Pression hydrostatique
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Pression hydrostatique Au lieu de forces ponctuelles, nous considérons maintenant des forces qui agissent sur une surface étendue. Si une force est répartie sur une surface et agit normalement à cette surface, la pression,P , est définie comme le quotient de la force par cette surface : F⊥ P = A C’est un scalaire : en tout point elle a une valeur, mais pas de direction. P s’exprime en N/m2 ou pascal(Pa) : 1 N/m2 =1 Pa. – Le fluide exerce une force de pression vers l’extérieur sur la base et les parois latérales du récipient et celles-ci réagissent avec une contreforce. – Un fluide exerce une pression dans toutes les directions. En un point précis d’un fluide au repos, la pression est la même dans toutes les directions. – La force F exercée par un fluide au repos sur toute surface rigide est toujours perpendiculaire à cette surface : le fluide n’a aucune rigidité et ne peut subir ou exercer aucune contrainte de cisaillement. Université de Genève 9 -12 C. Leluc Pesanteur et Pression hydrostatique La pesanteur est la cause de la pression hydrostatique. Soit un réservoir ouvert et contenant un timbreposte d’aire A immergé dans le liquide à une profondeur h, parallèllement à la surface du liquide. La face supérieure du timbre est soumise, de la part du liquide, à une force normale vers le bas égale au poids de la colonne de fluide au-dessus du timbre. Volume : V = A h masse : m = ρ A h Poids : FW = m g = ρ A h g Pression : ρA h g FW = = ρhg P = A A Exemple : La pression subit par un nageur à 20m sous l’eau sera : P = ρgh = (1, 025 × 103kg/m3)(9, 81m/s2)(20m) = 2, 0 × 105N ce qui est environ la pression d’un pneu automobile. Université de Genève 9 -13 C. Leluc Variation de la pression avec la profondeur A l’intérieur du liquide, à une hauteur y, on délimite un minuscule volume plat dont l’aire est A, de masse dm et l’épaisseur dy. La pression du fluide sur la plaque exerce une force égale à PA vers le haut et à (P+dP)A vers le bas. La seule autre force qui agit sur ce volume est la force de gravitation, dw, dw = (dm)g = (ρdV ) g = (ρAdy) g = ρgA dy ~ =0: Le volume choisi est en équilibre, Σ F P A − (P + dP ) A − ρg A dy = 0 dP = −ρg dy Si ρ est constant (liquide) : P2 P1 Z dP = −ρgdy P2 − P1 = − ρg Université de Genève 9 -14 y2 y1 Z dP = − y2 y1 Z ρgdy dy = − ρg (y2 − y1) P1 = P2 + ρ g h C. Leluc Cas de la pression atmosphérique : ρ n’est pas constant On veut déterminer la variation de pression de l’atmosphère terrestre en fonction de la hauteur y au-dessus du niveau de la mer, en supposant que g demeure constant et que la masse volumique de l’air est proportionelle à la pression, soit ρρo = PPo où les quantités avec index o sont au niveau de la mer. dP dy dP = −ρg P Po Z dP P dy = −( ρo Po = −P ( )g y o Z ρo Po dy dP )g ln P P Po = −( = −( ρo Po ρo Po ) g dy )gy P = Po e−(ρog/Po)y Exemple : A quelle hauteur la pression de l’air équivaut-elle à la moitié de sa valeur au niveau de la mer ? Po = 1, 013 × 105 N/m2, ρo = 1, 29 kg/m3, et g = 9, 81 m/s2 En posant P = Po/2 −1 −4 1/2 = e−(1,25×10 m )y y = (ln 2, 00)/(1, 25 × 10−4 m−1) = 5500 m Université de Genève 9 -15 C. Leluc Pression dans un récipient Pour un fluide, nous avons trouvé : P1 = P2 + ρ g h. Ainsi si la surface du liquide est soumise à une pression extérieure, celle-ci doit être ajoutée à la pression, ρgh. Si P2 désigne la pression atmosphérique Po P1 = ρgh + Po P1 − Po = ρ g h P ression absolue P ression de jauge ou