Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

Collège de Maisonneuve 1 Mathématiques-NYC
Statut provincial: 201-NYC pondération: 3-2-3
bloc ministériel préalable: 064-536
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle
L’objet et la place du cours dans le programme
En Sciences de la nature, c’est pendant la deuxième année du programme qu’un étudiant suit le cours
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, à l’automne pour l’étudiant du profil Sciences pures et appliquées,
à l’hiver pour celui du profil Sciences de la santé et de la vie. Il s’agit du dernier cours de mathématiques du
bloc obligatoire. Après le calcul différentiel et intégral étudié au cours de la première année, on introduit une
nouvelle branche importante des mathématiques postsecondaires, celle de l’algèbre linéaire, où les notions de
base qui y sont vues permettent de traiter de la géométrie vectorielle dans l’espace.
L’étude des concepts faisant l’objet du cours exige peu de préalables; il suffit de connaître les mathématiques
de base et quelques éléments de géométrie élémentaire. Les notions du cours ont des applications diverses en
sciences. Dans un contexte interdisciplinaire, l’étudiant pourra appliquer ses connaissances, notamment en
physique et, à un degré moindre, en chimie.
Dans ce cours, l’étudiant sera appelé à faire des preuves, à présenter sa démarche mathématique de façon
rigoureuse, à visualiser dans l’espace, à maîtriser de nouveaux algorithmes, à développer des habiletés
mathématiques en résolution de problèmes, problèmes associés aux concepts de matrice, de déterminant, de
vecteur, de système d’équations linéaires et de géométrie analytique de l’espace.
Les objectifs généraux du cours
1. Les connaissances: l’étudiant doit
1.1 connaître et savoir appliquer divers algorithmes de résolution de systèmes d’équations linéaires
(méthodes de Cramer, de la matrice inverse, de Gauss et de Gauss-Jordan), connaître la structure d’un
espace vectoriel, savoir modéliser divers problèmes à l’aide de l’algèbre linéaire ou de la géométrie
vectorielle (systèmes de référence dans l’espace, indépendance linéaire, base et dimension, droite et
plan dans l’espace);
1.2 connaître et utiliser correctement les définitions, la terminologie, le symbolisme et les conventions
relatives à la géométrie analytique de l’espace et aux concepts de matrice, de déterminant et de
vecteur;
1.3 connaître et savoir utiliser la preuve directe pour démontrer, entre autres, les propriétés des matrices
et des vecteurs, diverses formules en géométrie vectorielle et divers problèmes théoriques;
1.4 connaître et savoir utiliser diverses stratégies de résolution de problèmes relevant de l’algèbre linéaire
et de la géométrie vectorielle;
1.5 savoir situer le développement des concepts de l’algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle dans
un contexte historique.
2. Les habiletés: l’étudiant doit pouvoir
2.1 lire et interpréter correctement un texte ou un problème relatifs à l’algèbre linéaire ou la géométrie
vectorielle et reconnaître la validité d’une preuve;
2.2 visualiser dans l’espace et dessiner une représentation géométrique d’un point, d’un vecteur, d’une
droite et d’un plan de l’espace;
2.3 reconnaître les hypothèses d’un problème théorique ou pratique, bien identifier ce qui est recherché;
résoudre le problème en appliquant une stratégie de résolution de problème développée dans le cours;
porter un jugement critique sur un résultat obtenu;
2.4 appliquer des algorithmes aux opérations de matrices et de vecteurs, au calcul d’un déterminant et à la
résolution d’un système d’équations linéaires;
2.5 rédiger une solution d’un problème théorique ou pratique selon un déroulement logique, clair et
complet, dans un français convenable, tout en employant correctement le vocabulaire et la notation
utilisés en algèbre linéaire et en géométrie vectorielle;
2.6 utiliser l’ordinateur et la calculatrice à des fins de simulation, d’exploration ou de résolution de
problèmes d’algèbre linéaire et de géométrie vectorielle;

