Sur le problème des chaines d`idéaux premiers dans les anneaux

f.
THESE
,.,
DE
DOCTORAT DE TROISIBME CYCLE DE MATHEMATIQUES PURES
présentée
A LA FACULTE DES SCIENCES DE L'UNIVERSITE DE DAKAR
par
Marcel BASSENE
SUR LE PROBLEME DES CHAINES
D'IDEAUX PREMIERS
DANS LES ANNEAUX NüETHERIENS
soutenue le 22 juin 1978 devant la commission d'examen
MM. S. NIANG Président
H.
D.
E.
A.
C.
SEYDI
S. THIAM
FEDIDA
COSTE
BADJI
1
Examinateurs
ST
S~3.9
INTRODUCTION
= = = = = = ==
=
== =
Le problêrne Q.es chaînes d'idéaux premiers consiste en 1 '~tude
des conditions
naire.
L'~tude
moyerL~t
lesquelles un anneau local
de ce ptoblèrne a été
inaupur~
noeth~rien
est
cat~­
vers 1956 par NAGATA qui a
donné un certain nombre de critères intéressants et développé par H. SEYDI
S. Mc ADM1S et L. J. RATLIFF •
~Aalheureusernent
bien QUe la nlupart des
résultats obt.etU1s par NACATA soient vraies, les démonstrations qu'il en
a données
~taient
presque toutes incomplètes. Il fallut attendre vers les
années 1967-69 pour que RATIJIFF reprenne et complète les dêmonstrations de
NAGATA. D'ailleurs le plus beau résultat de toute la théorie a
~t~
obtenu
par RATLIFF et dit le fait suivant : Pour qu'an anneau local noethérien
intègre soit universelleJ1lBI1t caténaire il faut et il suffit que son
camol~t~
....
A soit équidimensionnel. RATLIFF déduit de ce résultat qu'un
anneau local noethérien henselien caténaire est universellement caténaire.
Il est d'ailleurs n.lausible au'un anneau local noethérien henselien soit
universellement catênaire. La Question est encore loin d'être tranchée
malgr~
quelques properés récents de RATLIFF dans cette direction. Dans
cette note nous donnons C!uelques
crit~res
'POur qu'un anneau local
noeth~rien
soit universellement caténaire. Certains de ces résultats donnent des
réponses affinnatives 2. des questions posées par ffiO'IHENDIECK et NAGATA.
On
peut distinguer deux sortes de critères vour qu'un anneau
noethérien soit caténaire.
D'abord i'-..:s critères forts ou CONDITIONS DES CHAINES (condition (C)) , ensuite les crit8res faibles ou CONDITIONS T (Taut et Tautlevel en anglais). Beaucoup de résultats ont été obtenus par NAGATA et
SEYDI sur les premiers critères,. Les conditions T ont ét€ introduites
et développées par Louis J. RATLIFF et Steol'.en McADAMS •
. . .1. ..
La première nartie de ce travail comporte les définitions
g~nérales
des conditions des chaînes et des conditions T. Nous exposons
aussi dans cette partie des résultats récents obtenus par L. RATLIFF. Dans
la
det~ième
nartie, certains th60rèmes connus sont repris et leurs démons-
trations simplifiées p,râce aux résultats de la première partie.
Dans la troisième partie, de nouvelles caractérisations des
anneaux semi-Iocaux universellement caténaires sont
~tahlies.
Les résultats
de cette partie sont nouveaux et donnent des réponses affirmatives à des
questions posées par NAGATA et GROTI-IENDIECK •
Je tiens à exprimer ma gratitude à Monsieur Hamet SEYDI, Directeur
de ma thèse, qui a su m'intéresser à l'Algèbre commutative et me guider dans
le choix du sujet.
Je remercie Monsieur LE DOYEN NIANG pour l'honneur qu'il me fait en
présidant le Jury de ma thèse.
Je remercie également Messieurs BADJI, COSTE, FEDIDA et S. THIAM
pour leur participation à mon Jury.
Mes remerciements vont également à Madame WANE qui s'est chargée,
avec compétence, du travail de dactylographie.
2.-
SOMMAIRE
CHAPITRE
-----------1
1.- GENERALITES:
A.- CHAINES DI IDEAUX PREMIERS
B.- DONNONS QUELQUES DEFINITIONS
C.- CRITERES DE CATENARITE
1°)- Les Condrtrons
(C)
2°)- Les Condrtrons
<T)
II.- RELATIONS ENTRE LES CONDITIONS
CC)
ET LES CONDITIONS
T.
CHAPITRE
II.------------
- ANNEAUX LOCAUX NOETHERIENS FORHELLEMENT EOUIDIMENSIONNELS ET
CONDITIONS DES CPAINES.
Cl~PITRE 111.-------------
- SUR LES FIBRES FORHELLES D'UN ANNEAU LOCAL NŒ1HERIEN ET LE PROBLEME DES
CHAHœS D'IDEAUX PRFMIEHS DANS LES ANNEAUX N:E'IHERIENS
A)- NOTATIONS ET DEFINITIONS
B)-
RESU~IE
C)- ANNEAUX SEMI-LOCAUX FORMELLEMENT EQUIDIMENSIONNELS ET ANNEAUX
UNIVERSELLEMENT CATENAIRES.
3.-
I.- GENERALITES
tm
Tous les anneaux considérés sont GOmmUtatifs unitaires. Si A est
p tm idéal premier de A, Afp est l'anneau quotient de A par p
anneau,
il est intègre.
a
tm
A
p
est l'anneau des fractions
seul idéal maximal p
Un anneau
et si A'
~
A'
= S-1
S
= A-p
; cet anneau
<
p.
est uneextension entière de l'anneau A si A
est entier sur A . Dans ce cas
dessus d'un idéal p de A si on a
trace de p'
S-l A où
TI
tm
=A
id6al
p'
premier de A'
np' . On dit aussi que
p
A'
est auest la
sur A •
A.- CHAINES D'IDEAUX PREMIERS:
Soient
p
et q deux idéaux premiers d'un anneau A • On aP!lelle
chaine c!'idéaux premiers entre p et a , une suite finie d'idpaux premiers:
p. f: p.
1
J
si
n-1)
et
~ur
avec
L'entier n est la lonpueur de la chaine.
La chaine est saturée si
premier
Pi+l
= p'
p'
tel (l.ue
TI
- p' ~_
- TI.'·'i+1
--i ~
Vi ( 0 S i
~
alors on a ou bien
p.
-1
tout idéal
= p'
, ou bien
•
Une chai.Tle cl' idéatx premiers saturée entre un idéal minimal et un
idéal maximal est dite une chaine
~imale.
B.- DONNONS nUELnUES 9EFINITJON5 :
1°)_ On annelle dimension d'un anneau A , la borne supérieure des
lonpueurs des chaines maximales d'idéaux preMiers de A • En abrégp diT)'} A .
2°) - Si 11 est un idéal premier de A, on appelle h..auteur de p
Cht
p)
la dimension de l'anneau local Ap
• On
annelle cohauteur de p
(coht p)
la dimension de l'anneau A/(I .
. . .1...
4.On a (;videmment la relation
ht p + coht p
~
dim A
pour tout
idéal premier n de A.
3
0
)_
a) Un anneau A
est dit éouidimensionnel si pour tout idéal
nremier rninir.. l p , on a
coht
b)
tout
id~al
C
AI p
=
dim A
L' wn.eau A est éauic6dimertsionnel si ht M = dim A pour
0
)_
Si deux idéaux p
et q de l'anneau A sont tels QUe
q , la dimension de l'anneau
A
q
1P AQ
CHAUlES
,~i
c~.aines
ht q/p
A est CATENAIRE ou vérifie la CO}.IDITIO~J DES
50) - Pn anneau
les
dim
maximal H de A.
4
p
p =
pour tout :couple d'idéaux premiers
saturses d' id~aux premiers entre
dL':} ft
1
qp
si
A
Q
tels que
(n,a)
r
et
dim
0
AnI,p
p
.= q , toutes
ont même longueur égale 8
A
a
est finie
6 0 ) _ Un anneau 1'. est dit UNIVERSELLHen' CATENAIRE si tout
A-algèbre de tyn.e fini est CATENAIRE.
FBHAROUES: Un anneau A est catenaire (resp. miversellement catenaire) si et
seulement si les anneaux
catf~aires)
AIfi
et P'p
pour tout idéal nremier
p
sont caténaires (resp. universellement
de
A.
C.- CRITERES DE CATENARITE :
Nous
allons définir des critères suffisants, plus ou
moins forts de catpnarit6 ; nuis nous examinerons les relations entre eux
Ces critères se divisent en deux prounes :
- Les CONDITIONS (C)
ou conditions des chaines qui impliouent
automatiquement la caténarité. ;
- Les CONDITIONS (T)
qui sont moins fortes et n' entrainent pas
toujours la caténarité. Ces derniers critères développés par RATLIFF constituent
un instrument -puissant dans la recherche des anneaux caténaires
0
.• 0/ •••
r
<~
Les conditions . (C)
·
t IOns
(T)
•
sont bien connues (1). Par contre les condi-
1e sontm01ns
·
'"
(2) . l\u.
..
pour eAt re p1us rccentes
SS1 nous 1ns1sterons
surtout sur ces dernières.
PRENIERE CONDITT01'T DES CHAHmS
Un aIl.11.eau
satisfait à la première condition des chaines, si
A
toute chaine maxÏI!1.ale dans
(C, )
A
a pour lonp,ueur la rlimens ion de A •
DEUXIP'E CONDITION DES CHAPJES
Un anneau
~
satisfai t
(C )
2
la deuxième condition des
p
que toute extension entière iritègIle B de A/p
satisfait à la condition (C,)
de
Al' anneau
PJp est tel
chaines, si pour tout idéal premier minimal
et
dirn B • dim A •
TROISIEME CONDITION DES CHAINES
L'anneau
A
satisfait è la troisième condition des chaines si
pour tout couple d'idéaux
de
A ,l'anneau
PROPOSITION
: La condition (C J implique la condition (Cl).
2
Preuve : On sait que toute extension entière de
est une extension entière de
B'
(A/
)
satisfait :'\ la
, p,q/p
(C Z) .
condition
Ol)
(C 3 )
minimal, p'
A
N TI
telle que
est de la fonne
p
= p' nA,
est aussi minimal.(BOURBAKI, Alg. comm., chap. V,
(2)
N'AGATA (Local rIngs,
L6]
et
VoIr RATLIFF (Seml-Iocal taut rlngs)
EGATON ~'1
r9]
et
si
P
est
coraIl. 2
. •• f ...
§ 2, n 0 1,
du Th. 1).
(1) VoIr
B'/p'
[2]
6.Si
maximale de
v~rifie
A
vérifie
se relève en une chaine maximale de
A
CC,)
: l a)- La condition
B', on en déduit que
A
implique que l'anneau est catênaire.
vérifie la condition
l b)- A
ou
vérifie ( C,), comme toute chaine
(C,).