manometrique La pression est la même en tous les points situés à un même niveau horizontal d’un même fluide au repos : PA = PB = PC = Po + ρg h PD 6= PA 6= PE Université de Genève 9 -16 C. Leluc Pression atmosphérique, le baromètre La pression de l’air produit une force normale à la surface libre du mercure de la cuve et le pousse à l’intérieur du tube jusqu’à une hauteur telle que la pression excercée par le mercure du tube sur celui de la cuve est égale à celle de l’atmosphère. “ Nous vivons immergés au fond d’un océan d’air (Toricelli)” PB = PA + ρ gh = 0 + ρgh = PC 1 atmosphère est définie comme la pression équivalente à celle que produit à 0◦C une colonne de 760 mm de mercure de masse volumique 13.5950 × 103kg/m3. 1atm = ρgh = (13, 595 × 103kg/m3)(9, 81m/s2)(0, 76m) = 1, 013 × 105 Pa Par définition 1 bar =1, 0 × 105 Pa, donc 1atm = 1, 013 bar(1millibar = 1hectopascal) 1atm = 760torr (1torr = 1mm Hg = 1, 333 × 102Pa) Université de Genève 9 -17 C. Leluc Appareil de mesure : Manomètre Un manomètre mesure une différence de pression entre la pression recherchée et la pression atmosphérique : pression de jauge/manométrique. PA = PB = ρgh + Patm PB − Patm = ρgh PB − Patm : Pression de jauge PB : Pression absolue Université de Genève Si la pression du sang dans une veine, Pv , vaut ∼ 2kPa = 15 mm Hg, la poche doit être placée à h ≥ Pρgv ∼ 20 cm au-dessus de l’aiguille pour que le fluide de perfusion coule dans la veine. 9 -18 C. Leluc Circulation sanguine Role de la gravitation dans la circulation sanguine Mesure de la pression sanguine par cathétérisation Psang = Patm + ρgh − ρsgh0 Pour hc = 1, 3 m, Pp − Pc = ρghc = (1, 0595 × 103kg/m3) (9, 81m/s2)(1, 3m) = 13, 5kPa Tension artérielle : mercure Tension veineuse, plus basse : solution de sel Université de Genève Mais le sang circule, il aurait fallu utiliser l’équation de Bernoulli, mais comme les vitesses de circulation sanguine sont petites et ∼ égales, on retombe sur la même équation. 9 -19 C. Leluc La pression : Exemple Un buveur aspire de l’eau grâce à une paille. Sa bouche est à 15cm audessus de la surface du liquide. (a) Quelle doit être la pression absolue dans sa bouche, Ps ? et (b) la pression manométrique, PM ? SOLUTION : (a) La colonne d’eau doit avoir une hauteur de 0,15m au-dessus de la surface libre de l’eau où la pression est Patm. La pression, P , dans la colonne de liquide dans la paille au niveau de la surface libre de l’eau est : P = Ps + Pl = Ps + ρ g h = Patm Ps = Patm − ρgh = 1, 013 × 105Pa − (1, 00 × 103kg/m3)(9, 81m/s2)(0, 15m) = 0, 998 × 105Pa C’est 98,5% de la pression atmosphérique. (b) La pression manométrique, PM , vaut : PM = P − Patm = −1, 53 × 103Pa Université de Genève 9 -20 C. Leluc Principe de Pascal Une pression externe appliquée à un fluide confiné à l’intérieur d’un récipient fermé est transmise intégralement à travers tout le fluide. La seringue de Pascal La pression appliquée est transmise uniformément en tous points du liquide. Université de Genève Pulvérisateur aérosol Un gaz sous pression (propulseur) pousse vers le bas sur la surface du liquide à pulvériser. 