Systèmes disperseurs

Systèmes disperseurs
Un prisme peut être employé comme réflecteur (cf n°2 1999), nous verrons ici qu'il peut être
utiliser aussi comme réfracteur pour modifier la direction d'un faisceau lumineux
monochromatique et comme disperseur pour analyser un faisceau de lumière
polychromatique. L'analyse spectroscopique de la lumière peut aussi être faite avec un réseau.
Les caractéristiques de ces deux systèmes disperseurs sont données dans cette fiche.
I.
Indice de réfraction
I. 1
Définition de l'indice de réfraction
Un milieu est caractérisé par son indice de réfraction n défini par le rapport sans dimension :
c
n!=!u
où c représente la vitesse de la lumière dans le vide et u sa vitesse dans le milieu considéré.
La vitesse de la lumière dans le vide est une constante de la physique égale à :
c!=!299 792 458!ms-1
cette valeur sert depuis 1983 à la définition du mètre à partir de celle de la seconde. Dans les
milieux transparents l'indice de réfraction n est un nombre supérieur ou égal à un. Un milieu
transparent dont l'indice est supérieur à un est appelé milieu réfringent.
L'indice de réfraction n dépend de la longueur d'onde de la lumière qui traverse le milieu, ce
phénomène est appelé dispersion. Il dépend aussi de la température.
I. 2
Dispersion chromatique
La loi de dispersion dépend du matériau. Pour caractériser cette dispersion une grandeur
caractéristique a été définie : le nombre d'Abbe nd égale à :
nD - 1
nF - nC
où nF, n C et n D représentent respectivement, les indices de réfraction du matériau pour les
longueurs d'onde lF = 486,1 nm, lC = 656,3 nm et lD = 587,6 nm. Ces trois longueurs d'onde
correspondent à des raies particulières de différentes lampes spectrales. Le nombre d'Abbe
compare l'écart moyen (nD - 1) entre l'indice pour une longueur d'onde moyenne du spectre
visible et l'indice du vide à l'écart (nF – nC) entre les indices correspondant à deux longueurs
d'onde proches des extrémités de ce spectre.
Par exemple le nombre d'Abbe relatif au verre de type BK7 vaut 64,2. On a l'habitude de
classer les verres en deux catégories : les crown dont l'indice est inférieur à 1,6 et de nombre
d'Abbe supérieur à 55 et les flint dont l'indice est supérieur à 1,6 et de nombre d'Abbe
inférieur à 50. Plus un matériau est dispersif, plus le nombre d'Abbe est faible.
On peut développer en série la loi de la dispersion. Le développement en série est usuellement
mis sous la forme suivante :
nd =
Disperseurs
1/8
n2!=!A0 + A1l2 + A2 l-2 + A3 l-4 + A4 l-6 + A5 l-8
les coefficients Ai dépendent de la nature du matériau (tableau 1).
Type de verre
BK7
A0
2.2718929
A1
LaSFN9
F2
3.2994326
-2
2.5554063
-2
-1.0108077x10
-1.1680436x10
-2
4.0133103x10
SF10
2.8784725
-3
-1.0565453x10-2
-2
3.3279420x10-2
-8.8746150x10
-2
A2
1.0592509x10
2.2494787x10
A3
2.0816965x10-4
1.3263988x10-3
8.6924972x10-4
2.0551378x10-3
A4
-7.6472538x10-6
4.7438783x10-6
-2.4011704x10-5
-1.1396226x10-4
A5
4.9240991x10-7
7.8507188x10-6
4.5365169x10-6
1.6340021x10-5
tableau 1
Pour la silice et le quartz fondu la loi est du type :
n2 = 1 +
avec :
II.
A0 = 0.6961663
A1 = 0.4079426
A2 = 0.8974794
A 0 l2
A1 l2
A2 l2
+
+
l2 - B0 l2 - B1 l2 - B2
B0 = 0.004679148
B1 = 0.01351206
B2 = 97.934003
Dispersion par un prisme triangulaire d'un faisceau de lumière
parallèle
Un prisme est un solide constitué d'un milieu réfringent à faces non parallèles. Les bases d'un
prisme sont des polygones réguliers et les arêtes latérales sont perpendiculaires aux plans de
base.