~~RQUES
Ain
TI'
(Cz) ,
vérifie la condition
Ap
l c)- On
la condition
(C ) •
3
PROPOSITION
: Soit
d~duit
A
(C,) (reso. (CZ)) si et seulement si
(C,) (resp. (C;,,))'
de la ramarque lb)
un anneau
intè(J1'e~
Olle la condition
équicodimensionnel~
implique
(C )
Z
alo1's les con-
ditions suivantes sont équivalentes :
Preuve:
1°)-
A
vérifie la condition
(C 2)
2°)-
A
vérifie la condition
(C 3)
1~ Z cl' après la remarque
on voit qLie si
l c). En considérant l'anneau
vérifie la condition
A
(C
),.t)f
3
tout idéal maximal
M, le résultat en découle.
REMAR0UE I.Z- : Si
A
A
vérifie
est noethérien et vérifie la condition
(AI 0 ~
(C Z)
(C 1)
=
J\1
pour
alors
est de dimension finie.
EXEMPLES D'ANNEAUX CATENAIRES:
Tout anneau de dimension
inf~rieure
ou égale
~
deux est caténaire.
Tout anneau s~~i-iocal noeth~Tien c~let est caténaire •
CONDITION
idéal premier
CT 1)
TI
Un anneau
de
A
vérifie la condition
idéal premier
(T 2) : Un anneau
p
de
si pour tout
A on a
ht P + coht p
CONDITION
(T )
1
A on a
A
= ,
vérifie la condition
ht p + toh t: p = dim A
ou.
(1'2)
dim A
si pour tout
. . .1. ..
7.REMARQUES Z. 1
a)- La condition
b)- Si
(T ) implique la condition (T 1)
Z
est nœthérien et vérifie CT 1), alors A est de
A
dimension finie.
c) - Pour un anneau nœ thérien
implique l'existence d'un idéal maximal de
cohauteur 1 si A ne vérifie pas
II.-
A
haut~ur
A verifie la condition
(T ),
1
1 ou d'un idéal minimal de
TZ .
RELATIONS ENTRE LES CONDITIONS
(C)
ET LES CONDITIONS
(T).
Dans cette partie, nous dOIIDOP..5 trois résultats fondamentaux de
L. J.
RATLI FF
1°) - Soit P, un anneau semi-Iocal nœthérien, oui vérifie la condition
(T 1) . Alors pour tout idéal non maximal
ment
catér~ire
(vérifie
(C
p de A, l'anneau Ap est lLniverselle-
z)).
2°)_ Pour un anneau nœthGrien A,
local, les conditions suivantes
sont équivalentes :
a)- A vérifie la
conditio~
b)- A vérifie la cond.ition
3°)_
(T )
2
(C )
1
Soient A et B deux anneaux nœthériens tels que
A c::. B et
R entier sur A . Les conditions suivantes sont équivalentes
i)
N. B.
A
vérifi~
la condition
(Tl)
ii) B vérifie la condition
(T )
1
Désormais tous les
contrair~.
ar~eaux
considérés seront noethériens sauf mention
... / ...
LFlME 2. 1 - (Ratliff et S.H. Adam [9
Soit
8 .-
J , Lemme
1)
une chaine satur~e dans un anneau
Q
pep1C- Pz C. ••• C Pn-1 C
noethérien. Alors il existe une chaine saturée pC Pi C.
=
ayant mêmes extrémités telles que ht P!
1
PROPOSITION 2.2 - Soit
=1
i
j
.•. C P~-1 C Q
= 1,
Z, ... , n-1
QC M deux idéaux d'un anneau semi-local vérifiant
On suppose que
ht M/Q
ht P+i
Pi c
Tl .
est maximal. Alors on a : ht M/Q = Coht Q ou
M
.
Preuve : Supposons que ht
rvQ = k
1 < k < Coht 0 . On a la chaine sa-
et que
turée :.
o < Q1
QZr-::.
C
On la choisit telle que
= ht
ht Qi
et
On a aussi
ht
Gk-z
ht
~,Vo.
';k-Z
Q+i,
=2
Coht Q
+ k-1
Coht Qk-Z > 2 •
= dim
R = ht Q + Coht Q
(contradiction)
Z . Soit t~
par
= ht .0,
> 1 . Dans ce cas on a
ht Q + k-Z + Z
Ccmne Coht Qk- Z > Z ct ht
Q et k
ht n.
1
~I<-
donc
ht Q + k-Z •
=
=
ht Qk-2 + Coht ~-Z
=
C Qk-1 cM.
= 2 on aurait :
Car si Coht Qk-Z
donc k
DO
= 1'~1'
HI ~_ 2
M "'"
Z
• Z. On peut remplacer
!'h '
Qk- Z par
l'ensemble des idéaux maximaux
de R.
Soit
lN
= { 0' 1 0
C
0' C.
MlQ =
1
et
Q' € W
ht
1'/ - W'
est un ensemble fini, {
Coht Q' > 1
Car si Coht Q'
=1
(contradiction).
0' C
=
=
=Z
on a pour tout
1 .
Q+ 1 }
Q1 ' Oz ,... ,
Q~J
pour
Q' E W'
on a
ht tVO'
et connne il est non JTI8XiJl\8.l ,
ht 0' +
donc
= ht
ht r-V Q
Connne
ht Q'/O
W'= { Q' E W 1 ht Q'
Soit
~·1 } •
Coh~
Q'
=
ht Q + Coht Q
=
ht Q + 1 + Coht Q
Coht 0' > 1 montre que
U
ïvIz
U M U ••• U t1
3
n
donc
l'l' C_ U
Hz
U
U~
U{ 0'. E W} C U HZ U ... u rIn
U·
Q1' U ... H Q's
o •• /
•••
9' .-
Corrune M = U {Q' € W}
on a
U·
01' U ••• U ()'
U Hn
·S
Meu HZ F
ce qui est imoossible donc
Soient q c:. p
PROPOSITION 2.;5 -
vérifiant
que
p'
= Coht
k
Q •
deux idéaux premiers dans un anneau semi-local
Coht p>
Tl' avec
0
•
ht plq = 1 et
suppose que
On
ht p > ht q + 1 . Alors, il existe une infinité d'idéaux premiers
tels que
q Cp'
et:
= ht q+l,
ht p'
On sait, cl. , anrès
Preuve:
= 1 ou
k
=Coht p
Coht p'
< dim
A~ht
p'
Q-B ] proposition 2, appliquée à l'anneau AIq)
existe une infinité d'idêaux
, qu'il
.P' contenant q et tels que Coht p' = Coht
P •
D'après ( [3] corollaire 1.10 ) il ni existe qu'un nombre fini de ces idéaux p'
tels que ht p' > ht q+1 • Prenons donc un p'
ht p'
tel que
= ht
q+1 •
Ona
ht n' + Coht p'
donc
= ht
q+1 + Coht p< ht p + Coht
p~
dim A
Coht p' < dm A - Coht p'
PROPOSITION 2.4- Soit P
un idéal non maztmal dans un anneau semi-Zooal
A,
vérifiant (Tl)' alors l'anneau A vérifie (T J.
p
2
Preuve
On peut supposer que
~
ht p
2 donc on a
Soit Po un idéal nremier contenu dans
=
ht p
posons
ht
ht p/p
dim A •
p. Nous allons montrer que
+ ht Po
-0
plTl = k et supposons que
=
ht p + Coht P
le < ht p- ht Po . Soit
-0
Pc
c. P1 c ... C. Pk-1 C P
une chaine saturée telle que
ht p.
"1
On a en particulier,
D'apr~s
=
ht p> ht Po + k
la proposition
c
p'
TI
'0
=
+ i
=
et Coht p'
,
i
= 1,
ht p'
Coht p> 0
(cf. Lemne
2, ... , k-1
2.1.)
ht Pk-1 + 1 • On a aussi
.3 il existe un idéal pl
Pk-1 c: p'
Comme Pk-1
ht
ht
plp
.Ill
- k-1
1.
tel que
-- ht Pk-1 + 1 Coht
p'
p'
= Coht
p
n'est ni mnrnal ni maxi-
mal, donc
ht p' + Coht p'
donc
ht Il
= ht plPo
=
dL"Tl A < ht p + Coht p
+ ht Po
(contradiction)
C.Q.F.D.
. •. 1...
10.-
PROPOSITION 2.5 -
Si
v~ri fie
l'anneau AIp
Preuve:
p
tel que
ht
qlp
p
~
Coht p
2 • Soit
qlp < Coht p
+ Coht
Nous allons en déduire Que
maximal,
pour tout
id~al
p~
. (Tl)'
Nous pouvon.s supposer aue
contenant
alors~
A est un anneau vérifiant (Tl)
=
ht q/p + Coht q/p
q
un id€al premier
dim
AIp •
=
1
si
q
est non
serait non rnnximal et on aurait
ht p + Coht p = dim A ,
=
ht q/p
comme
r.t q
donc
ht q/p + ht P + Coht q/p
soit
ht q/p + Coht q/p
donc
q
ht P
+
=
(pl''JPosition 3.4)
=
ht P + Coht P
Coht p
(contradictions)
est rnaxiJr.al.
ht C!/p < Coht p
On a donc
=
ht q/p
1
et d'après la proposition 3.2 on a
ht q/p + Coht q/p
On a
l~:--
COROLLAIRE 2,5-
Coht q/p
comme
=
=
1
0
(q maximal)
C.Q.F.D.
Soit A un anneau semi-bcal vérifiant
(Tl)" les condi-
tions suivantes sont vérifiées :
1 0 ) Si
q et p
ht P
on a
2
0
)
sont deux idéaux premiers te l8 que
=ht plq + ht q
a:
=
ht P'3IP1
ht P I p
:3
2
=1
on a
ht p/Q
= Coht
q
donc
ht
PROPOSITION 2.6. -
o~!
=1
ht plq
•
d'idéaux premiers, on
P3
est maximal et
•
ht p
~
"1.t p/q + ht ct • La proposition 2.4
est maximal. NI..ontrons qu'alors
ht p
ht
pl q = 1 . Si
ht
pl q > 1
(proposition 3.2.). On a aussi
=
dim A
= ht
q +
Coht Q
=
ht q + ht p/ q
(contradictions)
pl q = 1 •
Tout anneau local vérifiant
Preuve: Soit
p
lUl
on a
=
dirn A .
Coht p
Pl C P2 C~. P;5
ht P'3IP2 + ht P21P1
Preuve: Prouvons le 1°)SUpposons que
montre que p
P est maximal et
011.