9 -21 C. Leluc Principe de Pascal Une même pression peut être produite au sein d’un liquide par des pistons de sections différentes qui exercent des forces qui diffèrent en proportion. Machines hydrauliques Deux enceintes communicantes (même fluide) sont munies de 2 pistons de différentes sections. La pression générée par l’un des pistons est transmise intégralement à l’autre : Pi = Po Fo Fi = Ai Ao Ao Fo = Fi Ai C’est un multiplicateur de force et non un multiplicateur de travail comme toutes les machines. Il y a conservation d’énergie mécanique : le travail de Fi est égal au travail de Fo. Université de Genève 9 -22 C. Leluc Poussée d’Archimède Un objet immergé dans un fluide parait plus léger : il est poussé vers le haut avec une force égale au poids du fluide qu’il déplace. La poussée d’Archimède est causée par la pesanteur agissant sur le fluide. Elle a son origine dans la différence de pression entre la partie supérieure et la partie inférieure de l’objet immergé. Considérons un cube plein, dont les faces ont une surface A, immergé dans un liquide de masse volumique ρo. Pression manométrique inférieure : Pb = ρo ghb Pression manométrique supérieure : Pt = ρo ght Différence de pression : ∆P = ρo g (hb − ht) = ρo g h est à l’origine de la poussée d’Archimède, soit : FA = A ∆P = ρo g A h Or, A h = V est le volume du corps, égal aussi au volume du fluide déplacé, si le corps est totalement immergé. Comme la masse du fluide déplacé est mo = ρo V , on peut écrire : FA = ρo g V = mo g La poussée d’Archimède est égale au poids du liquide déplacé Université de Genève 9 -23 C. Leluc Poussée d’Archimède : exemple Submergée dans l’eau, une couronne de 14,7 kg a un poids apparent de 13,4 kg. Est-elle en or pur ? 0 SOLUTION : le poids apparent de l’objet submergé, FW , équivaut à son poids réel,FW , moins la poussée d’Archimède, FA, vers le haut, soit : 0 FW = FW − FA = ρ g V − ρo g V où ρ, ρo sont les masses volumiques de l’objet et de l’eau respectivement. On peut donc écrire : FW 0 FW − FW = ρgV ρo gV = ρ ρo 0 La quantité FW /(FW − FW ) représente la densité de l’objet. Pour la couronne on obtient : ρ FW 14, 7kg = = = 11, 3 0 ρo FW − FW 1, 3kg ce qui correspond à une masse volumique de 11300kg/m3. Cet objet semble être en plomb. Université de Genève 9 -24 C. Leluc Flottabilité Si un objet pèse plus que le volume total de liquide qu’il déplace, il coule. Si un objet pèse moins que le volume total de liquide qu’il déplace, il s’enfonce partiellement jusqu’à ce que la poussée d’Archimède équilibre son poids, il flotte. Si une portion Vim de son volume est immergée, la poussée d’Archimède vaut ρogVim. Cette force doit être égale et opposée au poids ρgV de l’objet, soit ρogVim = ρgV ρ ρo = Vim V Le rapport des masses volumiques est égal à la fraction du volume immergé. Si le poids de l’objet est exactement égal au poids du fluide qu’il peut déplacer, le corps ne peut ni couler ni flotter partiellement : il est totalement immergé en équilibre métastable, n’importe où au-dessous de la surface du liquide. Université de Genève 9 -25 C. Leluc Flottabilité : Iceberg On parle souvent de la partie visible de l’iceberg sous-entendant que la plus grande partie de l’iceberg est cachée sous l’eau. Quelle est la fraction visible ? SOLUTION : Le poids d’un iceberg de volume Vi est : FW i = ρi Vi g où ρi = 917kg/m3, masse volumique de la glace. Le poids de l’eau déplacée est : FA = ρo Vo g où ρo = 1025kg/m3, masse volumique de l’eau de mer et Vo le volume de l’eau déplacée, i.e le volume immergé de l’iceberg. Pour que l’iceberg flotte,il faut que ρi Vi g = ρo Vo g Si bien que la fraction visible, fvis, de l’iceberg vaut : Vo ρi Vi − Vo =1 − =1 − fvis = Vi Vi ρo 917kg/m3 =1 − ou 10% 3 = 0, 1 1025kg/m Université de Genève 9 -26 C. Leluc Tension superficielle : γ C’est un phénomène qui a lieu à la surface de séparation entre liquide et gaz. Une molécule, au sein d’un liquide, est