
•les longueurs d’onde λnet les vecteurs d’onde kn,
•les énergies, notées En
des états quantiques stationnaires de l’atome, avec n∈N?.
(b) En déduire la différence d’énergie E11 −E1entre le dixième état excité et l’état fondamental.
III.2. On cherche à transférer les atomes de l’état fondamental au premier état excité au moyen d’une dif-
fraction de Bragg utilisant deux lasers quasi contrapropageant de longueur d’onde proches de λ0(voir
la figure ci-dessous).
(a) Établir la valeur de la quantité de mouvement communi-
quée à l’atome par l’absorption d’un photon gsuivie de
l’émission stimulée d’un photon den fonction de h,c, λ0
et θ(on fera de nouveau l’approximation λg'λd'λ0).
En déduire la valeur de l’angle θpour communiquer, se-
lon x, une quantité de mouvement égale à :
}(k11 −k1),
avec k11 et k1les vecteurs d’onde atomiques définis
au III.1a. Calculer la valeur de θpour λ0= 589nm et
L = 3µm pour l’atome de sodium.
2θ
#»
ex
#»
ez
νg
νd
atome
(b) Déterminer l’expression du décalage νg−νdpermettant de réaliser la transition entre l’état
d’énergie E1et l’état d’énergie E11. Calculer sa valeur pour les paramètres précédents.
(c)Question à traiter en fin de devoir s’il reste du temps. Décrire l’onde de matière obtenue à
l’issue de l’illumination avec des faisceaux vérifiant les conditions précédentes si l’atome est
initialement dans l’état stationnaire d’énergie E1.
Données : vitesse de la lumière dans le vide c= 3,0·108m·s−1, constante de Planck h= 6,6·10−34 J·s,
constante de Planck réduite }=h/(2π), 1eV = 1,6·10−19 J, masse d’un atome de sodium m= 3,8·10−26 kg.
Les données et paramètres expérimentaux sont tirés de l’article : «Coherent Splitting of Bose-Einstein
Condensed Atoms with Optically Induced Bragg Diffraction», par M. Kozuma, L. Deng, E. W. Hagley,
J. Wen, R. Lutwak, K. Helmerson, S. L. Rolston, and W. D. Phillips (prix Nobel 1997 avec S. Chu et C.
Cohen-Tannoudji) publié en 1999 dans Phys. Rev. Lett. 82, 871.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.2/42015-2016

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Correction du problème 1
I Absorption d’un photon
I.1. On a Ep=hc/λ= 2π}c/λet pp=h/λ= 2π}/λ.
I.2. (a) On a λ0=c/ν0. Pour λ0'600nm, on calcule : (Ef−Ei)'2,1eV.
(b) Avant absorption du photon, on a :
ptot =pp+ 0 = h
λ
(c) La variation ∆Eade la somme des énergies cinétique et interne de l’atome est :
∆Ea= Ee−Ef+p2
x
2m−0 = hν0+p2
x
2m.
(d) Après absorption du photon, on n’a plus que l’atome, dont la quantité de mouvement est pxselon
#»
ex. Les quantités pxet λvérifient donc :
px=h
λhν0+p2
x
2m=hc λ.
(e) En négligeant p2
x/(2m), on a hν0=hc/λ, soit λ=λ0et donc px=h/λ0. On vérifie cette hypothèse
en comparant hc/λ0et (h/λ0)2/(2m) :
(h/λ0)2/(2m)
hc/λ0=h 2mcλ0= 1 ·10−10.
L’énergie cinétique de l’atome est bien négligeable devant sa variation d’énergie interne.
(f) Si on peut négliger l’effet Doppler, l’atome en mouvement voit toujours un photon de fréquence
c/λ. Le bilan s’effectue de la même manière que précédemment : en négligeant la variation d’éner-
gie cinétique de l’atome la conservation de l’énergie s’écrit assure que l’énergie du photon émis
est hν0et la conservation de la quantité de mouvement assure que celle de l’atome doit varier de
−h/λ0#» ex.
