Scientifique (cours)

Tle ES - programme 2012 - mathématiques – ch.3 - cours
(D’après Nathan – collection Transmath 2012 – ch.3)
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Ch.3 Fonctions exponentielles
1 FONCTIONS x


qx, AVEC q > 0
1.1 Définition
Pour tout réel q strictement positif, la fonction x


qx est une fonction définie sur IR.
Sa courbe représentative est obtenue en reliant par une ligne continue et régulière les points de coordonnées
(n ; qn) pour n  ZZ.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle de base q.
Cas q > 1
–
–
Cas 0 < q < 1
Points rouges : représentation graphique de la suite (qn).
Courbe verte : représentation graphique de la fonction x  qx.

Cas q = 1 : dans ce cas, pour tout n  Z
Z, qn = 1.
Remarque importante :
Pour tout réel x, qx est strictement positif.
1.2 Dérivabilité
On admet que :
Les fonctions x


qx sont dérivables sur IR.
Ces fonctions sont donc continues sur IR et admettent une tangente en chaque point.
Exemples :
1) Considérons la fonction f définie sur IR, par f (x) = (1,4)x.
Dans ce cas, q = 1,4 ; l'allure de sa courbe représentative, Cf ,
correspond au cas q > 1. On a :
f (0) = 1 ;
f (2) = (1,4)2 = 1,96 ;
f (–1) = (1,4)–1 =
1
 0,71 ;
1,4
f (1) = 1,4 ;
f (3) = (1,4)3 = 2,744 ;
1
f (–2) = (1,4)–2 = 2  0,51.
1,4
2) Considérons la fonction f définie sur IR par f (x) = (0,9)x.
Dans ce cas, q = 0,9 ; l'allure de sa courbe représentative, Cf ,
correspond au cas q < 1. On a :
f (0) = 1 ;
f (2) = (0,9)2 = 0,81 ;
f (–1) = (0,9)–1 =
1
 1,11 ;
0,9
f (1) = 0,9 ;
f (3) = (0,9)3 = 0,729 ;
1
f (–2) = (0,9)–2 = 2  1,23.
0,9
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes)
http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr
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2 RELATION FONCTIONNELLE
2.1 Une propriété fondamentale
Si a et b sont des entiers, on sait que qa + b = qa  qb.
Le théorème suivant que nous admettons, indique que cette propriété est vraie si a et b sont des réels
quelconques, pas forcément entiers.
THÉORÈME 1
q désigne un nombre strictement positif. Alors, pour tous réels a et b, qa + b = qa qb.
Exemples :

2
3+1
=2
3
 21 = 2  2
3

.
5 – 2 = 5  5–2 = 5 
1 5
=
.
52 25
2.2 Conséquences
THÉORÈME 2
q est un nombre strictement positif.
1) Pour tous réels a1 , a2 , …, ap ,
4) Pour tout réel a, pour tout réel b, qa – b =
qa1 + a2 + … + a p = qa1 qa2 … qap.
2) Pour tout réel a, q–a =
1
.
qa
5) q
1
2
qa
.
qb
= q.
p
3) Pour tout réel a et tout entier relatif p, (qa) = qap.
Remarques :
1) Les propriétés 1, 2, 3 et 4 ci-dessus sont connues dans le cas où les exposants sont entiers. Le théorème
indique qu'elles sont vraies dans le cas où les exposants sont des réels quelconques.
2) Généralisation de la propriété 5 : pour q > 0 et pour n entier naturel non nul, on peut vérifier que q

1
n

1
n
est
n
le nombre positif dont la puissance n-ième est égale à q, c’est-à-dire tel que q  = q.
1
Par exemple, 27 3 = 3 car 33 = 27.
Démonstration :
1) qa1 + a2 = qa1  qa2 (d'après la relation fonctionnelle).
qa1 + a2 + a3 = qa1 + a2  qa3 = (qa1  qa2)  qa3 = qa1  qa2  qa3.
De proche en proche on démontre que qa1 + a2 + … + a p = qa1  qa2  …  qap.
2) q–a =
1
équivaut à q–a  qa = 1. Or q–a  qa = q–a + a = q0 = 1.
qa
3) Cas où p est entier positif : (qa)p = qa  qa  …  qa = qa + a + a + … + a = qpa.
–(–p)
p
Si p est un entier négatif, (qa) = (qa)
=
1
–p .
(qa)
Or –p est positif, donc (qa)–p = q–pa d'après la propriété établie ci-dessus dans le cas où l'entier est positif.
Or
1
= qpa d'après la propriété 2.
q–pa
4) qa – b = qa + (–b) = qa  q–b = qa 
1 qa
= .
qb qb
2
1
 12 
2
5) q  = q 2 = q d'après la propriété 3.
Ainsi q
1
2
est le nombre positif dont le carré est égal à q. Donc q
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1
2
= q.
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Exemples :


q3a – 5 =
4
5
2
q3a
.
q5
2x 

9
1
2
9x
2x 
=9
1
x
2
x
=9
1
2
=9 9
x
1
2
= 9x  9 = 3  9x.
 1 5
5
= 4 2  = ( 4) = 25 = 32.
3 FONCTION EXPONENTIELLE x


ex
3.1 Définition
DÉFINITION 1
Parmi les fonctions x


qx, la fonction f : x


ex est celle telle que f ' (0) = 1.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée exp.
3.2 Théorème fondamental
THÉORÈME 3
La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée.
Démonstration :
ex + h – ex
= ex.
h
h0
ex + h – ex ex  eh – ex ex (eh – 1)
D'après la relation fonctionnelle, ex + h = ex  eh. Donc :
=
=
.
h
h
h
Or, d'après la définition de la fonction x  ex, le nombre dérivé en 0 de cette fonction est égal à 1.
eh – e0
eh – 1
Ceci signifie que lim
= 1. Or e0 = 1, d'où lim
= 1.
h0 h
h0 h
ex (eh – 1) x
Donc lim
= e , soit la dérivée de la fonction x  ex est la fonction x  ex.
h
h0
Il s'agit de démontrer que pour tout réel x, lim



3.3 Représentation graphique. Sens de variation
THÉORÈME 4
La fonction x


ex est strictement croissante sur IR.
On en déduit les propriétés suivantes :
THÉORÈME 5
Pour tous réels a et b,

ea = eb équivaut à : a = b.
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
ea < eb équivaut à : a < b.
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4 DÉRIVÉE DE x


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eu(x)
THÉORÈME 6
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f : x
I, f (x) = u' (x) eu(x).


eu(x) est dérivable sur I, et pour tout x de
Nous admettons ce théorème.
Remarques :

Si u(x) = x, u' (x) = 1.
Dans ce cas particulier, ce théorème permet de retrouver le fait que si f (x) = ex, alors f ' (x) = ex.

ex est toujours strictement positif. Donc le signe de u' (x) eu(x) est celui de u' (x).
Exemples :
– 3x

f (x) = ex

f (x) = e x ; la fonction x
2
, alors f ' (x) = (2x – 3) ex
1


2
– 3x
.
1
est dérivable sur IR*.
x
Donc f est dérivable sur IR* et f ' (x) = e
1
x

–1
.
x2
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