Pour toute chaine saturée
q C P alors
idéal prenüer minimal de
(T 2)
A
v~T'i.fie
• Conune
aussi (Ci·
A
vérifie
(T 2 ),
... / .. ·
11 .-
AIP
L'anneau
proposition 2.10
Np
PROPOSITION 2.7. -
Soit
v~T'ifiar.·~
Preuve
de
A
vérifie
P
(Tl)
id~al
un
Ar
alors l'anneau
'P
Pp
Soit
dim A 1 A
Il Po 11
vérifie (T2)' on a
pas maximal dans AIp
tD1
~/p
,
0
idéal JIlinimal
A
vérifie
p
•
o
une Ap
D
alg~bre
finie contenant Ap
D, avec
pin A
n
p
Pi = S-1
CT contenant A) • Si on pose
est saturée dans
T
= Coht
\
(cf. proposi-
=P
A
tD1
P
n
= Cpht
0 C::' P, C •••
A . Montrons que
n
p
S-, T
Pi
et
=D
avec
n'est
ç
= dim
p~
An •
S = A-p
la c:P.aine
P n A = p.
n
et
D'après le going-up
il existe dans
= d~
AI
Soit T la A-al~0hre finie telle que
idéal
Pn
est non maximal, d'après
de hauteur n
D'
((5J, Théorème 8 )
et cohauteur égale à celle de Pn
p) .
nt étant pas minimal, on a :
ht pt + Coht pt
A
Po
vérifie Ut) et
p/
qo
Po
A
est
in'@
gre.
Nous pouvons donc considérer que
une chaine maximale dans
car
(C )
2
est non min :imal. Soit
tion 2.4.). D'après la proposition 2.S.
P'
v~T'ifie
dim A. 1 A - dim A = ht p
P Po P ->P
.
COJT1Jlle
"1)'
(C,) .
non maximal dans un anneau semi-local
n. Il suffit alors de montrer que
contenu dans
donc, dt aprês la
(C,). On en déduit Que A vérifie
On peut supposer oue
(C 2 ) et que
(Coht
cr, )
est local intègre et vérifie
vérifie
PROPOSITION 2.8. enti~re.
cr 1).
=
=
ht p + Coht P
On en déduit que
dim A
n = ht p •
Svit A un anneau semi-local inMgre et
Soit M'
idéal maximal de
ICl
ht M' nA> ht M'
alors on a
ht M'
Preuve : Supnosons que
1:
3
.
A
B une·
A-a'f.g~bl'e
B tel que
v~T'ifie
(Tl)
1 .
ht M" = m
Théorème 2 ) il existe dans A
tD1
et que
idéal
, <
ID
< ht M' ~ A . D'après
p de hauteur
([51
1 et de Cohauteur rn-1 •
• • • /
e ••
1 2Cormne A vérifie
CT,}, on a
=
dim A
(contradiction), donc
PROPOSITION 2.9. Tl.
ht M'
ht p + Coht P = m < ht H' n A
=, •
Soit A un anneau semi-local, intègre,
Soit
B untlA-algèbre entière intègre contenant A . Pour tout :
idéal p , de
B on a
ht p'
où p'
nA
=
ht p'
est maximal de hauteur 1.
Preuve : Supposons oue
(p :: p' n A) • Dans ce cas
ht p > ht p'
vérifiant (C Z) et comme np
Sinon \
noeth~rien~ v~rifiant
dim A
P
=
entière sur \
n
ce qui serait tme contradiction. Donc p
ht p'
ht p > k > 1
ht n , en outre
=, .
=k
ht p'
Si
>,
on aura
ht p' nA> ht p'
et en appliquant la proposition 2.8. on voit que
PROPOSITION 2.10. -
' on aurait
dint B = dim B 1
P
p
est maximal ainsi que p' •
=
dim B
lfaintenant, montrons que
est maximal.
p
=, .
ht p'
Soient A un anneau semi-local intègre et
B une A-algèbre
entière intègre contenant A • Alors l'anneau A vérifie la condition
(Tl) si et seulement si
B vérifie (Tl)'
tm idéal premier dans A, il
Preuve : Supposons que 13 vérifie (T,). Soit P
existe tm idéal premier p'
Coht n'
= Coht
B tel que p' n A
dans
dint B
et
= dim A
ou
= ht Il
+
Coht p
on voit oue
ht p + Coht p
= ht p'
+ Coht p'
::
diM B
ht p + Coht n
= ht P
+ Coht p'
::
1
f
Réciproquement. Suprosons Que A vérifie (T,). Soit pl
mier dans
Sinon on a
= ht P ,
ht p'
p . On a
ht u' + Coht nI
COJlITle
=P
B. Si
TI'
ht p' n A
est maximal de hauteur 1 on a
=
ht p' + Coht p'
D'où B vérifie (T,).
ht p'
=
=
dÎJn A
un idéal pre-
ht p' + Coht p'
=1
.
(cf. proposition 2 .9), donc
ht p' n A + Coht p' n A
=,
ou din A
=
dim B
... / ...
1i .COROLLA.IRE 2.10.1- Soit A un anneau semi-looal
(Tl)~
et
A-alg~bre enti~re~ intègre~
B une
tout idéal non arnximal p'
(C
Preuve
2
int~(J1'e
de
vérifiant la oondition
oontenant A. Alors pour
B ~ l'anneau
B '
vérifie la oondition
p
J.
B
(T 1) , d'après la proposition 2.7 on a
vérifie
COROLLAIRE 2. 10. 2- Soit A un anneau looal
int~gre
Bp '
et B une
vérifie ÇS2)'
A-alg~bre enti~re~
looale!) oontenant A et intègre. Les oonditions suivantes sont équivalentes :
1)
B
'i>\rt:
vérifie la oondi tion (Cl)
~dfi"
;'
! : ( ItILI01I1Nqp/ 1 •
\\ .·ret"e.
/'
':?
'8s! • '
vérifie la oondition (T ~
2)
B
3)
A vérifie la oondition (T ~
4)
A véPifie la aondi tion (C 1 )
COROLLAIRE 2. 10. 3-
Tout anneau looal
"~~
int~gre henseZien~
oatenaire est univer-
sellement aatenaire.
PROPOSITION 2.11.- Soient A et B deux anneaux int~gres tels que A C B~
A est semi-looal noethéPien~ B est entier sur A et poss~de le même
nombre d'idéaux maximaux que A. Alors les oonditions suivantes sont équivalentes :
1°)- A
vérifie la oondition
2°)_ B
vérifie la oondition
Preu-,re : a)
1
) 2 . Pour tout idéal maximal N de A, i l existe un idéal Inmd-
mal et un seul Mt
de E au dessus de H ayant même hauteur. On en déduit que
les idéaux maximaux de B ont même hauteur. Comme B vérifie la condition (T1)
(proposition 2.10) B vérifie la condition (T 2) .
b)
~
1 . A vérifie aussi
hauteur, donc A vêrifie
(T )
1
et tous ces idéaux maximaux ont même
(T.,)
LEMME 2.2 : Soit A un anneau noe thérien~ de valt-:ation sur un oorps K pour tout
anneau B tel que A CB CK •
Alors
p
de
A
B
est un anneau de valuation et il existe un idéal premier
te l que
B
= Ap •
... / ...
1 4.Preuve
X ~ B , on a donc X ~ A
Soit X € K et
sur K,
X-
1
€ A donc
X-
1
comœ A est de valuation
?
€ B • On montre ainsi que
B est de valuation sur
K.
Soit 'D'
~A
c:: B ,
"P- P
de façon évidente
Soi t
b
~
p -.-
*
=
X
X
€ A
v
~
ft.
donc
l'idéal maximal de B • Posons
;>
A
a
0
= n'
nA. On a
= B ).
€ B : il Y a deux cas
XEAp
donc
alors
b
n'est pas inversible dans A ,
= X€Ap
On vient de montrer que
REMARQUE
p
P n'est pas maximal dans
ne ~ . Ce qui don.Tle Ap = B .
A car B '# A •
Pp c.. B
rH.AP 1TrH7
'5·-
rT
ANNEAUX LOCAUX NOE THERIENS FOR'·)'ELLEMENT
EQUIDHŒNSIONNELS ET CONDITIONS DES CHAINES
Dans cette partiesdes relations entre un anneau local noeth8rien et
son séparé conplétê sont étudiées. De nouvelles relations entre les conditions
(C,) et (C Z) d'une part, et (T,) et (T 2) d'autre part,sont établies. Ce qui
permet de voir pourauoi les conditions suivantes sont éauivalentes pour un anneau
local noethérien intègre A:
a)- A est universellement caténaire.
b)- A vérifie la condition
(C )
Z
Nous donnons, d'un théorème de 1. S.
stration simplifiée. La proposition
d'~tablir
~.4'
COHEN
(p ropos rt ron
3.5), une
démon-
dont la démonstration est sÈTIPle permet
COmMe simple corollaire, un théorème de 1. S.
COHEN
(prop.
3.4).
La
proposition 3.9 est dœ2. NAGATA; nous en donnons une démonstration be3ucouP plus
simole. La proposition 3.3 dûe
P.
H. SEYDI joue un rôle important
dar~
cette par-
tie et la suivante. La plupart des résultats obtenus sont dûs à NAGATA, SEYDI et
RATLIFF.
ll) .-.
L~ 3.1.-
(RATLIFF [12J Th. 214 et 215 )
Soit
A
nœthérien~
un anneau local intègre,
d'idéal maximal
M.
Les cnnditions suivantes sont équivalentes :
a} - Il existe une chaine de longueur
o}-
c}- Il existe dans le complété
q
~
tel que
coht q
=n
w
premier minimal
~
e}- Il existe dans
B
de
A
qui pos-
n.
r1
de
B
de
A
un idéal premier mini-
de cohauteur
A l~l(M~X}
(A[X] )
1,~
n .
~
un idéal
,,,[X]
une chaine de longueuza
Il existe~ dans le hensélisé AH de
de hauteur n-1
A
.
d} - Tl existe dans le complété
f}-
dans
Il existe une extension entière intègre
sède une chaine maximale de longueur
mal
n
n+l
A, un idéal premier q
et de cohauteur 1 •
COROLLAIRE 3.1.- ( (12] , corollaire 2.16 à 2.18)
Soit
un anneau loaal:J nœ thérien~ intègre d'idéal maximal
A
M • Les conditions suivantes sont équivalentes :
1 0)--
A vérifie la condition (C 2)
2°}_
A
3 O} -
A [X']
est caténaire
L'annéau
4°}-
5°}-
LE~~ 3.2.- ( [12J
est formellement équidimensionnel
A
A [.X lM A[XJ
est caténaire
est universellement caténaire.
remarque 2.25)
Soit
premier de
(A:JM)
un anneau local:>
intègre~
nœ thérien~ et p un idéal
A.
1°}_ Si dans une extension entière, intègre
une chaine maximale de longueur n
de longueur n + ht p
~
Alp
B de
.) il existe
alors il existe une chaine maximale
dans une extension entière, intègre de
2 °}- Si, dans une extension entière, intègre
te une f:Jhaine maximale de longueur
male de longueur n + coht p
n~
B'
de
A.
Ap ' il exis-
alors il existe une chaine maxi-
dans une extension
entière~
intègre de
o
0
.1. ..
A.
1"7.PROPOSITION 3.1. : Soit
1°)-
A
v~rifie
A
idéal maximal
et on a
un anneau.