L’effet Doppler traduit le fait que la fréquence de l’onde lumineuse perçue par un atome en
mouvement dépend de la vitesse relative de l’onde et de l’atome. Si l’atome se déplace à des
vitesses non relativistes, on peut négliger sa vitesse devant celle de la lumière et donc négliger
l’effet Doppler.
I.3. (a) On a vx=px/m =h/(mλ0) = 29mm ·s−1.
(b) Chaque absorption communique la même vitesse selon +#» ex. En revanche le caractère aléatoire de
la direction des émissions assure que la somme vectorielle des vitesses acquises par les émissions
est nulle. En moyenne, l’atome aura donc acquis la vitesse Nh/(mλ0).
Remarque : Ce phénomène est utilisé pour ralentir de manière très efficace un jet de gaz ato-
mique avec un laser contrapropageant. Dans les conditions expérimentales, la vitesse des atomes
selon #» exest très importante (de l’ordre de plusieurs centaines de m ·s−1) et à l’issue d’un très
grand nombre de cycles d’émission/absorption on arrive à une vitesse de l’ordre u m ·s−1. La
durée totale reste cependant très faible car chaque cycle dure quelques dizaines de ns. On peut
ainsi arrêter un jet sur une distance de quelques m. L’effet Doppler n’est cependant pas négli-
geable pour les plus grandes valeurs de la vitesse et on doit changer les niveaux d’énergie de
l’atome et donc la fréquence ν0au fur et à mesure que l’atome ralentit au moyen d’un champ
magnétique. Cette technique porte d’ailleurs le nom de «ralentissement Doppler».
II Diffraction de Bragg
II.1. L’énergie totale du rayonnement lumineux varie de h(ν2−ν1) puisque qu’on absorbe un photon ν1
pour produire un photon ν2. Elle est donc nulle si ν1=ν2. Comme la variation d’énergie de l’atome
est positive puisque son énergie interne croît et qu’il acquiert une énergie cinétique, l’énergie totale
ne pourra pas être conservée.
II.2. (a) Sur l’ensemble du processus d’absorption/émission, l’énergie interne de l’atome ne change pas
et la conservation de l’énergie s’écrit, en notant pxla quantité de mouvement qu’il a acquise :
h∆ν =h(ν1−ν2) = p2
x
2m
Les photons absorbés et émis le sont dans des directions opposées. La variation de la quantité
de mouvement du rayonnement est donc −h/λ2#» ex−h/λ1#» exet la conservation de la quantité de
mouvement globale s’écrit :
px=h 1
λ1+1 λ2!=h c(ν1+ν2).
(b) En supposant les fréquences proches, on a ν1+ν2'2ν0= 2c/λ0et donc :
h∆ν =(2h/λ0)2
2m=2h2
mλ2
0
∆ν =2h
mλ2
0
.
L’atome a acquis la quantité de mouvement p0= 2h/λ0.
(c) On calcule ∆ν = 1,0·102kHz et v0=p0/m = 5,9·10−2m·s−1. La grandeur ∆ν est bien négli-
geable devant la fréquence ν0=c/λ0= 5,1·1014 Hz, il était tout à fait légitime d’approximer
ν1+ν2par 2ν0.
II.3. (a) On observe que la distance parcourue par la partie mobile croît proportionnellement avec la
durée ; sont mouvement est donc rectiligne uniforme. En considérant les images (b) et (e), elle a
parcouru 5,8·10−1mm en 10ms, sa vitesse est donc vx= 5,8·10−2m·s−1, soit une quantité de
mouvement px=mvx= 2,2·10−27 kg ·m·s−1. On peut calculer le quotient :
px
2h/λ0= 0,98.
La quantité de mouvement pxest donc bien du même ordre de grandeur que celle déterminée
précédemment mais légèrement inférieure. Pour l’affirmer avec certitude, il faudrait une préci-
sion de l’ordre du % sur la détermination de la vitesse, ce qui n’est pas tout à fait réalisé compte
tenu de la résolution des images.
