Cours N1MA6011 : Géométrie Différentielle

Cours N1MA6011 : Géométrie Différentielle
Laurent Bessières
S6, 2012-2013

Cours 1 : jeudi 17/01/13
1 Courbes, théorie locale
On travaille dans Rnmuni du produit scalaire canonique h·,·i (pour lequel la base canonique
est orthonormée). On note ||x|| =phx, xila norme associée et d(x, y) = ||x−y|| la distance
associée.
1.1 Arcs paramétrés, arcs géométriques
Définition 1.1. On appelle arc paramétré de classe Ck,k∈N, un couple (I, f)où
I⊂Rest un intervalle ouvert et f:I→Rnest une application de classe Ck.
On rappelle que cela signifie que f(t)=(x1(t), . . . , xn(t)) où chaque xi:I→Rest de classe Ck.
Exemple 1.2.le cercle unité f:R→R2défini par t7→ (cos(t),sin(t)) est de classe C∞(i.e. Ck
pour tout k).
Exemple 1.3 (angle droit).Soit f:R→R2défini par
t7→ (0,−t), t ∈]−1,0[
07→ (0,0)
t7→ (t, 0), t ∈]0,1[
fest de classe C0mais pas C1.

1. Courbes, théorie locale 2 Cours 1 : jeudi 17/01/13
Exemple 1.4 (angle droit C∞).Soit f:R→R2défini par
t7→ (0, e1/t), t < 0
07→ (0,0)
t7→ (e−1/t,0), t > 0
Vérifier que fest de classe C∞.
On s’intéresse aux propriétés géométriques des courbes indépendantes de leur paramétrage.
Définition 1.5. On dit que deux arcs paramétrés de classe Ck,(I, f)et (J, g), définissent le
même arc géométrique de classe Cks’il existe un difféomorphisme θ:J→Ide classe Cktel
que g=f◦θ. Le sous-ensemble f(I)⊂Rnest appelé le support de A.
On dit que Aest paramétré par (I, f)(ou (J, g)) et que θun changement de paramétrage.
On rappelle que θ:J→Iest un difféomorphisme de classe Ck,k≥1si θest bijective, θet
sa réciproque θ−1sont de classe Ck, et θ0ne s’annulle pas sur J. Il s’ensuit que θest croissant
(θ0>0) ou bien décroissant (θ0<0).
Définition 1.6. On dit que (I, f)et (J, g)définissent le même arc géométrique orienté
si fest obtenu à partir de gpar un changement de paramétrage croissant.
Exemple 1.7.f:R→R2défini par f(t) = (t, 0) définit le même arc géométrique (orienté) que
g:R→R2,s7→ (2s, 0). Il définit le même arc géométrique que h:R→R2,s7→ (−s, 0), mais pas le
même arc géométrique orienté.
La relation “(I, f )et (J, g)définissent le même arc géométrique” (resp. arc géométrique orienté)
est une relation d’équivalence sur l’ensemble des arcs paramétrés. Un arc géométrique (resp. arc
géométrique orienté) est donc une classe d’equivalence d’arcs paramétrés. Un arc géométrique
contient exactement 2 arcs géométriques orientés. Si (I, f )et (J, g)paramètrent A, alors f(I) =
g(J)mais la réciproque est fausse. Le support ne détermine pas l’arc géométrique.
Exemple 1.8.(I=]0,3π[, f(t) = (cos(t),sin(t)) et (J=]0,5π[, g(t) = (cos(t),sin(t))) définissent
le même support (f(I) = g(J) = S1) mais pas le même arc géométrique.
Exercice : démontrer le. Indication : montrer que le cardinal de la pré-image d’un point donné de f(I)est
invariant par changement de paramétrage, i. e. il est le même pour tous les arcs paramétrés équivalents
à(I, f). Constater ensuite que fpasse 2 fois par (0,1) alors que gy passe 3 fois...
Peut-on donner un sens à l’expression p∈A? L’exemple 1.8 montre qu’il ne faut pas confondre
un arc géométrique avec son support, et donc un point de l’arc géométrique et un point du
support.
Notes du cours N1MA6011, 2012-2013 Laurent Bessières

