Pression hydrostatique

Pression hydrostatique
Au lieu de forces ponctuelles, nous consid´ erons maintenant des forces qui
agissent sur une surface ´ etendue. Si une force est r´ epartie sur une surface et
agit normalement ` a cette surface, la pression,P, est d´ efinie comme le quo-
tient de la force par cette surface :
P=F⊥
A
C’est un scalaire : en tout point elle a une valeur, mais pas de direction.
Ps’exprime en N/m2ou pascal(Pa) : 1 N/m2=1 Pa.
– Le fluide exerce une force de pression vers
l’ext´ erieur sur la base et les parois lat´ erales du
r´ ecipient et celles-ci r´ eagissent avec une contre-
force.
– Un fluide exerce une pression dans toutes les di-
rections. En un point pr´ ecis d’un fluide au repos, la
pression est la mˆ eme dans toutes les directions.
–La force F exerc´ ee par un fluide au repos sur
toute surface rigide est toujours perpendiculaire
`
a cette surface : le fluide n’a aucune rigidit´ e et ne
peut subir ou exercer aucune contrainte de cisaille-
ment.
Universit´ e de Gen` eve 9 -12 C. Leluc

Pesanteur et Pression hydrostatique
La pesanteur est la cause de la pression hydrostatique.
Soit un r´ eservoir ouvert et contenant un timbre-
poste d’aire Aimmerg´ e dans le liquide ` a une pro-
fondeur h, parall` ellement ` a la surface du liquide.
La face sup´ erieure du timbre est soumise, de la
part du liquide, ` a une force normale vers le bas
´
egale au poids de la colonne de fluide au-dessus
du timbre.
Volume : V=A h
masse : m=ρAh
Poids : FW=m g =ρAhg
Pression :
P=FW
A=ρA h g A=ρ h g
Exemple : La pression subit par un nageur ` a 20m sous l’eau sera :
P=ρgh = (1,025 ×103kg/m3)(9,81m/s2)(20m) = 2,0×105N
ce qui est environ la pression d’un pneu automobile.
Universit´ e de Gen` eve 9 -13 C. Leluc

Variation de la pression avec la profondeur
A l’int´ erieur du liquide, ` a une hauteur y, on d´ elimite un
minuscule volume plat dont l’aire est A, de masse dm
et l’´ epaisseur dy. La pression du fluide sur la plaque
exerce une force ´ egale ` a PA vers le haut et ` a (P+dP)A
vers le bas. La seule autre force qui agit sur ce volume
est la force de gravitation, dw,
dw = (dm)g= (ρdV )g= (ρAdy)g=ρgA dy
Le volume choisi est en ´ equilibre, Σ~ F= 0 :
P A −(P+dP )A−ρg A dy = 0
dP
dy =−ρg
Si ρest constant (liquide) :
dP =−ρgdy ZP2
P1dP =−Zy2 y1ρgdy
P2−P1=−ρg Zy2
y1dy =−ρg (y2−y1)
P1=P2+ρ g h
Universit´ e de Gen` eve 9 -14 C. Leluc

Cas de la pression atmosph´ erique : ρn’est pas constant
On veut d´ eterminer la variation de pression de l’atmosph` ere terrestre en fonc-
tion de la hauteur yau-dessus du niveau de la mer, en supposant que g
demeure constant et que la masse volumique de l’air est proportionelle ` a la
pression, soit ρ
ρo=P Poo`
u les quantit´ es avec index osont au niveau de la mer.
dP
dy =−ρg dP dy =−P(ρo Po
)gdP
P=−(ρo Po
)g dy
ZP
Po
dP
P=−(ρo Po
)gZy
ody ln P
Po
=−(ρo
Po
)g y
P=Poe−(ρog/Po)y
Exemple : A quelle hauteur la pression de l’air ´ equivaut-elle ` a la moiti´ e de sa
valeur au niveau de la mer?
Po= 1,013 ×105N/m2,ρo= 1,29 kg/m3, et g= 9,81 m/s2
En posant P=Po/2
1/2 = e−(1,25×10−4m−1)y
y= (ln 2,00)/(1,25 ×10−4m−1) = 5500 m
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Pression dans un r´ ecipient
Pour un fluide, nous avons trouv´ e :
P1=P2+ρ g h.
Ainsi si la surface du liquide est soumise
`
a une pression ext´ erieure, celle-ci doit ˆ etre
ajout´ ee ` a la pression, ρgh. Si P2d´ esigne la
pression atmosph´ erique Po
P1=ρgh +PoP ression absolue
P1−Po=ρ g h P ression de jauge
ou manometrique
La pression est la mˆ eme en tous les points
situ´ es ` a un mˆ eme niveau horizontal d’un
mˆ eme fluide au repos :
PA=PB=PC=Po+ρg h
PD6=PA6=PE
Universit´ e de Gen` eve 9 -16 C. Leluc