M de
A
~
l'anneau local
dim A <
et si
00
3°)- S'il existe une
(Cl ) (resp.(C )) et si
v~rifie
A
3
0
A
dimA <
contenant
entière~
On a
) -
maximale de
A,
dim A = dim
2
A.
~
00
~
et vt1T'ifiant
v~rifie
A
A
et telle
B ~ a lors
q~'aucun él~ment
B
véri fie
v~rifie. (C,
A
aussi me
(
A
de
Ct.
dirn B
). Soit
A'
=
me chaine
1)1 C •.• C Pn
B,
donc
dim A
une A-alp0bre
vérifie (C Z)'
P,
On remarque que
-
Montrons que
BIP
'Po C
enti~re,
A'
intègre.
vérifie
A'
est
(Cl). On en déduit
vérifie (C ).
Z
40 )
comue
=
P-aleèbre. comme
A
n . Soit
elle se relève en me chaine maximale de
TI
dim
(r-sp. (C ))/ il en
(Ci
Le ,0) et le 20) sont évidents.
Preuve
que
2
A-algèbre entière contenant A
n'est diviseur de Z~l'O dans
donc
(Cl) (respJ C ))
aussi (Ci (resp. (C 2))
est intègre et vérifie ( C2) et si B est une
2
A-algèbre
v~T'ifie
AM
est de même pour tout quotient intègre de
4 0) - Si
et seulement si.; pour tout
=dim A .
dim AM
2°)_ Si
si~
( Cl ) (respJ C2))
= dim B.
Soit
entière de
A
B
B'
~
B •
B/ p
entière sur
A~.
n'
lm id~al
n/p
m.inimal de
B ,
vÂrifie (Cl)' donc
est éouidirnension.'"".el et caténaire, donc v~rifie (Cl J.
B/n , c'est aussi une extension
me extension entière de
R'
PROPOSITION 3.2.
= dim
vérifie (Cl J. Soit
TI
p' n A = 0 , on a
dim A
vérifie
(C,)
donc
vérifie
J3
(C
z)'
Soi t
A
un anneau intègre de dimension finie qui véT'ifie
(C2 ) ~ et soit
B
une
qu'aucun élément de
A
A-algèbre entière contenant
A
et tetze
non nul ne soit diviseur de zéro dans
1°)- Toute chaine maximale de
de
A
B
s'abaisse en une chaine maximale
et réciproquement.
2°)- Pour tout idéal
Q
dE
B.
A"ona
ht Q
=ht
(Q
B) .
__ .f...
18.-
3PJ- Pcnœ tout idéal
P~
Soit
c:;:
vérifie (Cl)' on a
pi c··· c-n~
n = dim B
P~
ayant pour longueur
n
on a
nt
Q1
= nt
une chaine maximale de
= dim A
A c...
(Q'n AJ
ni
n
B • Convne
; la chaine
ft. C ••• C P~
n
A
Q
un idéal premier miDima.l au dessus de
P
dans
ht 0 = ht 'P • Soit fi 9 un idéal premier dans
B
au dessus de
et n'
Q13 cp' lest minimal au dessus de
on ,donc ht OB = ht p' .
n A)=
= ht p
ht p'
D'apr0s le 1°) on a
ht (Q'
fi
est maximale.
dim A
2°)_ Soit
On a
B
1°)_ La réciproque est évident.
Preuve
On a
de
0,'
ht [ (0' n A)BJ
donc
ht 0'
<
ht Q
(Q'
car
Comme on a de façon évidente
ht 0' n A
on en déduit
ht Q' = ht (0' n A)
~
= ht
A.
p.
QB •
n A)B
C Q'
ht 0'
PROPOSITION 3.3.- (H. SEYDI)
Soit
Preuve
A
un
anneau semi-Zocal (non nécessairaement noetMPienJ de
dimension finie. AZors
A
ment si~ son nensélisé
AH
1°)_ Cas
o~
A
vérifie la condition
(C
2
J si et seule-
véraifie la même condition.
est local intèpre.
Dans ce cas, d'après NAGATA ([6 ] ~ 43.3 p.180) i l existe une A-algèbre
intègre entière
B
~
contenant
~~
A et un idéal maxi.Jr!al
de
B
~
avec
H
A-l\f'
Si
A
premier minimal
vérifie
p
de
(C Z)
B,
Réciproquement : si
on voit que
B
vérifie
A
vérifie
B
(C
donc
AH
B/p
p,
(C 2)
vérifie
vérifie
vérifie
(Cl)
~
DOur tout idéal
(C ) ' On en déduit que
Z
S
corrane
est éQuicodimensionnel~ d'après la remarque
z) ,
(C Z)
~
on anplique alors la nroposition 1.1 de
dim AH = dim A
«(18] 1, 2' ~ 2)
[1'8] pour voir que
... 1...
19.20 ) _ Cas où
A
On a alors
maximaux de A . Si
Ar.~
donc
AH = TT CAr,f) H
~
A
vérifie
JI
z) ,
vï5rifie
chaoue
=
èiJn AH
(Ar-1)H
vérifie
A
vérifie
(C
[1 ~J)
z) , chaQUe
(C z). (Remarque 1 ~ 2',
,f
=
di,"!J.'Ar,.1)H
(C Z) . (Remarque 1 ~ 2', ? de
vérifie
Réciproquement si
CCz) ,donc A"
(C
parcourt l'ensemble des idéaux
li
0'1
(C Z) 'ri M ; donc
vérifie
en déduit que
est serni-local.
de f1~)
(t\/-!
dk
(C
z) ,
1)1
on
.
vérifie
.
PROPOSITION 3.4. - (1. S. COHEN).
Soit
A
un anneau semi-local,3 nœ thérien complet. Alors les
conditions suivantes sont équivalentes :
1 °)-
A vérifie la condition
2°)_ A
(C1)
est équidimensionnel
3°)- A vérifie la deuxième condition des chaines
SI
REMARQUE:
mal de
A
est seml-Iocal complet naithérlen • Soit
A , l'anneau local
AM
M
(C 2)
un Idéal maxl-
est noethérien complet. La proposition 3.4. est
une conséquence de la proposition suivante.
PROPOSITION 3.4.' _. Soit A un anneau local complet. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
â)- A vérifie la condition
(Cl)'
b)- A est équidimensionnel
c)- A vérifie la condition
Preuve:
a
-0.9
b de façon évidente.
c
(C 2 ).
~~
a par définition. b '='-=> C d'a-
près le corollaire 3.1., il suffit de remarquer Olle pour tout idéal premier minimal
p de Al' 31U1eau Ain est formellement équidimensionnel.
Donc A est formellement
condition
caténaire~
ce oui prouve que A vérifie la
(C )
2
PROPOSITION 3.5. - Soit A un anneau semi-local formellement équidimensionnel,3
et soit p un idéal premier de A
~
alors :
"
CI
./e _.
20.et
Ap
sont fomeZlement équidimensionnels
vérifie la condition
3°)-
(C2)
Tout A-algèbre local, essentieZlement de type fini et in(C 2)
tègre, véT'ifie la condition
(en pazoticuleiT'
A
est univep-
sellement caténairo).
Preuve
1°) - a) Soit
Si
E
un idf:al maximal contenant
= J\,yp \i
est la cohauteur d 'tm idéal minimal dans le complété 13 de
n
B , les lenmes 3.1. et 3.2. montrent que
 de
minimal dans le complété
'14'P 1\1 est fonnellement
'1,11 A.. vérifie (C Z ) pour
et que
p "'JI:!
n
A, donc
dirn ~4 p
Ce qui montre que
que
posons B
1:>
1\
+
ht P
n + ht p
est la cohauteur d'un idéal
=
dim A .
ne dépend pas de l' id~al maxiJ!lal H
équidimensiOlUlel. Le corollaire 3.1. montre
tout M.
Corrrne :
(ÂI p)
vérifie la condition
(Remanque 1 2' 4,
(C )
Z
1 -~8]>' donc N n
est
formellement équidimens ionnel
b)·- Si
complété
B'
de
B'
est la cohauteur d 1 un idéal premier minimal dans le
n
=A
, on voit QUe
P
idéal premier minimal dans
Donc
An
(1°)b) ,donc
1\'1
dim
on en déduit que
A
est la cohauteur d'un
est formellement équidimensionnel.
ZO) - Pour tout idéal maximal
dimensiOlUlel
n + coht p
...
A.
H ~ l'anneau Ar1 est fonnellement équi-
vp,rifie la condition
(C ) . Corrme
Z
1).-1 = dim A
vérifie la condition
(C ). Pour tout M ,maximal AM est
Z
universellement caténaire (corollaIre 3.1.>. Donc A est universellement caténaire.
3°) - Comne
A
est lmiversellement caténaire. Tout A-alp:èbre B
H
essentiellement de type fini est caténaire. Son hensélisé B
i
I
(car If! est de type fini). Donc
vérifie la condition
que B vérifie la condition
(C Z) (proposItIon 3.3>.·
~
.
est local catenaIre
(C ) . On en déduit
Z
... 1...
21.PROPOSITION 3.6. : Soit
A
un anneau loaal
~quivalentes
aonditions suivantes sont
1°)_
A est formeUement
2°)-
A
v~Pifie
hens~Zien
:
~quidimensionnel
la aondition (T )
2
3°)- POUl' tout anneau quotient int~gre
A véPifie la condition
4°)_
1==~~ 4
Preuve
3
~
--=> 2
2
B
A", B
de
v~Pifie
(T )
2
(C )
2
d'après la proposition 3.5.
de façon évidente
1 ===>. 3
(C Z)
nœ tMPien~ int~gre. Les
car si
A
est fomellement équidimensionnel,
4 ===> 1
donc B vérifie (T2) •
(propos 1t 1on 3.5.)
longueur n dans la clôture intègrale de A ,correspond
B v6rifie
car toute chaine de
~
un idéal minimal dans
A
le complété A, de cohauteur n.
Comme toutes les chaines maximales de la clôture intégrale de
A
ont
A
même longueur, A est éQUidimensionnel.
unibranahe~
PROPOSITION 3. '1 : Tout anneau loaaZ
ou
Preuve:
~gale
à deux
v~rifie
la aondition
On peut supposer que A est
int~gre.
nœ tMrien de dimension inférieure
(C 2) •
On sait que A est caténaire
ainsi que son hensélis~ AH (dim AH ~ 2) . Donc
AH
est universellement caté-
naire (CorI 1lalre 2. 10. 3), donc A vérifie la condition
(C ) (ProposItion 3.3).
Z
PROPOSITION 3. 8.- SO'it A un anneau serm-local noethérien
hens~Zien.
~quivat,entes
aonditions suivantes sont
Preuve
a)-
1 °)-
A véri fie
2 °)-
A
1=~->
(C 2
Alors les
:
)
véri fie (C 1 )
2 est évident
b)- Montrons que
2 ----=>1 •
A est produit direct d'anneaux locaux henséliens. Comme A vérifie
(C 1 ), ces anneaux locaux ont mêmes dimensions et vérifient CC 1) <Remarque 1,2',4 rrs)
/ ...
...