(b) Si les deux faisceaux forment un angle θdéfini comme à la question III.2, la variation de la
quantité de mouvement des photons au cours du processus n’est plus que −2hsin(θ)/λ0puisque
seule leur composante (égale en valeur absolue à hsin(θ)/λ0) selon #» exvarie. On peut donc di-
minuer arbitrairement la valeur de la quantité de mouvement acquise par l’atome. Pour obtenir
sin(θ)=0,99, il faut prendre θ= 80°.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.3/42015-2016

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Le choix de cet angle permet d’ajuster de régler la valeur de ∆ν assurant la diffraction. On ne veut
pas en effet qu’elle soit trop grande car alors les deux fréquences ν1et ν2ne pourraient pas être
toutes les deux suffisamment proches de ν0pour que les processus d’absorption et d’émission de
photons soient efficaces.
(c) Les atomes qui n’ont pas subi la diffraction possédaient déjà une quantité de mouvement non
nulle : on le voit à l’élargissement avec le temps de la tâche qu’ils forment. Si cette vitesse est
suffisamment importante, le décalage ∆ν, qui a été choisi pour une vitesse nulle ne vérifie plus
les conditions permettant de réaliser la transition.
III Transitions de Bragg dans une cavité
III.1. (a) Comme vu en cours, on a :
λn=2L
nkn=2π λn
=nπ
LEn=}2k2 2m=n2h2
8mL2.
(b) On a immédiatement E11 −E1= ((112−12)h2)(8mL2) = 120h2/(8mL2).
III.2. (a) Les vecteurs d’onde sont :
#»
kg=2π
λ0(sin(θ)#»
ex+ cos(θ)#» ez)#» kg=2π
λ0(−sin(θ)#»
ex+ cos(θ)#» ez)
La variation de quantité de mouvement de l’atome est l’opposé de celle du rayonnement soit :
}(#» kg−
#»
kd) = 2hsin(θ)
λ0.
On doit donc avoir :
}(11π−π)
L=5h L=2hsin(θ) λ0soit : sin(θ) = 5λ0 2L = 0,49 soit : θ= 30°.
(b) Comme précédemment, le bilan énergétique s’écrit, en considérant νget νdproches de ν0:
h(νg−νd) = E11 −E1=120h2
8mL2soit : νg−νd=120h 8mL2= 29kHz.
(c) L’atome est initialement dans un état stationnaire dont la fonction d’onde est sin(k1x). Sa quantité
de mouvement totale est nulle mais on peut le décrire comme la somme d’un état de vecteur
d’onde k1#» exet k−1#» expuisque sin(k1x)=(e(ik1x)−e(−ik1x))/(2i). Ces deux états ne sont pas
stationnaires puisqu’ils correspondent à des ondes progressives et régressives mais ils ont la
même énergie que l’état stationnaire.
Le processus précédemment décrit communique la quantité de mouvement #» kg= (k11 −k1)#» ex
à l’atome en lui fournissant l’énergie nécessaire pour être dans l’état n= 11. Il réalise donc la
transition de l’onde progressive de vecteur d’onde k1#» exvers celle de vecteur d’onde k11 #» ex. L’onde
régressive de vecteur d’onde −k1#» exn’est pas affectée car elle conduirait à un vecteur d’onde (k11 −
2k1)#» ex= (9π/L)#» exor l’énergie apportée ne correspond pas à cette transition.
On obtient donc une superposition (à parts égale si l’efficacité de la diffraction est totale) de
l’onde régressive initiale et de l’onde progressive produite, de la forme :
Ψ(x)eik11x−e−ik1x
2i=e11ik1x−e−ik1x 2i=e6ik1xei5k1x−e−5ik1x 2i=e6ik1xsin(k5x).
Le module est de Ψest le même que celui de l’état stationnaire de rang 5. Néanmoins, le terme de
phase en e6ik1x, qui correspond à une onde progressive a une importance : il contribue à l’énergie
de l’état obtenu qui n’est pas rigoureusement un état stationnaire.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.4/42015-2016