soumise, par ses voisines, à des forces intermoléculaires (forces de Van der Waals). Ces forces sont symétriques et s’équilibrent mutuellement. Il n’en est pas de même pour une molécule en surface qui est sollicitée de façon dissymétrique, la résultante des forces étant dirigée vers le liquide. Donc pour accroı̂tre l’aire de la surface d’un liquide, il faut exercer une force et effectuer un travail afin d’amener les molécules de l’intérieur à la surface. Ce travail augmente l’énergie potentielle des molécules, appelée énergie superficielle. Plus l’aire est grande, plus l’énergie superficielle prend une valeur considérable. La densité d’énergie superficielle, γ, peut être définie par : γ = ∆/∆A exprimée en Joules/m2 ou Newton/m. ∆ est l’énergie correspondant à la surface ∆A. γ s’appelle aussi une tension superficielle, ce qu’on justifie de la façon suivante : Université de Genève 9 -27 C. Leluc Tension superficielle γ Considérons un cadre ABCD, sur lequel coulisse une tringle EF. Une pellicule de liquide est tendue sur la surface EBCF. L’energie superficielle vaut : = γ 2A = γ 2 x l (la pellicule a 2 faces, d’où le facteur 2). On tire la tringle avec une force F , on effectue un travail W = ∆x F et l’énergie superficielle devient 0 = γ 2A0 = γ 2 (x + ∆x) l. La différence (0 − ) est égale au travail W : 0 ( − ) = γ 2 ∆x l = ∆x F d’ou γ = Substance Eau-Air Eau-Air Sang-Air Mercure-Air Glycérine-Air Université de Genève γ (N/m) (◦C) 0,076 0 0,059 100 0,058 37 0,465 20 0,063 20 F 2l exprimé en Newton/m. On a bien la dimension d’une force divisée par une longueur. La tension est dirigée tangentiellement à la surface du liquide. Tout se passe comme si le liquide était surmonté d’une pellicule tendue. Par exemple un volume de liquide laissé à luimême en état d’apesanteur et sans récipient a tendance à se mettre en boule, la sphère étant la forme où la surface est minimum pour un volume donné. 9 -28 C. Leluc Tension superficielle : applications La tension superficielle permet aux insectes de marcher sur l’eau et à des objets plus denses que l’eau, comme une aiguille en acier, de flotter. L’objet s’enfonce légèrement dans l’eau : son poids effectif FW est son poids véritable moins la force de poussée du liquide. Lorsque l’objet est sphérique, la tension superficielle γ s’exerce en tout point le long d’un cercle de rayon r. Seule la composante verticale γ cos θ agit pour compenser FW . Ainsi la force nette ascendante attribuable à la tension superficielle est : F = (γ cos θ)L = 2πrγ cos θ Les savons et les détergents diminuent la tension superficielle de l’eau, ce qui s’avère fort utile pour les lavages. Université de Genève 9 -29 C. Leluc Loi de Laplace Découpons dans une membrane liquide un élément de surface ∆x, ∆y. Cet élément est soumis à 4 tensions superficielles et à une force normale due à la différence de pression entre les 2 surfaces ∆P = Pi − Pe, soit F = ∆P ∆x ∆y. Cette force est ⊥ à la surface et est équilibrée par les ~ . (Une surface quelconque 4 tensions dont la résultante doit être opposée à F est caractérisée par 2 rayons de courbures R1 6= R2.) La projection d’une tension selon la direc~ vaut : 2γ∆x tan θ et tan θ ∼ tion de F ∆y/2 (même expression selon R2). R1 L’équilibre pour les 4 tensions s’exprime par : 1 1 ∆P ∆x ∆y = 2 γ∆x ∆y ( + ) R1 R2 1 1 + ) Loi de Laplace ∆P = 2 γ ( R1 R2 Pour une sphère (bulle de savon) de rayon R (R1 = R2), ∆P = 4Rγ . La pression interne est d’autant plus grande que R est petit ; une petite bulle, en contact avec une