22.Ces anneaux locaux henséliens vérifient aussi CC ) car ils sont for2
mellement équidimensiOJmels, donc d'après la. même remarque
p
2', 4J A véri-
Il
fie (Cl.
PROPOSITION 3• .9.- Soit
A
un anneau
intègre~ noeth~rien.
Alors les aonditions
suivantes sont équivalentes :
1 0) -
A vérifie la aandi tian ( C2 )
2°)_ Tout A-algèbre
la aondition
Preuve
a)-'
b) -
;>
fini~ intèqre~
B
aantenant A
~ v~rifie
(Cl).
2 Dar définition
~()ntrons
Que
2-
=>1
pour cela montrons que, pour tout idéal
maximal M de Al' anneau .t.M vérifie la condition
Soit
~
114
entière finie de A.
(C 2) •
une extension entière finie de fy où B est une exter.c;ion
B vérifie (C,) par hynothèse, donc \1 vérifie
(C,) .
Le lenune 3.'. montre que 1)'1 est fonnellement équidimensionnel et le résultat
découle du corollaire 3.'. Comme A
lui-même vérifie
CC,)
on a
dim
Ar.1 = dint A
pour tout M.
Donc la remarque 0,2',
4J de
['8J montre que A vérifie la condition
- 23
01ArrTP':
SUR LES
FIBRE~
1l 1
FOm"ELLES D'UN ANNEAU LOCAL
NOE1"IFRIEN ET LE J'ROBLEHE DES CHAIi\TES D'IDEAUX
PRE~IER8
A. -
NOTATIONS
DANS
LES ANNEAUX
NOETHERIENS
ET DEFINITIONS :
Tous les anneaux sont
-
noeth~riens
('1
- ri
€ F
p
r-
'~n
..
={ enseMble
des idéaux premiers de
A de hauteur , .
"-
L'anneau A est le séryaré comnlété de l'anneau semi-local A .
a)
Un anneau semi-local intèPTe A vérifie la condition
idéal nrernil!r, diviseur de
b)
vérifie
(S,)
c)
z~ro,
(S,)
si tout
(8 )
2
si A
est minimal.
T'n mmeau semi-local intègre A vérifie la condition
et si pour tout élément l'égulier
Un armeau local intèrre
A
b , l'anneau F
= AIhA
vêrifie (S,).
est unibranche si sa clôture intégrale
est un anneau local.
A est p,éométriquement unibranche
si fi.
est unibranche et si le
corps résiduel de la clôtllre intép,rale de A est lme extension radicielle de celui
de A.
d)
lIn éllIDeau A est japonais si la fe:rm.eture intéPTale de
extension finie
K de son corns des fractions
particulier, la clôture intégrale A'
1
le est une
A dar.s une
A-algèbre finie. En
de A est une A-algèbre finie. On dit oue
A est universellement janonais ~ toute A-algèbre de tyPe fini intègre est un anneau
japonais.
e)
Le Snectre de A est unièranche (resp. géométriquement unihranche)
si pour tout élément
p € Spec(A)
1 'anneau
~
est unihranche
(resp. géométrique-
ment tmibranche).
... / ...
- 24
B. -
RESUHE
Soit
A un anneau semi-1oca1 noethérien
intèpre. On se propose de
donner des conditions suffisantes nour nue l'anneau A(1)
soit un A-algèbre
finie. Les -princinaux réS"oll tats de cette partie sont les suivants :
anneau semi-1oca1 noethérien intèr;re. On suppose rue
lUlihranche et Olle  vérifie
(S1)
0
Alors /\(1)
On tire de ce résultat le fait suiva'1t : "Si
intèpre tel que
ft.
vérifie
(51)
l\
Sncc(A)
,!
Soit A un
est géœétriQueœent
est une A-al~èbre finË, TIffiOREHE (l)
est un anneau semi-1oca1 noethérien
,alors il existe une A-a1pèbre finie B con-
tenue dans le corps des fractions de A oui vérifie
(52) • (Corollaire
II 2)) "
Ces deux résultats nous nermettcnt de donner des conditions suffisantes pour
OU'lLTl
anneau semi-loca1 noethérien A soit universellement caténaire . La plupart
des résultats de cette nartie donnent des rénonscs affirma.tives il des questions
de NAGr-"ŒA et GRO'JP.T:.;\IDIECK sur les anneaux universellement catênaires.
25.THEOREME I. - : Soit
A
un anneau ZocaZ nœ thérien
int~gr'e.
On suppose vérifiée
Z'une des conditions suivantes
10 ) -
Spec (A)
est géométriquement unibranche et Ze sépal'é com-
....
pZété A de
A
2°)- A
vérifie
(51)
est un anneau ZocaZ unibl'ancbe3 aaténail'e et ea c7,ôtu1'e
intégl'aZe est un A-moduZe de type fini. AZol's~ Z'anneau A (1)
où
parcourt Z' enserribZe des idéaux pl'emiel'B de
p
A-aZg~bl'e
est une
1°)_ La condition
Preuve
= n Ap
~
A de hauteU!'
1
finie.
(1)
est vérifiée
posons
....
X = Spec (A)
A' = A;
Soit
un idéal de
l
Z = V(I)
Soit
D'après
l
[2] lemne
=
R
où
COJIJ'le A'
ht p'/o'
~'l
A'
= Spec
y
contenant
lA'
(p' € Z') •
] si l'on pose:
18 09 • 7 . 7
et
(R)
TT = Y - {y}
=1
vérifie
, alors
contenu dans p' . J!1Üntrons que ht (p' / q ,) ~ 2 •
(S1) ,
contenus dans
p'
p
nexe, on a
0
A'
et soit
qi
n
D(f)
=1q'
U = D(f)
0
A',}
p
qz
n~
W = D(f)
• on voit que l 'OlNert
q' A', • Donc
- {y}
les autres idéaux premiers minimaux de
f €
~ q'
est premier minimal. Supposons que
q'
A' p' est un point fenné de U = y
q'
·
,
501ent
Ql'
dim R
2 ; posons :
Z' = V(I A')
A' p';
Soit a ' 6 ASS (A' )
f
~
est le point fenné de Y , alors U est connexe.
y
et
de hauteur
A
un idéal premier de
p'
X' = Spec (A')
de
se réduit au
Y
est OlNert et fenné dans
On en déduit que
U
0
Corrone
seul point
U est con-
R n'a que deux idl§aux premiers, donc
= 1 ; mais on a
din! (R)
Lht(I AI)
~
ht(I A')
=
ht(I)
Il Y a donc contradiction. Donc
[EGA IV,[2];7,2,3J
que
A(1)
=
~
2
par platitude
J.
ht (1)
ht p' / q ,
>
est une A-algèbre finie.
2 • On en conclut d'après
... / ...
26.-
2°)-La condition (2)
est vérifiée.
dim (A) ? 2 • Soit A la cloture intégrale de
On peut supposer que
A • Soit P
un idéal premier de hauteur 1 dans A ; rosons p =
sait que A
est local de
dim? 2 • Corrme
Ii'
est non maximal,
p "A •
p
On
est aussi
est universellement caténaire [Propos rt 1on 2. 7 • J.
non maximal. On sait que Ap
Donc tout idéal maximal de Ap
Cqui est entier sur li. ) est de hauteur == dim A •
p p
Comme :
htpA
, Tl =
dim
On en conclut que
1 =
C\) =
1
=
1 •
A(1) ~ A(1) • Comme
= ht(p) donc
:A(1)
est intégralement clos s on a
que
dim. Ap
= A
donc
A
A(1) cft... Ce qui montre
est un A-rodule de type fini •
COROLLAIRE I. 1. - Soit A un anneau semi-looal;, nœ théT'ien, hensélien, universellement japonais et oaténaire, alors, pour tout anneau quotient intègre
B de
A, l'anneau B(l)
B de A est un anneau local unibranche et caté-
Preuve : Tout quotient intègre
naire. COII1Ile
de
B
· .
type f In1.
RFJ.1ARQUE
est une B-alg~bre finie.
est un anneau japonais, sa clôture intégrale est un B-rnodule
D' aores
' le Th~
, 1, . Pn(1)
eoreme
es t une B-al gt:~bre f··
1n1e.
On peut donner de ce corollaire la preuve suivante :
- L'anneau
A = TI A.
1
0)
les A.
1
sont des anJleaux locaux henséliens.
Les Ai
sont caténaires donc vérifient
vérifie
(C 2)
[[.~
remarque 1 2' 4]
(C
z) , on en déduit
A
que
A . est par conséquent \mi-
versellement caténaire. Le résultat découle de
[2] (corollaire 5-11-6
p. 125).
COROLLAIRE I. 2.- Soit
A
un anneau semi-looal, nœthéT'ien,
pose que le séparé oomplété
une A-algèbre finie
-Preuve :
fractions
int~gre.
On sup-
 de A vérifie (81). Alors, il existe
B, oontenue dans le oorps des fraotions
Il existe une sous A-algèbre finie
K de A, telle que Spec (B)
K de
B du corps des
soit géométriquement unibranche et
••• /
•
0
•
27.-
:elle que B vérifie
(51) .
les idéaux rnaxÏJ!1.aux de
A
Comme
B
A
= TIC..
1
cÇ1)
vérifie aussi
1
(51) .
Le théorème 1 montre
géo~étriquement unibranche.
est aussi
est une
1
C.
On voit Que
-
(C.)
Suee
.
1
que
B, posons
C.-algèbre
finie.
1
.
Ona
(1) _
C.
-
n(C.)
,
1 P
1
donc
B
( 1)
(1)·'
~ Ci
pour tout
1
En localisant en
une
CÇ1)
ht p' < 1
=n
1
B
r~
ht
P
p cM.
1
-
1
•
cÇ1)~ (B(1))
on obtient
1
/"
Mi
~~~)
donc
est
1
Ci-algèbre finie.
Soit
Pc
= T1~
R-.algêbrê finie , donc - -
B (1 )
A-alg.èbre finie o.ui vérifie
COROLLAIRE I. 3. -
Soit
A
B(1) ~
on a
R
A
= TIR(1)
qui est une
-Hi
B-algèbre finie , donc aussi une
est une
(S)
L2 • (cf'
-,
2 5 •.•
10 17) •
un anneau senri-local nœ th~rien intègre
~
A'
A. On suppose que le séparé complété
clôture intégrale de
la
...
A de
A
vérifie
,llors les conditions suivantes sont
a)- l'anneau
b)prenrier
POUT'
hauteur 1 ; posons
nA
a)
de
;>
A
autres idéaux premiers de
A'
de
pl
A'
de hauteur 1 l'idéal
est de hauteur 1.
b) • Soit
un idéal premier de
p'
au-dessus de
et
:
A-algèbre finie
p' nA. Désipnons par
j) =
x1 6 p'
-
est t.ma
tout idéal premier
p = p'
Preuve: T\1ontrons oue
A (1)
~quivalentes
X
1
~
P'
.,
= p'
.
A'
les
p'n
p'
'~·2'···'
de
p. Soint:
p!