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2.7 relier les aspects géométriques et algébriques du cours;
2.8 établir, s’il y a lieu, des liens avec les connaissances mathématiques acquises dans les différents
cours du programme.
3. Les attitudes: ce cours doit amener l’étudiant à
3.1 développer sa créativité et sa curiosité intellectuelle;
3.2 se responsabiliser face à son processus d’apprentissage;
3.3 développer sa capacité de collaborer avec autrui;
3.4 développer sa rigueur intellectuelle et son souci d’être clair, précis, ordonné et systématique;
3.5 accepter d’être confronté à des problèmes où la recherche de solutions demande temps et énergie;
3.6 augmenter sa confiance face aux mathématiques et se valoriser dans l’effort;
3.7 développer son initiative en utilisant ses connaissances mathématiques dans les différents cours du
programme, notamment par des applications vectorielles en physique;
3.8 reconnaître l’apport de l’algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle en Sciences.
Les objectifs spécifiques (le contenu)
Remarques
Les éléments marqués d’une étoile sont des éléments d’enrichissement qui ne seront pas évalués dans la
partie commune de l’examen récapitulatif et de synthèse du cours.
Des notes historiques seront présentées au moment approprié tout au long du cours.
Matrice, déterminant et système d’équations linéaires (20 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Matrice •donner la définition d’une matrice, identifier ses éléments (terme général aij),
déterminer ses dimensions
•définir et utiliser l’égalité de deux matrices
•effectuer les opérations (addition et soustraction, multiplication par un scalaire,
produit matriciel), énoncer et démontrer les principales propriétés de ces
opérations
•identifier différents types de matrices (matrice-ligne, matrice-colonne, matrice
carrée et sa diagonale principale, matrice nulle, matrice identité, matrice
inverse, matrice triangulaire, matrice diagonale, matrice transposée, matrice
symétrique et matrice antisymétrique), utiliser et démontrer leurs principales
propriétés
Déterminant •évaluer le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n suivant une ligne ou une
colonne
•évaluer le mineur et le cofacteur d’un élément aij
•énoncer les principales propriétés d’un déterminant et les utiliser
•identifier une matrice singulière et une matrice régulière (matrice inversible)
•trouver la matrice des cofacteurs et la matrice adjointe d’une matrice carrée
•trouver la matrice inverse d’une matrice carrée par la méthode des cofacteurs et
démontrer ses principales propriétés
•évaluer un déterminant par la méthode du pivot (*)
•évaluer un déterminant d’ordre 3 par la règle de Sarrus (*)
Système d’équations
linéaires •définir et trouver des matrices équivalentes à une matrice donnée (opérations élémentaires sur les lignes)
•transformer une matrice en une matrice-échelon ou matrice-échelon réduite
équivalentes
•définir et trouver le rang d’une matrice
•identifier un système linéaire, deux systèmes équivalents, un système
homogène

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Système d’équations
linéaires (suite) •écrire un système linéaire sous sa forme matricielle (matrices des coefficients, des inconnues, des constantes)
•écrire la matrice augmentée d’un système linéaire et trouver une matrice-échelon
ou la matrice-échelon réduite équivalentes
•résoudre un système linéaire par la méthode de Gauss ou de Gauss-Jordan
(système incohérent et système cohérent avec une solution unique ou une
infinité de solutions)
•résoudre un système linéaire par la méthode de Cramer
•trouver l’inverse d’une matrice par la méthode de Gauss-Jordan
•résoudre un système linéaire par la méthode de la matrice inverse
•résoudre un système linéaire par la méthode du pivot (*)
Espace vectoriel (25 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Vecteur algébrique •définir un vecteur algébrique (n-uple) et identifier ses composantes
•définir l’égalité de deux vecteurs algébriques
•effectuer les opérations sur deux vecteurs algébriques (addition, soustraction,
multiplication par un scalaire) et en démontrer les principales propriétés
Vecteur géométrique •donner les caractéristiques d’un vecteur géométrique (direction, sens, longueur)
•représenter un vecteur géométrique (origine, extrémité, support, longueur)
•identifier un vecteur nul, deux vecteurs de sens opposé
•déterminer l’équipollence (égalité) de deux vecteurs géométriques
•additionner deux vecteurs géométriques (méthode du triangle, méthode du
parallélogramme et relation de Chasles), multiplier un vecteur géométrique par
un scalaire et vérifier les principales propriétés de ces opérations
•identifier deux vecteurs parallèles
•résoudre des problèmes de géométrie euclidienne par une approche vectorielle
Espace vectoriel •donner la définition d’un espace vectoriel, des opérations et des propriétés qui
définissent cette structure algébrique
•identifier certains espaces vectoriels (matrices, vecteurs algébriques, vecteurs
géométriques, polynômes, nombres complexes)
•démontrer qu’un ensemble donné forme un espace vectoriel ou montrer, à l’aide
d’un contre-exemple, qu’il n’a pas la structure d’un espace vectoriel
•démontrer qu’un sous-ensemble d’un espace vectoriel est un sous-espace
vectoriel
•établir une correspondance (isomorphisme) entre un vecteur algébrique et un
vecteur géométrique d’un plan et de l’espace (en utilisant un repère cartésien ou
orthonormé)
•évaluer la longueur d’un vecteur
•trouver un vecteur unitaire dans une direction donnée
•définir une combinaison linéaire de vecteurs
•vérifier si un vecteur est une combinaison linéaire de vecteurs donnés
•donner la définition de l’indépendance et de la dépendance linéaire et démontrer
que des vecteurs sont linéairement indépendants ou linéairement dépendants
•définir une base d’un espace vectoriel ou d’un sous-espace vectoriel (base
orthonormée), démontrer qu’un ensemble de vecteurs forme une base et donner
les composantes d’un vecteur dans une base donnée
•donner la dimension d’un espace vectoriel ou d’un sous-espace vectoriel
•interpréter géométriquement les notions d’indépendance linéaire, de base et de
dimension et les propositions s’y rapportant, pour des vecteurs du plan et de
l’espace (colinéarité, coplanarité, sous-espace engendré, générateur)