grosse, va gonfler la grosse et disparaı̂tre. Pour une goutte sphérique, la surface ne présente plus qu’une face, alors ∆P = 2Rγ . Université de Genève 9 -30 C. Leluc La capillarité : Angle de contact L’angle de contact, θ, est le résultat de la compétition entre les forces de cohésion des molécules du liquide et les forces d’adhésion entre les molécules du liquide et celles du solide. Si θ < π/2, le liquide est mouillant et monte vers une paroi verticale (les molécules du liquide sont plus attirées par le solide que par le liquide). Si θ > π/2, le liquide est nonmouillant et fait une dépression contre une paroi verticale. Ces valeurs dépendent non seule◦ Interface θ[ ] ment des matériaux en présence, Eau- verre 0 mais encore de leur pureté (un Ethanol - Verre propre 0 détergent dans l’eau modifie Mercure -Verre propre 140 complètement sa tension superfiEau -paraffine 107 cielle) et de la température. Université de Genève 9 -31 C. Leluc La Capillarité L’ascension et la dépression d’un liquide dans un tube capillaire (tube de faible diamètre) sont appelées phénomènes de capillarité. Le degré d’élévation (ou abaissement) est lié à la tension superficielle, à l’angle de contact et au rayon du tube. La tension superficielle γ agit avec un angle θ autour d’un cercle de rayon r. La grandeur de la force verticale due à cette tension vaut : Fv = 2 π r γ cos θ Cette force est exactement compensée par le poids du liquide endessous, soit FW = ρgV = ρgπ r 2h. A l’équilibre, Fv = FW : 2 π r γ cos θ = ρ g π r 2 h 2γ cos θ Loi de Jurin h = ρgr ◦ ◦ Si θ = 90 , alors h = 0. Si θ > 90 , cos θ et h < 0 : il y a dépression. Les effets de capillarité sont plus grands pour les faibles valeurs de r. Université de Genève 9 -32 C. Leluc Ecoulement d’un fluide parfait Les expériences menées par O.Reynolds en 1883 ont montré qu’il y avait 2 régimes distincts d’écoulement : laminaire et turbulent. Ecoulement laminaire – Si un fluide se déplace de façon que sa vitesse en tout point reste constante en module et en direction, on a un écoulement régulier. C’est un écoulement lent. – La vitesse peut être différente en différents points. – On a des lignes de courant. La tangente est dans la même direction que la vitesse, si bien que 2 lignes de courant ne peuvent se croiser, car au point de rencontre une particule du fluide aurait 2 vitesses différentes. – Les lignes de courant sont plus sérrées là où la vitesse est plus grande. Université de Genève 9 -33 C. Leluc Ecoulement d’un fluide parfait Ecoulement turbulent – L’écoulement turbulent correspond à un mouvement irrégulier chaotique et variable. – Un fluide réel ne peut pas toujours suivre la surface d’un solide ; il forme alors derrière l’obstacle un fouillis de tourbillons qui constituent l’écoulement turbulent. – Lorsque la vitesse d’écoulement augmente, son aptitude à suivre les contours d’un obstacle solide diminue encore. Il s’éloigne de la surface de l’obstacle et forme derrière lui des turbulences qui emporte l’énergie. – L’écoulement d’un fluide réel dépend aussi de sa viscosité. La couche du fluide qui est en contact avec la paroi solide adhère et reste immobile par rapport à la paroi. Université de Genève 9 -34 C. Leluc Equation de continuité La constance de la masse volumique d’un liquide est la base d’une relation fondamentale qui nous permet de comprendre comment un liquide s’écoule dans les tuyaux et les veines. Considérons un tube de courant dans un fluide en écoulement laminaire. Le fluide entre par l’élément de