. 1
i~2
posons
A1
=
Soit
dessus de
q
Arx1]
a
qui est une A-algèbre finie.
= p' n A1 ' on a
est aussi au-dessus de
x1 6 q
et comme tout idéal de
p, on en déduit que
'!!'
A'
au-
est le seul
28.id§al de A'
au-dessus de CI, donc
Corollaire (5. 10.17)
on a ht p
b) - -~ a) ; d'après
1I1ontrons Que
B
= ht
ht p'
= 1 .
conteme dans le corps de fraction K
Q = 1 • D'après EGA.
nr C21
1. 2 ., i l existe une A-alp,èbre finie
de
A, ': ui vérifie
(S2)' On a :
A~BCA' •
Soit
Cl n B = q
tel que
Si
Comme
Spec(B)
Cl €
B
tel que
ht ëï
donc
n ft..
P = CI
vérifie
on aura
(S2)
on a
q€
= 1 ~ i l existe
ht(q)
Spec(A')
= 1 .
ht Tl = ht
B(1)
= B,
C1
=1
donc
• Cela entraine
A(1)
est un,
A-module
de type fini.
COROLLAIRE l'. 3.clôture
SoientA
int~grale
vérifie
(Sl)
un anneau nœthérien
de
semi-local~ int~gretlt
A. On suppose que le
et que
A (1)
s6par~
complété
A'
la
A de
A
....
est un A-module de type fini. Alors les
conditions suivantes sont équivalentes :
Preuve
1 0)-
A vérifie la condition
2°)-
A'
que
il n'existe pas dans
condition
cr1)
1
A'
-~
un idéal maximal de hauteur 1,comme Ai
vérifie la
1~.,
()Ill
en déduit que
Al
vérifie
(T2)'
Soit A un anneau semi-local intègre, nœ thérien~ de profon-
~ 2 • On
2°)_
suppose vérifiées les deux conditions suivantes :
POUl'
 de
tout idéal premier
(A
A
p
dim Afp + dim Ap
vérifie
de
(Sl)
A, on a la relation:
= dim A
vérifie la condition (T 2))
Alors, l'anneau
D'apr~s
[7] remarque 3.7.
dim A ~ 2
1°)- Le s~paré complété
Preuve
(T 2)'
2 . Le corollaire 1.3 montre que si
(.9] prQlJosition
d'après
COROLLAIRE I. 4. deUI'
vérifie la condition
2 ==~:;i' la canditian 1 d'après
La canditian
r'~ntrons
(T 2 )
A(l)
est une
A-algèbre finie.
remaraue 3. 1, pour tout idéal premier de hauteur 1 ,
_
... / ...
29.p'
la clôture intègrale de
de
maximal de hauteur , . Si Tl '
Mais comrœ 'l'anneau
est maximal, alors p
p
A(')
Corollaire I.3 pour voir que
COROLLAIRE l'. 4. - Soit
~
= p' n
A
= ht
ht p'
est
est aussi rnaxÎ1Il.al.
A
p' n A
p'
ou
est de profondeur' [6 J Lemme ~3. 8 p. 118J
A
est de profondeur' ,(contradiction). Donc
deur
nA
ht p' = ht n'
A, on a:
= , • On
,
alors A
applique le
est une A-algèbre finie.
un anneau semi-local nœ thérien:; intègre, de profon-
2 • On suppose vérifiées les conditions suivantes :
.1°)- Le séparé complété
2°)_
A
 de
vérifie
(Sl)
vérifie la condition (T 2)'
A'
AZors la clôture intégrale
COROLLAIRE I. 5. - Soit
A
.1
de
A
vérifie la condition
(T~
•
un anneau serrri-local nœ thérien, intègre. On suppose
vérifiées les deux conditions suivantes :
 de
1 0)- Le séparé comp tété
2°)- A
Alors l'anneau
Preuve : A
d'après
~tant
A(l)
est une
(S 1)
A-algèbre finie.
tmiversellement caténaire, vérifie la condition
T)'
de hauteur'
(S' , donc
dans Ai
(clôture
est tel que
ht p'
On applique alors le
COROLLAIRE I. 6. -
vérifie
est universellement caténaire.
[18J proposition 1.2, tout idéal
intér.rale de A)
A
=
ht n' n A =
, •
Corollaire(I.3~
Soit A un anneau semi-·local nœ thérien, intègre. On suppose
vérifiées les conditions suivantes :
 de
1°)_ Le séparé complété
2°)- Tout idéal
est tel que
3°)- A
p'
ht p'n A
A
vérifie
de hauteur 1 dans la clôture intégrale
=1
A'
•
vérifie
(R )
1
Alors la clôture intégrale de
A est un A-module de type fini •
. . .1. ..
30.Preuve
Le corollaire (l.3 ) rnontre oue l'anneau
A(1)
est me A-alg~bre finie.
En outre
..,.
.,
= ( JA'p
Ai
corollaire 23.2.S· )
p. 220
P 6 Spec (A)
ht p;' 1
A vérifie
Comme
donc A'
( ) ft..!-.
=
ht n-~' 1
=
II Ap
A( 1)
=
A'
ht p=1
est une A-algèbre finie.
PROPOSITION
: Soit
A un anneau noéthérien semi-local 3 intègre 3
sion entière intègre de
On
suppose que
B une exten-
A.
 vérifie
et que
A
(1)
est une A-algèbre
finie.
Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
1°)- A vérifie (T )
2
2°)_ B vérifie (T2)
CT1)' en outre tout idéal de hauteur 1
Preuve : 1==> 2 . L'anneau B vérifie
dans
B s'abaisse en tLn idéal de hauteur 1 dans A .[[15] Corol larre 5.7 et 5.9J
donc dans B tout idéal maximal est de hauteur égale à. dirll B, de lC B v~rifie.
(T ) •
2
2 ==> 1 est déjà è~montré(cf. [4] remarque 3.7.1.)
COROLLAIRE 1.7- Soit A un anneau semi-local nœ thérien, intègre.
On
suppose
vé:Pifiées les conditions Buivantes :
...
1°)_ Le sépaY'é complété A de
2°)- A(1)
A vérifie
(Sl)
est une A-algèbre finie
Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
a)-
La elôture intégrale de
b)-
L'ensemble
tel que l'anneau loeal
A est un A-module de type fini.
E des idéaux premiers p
A
p
est fini et quelque soit
de hauteur 1 de
A
J
ne soit pas un anneau de valuation discrète
peE
3
la clôture intégrale de l'anneau loeal
Ap est un Ap-module de type fini.
• • • f ...
Preuve
rlontrons <lue
Comme a)
est vérifié on a
ai
D':""
A
= corns des fTactions de A •
Fr (A)
€
a·1
0:1
=
A'
1
Posons f
donc
tm
=
A'f
At =
A'f .C-.
A -c-f
- A'
f 1cl-fOl"';
'
.-f
anneau de Krul.
et f
];1 x h x ... x h • On a
2
n
=
on a donc
=
A
f
AT)
fA'
C
A CA'
et nar conséquent Af est
les Ar> sont de valuation discrète
ai]
Af
~ p .
Donc tous les idéaux nremiers de hauteur 1 tels que Ap
de valuation discrète
J
n'est pas
contiennent f, cet ensemble est donc fini.
La dernière assertion découle de [2J 'l')roposition (6 ..11.6 ii))
1
Montrons oue b
--~>a
.
Soit TI1 , ••• , nn les id8aux de hauteur 1 tels que Ap'
n'est
··1
pas intégraleMent clos.
On a aussi nar hypothèse
r
a· .
~=
I
j=1
Les
1)
'\.J étant dans la clôture inté~rale de A .
Soit p, = A [ '\j J
alors l'anneau B est une A-algèbre finie,
donc B(1)
est une B-a.1gèbre finie. Soit
La trace de q sur l\
Si
q
n
A
=p
=
un idéal de B(1) de hauteur 1 •
est aussi de hauteur 1. On a A(q nA) c_ B(1)
q
est él!al à l'un des idéaux n.1 , on a :
Comme A/p est intégralement clos, B(1)
q
2°) Si q nA
Cl
est aussi intégralement clos.
p n'appartient pas à l'ensemble {p.}
,on a :
.. 1
et on en déduit que
est intégralement clos.
et (8 ) • Donc B(1) est intégralement
2
clos (critère de nonnalité de SERPE). Comme B(n c. AI , on a B(1) = AI , donc
L'anneau B(1)
AI
est finie sur A .
vérifie
(PI)
32 .COROLLAIRE I.8:
Soit
A un anneau noethérien intègre. On suppose vérifiées
les oonditions suivantes :
M de
1°) Pour tout 1:déal maximal
l'anneau
2°)
est une
AM vérifie
A" le stparé oomplété Â de
M
(S1)'
Pour tout idéal maztma:L
de
M
A l'anneau
B(1)
(B
= AM
)
B-algèbrefinie.
Alors les oonditions suivantes sont équivalentes :
a) La olôture intégrale de
de hauteur
1
A~
A, l'anneau
de
est un A-module de type fini.
est ouvert dans
b) Nor(Speo(r1))
p
A
Speo(A) et pour tout idéal premier
olôture intégrale de
~
Ap
est un
A p
module de type fini •
Preuve: Hontrons que a ->b .
Si a)
A=
est vérifié on a
Soit f = b 1 , ••• , bn
n
L
1
C.
A F:-1
1
. On a f A' <-- A , donc
Ai = f Ai
A ..- A'
f'=- f
d'oil
=-:> D(f), donc Nor(Spec(A)) est
On en conclut donc Que Nor(Spec(A))
ouvert. ([ 2 J 6. 13. 4:) .
La dernière assertion découle de [2
b ==-->a.
Il existe f
~
0
J
Th. (6.13.6).
tel que Af
soit intégralement clos
donc Af = At
fi.
Soit n = r~
fraction de Af
Soit
011
M
est maximal dans
A. Df
est un anneau de
,donc Bf est intégralement clos.
P un idéal de B de hauteur 1 .
Si Bp
n'est pas inté?,ralement clos, alors f €
P .
L'ensemble F
de tels idéaux est fini et pour tout n € Spec(B) , la clôture intégrale de
B.p
est une
Bp
-aleèbre finie.
... / ...
33 .On applique alors le corollaire
que sa clôture intépra1e est une
(1.7) pour voir que
B-a1gèbre finie. Donc
B
= ~~ est tel
\{p € 511ec (A) la
clôture intégrale de l'anneau ATI est une AT-I algèbre
finie. L'anneau A
vérifie les conditions
donc la clôture
THEOREME II:
A'
(i)
et (ii)
de la proposition (6.13. 6) de [2J
de A est une A-algèbre finie.
Soit A un anneau local intègre;) noethérien. On suppose véri-
fiées les conditions suivantes :
a) La fibre fome lle de
vérifie
(S2)'
b)
(Alp )
A au point générique de son spectre
Pour tout idéal premier p
vérifie
e)
de hauteur
1
de
A;) l'anneau
(S1)'
Spee(A)
est géométriquement unibranche .