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Produits de vecteurs (10 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Produit scalaire •donner la définition du produit scalaire de deux vecteurs
•évaluer un produit scalaire
•énoncer et démontrer les principales propriétés du produit scalaire
•interpréter géométriquement le produit scalaire (projection, angle entre deux
vecteurs)
•évaluer l’angle entre deux vecteurs
•interpréter un produit scalaire nul (vecteurs orthogonaux)
•résoudre des problèmes de géométrie utilisant le produit scalaire
Produit vectoriel •donner la définition du produit vectoriel de deux vecteurs
•évaluer un produit vectoriel
•énoncer et démontrer les principales propriétés d’un produit vectoriel
•interpréter géométriquement le produit vectoriel de deux vecteurs linéairement
indépendants (vecteur perpendiculaire à un plan engendré par ces deux vecteurs)
•interpréter un produit vectoriel nul (vecteurs dépendants ou parallèles)
•évaluer l’aire d’un parallélogramme ou d’un triangle construit sur deux vecteurs
•résoudre des problèmes de géométrie utilisant le produit vectoriel
Produit mixte •donner la définition du produit mixte de trois vecteurs
•évaluer un produit mixte
•énoncer et démontrer les principales propriétés d’un produit mixte
•interpréter géométriquement le produit mixte de trois vecteurs linéairement
indépendants (volume d’un parallélépipède construit sur ces trois vecteurs)
•interpréter un produit mixte nul (trois vecteurs coplanaires ou dépendants )
•évaluer le volume d’un prisme triangulaire
•évaluer le volume d’un tétraèdre (*)
•résoudre des problèmes de géométrie utilisant le produit mixte
Droite et plan dans l’espace (20 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Droite •écrire les équations vectorielle, paramétriques et symétriques d’une droite
•trouver des points d’une droite et vérifier si un point appartient à une droite
•identifier un vecteur parallèle ou perpendiculaire à une droite
•établir les équations d’une droite déterminée par deux points ou par un point et
un vecteur directeur
•étudier la position relative de deux droites (parallèles, concourantes,
perpendiculaires, gauches)
•évaluer l’angle entre deux droites
•évaluer les angles directeurs d’une droite (*)
•trouver l’intersection de deux droites
•calculer la distance d’un point à une droite, entre deux droites parallèles, entre
deux droites gauches
•trouver le point d’une droite le plus rapproché d’un point donné de l’espace
•trouver les points de deux droites gauches les plus rapprochés l’un de l’autre (*)
•établir les équations d’une famille de droites parallèles (*)
•établir les équations d’un faisceau de droites (*)
•établir les équations des droites bissectrices (*)
Plan •écrire les équations vectorielle, paramétriques et linéaire d’un plan
•trouver des points d’un plan et vérifier si un point appartient à un plan
•identifier un vecteur parallèle ou perpendiculaire à un plan
•établir les équations d’un plan défini par trois points, par un point et un vecteur
normal au plan, par un point et deux vecteurs qui engendrent un plan
•étudier la position relative de deux plans (parallèles, sécants, perpendiculaires)

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Plan (suite) •évaluer l’angle entre deux plans
•établir les équations de la droite d’intersection de deux plans
•étudier la position relative de trois ou plusieurs plans
•étudier la position relative d’une droite par rapport à un plan (parallèle, sécante,
perpendiculaire)
•évaluer l’angle entre une droite et un plan
•trouver le point de percée d’une droite sécante à un plan
•calculer la distance d’un point à un plan, entre une droite parallèle et un plan
qui lui est parallèle, entre deux plans parallèles
•trouver le point d’un plan le plus rapproché d’un point donné de l’espace
•établir l’équation d’une famille de plans parallèles (*)
•établir l’équation d’un faisceau de plans (*)
•établir les équations des plans bissecteurs (*)
•trouver les points d’une droite équidistants de deux droites ou équidistants de
deux plans (*)
•trouver les points d’un plan équidistants de deux droites ou équidistants de deux
plans (*)
•résoudre des problèmes faisant appel à la géométrie vectorielle de la droite et du
plan dans l’espace
Évaluation
L’évaluation sommative de 100 points se fait dans le cadre suivant:
•un minimum de 3 examens durant la session, excluant l’examen final;
•un maximum de 30 points pour un examen;
•un maximum de 20 points pour d’autres formes d’évaluation;
•un examen final d’au moins 25 points dont 15 points sont attribués à la partie commune et de
synthèse du cours.