II. 1 Déviation
Avant d'aborder l'étude d'un faisceau de lumière polychromatique on donne ici quelques
résultats relatifs à la déviation d'un faisceau de lumière monochromatique. La dispersion ne se
manifeste que lorsque la lumière est polychromatique.
On considère un prisme triangulaire d'indice de réfraction n d'angle au sommet A situé dans
l'air d'indice 1 (figure 1). Un rayon lumineux monochromatique perpendiculaire à l'arête du
prisme, traverse celui-ci en subissant deux réfractions au niveau de chacun des deux dioptres.
L'angle formé entre le rayon incident et le rayon émergent est l'angle de déviation D qui a
pour valeur :
D!=!i1 + i2!-!A
où i1 représente l'angle d'incidence et i2 l'angle d'émergence du faisceau.
air
A
D
i1
i2
r1
r2
n
figure 1
Disperseurs
2/8
La valeur de i2 dépend des angles r1 et r2 et donc dépend de i1 et n par la loi de Descartes sur
la diffraction. L'angle de déviation D dépend par conséquent du matériau par son indice de
réfraction, de l'angle au sommet A du prisme et de l'angle d'incidence i1. Sur la figure 2 ont été
tracées pour un matériau donné les courbes correspondant à la déviation D en fonction de
l'angle d'incidence i1 pour différentes valeurs d'angle  du prisme.
80
D (°)
A=80°
A=60°
60
40
20
O
Dm
A=30°
A=10°
-75
-50
-25
O
25
io
50
im
75
i1(°)
figure 2
Cette famille de courbes montre que l'angle d'incidence i1 doit être supérieur à une certaine
valeur io dépendant de la valeur de l'angle A. Si l'angle d'incidence est inférieur à cette valeur,
il existe un phénomène de réflexion totale à l'intérieur du prisme sur le second dioptre ou
même le faisceau peut ne pas rencontrer le second dioptre. On remarque aussi qu'il existe un
angle d'incidence im pour lequel l'angle de déviation D passe par une valeur minimale D m.
Lors de l'utilisation d'un prisme on se place toujours dans les conditions du minimum de
déviation. Dans ce cas, les angles d'incidence et d'émergence sont égaux :
i m1 = i m2 = i m
et la valeur minimale de l'angle de déviation est égale à!:
Dm!=!2im!–!A
Utilisé dans ces conditions il est possible de déterminer l'indice n d'un prisme d'angle au
sommet A par la mesure de l'angle de déviation minimum Dm car :
Ê A + Dm ˆ
sin Á
Ë 2 ¯
n=
(1)
ÊÁ A ˆ
sin
Ë 2¯
cette configuration est entièrement symétrique : les angles d'incidence et d'émergence sont
égaux entre eux et les angles de réfraction sont égaux à A/2 (figure 3).
air
A/2
im
im
A/2
rm
n
figure 3
Disperseurs
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II. 2 Dispersion angulaire
Une conséquence de la dispersion chromatique est la séparation d'un faisceau
polychromatique en ses différentes couleurs. Pour un prisme donné et un angle d'incidence i1
donné, l'angle de déviation D dépend de la longueur d'onde l de la lumière puisque l'indice n
est une fonction de l.
La dispersion angulaire d'un prisme est mesurée par la différence de déviation DD entre les
raies bleue et rouge du spectre atomique de l'hydrogène, le prisme étant utilisé dans les
conditions du minimum de déviation (figure 4).
air
Lumière blanche
DD
Rouge
Orange
Jaune
Vert
Bleu
n
figure 4
L'équation (1) montre que la déviation augmente quand l'indice de réfraction augmente. Or
dans la plupart des matériaux l'indice augmente quand la longueur d'onde diminue, par
conséquent un faisceau de lumière bleue est plus dévié qu'un faisceau de lumière rouge.
III.
