Feuille d`exercices n°1

Données :
2.a. Établir l’expression de la vitesse du point O de la surface terrestre. dans le
référentiel géocentrique Rg (assimilé ici à un référentiel galiléen) en fonction de la vitesse
angulaire de rotation de la Terre autour de l’axe de ses pôles (cette vitesse angulaire est
notée Ω) , du rayon terrestre RT et de la latitude λ du lieu du lancement.
2.b. En déduire les conditions les plus favorables pour le lancement du satellite.
Parmi les trois champs de tirs suivants, lequel choisir de préférence ?
Baïkonour au Kazakhstan λ = 46° ;
Cap Canaveral aux USA λ = 28,5° ;
Kourou en Guyane française λ = 5,23°.
MOUVEMENTS ET TRAJECTOIRES
Masse de la Terre
MT = 5 ,97 × 1024 kg
Rayon de la Terre
RT = 6,38 × 106 m
Masse du Soleil
MS = 333 × 103 × MT
Constante universelle de gravitation
G = 6,67 × 10-11 S.I.
Valeur du champ de pesanteur au niveau du sol g = 9,81 m/s²
Les vecteurs sont notés en gras
1. Cinématique du point
Un avion doit se déplacer en ligne droite d’un point A vers un point au sol B. Il subit un
vent contraire de vitesse ve. Le vecteur ve fait un angle φ avec la trajectoire AB. L’avion vole
à une vitesse constante V par rapport à l’air. Cette vitesse fait un angle X avec la route au sol
AB.
2.c. Établir l’expression de l’énergie potentielle de gravitation d’un satellite en
fonction de son altitude z par rapport au sol. On prend pour référence une énergie
potentielle nulle à l’infini. En déduire l’expression de l’énergie mécanique du satellite sur sa
base de lancement dans le référentiel géocentrique.
2.d. On appelle ici vitesse de libération vl, la vitesse verticale minimale qu’il faut
communiquer initialement au satellite par rapport au sol, pour qu’il puisse se libérer de
l’attraction terrestre. Donner l’expression de vl . Calculer sa valeur numérique dans le cas
où le satellite est lancé de la base de Kourou (on tient donc compte de la rotation de la
terre).
3. Satellite artificiel en orbite
On considère un satellite artificiel de masse m en mouvement circulaire autour de la Terre.
3.a. Montrer que le mouvement du satellite est uniforme. Établir l’expression de la
vitesse du satellite en fonction de son altitude ainsi que la troisième loi de Kepler liant la
période de rotation T du satellite au rayon r de sa trajectoire.
3 b. Calculer le rayon de l’orbite d’un satellite géostationnaire .
3.c. Soit un satellite d’énergie mécanique initiale Em0. Son orbite est relativement
basse et il subit donc les frottements des couches hautes de l’atmosphère. Il s’ensuit que
l’énergie mécanique du satellite varie selon la loi :
Em = Em0 (1 + b t), b étant un coefficient constant positif.
En supposant que la trajectoire reste approximativement circulaire.
Établir l’expression du rayon r et de la vitesse v du satellite en fonction du temps. Comparer
les évolutions de r et de v ainsi que celles des énergies potentielle et cinétique. Que devient
l’énergie perdue ?
X
B
V
ve
φ
1) A quelles conditions l'avion peut-il se déplacer en ligne droite de A vers B ?
Calculer l’angle ( en degré) de correction X que le pilote doit afficher dans le cas
où V = 445 km.h-1, pour contrer un vent de vitesse ve = 56 km.h-1 et φ = 20°.
2) L’avion doit faire un aller-retour entre les deux points A et B distants de 500 km,
dans les conditions de la question précédente. Calculer la durée tar du trajet aller-retour.
On négligera le temps du demi-tour. Comparer cette durée avec le temps qu’aurait mis
l’avion pour faire le même trajet en l’absence de vent
2. Lancement d’un satellite
On étudie le lancement d’un satellite artificiel à partir d’un point O de la surface terrestre.
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