1. Courbes, théorie locale 3 Cours 1 : jeudi 17/01/13
Définition 1.9. On appellera point d’un arc géométrique A, une classe d’équivalence de
triplets (I, f, t), où (I, f)paramètre Aet t∈I, pour la relation d’équivalence (I, f, t)∼(J, g, s)
s’il existe un changement de paramétrage θ:J→Itel que g=f◦θet t=θ(s). L’élément
commun f(t) = g(s)est l’image du point.
La notation (I, t, f)étant un peu lourde, on pourra dire simplement p=f(t)un point de A.
Mais attention, si p0=f(t0)est un autre point de A(t6=t0) et que f(t) = f(t0)(même image),
on a quand même p6=p0!
1.2 Points réguliers, Tangente
Définition 1.10. Soit Aun arc géométrique paramétré par (I, f)et p=f(t)un point de A.
On dit que pest régulier si f0(t)6= 0. Dans ce cas la droite passant par pde vecteur directeur
f0(t)est la tangente à Aen p. On dit que Aest régulier si tous ses points le sont.
Vérifions que la définition en soit bien une, i.e. que la condition f0(t)6= 0 et que la tangente
ne dépendent pas du paramétrage. Soit (J, g)un arc paramétré équivalent à (I, f),θ:J→Ile
changement de paramétrage. Comme g=f◦θ,
g0(s) = f0(θ(s))θ0(s) = f0(t)θ0(s)
et puisque θ06= 0 on a g0(s)6= 0 ⇔f0(t)6= 0. De plus g0(s)est proportionnel à f0(t)donc (J, g)
définit la même droite tangente que (I, f)au point f(t) = g(s).
Exemple 1.11.Soit Adans R2paramétré par (] −1,1[, f(t) = (t, 0)) et Bparamétré par (] −
1,1[, g(t) = (t3,0)). Ces arcs géométriques ont même support mais sont différents : Aest régulier, B
non.
Exercice 1.12.(1) Soit D=R× {0} ⊂ R2. Montrer qu’il existe un unique arc géométrique
régulier de support D.
(2) Soit (R, f)l’angle droit C∞de l’exemple 1.4. Montrer qu’il n’existe pas d’arc géométrique régulier
de support f(R).
Définition 1.13. Soit Aun arc géométrique régulier paramétré par (I, f)et p=f(t)un
point de A.
Notes du cours N1MA6011, 2012-2013 Laurent Bessières

1. Courbes, théorie locale 4 Cours 1 : jeudi 17/01/13
- On dit que pest birégulier si f0(t)et f00(t)sont linéairement indépendants, sinon pest
un point d’inflexion.
- Si pest birégulier, on appelle plan osculateur à Aau point ple plan engendré par
f0(t)et f00(t).
- On dit que Aest birégulier si tous ses points le sont.
Vérifions encore que la définition fait sens, i.e. ne dépende pas du paramétrage. Soit (J, g)un
paramétrage de Aet θ:J→Jle changement de paramétrage. On a g=f◦θ,p=f(t) = g(s)
et t=θ(s). On a en posant a=θ0(s)6= 0,
g0(s) = f0(θ(s))θ0(s) = af0(t).(1.1)
g00(s) = f00(θ(s))(θ0(s))2+f0(θ(s))θ00(s) = a2f00(t) + bf0(t).(1.2)
où b=θ00(s)∈R(il peut être nul). On a clairement vect{g0(s), g00(s)} ⊂ vect{f0t), f00(t)}.
Réciproquement puisque
f0(t) = a−1g0(s)
f00(t) = a−2(g00(s)−bf0(t)) = a−2g00(s)−ba−3g0(s)
vect{f0t), f00(t)} ⊂ vect{g0(s), g00(s)}et on a égalité. En particulier f0(t)et f00(t)sont colinéaires
ssi g0(s)et g00(s)le sont (l’espace engendré étant de dimension 1dans ce cas).
Exemple 1.14.(R, f(t) = (cos(t),sin(t),0)) dans R3. On a f0(t) = (−sin(t),cos(t),0) et f00(t) =
(−cos(t),−sin(t),0),f0et f00 sont orthogonaux. Le plan osculateur est R2× {0}.
La "réciproque" de l’exemple ci-dessus est vrai :
Lemme 1.15. Soit Aun arc géométrique de Rndont le plan osculateur en chaque point est
égal à un plan V⊂Rnfixé. Alors l’arc est contenu dans un plan affine parallèle à V:
Notes du cours N1MA6011, 2012-2013 Laurent Bessières