Sur le problème des chaines d`idéaux premiers dans les anneaux

f.
THESE ,.,
DE
DOCTORAT DE TROISIBME CYCLE
DE MATHEMATIQUES PURES
présentée
ALA FACULTE DES SCIENCES DE L'UNIVERSITE DE DAKAR
par
Marcel BASSENE
SUR LE PROBLEME DES CHAINES
D'IDEAUX PREMIERS
DANS
LES ANNEAUX NüETHERIENS
soutenue le 22 juin 1978 devant la commission d'examen
MM.
S. NIANG Président
H. SEYDI 1
D. S. THIAM
E. FEDIDA Examinateurs
A. COSTE
C. BADJI
ST S~3.9

INTRODUCTION
====== == ====
Le problêrne Q.es chaînes d'idéaux premiers consiste en 1 '~tude
des conditions moyerL~t lesquelles un anneau local noeth~rien est cat~
naire. L'~tude de ce ptoblèrne a été inaupur~ vers 1956 par NAGATA qui a
donné un certain nombre de critères intéressants et développé par H. SEYDI
S. Mc ADM1S et L. J. RATLIFF • ~Aalheureusernent bien QUe la nlupart des
résul tats obt.etU1s par NACATA soient vraies, les démonstrations qu'il en
adonnées
~taient presque toutes incomplètes. Il fallut attendre vers les
années 1967-69 pour que RATIJIFF reprenne et complète les dêmonstrations de
NAGATA. D'ailleurs le plus beau résultat de toute la théorie a ~t~ obtenu
par RATLIFF et dit le fait suivant :Pour qu'an anneau local noethérien
intègre soit universelleJ1lBI1t caténaire il faut et il suffit que son
....
camol~t~ A soit équidimensionnel. RATLIFF déduit de ce résultat qu'un
anneau
local noethérien henselien caténaire est universellement caténaire.
Il est d'ailleurs n.lausible au'un anneau local noethérien henselien soit
universellement catênaire. La Question est encore loin d'être tranchée
malgr~ quelques properés récents de RATLIFF dans cette direction. Dans
cette note nous donnons C!uelques crit~res 'POur qu'un anneau local noeth~rien
soit universellement caténaire. Certains de ces résultats donnent des
réponses affinnatives 2. des questions posées par ffiO'IHENDIECK et NAGATA.
On peut distinguer deux sortes de critères vour qu'un anneau
noethérien
soit caténaire.
D'abord i'-..:s critères forts ou CONDITIONS DES CHAINES (con-
dition (C)) , ensuite les crit8res faibles ou CONDITIONS T(Taut et Taut-
level en anglais). Beaucoup de résultats ont été obtenus par NAGATA et
SEYDI sur les premiers critères,. Les conditions Tont ét€ introduites
et développées par Louis J. RATLIFF et Steol'.en McADAMS •
...1. ..

La première nartie de ce travail comporte les définitions
g~nérales des conditions des chaînes et des conditions T. Nous exposons
aussi dans
cette partie des résultats récents obtenus par L. RATLIFF. Dans
la det~ième nartie, certains th60rèmes connus sont repris et leurs démons-
trations simplifiées p,râce aux résultats de la première partie.
Dans la troisième partie, de nouvelles caractérisations des
anneaux semi-Iocaux universellement caténaires sont ~tahlies. Les résultats
de cette partie sont nouveaux et donnent des réponses affirmatives àdes
questions posées par
NAGATA et GROTI-IENDIECK •

Je tiens à exprimer ma gratitude àMonsieur Hamet SEYDI, Directeur
de ma thèse, qui a su m'intéresser à l'Algèbre commutative et me guider dans
le choix du sujet.
Je remercie Monsieur LE DOYEN NIANG pour l'honneur qu'il me fait en
présidant le Jury de ma thèse.
Je remercie également Messieurs BADJI, COSTE, FEDIDA et S. THIAM
pour leur participation à mon Jury.
Mes remerciements vont également à Madame WANE qui s'est chargée,
avec compétence, du travail de dactylographie.

SOMMAIRE
CHAPITRE 1
-----------
1.- GENERALITES:
A.- CHAINES DI IDEAUX PREMIERS
B.- DONNONS QUELQUES DEFINITIONS
C.- CRITERES DE CATENARITE
1°)- Les Condrtrons (C)
2°)- Les Condrtrons <T)
II.- RELATIONS ENTRE LES CONDITIONS CC) ET LES CONDITIONS T.
CHAPITRE II.-
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- ANNEAUX LOCAUX NOETHERIENS FORHELLEMENT EOUIDIMENSIONNELS ET
CONDITIONS DES CPAINES.
Cl~PITRE 111.-
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- SUR LES FIBRES FORHELLES D'UN ANNEAU LOCAL NŒ1HERIEN ET LE PROBLEME DES
CHAHœS D'IDEAUX PRFMIEHS DANS LES ANNEAUX N:E'IHERIENS
A)- NOTATIONS ET DEFINITIONS
B)- RESU~IE
C)- ANNEAUX SEMI-LOCAUX FORMELLEMENT EQUIDIMENSIONNELS ET ANNEAUX
UNIVERSELLEMENT CATENAIRES.
2.-