I- Hauteurs - Orthocentre d`un triangle:

DROITES REMARQUABLES D'UN TRIANGLE
I - Médiatrices - Cercle circonscrit
Les médiatrices des côtés d'un triangle se
coupent en un même point
Leur point d'intersection est le centre d'un
cercle passant par les trois sommets du
triangle.
Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au
triangle
Remarque: Pour obtenir le centre du cercle circonscrit, il suffit de tracer deux des
médiatrices.
Si le triangle a un angle obtus, le centre du
cercle circonscrit est à l'extérieur du triangle
Si le triangle est rectangle en A, le centre du
cercle circonscrit est le milieu de [BC]
I
1
II - Hauteurs - Orthocentre
Une hauteur est une droite (ou un segment) passant par
un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé
à ce sommet
Sur la figure ci-contre, on dit que:
[AA'] est la hauteur issue de A
A' est le pied de cette hauteur
Les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours s'appelle l'orthocentre du triangle
Si le triangle a un angle obtus en A, il faut prolonger les
côtés du triangle (en pointillés sur la figure ci-contre)
pour tracer les hauteurs issues de B et de C.
Dans ce cas, l'orthocentre est à l'extérieur du triangle
Si le triangle est rectangle en A, La hauteur issue de B
est [BB'], la hauteur issue de C est [CC']
Donc, dans ce cas l'orthocentre est A.
Remarque: Pour déterminer l'orthocentre, il suffit de tracer deux des hauteurs.
2
III - Médianes - Centre de gravite :
Une médiane est un segment joignant un sommet et le
milieu du côté opposé
Sur la figure ci-contre, on dit que:
[AM] est la médiane issue de A
On peut dire aussi:
[AM] est la médiane relative à [BC]
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le centre de gravité du
triangle.
Remarque: Pour déterminer le centre de gravité, il suffit de tracer deux des médianes.
De plus:
En plaçant les milieux de [AG], [BG], [CG], on
constate que chaque médiane est partagée en 3 parties
égales.
Donc:
AG représente 2 parts sur les 3 parts de AM
BG représente 2 parts sur les 3 parts de BN
CG représente 2 parts sur les 3 parts de CP
Donc:
AG = 2/3 de AM
BG = 2/3 de BN
CG = 2/3 de CP
Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.
3
IV - Bissectrices - Cercle inscrit :
La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui
partage cet angle en deux angles égaux.
Sur la figure ci-contre [Oz) est la bissectrice de xOy
Construction au compas
1) On trace un arc de cercle de centre O, qui coupe
[Ox) en A et [Oy) en B
2) On trace deux arcs de cercle, de même rayon, de
centres A et B; ces deux arcs se coupent en C
3) La bissectrice de l'angle est la demi-droite d'origine
O passant par C
Propriétés
Soit xOz un angle et [Oy) la bissectrice de cet angle
1) Si M ∈ [Oy), alors MH = MK
Tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant
des côtés de cet angle
2) Si MH = MK, alors M ∈ [Oy)
Tout point équidistant des côtés d'un angle appartient à
la bissectrice de cet angle
Les bissectrices des trois angles d'un triangle
sont concourantes..
Leur point de concours est le centre du cercle
inscrit dans le triangle (cercle tangent aux
trois côtés du triangle)
V - Dans un triangle isocèle:
Si ABC est un triangle isocèle en A, alors:
- la hauteur issue de A
- la médiane relative à [BC]
- la médiatrice de [BC]
- la bissectrice de l'angle A
sont confondues
VI - Dans un triangle équilatéral:
Dans un triangle équilatéral, les hauteurs, les médianes, les
médiatrices des côtés, les bissectrices des angles sont confondues
Leur point de concours est à la fois l'orthocentre, le centre de
gravité, le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit
5
VII- Exercices:
Exercice 1:
Compléter:
l'orthocentre du triangle LMN est ...
l'orthocentre du triangle LRM est ...
l'orthocentre du triangle MRN est ...
l'orthocentre du triangle LRN est ...
Exercice 3:
1) Montrer que K est le milieu de [FG]
2) On suppose que GJ = 7,2 cm. Calculer GL
Exercice 2:
Montrer que (EI) est perpendiculaire à (DF)
Exercice 4:
Montrer que J est le centre de gravité du
triangle STU
Exercice5
Exercice 6:
Quelle est la nature du triangle SHR? Justifier
.
6
DROITES REMARQUABLES D'UN TRIANGLE
CORRECTION DES EXERCICES
Exercice 1:
Exercice 2:
l'orthocentre du triangle LMN est R
l'orthocentre du triangle LRM est N
l'orthocentre du triangle MRN est L
l'orthocentre du triangle LRN est M
D'après le codage, (DI) et (FI) sont deux
hauteurs du triangle DEF.
Donc I est l'orthocentre du triangle DEF.
Donc (EI) est la troisième hauteur de ce
triangle, et donc:
(EI) est perpendiculaire à (DF)
Exercice 3:
Exercice 4:
1) D'après le codage [FI] et [GJ] sont deux
médianes du triangle FGH.
Donc L est le centre de gravité de ce triangle.
Donc [HK] est la troisième médiane de ce
triangle.
Donc K est le milieu de [FG]
2) Le centre de gravité est situé aux deux tiers
de chaque médiane à partir du sommet.
Donc:
GL = 2/3 de GJ = (7,2 : 3) x 2 = 4,8 cm
D'après le codage, K est le milieu de [TU],
donc [SK] est une médiane du triangle STU.
De plus, d'après le codage SJ est égal à deux
tiers de SK
Comme J est situé aux deux tiers de la
médiane [SK] à partir du sommet S, alors J
est le centre de gravité du triangle STU
7
Exercice 5 :
Exercice 6:
D'après le codage, RH] est la médiane
relative à [ST]
Comme d'après le codage, le triangle SRT est
isocèle en R, cette médiane est aussi la
hauteur issue de R.
Donc le triangle SHR est rectangle en H
8