Alors l'annenu A est universellement caténaire.
Preuve:
D'après (EGi\
IV [3J Lemme
23.2.2) , la clôture intégrale A'
est un anneau local et toute chaîne maxiMale de A'
maximale de
de A
s'abaisse en une chaîne
A
Raisonnons par récurrence sur n
Si n = 2 , la remarque
= dim A
(5-2-2) de
.
[14J montre que A est uni-
verse11ement caténaire.
2 , il suffit de montrer qu:: l'anneau A(1) qui est fini
sur A est universelleIOOnt caténaire. Hais C01T8TIe A(1 ) vérifie les conditions
Si n)
a)
et b) du théorème, on est ramené a supposer que A vérifie
Soit q
lD1.
1)
idéal premier de hauteur
Si
q nA
=
~
2 du
...
comp1ét~
(0) , alors l'anneau 10<:":11
A de A :
Âq est de profondeur-·>. 2
puisque la fibre fonnelle de  au point générique de
par
(52) •
5pec(Â)
vérifie (52)
hypoth~se.
1. \
Si
1;>
=q n
A est de hauteur
1 , alors comme le complété .Â/pÂ
de A/p. vérifie (51) , l' anneau ~oca1 Â / DÂ est de profondeur ~ 1
q , q
donc prof (Âq ) = prof(A ) + prof(Â / ~ ) ) 2
(cf [2] 6. 3. 1 ).
D
q 11 q
... / ...
34 .-
3) Si P
profondeur
q
nA
est &e hauteur) 2
, l'anneau local Ap est de
est de profondeur) 2 . On vient
....
donc l'anneau local Aq
donc de montrer que A vérifie (52) , donc  est équidimensionnel
~
d'après (cf
2
=
~
[2J 5.10. 9
). On en conclut donc que A est universellement
caténaire.
COROLLAIRE II 1:
suppose que
50it A un anneau locaZ noethérien unibranche intègre. On
A vérifie la condition b) du théorème
II
et l'une des deux
conditions suivantes :
~(1) est une A-algèbre finie et A vérifie la condition a) du
i)
théor~me.
ii)
Les fibres formelles de
A vérifie
(51)
• Alors
A est uni-
versellement caténaire.
Preuve:
Soit B une A-algèbre finie contenue dans le corps des fractions
de A qui vérifie
(52)
(cf l 2) . Alors nour tout idéal premier p'
de
hauteur 1 de B, le complété de l'anneau A/p'fl A vérifie (51) , donc
il en est de même de celui de BI , • DI autre part comme la fibre fonnelle de
Il
B au point générique de son spectre est isomorphe à la fibre fonne:.'..le de A
au point pénérique de son spectre, on voit
qœ
B vérifie la condition b) du
théorème II • En raisonnant comme dans la dernière partie de la démonstration
du théorème II, on montre que
cf
~J
fi vérifie (52) donc fi est équidimensionnel
5.10.9). Par conséquent A est universellement caténaire.
COROLLAIRE II 2:
Soit A un anneau local hensélien, noethérien intègre.
On suppose que Za fibre forme l le de
vérifie
de
~
hauteur
b)
p
est universellement caténaire et pour tout idéal premier
1
de
A, le séparé complété de l'anneau
L'anneau A (1)
de hauteur
au point générique de son spectre
. Alors les conditions suivantes svnt équivalentes :
(52)
a)
~
1
de
Alp
vérifie
p
(51)'
est une A-algèbre finie et pour tout idéaZ premier
A" le sépa1'é complété de l'anneau Alp vérifie
... / ...
(51)'
Preuve
a
=
>- b cl' après le Corollaire 1.5. M::mtrons que
D'après
[t,~ 23.2. 2.
J
> a •
il existe une A-algèbre B finie, con-
tenue dans le corns des fractions de A, telle que Spec
ment unibranche;
b~
(B)
soit géométrique-
est une B-alg8bre finie et DOur tout idéal nremier p
B (1)
de B de hauteur " le sénarp comnlété de B/p vérifie
(5,) . Donc B est uni-
versellement caténaire d'anrès le théorè11e II . On en déduit que A est universellement caténaire
COROLLAIRE II. :5:
Soit A un anneau local nœthérien hensélien intègre. On
suppose vépifiées les conditions suivantes :
i) La fibpe for>mez,z,e de
vél'ifie
au point générique de son Spectre
Il
(S 2) •
ii) Les fibpes !or>melles de
Alops l'anneau Il
Il
vépifient
(S1)'
est univepsellement caténaipe.
Preuve : La condition ii) impliQUe oue le sénaré complété de Alp
idéal premier de A, vérifie
ht p
(S1) . En parth.. ulier, DOur tout
TI
01)
tel
P est un
que
=, •
Soit B la A-algèbre finie dont l'existence est signalée dans le co-
rollaire II.2 • B vérifie les conditions
i) et ii).
On en déduit que B est universellement caténaire. On en déduit que
A l'est aussi.
COROLLAIRE II.4 : Soit
A un anneau local nœ thérien intègre. On suppose vépi-
fiées les conditions suivantes :
i) Les .fibpes for>melles de
ii) La fibpe fomez,z,e de
vérifie
A vérifient
(S1)'
A au point générique de son Spectpe
(S 2) •
Alops les conditions suivantes sont équivalentes :
a) L'anneau A est univepsellement caténaipe.
b)
on a
POUP
tout idéal maximal m'
dim (A',) = dim (A) .
m
de la clôtUPe intégrale
... / ...
A'
de
A"
36 .-
Preuve
a
>b de façon pvidente.
Hontrons (lue
b. =-~>a
Il existe une
A-al~èbre
finie :B contenue dans le corps des frac-
tions de A tel que SJX;': (E) soit gpomêtriclUement unibranche. COJTU11e B vérifie
les conditions i) et ii)
d'après le
th~orèfle
maxiJTla.l M de E
condition
(C Z)
~
de l'énonci.\ alors F est universellement caténaire
(II) et comme A'
est entier sur TI, on a,
dim BM = dim B
A
= <:lin A' = dim
• On voit qu'il en est de même de
donc
pOUT
B
tout idéal
vérifie la
A • Donc A est univer-
sellement caténaire.
COROLLAIRE "II 5. .'
Soit
A un anneau semi-ZocaZ
suppose que les fibres fJrmelles de
A vérifie
noeth~rien
(82).
henselien. On
Alors l'anneau A est
universellement caténaire
Preuve
L'assertion découle de
COROLLAIRE 'II 6
Soit
(II 1) .
A un anneau local noethérien
que les fibres formelles de
A vérifie
int~qre.
On suppose
(52). Alors les conditions suivantes
sont équivalentes :
cm a
a)
A est universellement caténaire.
b)
Pour tout idéal maximal ~A da'ns la clôture inMgrale
dim(A'M)
Preuve:
=dim(A)
r..
est connue. Montrons maintenant Que
une A-algèbre finie contenue dans le corps des
fractions de A tel oue Spec(B) soit
p'~ométriauement unibranche.
Alors les fibres formelles de B vérifie
(S2)
donc B est
caténaire d.' après le t;"'éorèJ'le (II) , et COI"rne Dour tout
p,
....
,on a dim(FÏ\Y
TI est
A
.
L':irnDlication a) =-=>b)
b) imPlique a). Soit
A' de
= dirJ.(A)
~JidimensioDnel et
universell~ent
ic1~al
maxii"lal N de
èl cause de l'hypothèse b) , on en conclut que
nar conséauent A est universellement caténaire •
. . . / ...
37 .-
THEOREME III
.~.
Soit
A un anneau semi-local noethérien inUgr'e. On suppose
vérifiées les conditions suivantes :
i)
A vérifie
(52)
ii)
Les fibres
~ormelles
de codimension
Al vérifient
(51)
en tout point
1 de son Spectre.
iii)
La fibre
f~~dZle
Alors l'anneau
Preuve
de
de
A au point générique de son Spectre
A est universellement caténaire.
On montre en raisonnant corrone pour le théorème (II) que le complété
A
A de A vérifie
(S?)
donc équidimensionDe1, donc A est universellement
caténaire.
COROLLAIRE III 1:
vérifie
(52)'
Soit
A un anneau semi-local noethérien intègre qui
On suppose que
A est universellement japonais et qu la fibre
formelle de A au point générique de son spectre vérifie (52) . Alors l'anneau
A est universellement caténaire.
Preuve:
COJl1J1le les fibres fonnelles de A
v~rifient
(S, )
,l'assertion
découle du théorème (III) .
THEOREMr.IV.que
Soit
A un anneau local
noeth}L~en
hensélien intègre. On suppose
A est universellement japonais et la fibre formelle de
générique de son Spectre vérifie
(52)
•
Alors
A au point
A est universellement
caMnaire.
Preuve:
Corrune A est universellement japonais sa clôture intégrale A'
une A-algèbre finie
2 Spectre
R~ométriquement unibranche.
est
38.-
de hauteur 1 dans A' , A' ln'
Pour tout idéal n'
donc le sépar~ complété de A'/ p '
entière et finie sur Alp
(S1) • On en déduit que A'
vérifie
est uni-
versellement caténaire. D10ù A est universellement caténaire.
THEOREME V. -
int~gre
Soit A un anneau semi-local nœ thérien
de profonduer
~ 2 •
On suppose vérifiées les conditions suivantes :
i)
11
l'anneau A est caténaire.
ii) pour tout idéal premier non nul p
de
A l'anneau LAlp) est
l'éduit.
iii) la fibl'eformelle de
A au point générique de son Spectre
vérifie (S 2)'
Alors l'anneau A est universellement caténaire.
PrelNe
Soit A'
la
c1ôtt:~e
de li. ,
Si ht p'
=1
alors
Comme A'
montre que A(1)
vérifie
intégrale de A . Soit p' un idéal de hauteur 1
prof (Ap 'nA)
(T1) , on a
= 1
donc
ht p' n A
p'
n'est pas maximal,
= 1 . Le corollaire 1· 3
est une A-algèbre finie.
-Soit B une A-algèbre finie à Spectre
géù~étriouement
unibranche con-
tenue dans le corps des fractions de A.
On sait que B(1)
premier de hauteur 1 dans B
Comme Ain
(S1)
est une B-a1gèbre finie donc si
~
ht q A A
q
est un idéal
= ht p = 1 .
contenue dans B/ q , le séparé complété de B/ q vérifie
et la fibre formelle de B au pJint générique de son Spectre vérifie
Le théorème II montre Olle B est universellement caténaire. On en déduit que
vérifie la condition
(S2).
B
(C 2) , car B est formellement équidimensionnel. Donc A
est universellement caténaire.
THEOREME VI : Soit
A local nœ théItien
in~gre.
On suppose vérifiées les condi-
tions suivantes .est une A-alg~bl'e finie.
1)
L'anneau A(1)
2)
POUl' tout idéal p
une Alp-algèbl'e finie.
de hauteur 1 de
A, l'anneau
(Alp ) (1)
. . .1. ..
est
39.3)
Alors
PretNe
n
=2
cat~naire
A est
cat~naire.
