Automates cellulaires

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Automates cellulaires
Ce court document est une tr`es br`eve introduction aux automates cellulaires, suffisante pour r´ealiser les quelques
travaux pratiques demand´es.
Soit El’ensemble fini des ´etats possibles d’une cellule de l’automate. Par exemple, si les cellules n’ont que 2
´etats, on pourra prendre E={vivant, mort}ou E= 0,1.
L’´etat d’un automate de dimension nest une application de Zndans E. Les ´el´ements de Znsont appel´ees les
cellules de l’automate. Chaque cellule a donc un ´etat, qui est pris dans E. Par exemple, si l’automate est binaire,
`a une dimension, l’´etat de l’automate est une application qui `a chaque nombre relatif associe par exemple 0 ou 1.
Les contraintes d’une implantation sur machine n´ecessitent de ne consid´erer que des automates ayant un nombre
fini de cellule. Par exemple, nous pouvons consid´erer un automate cellulaire de dimension 2, de taille 5 ×5, dont
chaque cellule est dans l’´etat 0 ou 1. Ceci correspond `a un tableau de ce type :
0 0 1 1 0
1 0 1 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 1
0 1 1 0 0
Maintenant que nous avons d´efini l’´etat d’un automate, il nous reste `a parler des r`egles de l’automate, qui
indiquent `a chaque instant comment ´evoluent les cellules.
Voici un exemple de table de transitions pour un automate cellulaire de dimension 1, dont les cellules sont dans
l’´etat blanc ou noir (les r`egle ont ´et´e num´erot´ees) :
12345678
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Finalement, un automate cellulaire complet est donn´e par :
– sa topologie, son voisinage (nous consid´ererons pour notre part des automates cellulaires de dimension 1 ou
de dimension 2 `a grille carr´ee)
– son ´etat initial, c’est `a dire l’´etat initial de chaque cellule de l’automate
– sa table de transition qui permet de calculer l’´etat futur de l’automate.
Simuler un automate cellulaire consiste `a tracer sur un ´ecran graphique l’´etat de l’automate `a des dates successives.
Par exemple, consid´erons l’automate `a une dimension, form´e de 11 cellules, dans l’´etat initial suivant :
Supposons que sa table de transitions soit celle donn´ee plus haut. Alors, nous pouvons simuler l’automate en
repr´esentant sont ´etat initial sur la premi`ere ligne, l’´etat suivant sur la seconde ligne etc... Voici les 9 premiers ´etats
de l’automate.
Pour r´ealiser cette simulation, nous avons dˆu consid´erer des conditions limites, permettant de traiter le cas des
cellules extrˆemes. Nous avons ici choisi de consid´erer qu’en dehaors du domaine, les cellules sont blanches. Nous
aurions aussi pu consid´erer que le bord gauche est reli´e au bord droit, ou toute autre r`egle de notre choix.