Dispersion angulaire d'un réseau
Il existe un autre élément optique capable de disperser la lumière : le réseau. Un réseau de
longueur L est constitué de motifs de largeur a, régulièrement espacés d'une quantité p
appelée le " pas " du réseau (figure 5). Les dimensions a et p sont très inférieures à la
longueur L. Le motif peut modifier l'amplitude ou la phase ou encore les deux à la fois de la
lumière incidente. Dans le premier cas, on dit que le réseau est un réseau d'amplitude, dans le
second cas un réseau de phase. Le nombre de motifs par millimètre dans un réseau est
toujours élevé, il est couramment de l'ordre de 100 à 1 000 mais il peut atteindre 5 000 pour
des réseaux holographiques.
a
p
L
figure 5
Dans le cas des réseaux classiques les motifs sont tracés par un diamant dans une couche
d'aluminium déposée par évaporation sous vide sur un support en pyrex. Les traits sont tracés
l'un après l'autre, aussi la réalisation d'un réseau peut durer plusieurs semaines. L'erreur de
positionnement des traits doit être très faible ; elle est en moyenne de l'ordre de deux
nanomètres. La couche d'aluminium est remplacée par une couche d'or quand la longueur
d'onde du faisceau tombant sur le réseau est supérieures à 600 nm car le pouvoir de réflexion
Disperseurs
4/8
de l'aluminium diminue fortement au-delà de 700 nm. De même, pour les longueur d'onde
inférieures à 100 nm la couche métallique est une couche d'or ou de platine.
Pour les réseaux holographiques une résine photosensible est exposée dans un champ
d'interférences puis elle subit un développement chimique. Dans ce cas tous les traits du
réseau sont enregistrés simultanément. L'erreur moyenne de positionnement des traits par
rapport à la position théorique est ici de l'ordre de 0,5 nanomètre. Les réseaux holographiques
ont dans l'ultraviolet et le visible des performances supérieures à celles des réseaux gravés.
On distingue deux types de réseaux, les réseaux par réflexion et les réseaux par transmission.
La lumière est suivant le cas réfléchie ou transmise, on dit encore "diffractée", suivant des
directions privilégiées repérées par les angles q d qui vérifient pour les réseaux en
transmission :
sinq d - sinq i = kl/p
(2)
où qi représente l'angle d'incidence du faisceau de lumière arrivant sur le réseau (figure 6).
L'entier k est appelé "ordre" d'interférence.
qd
qi
Lumière
incidente
Sens d’orientation
positif choisi pour
les angles
Lumière
transmise
Réseau par
transmission
figure 6
Pour les réseaux par réflexion on a :
l
(3)
p
Comme avec le prisme un faisceau de lumière monochromatique qui arrive avec un angle
d'incidence qi est dévié d'un angle D tel que :
sin q d + sin q i = k
D = qd - qi
La déviation est minimale (en valeur absolue) pour la configuration symétrique qi = - qd, et
dans ce cas :
ÊD ˆ
l
sinÁ min ˜ = k
Ë 2 ¯
2p
Si la lumière incidente est polychromatique, les positions angulaires qd diffèrent pour chacune
des longueurs d'onde ; la lumière est décomposée en ses différentes longueurs d'onde à
l'exception de l'ordre k = 0 qui ne disperse pas la lumière.
Le spectre donné par le réseau est dit "normal" si le montage optique est tel que l'angle
d'incidence qi correspond à un angle de diffraction qd égal à zéro pour la longueur d'onde
moyenne étudiée (figure 7).
Disperseurs
5/8
L2
Récepteur
L1
qi
S
Objectif
F
Réseau
Collimateur
figure 7
Il faut remarquer qu'avec le réseau c'est la lumière rouge (lr > l b) qui est plus déviée que la
lumière bleue [voir les équations (2) et (3)]. Le réseau a l'avantage d'être plus dispersif que le
prisme mais l'inconvénient d'être en général moins lumineux car la lumière se répartit sur les
différents ordres. Cette répartition énergétique dépend de la géométrie exacte du motif
constituant chaque trait élémentaire du réseau. Il existe des réseaux "blazés" qui remédient à
cet inconvénient, tous les ordres sont pratiquement éteints à l'exception d'un seul où tout
l'énergie lumineuse incidente est concentrée.
