Tle ES - programme 2012 - mathématiques – ch.3 - cours Page 2 sur 4
(D’après Nathan – collection Transmath 2012 – ch.3)
H. Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Coeur à Nantes) http://www.sacrecoeur.nantes.e-lyco.fr
2 RELATION FONCTIONNELLE
2.1 Une propriété fondamentale
Si a et b sont des entiers, on sait que qa + b = qa qb.
Le théorème suivant que nous admettons, indique que cette propriété est vraie si a et b sont des réels
quelconques, pas forcément entiers.
q désigne un nombre strictement positif. Alors, pour tous réels a et b, qa + b = qa qb.
Exemples :
23 + 1 = 2 3 21 = 2 2 3.
5 – 2 = 5 5–2 = 5 1
52 = 5
25 .
2.2 Conséquences
q est un nombre strictement positif.
1) Pour tous réels a1 , a2 , …, ap ,
qa1 + a2 + … + ap = qa1 qa2 … qap.
2) Pour tout réel a, q–a = 1
qa .
3) Pour tout réel a et tout entier relatif p, (qa)p = qap.
4) Pour tout réel a, pour tout réel b, qa – b = qa
qb .
5) q
Remarques :
1) Les propriétés 1, 2, 3 et 4 ci-dessus sont connues dans le cas où les exposants sont entiers. Le théorème
indique qu'elles sont vraies dans le cas où les exposants sont des réels quelconques.
2) Généralisation de la propriété 5 : pour q > 0 et pour n entier naturel non nul, on peut vérifier que q
est
le nombre positif dont la puissance n-ième est égale à q, c’est-à-dire tel que
Démonstration :
1) qa1 + a2 = qa1 qa2 (d'après la relation fonctionnelle).
qa1 + a2 + a3 = qa1 + a2 qa3 = (qa1 qa2) qa3 = qa1 qa2 qa3.
De proche en proche on démontre que qa1 + a2 + … + ap = qa1 qa2 … qap.
2) q–a = 1
qa équivaut à q–a qa = 1. Or q–a qa = q–a + a = q0 = 1.
3) Cas où p est entier positif : (qa)p = qa qa … qa = qa + a + a + … + a = qpa.
Si p est un entier négatif, (qa)p = (qa)–(–p) = 1
(qa)–p .
Or –p est positif, donc (qa)–p = q–pa d'après la propriété établie ci-dessus dans le cas où l'entier est positif.
Or 1
q–pa = qpa d'après la propriété 2.
4) qa – b = qa + (–b) = qa q–b = qa 1
qb = qa
qb .
5)
= q d'après la propriété 3.
Ainsi q
est le nombre positif dont le carré est égal à q. Donc q