A est universellement
Raisonnons par réC'"'.lTrenCe sur n
r
théor~me
est vrai pour
soit dim A = n > 2 .
(cf [14] Th. 5. 1 )
Soit
= dim A . Le
un ièéal premier de A de hauteur 1. L'anneau Afp vérifie
~
les mênes conditions que A et sa dimension est
n-1 • L'hypothèse de récurren-
ce montre Que AIl) est universelleMent caténaire.
On en déduit que
3.3
d~
A est universellement caténaire d'après
(rJ7] prop.
a).
COROLLAIRE VI.l-Soit
A un anneau
semi-local~ intègre
première condition des chaines. Si
(Alp ) (1)
est fini sur
des chaines.
(Alp ) " alors
e Spec
(V P
A(l)
(A)
"
est une
A-algèbre finie et
vérifie la deuxième condition
A
ht p
nœ th~rien" vérifiant la
=1
)
Preuve : Pour tout idéal maximal H de A, l'anneau 1).1 vérifie la deuxième
condition des chaines d'anrès le théorème précédent.
Comme
dim!lrv!:
=
dirn A,
on on déduit que A vérifie la deuxième
condition des chaines.
THEOREME
sont
VII':
Soit
~quivalentes
a)
A
un anneau local
noeth~rien.
.
Pour tout anneau
~uotient
intègre
est strictement équidimensionnel. ( Ê vérifie
b)
me canonique
c)
A
A"
B de
(Sl)
le complété
...
B de
B
et est équidimensionnel).
est universellement caténaire et les fibres formelles du morphis-
Spec(Â) --> Spec(A)
A
Les oonditions suivantes
vérifie
(Sl)
est caténaire et pour tout anneau quotient intègre
B de
A"
B de
A
l'anne~ B(l) est une B-algèbre finie.
d)
A
est caténaire et pour tout anneau quotient intègre
et tout anneau local
l'anneau
CW
C
=B
q
q g- ~pec (C)
(=
(]
en un idéal premier q
Cq)
est une
de
B" tel que
C-algèbre finie.
dim C ) 2 ;)
40 e)
A est caténaire et pour tout anneau quotient intègre
tout anneau .local
dim C ) 2
C
Z'anneau
3
associe de dimension
=
en un idéal premier q de
B
q
ê est
tel que
tel que
n'ait pas de
ETl tenant cor.mte de
(D 9 J ~
i)
il suffit de
corollaire 1.4)
2 • On
re~
([2J ~ th. 7.2.5)
suppose vérifiées les conditions suivantes:
A est caténaire
Pour tout idéal premier non m:l p
de
A" le séparé complété
Alp est rédU1.:t.
de l'anneau
~~
iii)
n'ait
Soit A un anneau serm:-local noethérien intègre de
L'anneau
ii)
A"
1.
universellement caténaire" nar "caténaire" dans
profondeur)
B de
Spec(Ê)
m
THEOREME VIII.'
premier
cy~le
tout anneau quotient intègre
pas de cycle premier associé de dimension
placer
B" te Z. que
dim B) 2" l'anneau complété Ê est tel que
Preuve
A" et
1 •
A est caténaire et pour
f)
Spec(ê)
B de
fibre formelle de
A au point générique de
spectre verifie
8Jn
Alors l'anneau A est universellement caténaire.
Preuve : On peut supnoser que A est local, puisaue Am est de profondeur
) Z pour tout idéal maximal m de A .
La condition iii) montre que
....
A vérifie
(51) • Soit p'
idéal premier de la clôture intégrale de A , tel oue ht pi
=
un
1
Ona prof(Ap ' nA ) = 1 , donc n' n'est pas maximal. Comme
A vérifie (T Z) (local intègre et caténaire) .Ona ht p' Il A = 1
.
On en déduit oue fi. (1)
est une ll.- algèbre finie (cf. Cor. 1 3)
.
La condition ii) montre oue les fibres formelles de A vérifie
t,~
. Soit
A(1)
est une A-algèbre finie, on a dim ht M = dim A .
l'équivalence
versell~ent
un idéal maxirnal de la clôture
inté~rale
(S1)
a<
caténaire.
>b du corollaire
de A . Comme
On
applique
II.3 pour voir Que A est uni-
... / ...
41 • THEOREME
Soit A un anneau local noethérien intègre. On suppose
IX:
vérifiées les deux conditions Buivantes :
i)
li
n.
est unibranche et caténaire
ii) La fibre formelle de
vérifie
(Sl)
, ou ce qui revient 'au même A vérifie (
Alors l'anneau
Preuve:
A'
A au point générique de son spectre
J1(1)
est une A-algèbre finie.
~
Soit A' la clôture intégrale de
tel que ht n' = 1
. Comme
Sl)
A vérifie
et p'
un idéal premier de
et que A' eet local
(T )
Z
. Le
intègre, A'
vérifie aussi
(T?)
corollaire (I
~ montre que
/,.(1 )
THEOREME X:
Soient A un anneau local noethérien et K son corps résiduel.
Donc l't n'
A=
ht
'0' =
1
est une A-algèbre finie.
On. suppose vérifiées les conditions suivantes :
i)
ii)
iii)
t'éUment a
=
J1
vérifie
(Sk)
,
k
~
3.
A est universellement japonais.
K est de caractéristique
p. lA
plO, [K,
If]
<+
et
00
est S01:t nul:J Hoit non divisf1.ur de zéro dans
A
Alors
A est universellement caténaire;) équidimensionnel et son
...
séparé compl~té A vérifié (Sk-1)'
Preuve
1°)
Si a = 0
~
alors
Â
contient un corps de caractéristinue
p .,. 0 ,donc A est universellement caténaire d'après Kl1NZ . Comme
vérifie
(S2)
Â
» A est f5quidimensionnel • . vérifie (~) nuisque A est
excellent •
20 )
Si a = p. 1A f 0 et est non diviseur de zéro» l'anneau
'.
contient un corps de caractéristique p , donc est universellement
Ao = AIaA
caténaire • En outre A vérifie (~
-k·1 ) » k - 1 ~ 2 donc Ao est équio
...
dimensioIUlel. Cormne Ao est excellent, 1.0 vérifie (Sk-1) , donc Ao est
éauidimensionnel. Â est donc éauidimensioIUlcl d'aDrès
( l.?-J
On en déduit que A est universellement caténaire.
o •• /
•••
5.12.2) •
42 .THEOREME
XI:
Soient A un anneau local noethérien et k svn corps
r~si-
duel. On suppose vérifiées les conditions suivantes :
i)
ii)
A est caténaire et vérifié
(S2).
A est universellement japonais •
K est de caracMristique p > 0 ~ [K ,xP] < +
iii)
et l'élément p. lA
est soit nul, soit non diviseur de zéro dans
00
A.
Alors A est universellement caténaire.
Preuve
10 )
2
0
)
Si a
= 0, on ap?lique le même raisonnement qu'au théorène X.
Si a,.
caténaire et vérifie
°, l'
~nneau Ao =
AI aA est universellement
(51) • A est équidimensionnel (puisqu'il est
Â
caténaire et vérifie (52)).
Donc Ao est équidimensionnel, donc Ao est
équidimensionnel et vérifie (Sl) , car Ao est excellent • On en déduit
([ 2 1 5. 12.2) que A est équidimensionnel, donc A est univerÂ
d'après
sellement caténaire.
A. GROTHENDIECK
ET J. DIETtDONNE :
[1]
EGA 1 V nO 20 Etude locale des schémas et morphIsmes des
schémas 1ère partIe
[21
EGA IV nO 24 et' 32': Etude locale des schémas et;morphlsmes des
schémas 2ème partIe
E. G. HOUSTON AND
Il']
S. tCt\D.i\M :
r,enk In...nŒtherlan rIngs. Journal of Algebra, 37 (1975) p. 64-73
1. KAPLANSKY
~1
Commutative algebra, ALLYN and BACON, Boston, 1970
S. MC ADAM :
[51 Saturated chalns ln Nœtherlan RIngs,
Math. Journ. nO 23 (1974) 719 - 728
IndIana Unlv.
M. NAGATA :
L6J
Local rIngs, New-York, Intersclence publ1shers, 1962 (Intersclence
tracts ln pure and applled Mathematlcs 13)
L. J. RATLIFF :
[7] C.'3r<:lctérlsatlon of Taut seml-locaJ rIngs, Annall dl ~~atematlca
pura ed appllcata - (IV) , Vol. CXII, p. 151 - 192 (1977)
18J
Charactertsatlon of Catenary rIngs. - Amerlcan Journal of Math.
93 (1971) p. 1070 -1108
L.J. RAnIFF and S. McADAMS
[9] Seml-local Taut rIngs - IndIana UnIversity Math. Journal - Vol.
26, nO 1 (1977).
1. J. RATLIFF :
[1Ôj H- Seml-Iocal Domalns and AltItude Rlc/bl - Proceedlngs of the
Amer. Math. Soclety - Vol. 64, nO 1 - May 1977
[11J Four notes on satura1ed. chaf-.:s 'of prlmESI Id8als- J. Algebra 39
(1976) p. 75 - 92
••• j •••
L. J. RATLIFF, J. Ro and S.
[1~
McADA~S
:
Maximal chalns of prime Ideals ln Integral extension CJmalns
Amer. Math? Society - Vol. 224, hO 1, 1976
1
•
L. J. RATLIFF
8~J
Maximal chalns of prime Ideals ln Integral extension domalns Il.
Amer. Math. Society - vol. 224, nO 1 (1976)
[14)
A theorem on prtme dtvlsors of zero and characterl'7Zltlon of
unmlxed local rings. - Pac. Journal of Maths. - Vol. 65 - nO 2 ,
August 1976.
D5J
On quast- unmlxed local domalns, the altitude for~ula and the
chain condttlon for prime Ideals «( 1) - Amer. Journ. of Maths.Vol. 92 (1970) p. 99 - 144
1'61
Maximal chatns of prtme tdeals tn Integral extension domalns 1 •
Amer. Math. Society, vol. 224 nO 1 (1976)
Di]
quast-unmlxed focal domatns, the altitude formula and the challn
condltton for prime Ideal (1) - Amer. Journ. of Maths. - Vol. 91
nO 2 p. 508 - 528
08]
Anneaux henséliens et conditions de! chalnes
France - 98, 1970 , p. 9 - 31
D9]
Anneaux hensél iens et condttlons de chatnes .- Compte-Rendus des
des Séances de l'Académie des Sctences - T. 271 - séries A et B
nO 3 (20 Jut Ilet 1970) p. 120 - 121.
~OJ
Anneaux henséliens et conditions de chalnes Il - La formule des
dimensions. - Compte-Rendus - T. 270 nO 11 - sérIes A et 8 (16 Mars
1970) p. 696 - 698.ù
~lJ
Anneaux henséliens et condttlons de chalnes.- Bull. Soc. Math. de
")n
H. SEmI
France - 98, 1970, p. 329 - 536
(1) -
Bul r. Soc. Math.de