Il faut noter que les relations précédentes donnent les positions centrales pour lesquelles on
observe de la lumière mais elle ne fournissent aucun renseignement sur la répartition
lumineuse angulaire au voisinage de ces directions qd.
IV.
Spectrométrie et pouvoir de résolution
L'intérêt d'un élément disperseur est qu'il va permettre l'étude du spectre de la lumière émise
par la source. Une des caractéristiques essentielles d'un spectromètre est son aptitude à séparer
deux raies voisines. Pour caractériser cette aptitude, on définit le pouvoir de résolution par :
l
dl min
dlmin représentant l'écart minimal entre deux raies que le spectromètre peut distinguer.
R=
IV. 1 Prisme
En général le prisme disperseur est placé dans un faisceau de lumière parallèle de diamètre
F supérieur à la hauteur du prisme (figure 8). Si la fente F est suffisamment fine pour que ce
ne soit pas son image géométrique qui limite la résolution mais la diffraction due à la
dimension du prisme, la dispersion angulaire a dans ce cas pour expression :
dD
b dn
=
dl F dl
b représentant la dimension de la base du prisme. La dispersion linéaire au niveau du
récepteur a pour valeur :
dx b dn
=
f'
dl F dl
f' étant la distance focale image de la lentille de projection L2.
Le pouvoir de résolution a pour expression :
R=
Disperseurs
l
dn
=b
dl min
dl
6/8
il augmente quand la variation de l'indice avec la longueur d'onde augmente donc quand le
nombre d'Abbe diminue.
L1
F
dD
S
F
Objectif
b
Collimateur
Récepteur
L2
dx’
figure 8
IV. 2 Réseaux
Comme pour le prisme le réseau est placé dans un faisceau de lumière parallèle de diamètre
F supérieur à la dimension L du réseau (figure 7). Dans ce cas la dispersion angulaire et la
dispersion linéaire dans l'ordre k s'expriment respectivement par :
dq d
k
dx
k
=
=
f'
et
dl
pcosq d
dl pcosq d
si f' représente la distance focale image de la lentille de projection L2 (figure 7). Elles
augmentent quand le pas p diminue.
Le pouvoir de résolution qui a pour expression :
l
= kN
(k étant un entier naturel)
dl min
augmente avec le nombre total N de motifs du réseau. Par conséquent un réseau à haut
pouvoir dispersif et très résolvant aura un grand nombre de motifs séparés par un petit pas.
Contrairement à ce que pourrait suggérer la dernière relation le pouvoir de résolution ne peut
pas être indéfiniment augmenter. En effet on peut montrer que la luminosité décroît quand
l'ordre k augmente et pour un réseau de longueur L, le pouvoir de résolution limite est égal à :
R=
Rlim =
2L
.
l
Bibliographie
•
•
•
D. BARCHIESI
Cours, exercices corrigés et problèmes résolus posés aux concours, ellipses, 1998,
ISBN 2-7298-6867-4
J.Ph. PEREZ
Optique géométrique et ondulatoire, 4ème édition, Masson, 1994
SEXTANT
Disperseurs
7/8
Optique expérimentale, collection enseignement des sciences, Hermann, ISBN 2-70566315-X
•
J. SURREL
Optique instrumentale - Optique de Fourier, Ellipses,1996, ISBN 2-7298-9609-0
•
N. VANSTEENKISTE-WESTBROOK
Optique instrumentale, les éditions de physique, collection de la SFO,
282-2
•
ISBN
2-86883-
Catalogues Melles Griot
Joëlle SURREL
Université Jean Monnet
IUT Saint-Étienne
[email protected]
Article paru dans la revue de la Société française d’Optique (http://www.franceoptique.org/) : « Optique et Phonique » n°3 – 1999.
Revue dont « Photoniques » (http://www.france-optique.org/revue.html) a pris la suite
en janvier 2001.
Disperseurs
8/8