tube 1 de section A1 et sort par l’élément de tube 2 de section A2. Pendant un intervalle de temps ∆t, les molécules entrant dans le tube traversent une distance v1∆t et les particules sortant une distance v2∆t (v1 et v2 sont les vitesses moyennes du fluide en 1 et en 2). Puisque les volumes entrant et sortant sont les mêmes : (A1v1∆t) = (A2v2∆t) A1 v1 = A2 v2 Ceci est l’équation de continuité. Si la section du tube augmente, la vitesse d’écoulement diminue et vice-versa. Le produit A v, qui est constant dans un tube de courant, est le débit volumique, J : J =Av = Université de Genève 9 -35 ∆V ∆t C. Leluc Exemple : Ecoulement d’un robinet Vous avez surement remarqué que juste au sortir d’un robinet, la section du tube de courant d’eau est plus large que quelques centimètres plus bas. Pourquoi ? Prenez Ao = 1, 2cm2, et A = 0, 35cm2. Les 2 mesures sont séparées d’une distance h = 45mm. SOLUTION : l’équation de continuité donne : Ao vo = A v avec v, vo les vitesses respectives. Mais l’eau s’écoule librement sous l’effet de la gravitation, soit : v 2 = vo2 + 2gh En éliminant v entre ces 2 équations, on obtient pour vo : vo = v u u u u u u t 2ghA2 A2o − A2 = v u u u u u u t (2)(9, 81m/s2)(0, 045m)(0, 35cm2)2 (1, 2cm2)2 − (0, 35cm2)2 = 0, 286m/s Le débit volumique J vaut alors : J = Ao vo = (1, 2cm2)(28, 6cm/s) = 34cm3/s Université de Genève 9 -36 C. Leluc Exemple : Circulation du sang Le sang est pompé vers l’extérieur du coeur dans l’aorte, un tube aux parois épaisses (2mm) et de diamètre intérieur 18mm, à une vitesse moyenne de 0,33 m/s, dans le cas d’un adulte au repos. (a) Calculer le débit. L’aorte se divise en 32 grandes artères, approximativement de même taille, environ 4 mm de diamètre intérieur. (b) Quelle est la vitesse du sang dans ces artères. Les plus petites branches du système sont les capillaires, de diamètre intérieur proche de 8 ×10−6m. (c) Sachant que la section totale de l’ensemble des capillaires est 2,5×105mm2, quelle est la vitesse du sang dans un capillaire ? SOLUTION : (a) Pour l’aorte (indice A) 2 D A −3 JA = AAvA = π m)2(0, 33m/s) = 8, 4 × 10−5m3/s vA = π(9, 0 × 10 2 (b) L’aorte se divise en 32 artères. Comme le débit à travers l’aorte est le même qu’à travers l’ensemble des 32 artères (indice a) JA = Ja = Aava 8, 4 × 10−5 m3/s JA = = 0, 21m/s va = 2 Aa 32π(Da/2) (c) De même, dans les capillaires (indice c) : JA = Jc = Ac vc JA 8, 4 × 10−5 m3/s −4 m/s vc = = = 3, 4 × 10 −1 2 Ac 2, 5 × 10 m Université de Genève 9 -37 C. Leluc Equation de Bernoulli Elle découle du principe de conservation de l’énergie, d’après lequel le travail fourni à un fluide lors de son écoulement d’un endroit vers un autre est égal à la variation de son énergie mécanique (fluide incompressible, non-visqueux, écoulement laminaire et stationnaire) : ∆W = ∆Ec + ∆Ep . Un fluide sous pression contient de l’énergie car un travail sur lui a été nécéssaire pour établir la pression. Un fluide dont la pression varie subit une variation d’énergie. La pression agissant sur un élément de volume de ce fluide en mouvement exerce un travail sur lui, qui se traduit par une variation de son énergie cinétique,Ec, ou de son énergie potentielle,Ep . Université de Genève 9 -38 C. Leluc Equation de Bernoulli – Travail fourni au fluide ∆W ∆W = F1∆l1 − F2∆l2 = P1 A1∆l1 − P2 A2∆l2 Comme ∆l1 = v1∆t et ∆l2 = v2∆t ∆W = P1 A1 v1∆t − P2 A2 v2∆t Avec l’équation de continuité : A1 v1 = A2 v2 = A v ∆W = v A ∆t(P1 − P2) La masse de l’élement de volume déplacé :∆m = ρ∆V = ρ(A v ∆t) ∆m )(P1 − P2) ∆W = ( ρ – Variation d’énergie cinétique 1 ∆Ec = ∆m(v22 − v12) 2 – Variation d’énergie potentielle gravitationnelle ∆Ep = ∆m g (y2 − y1) Université de Genève 9 -39 C. Leluc Equation de Bernoulli D’après les 3 dernières équations, nous obtenons : ∆W = ∆Ec + ∆Ep ( ∆m ρ )(P1 − P2) = (P1 − P2) = P1 + 1 ρ v12 1 ∆m(v22 − v12) + ∆m g (y2 − y1) 2 1 2 ρ(v22 − v12) + ρg(y2 − y1) + ρ g y1 = P2 + 1 ρ v22 + ρ g y2 2 2 Le long d’une ligne de courant, un fluide parfait en écoulement régulier et laminaire obéit au théorème de Bernoulli : 1 P + ρ v 2 + ρ g y = Ctte 2 Chaque terme a les dimensions d’une énergie par unité de volume ou densité d’énergie. Cas particulier pour un fluide au repos, v1 = v2 : P1 − P2 = ρg(y2 − y1) On retrouve que la pression est la même en tous points situés à la même profondeur quelle soit la forme et le volume du récipient. Université de Genève 9 -40 C. Leluc Exemple L’eau, qui circule à travers une maison dans un système de chauffage à l’eau chaude, est pompée à une vitesse de 0,50 m/s par un tuyau mesurant 4,0cm de diamètre et placé dans la cave à une pression de 3,0 atm. Déterminer la pression dans un tuyau d’un diamètre de 2,6 cm situé à l’étage, à 5,0m audessus de la cave. SOLUTION : On calcule d’abord v2 la vitesse de l’eau à l’étage : v2 = v1A1 A2 = (0, 50m/s) (π)(0, 020m)2 (π)(0, 013m)2 = 1, 2m/s Pour obtenir la pression, P2, on se sert de Bernouilli : 1 2 1 2 P2 + ρgy2 + ρv2 = P1 + ρgy1 + ρv1 2 2 1 P2 = P1 + ρg(y1 − y2) + ρ(v12 − v22) 2 2 3 5 3 = (3, 0 × 10 N/m ) + (1, 0 × 10 kg/m )(9, 81m/s2)(−5, 0m) 1 + (1, 0 × 103kg/m3)[(0, 50m/s)2 − (1, 2m/s)2] 2 2 5 = 3, 0 × 10 N/m − 4, 9 × 104N/m2 − 6, 0 × 102N/m2 = 2, 5 × 105N/m2 Université de Genève 9 -41 C. Leluc Expérience de Torricelli Un liquide coulant à l’air libre est à la pression atmosphérique, P2 = PA 1 1 2 P + ρ v1 + ρ g h = PA + ρ v22 2 2 2(P − PA) 2 2 v2 = v1 + + 2gh ρ De l’équation de continuité, si A1 A2, v2 v1 , v12 est négligeable devant v22. Si le réservoir est à l’air libre, P = PA v2 = r 2gh Si le frottement est négligeable, le liquide jaillit de l’ouverture avec une vitesse égale à celle qu’il aurait gagnée en chute libre à partir de la hauteur h. Université de Genève 9 -42 C. Leluc Effet Venturi Certaines applications pratiques de l’hydrodynamique des fluides résultent de l’interdépendance de la pression et de la vitesse. Regardons le cas où la variation d’énergie potentielle gravitationnelle est négligeable. Soit un tube horizontal présentant un rétrécissement : 1 1 P1 + ρv12 + ρ g y1 = P2 + ρv22 + ρ g y2 2 2 1 1 P1 + ρv12 = P2 + ρ v22 2 2 Comme A1 v1 = A2 v2 : 1 1 A1 v1 1 P1 + ρv12 = P2 + ρ ( )2 et P1 − P2 = ρ v12 ( 2 2 A2 2 v1 = A v u u u u u 2u t A21 − A22 A22 ) 2(P1 − P2) ρ (A21 − A22) Comme A1 ≥ A2 → P1 ≥ P2. Une partie du liquide, forcée à se déplacer plus rapidement, est le siège d’une pression inférieure à celle d’une partie du fluide qui se déplace lentement. Université de Genève 9 -43 C. Leluc Mesure de la tension artérielle Pendant un cycle cardiaque complet, la pression dans le coeur et le système circulatoire passe par un maximum (phase de pompage du coeur) et par un minimum (sang renvoyé par les veines). On mesure ces pressions extrêmes. Son principe est basé sur le fait que l’écoulement sanguin dans les artères n’est pas tjs laminaire. L’écoulement devient turbulent quand les artères sont comprimées. Il est alors bruyant et peut être perçu au moyen d’un stéthoscope. Rapport systolique/diastolique : 120/80 en mm Hg Université de Genève 9 -44 C. Leluc
