Structures algébriques usuelles

Chapitre III
Structures algébriques usuelles
Table des matières
Partie A : Groupes 2
1. Structure de groupe ......................................... 2
2. Sous-groupes ............................................. 3
3. Morphismes de groupes ....................................... 4
4. Le groupe Z/nZ........................................... 7
5. Groupes monogènes ......................................... 8
6. Ordre d’un élément ......................................... 10
Partie B : Anneaux 10
1. Structure d’anneau ......................................... 10
2. Sous-anneaux ............................................ 12
3. Inversibles d’un anneau ....................................... 12
4. Morphismes d’anneaux ....................................... 13
5. Idéaux d’un anneau commutatif .................................. 14
6. L’anneau Z/nZ........................................... 16
Partie C : Anneaux de polynômes 18
1. Propriétés arithmétiques élémentaires ............................... 19
2. Idéaux de K[X]........................................... 20
3. Propriétés relatives au PGCD ................................... 20
4. Décomposition d’un polynôme en facteurs irréductibles ..................... 22
Partie D : Algèbres 23
1. Structure d’algèbre ......................................... 23
2. Sous-algèbres ............................................. 23
3. Morphismes d’algèbres ....................................... 24
4. Algèbres et polynômes ....................................... 24
1

Groupes
Partie A
Partie A
1. Structure de groupe
Dénition 1.
Dénition 1. gGroupeGroupe
Soit Gun ensemble et ∗une loi de composition interne sur G. On dit que le couple (G, ∗)est
une structure de groupe, ou plus simplement Gest un groupe (muni de la loi ∗), si :
i) Associativité :∀x, y, z ∈G,
(x∗y)∗z=x∗(y∗z);
ii) Élément neutre :∃e∈G, ∀x∈G,
e∗x=x=x∗e;
iii) Symétrique :∀x∈G, ∃y∈G,
x∗y=e=y∗x.
On dit de plus qu’un groupe Gest commutatif si :
iv) Commutativité :∀x, y ∈G,
x∗y=y∗x.
Remarque 1.
Remarque 1.
On rappelle deux des principales notations pour la loi d’un groupe :
— La notation additive (G, +) qui est utilisée exclusivement dans le cas commutatif. Dans
ce cas, l’élément neutre est noté 0et le symétrique de x∈Gest noté −x.
— La notation multiplicative (G, .)(ou (G, ×)) qui peut s’employer dans les cas commutatifs
ou non. Dans ce cas, l’élément neutre est souvent noté eou 1et le symétrique de x∈G
est noté x−1.
Exemple 1.
Exemple 1.
— Les ensembles de nombres suivants munis de l’addition sont des groupes :
Z,Q,R,C.
— Les ensembles de nombres suivants munis de la multiplication sont des groupes :
Q∗,Q∗
+,R∗,R∗ +,C∗,U,Un(pour n∈N∗).
— Pour Xun ensemble, l’ensemble SXdes permutations de X(i.e. des bijections de Xdans
X) est un groupe pour la composition.
— Pour K=Rou Cet n∈N∗, L’ensemble GLn(K)des matrices inversibles est un groupe
pour le produit matriciel.
2

— Pour n∈N, l’ensemble On(R)des matrices orthogonales est un groupe pour le produit
matriciel.
Proposition 1.
Proposition 1. gStructure de groupe produitStructure de groupe produit
Soit (G1, .),(G2, .)des groupes et on note G=G1×G2. On considère la loi de composition
suivante sur G: pour (x1, x2),(y1, y2)∈G,
(x1, y1).(x2, y2) := (x1x2, y1y2).
Alors Gmuni de cette loi est un groupe et :
•L’élément neutre de Gest e= (e1, e2)où e1est l’élément neutre de G1et e2l’élément
neutre de G2.
•Le symétrique de (x1, x2)∈G, est (x−1
1, x−1 2).
Remarque 2.
Remarque 2.
Par récurrence, on peut ainsi munir un produit ni de groupes d’une structure de groupe.
2. Sous-groupes
a. Généralités
Dénition 2.
Dénition 2. gSous-groupeSous-groupe
Soit Gun groupe et H⊂G. On dit que Hest un sous-groupe de Gsi :
•Hest non vide ;
•pour tous x, y ∈H,x.y ∈H;
•pour x∈H,x−1∈H.
Proposition 2.
Proposition 2. gCaractérisation des sous-groupesCaractérisation des sous-groupes
Soit Gun groupe et H⊂G. Alors Hest un sous-groupe de G, si, et seulement si :
i) L’élément neutre ede Gappartient à H;
ii) pour tous x, y ∈H,x.y−1∈H.
Exemple 2.
Exemple 2.
— Si Gest un groupe, {e}et Gsont des sous-groupes de G. On les appelle les sous-groupes
triviaux de G.
— La chaîne d’inclusions suivante est également une chaîne de sous-groupes :
Z⊂Q⊂R⊂C
3

— Pour tout n∈N∗,Unest un sous-groupe de U.
— Soit n∈N∗,On(R)est un sous-groupe de GLn(R).
b. Sous-groupe engendré par une partie
Proposition 3.
Proposition 3. gIntersection de sous-groupesIntersection de sous-groupes
Soit Gun groupe et (Hi)i∈Iune famille quelconque de sous-groupes de G. Alors 
i∈I
Hiest un
sous-groupe de G.
Autrement dit, une intersection quelconque de sous-groupes est un sous-groupe.
Dénition-Proposition 3.
Dénition-Proposition 3.
Soit Gun groupe et A⊂G. On note ⟨A⟩l’intersection de tous les sous-groupes de Gcontenant
A, i.e.
⟨A⟩=
H∈HA
Hoù HA={Hsous-groupe de G|A⊂H}.
Alors ⟨A⟩est le plus petit sous-groupe de Gcontenant Aet on l’appelle le sous-groupe en-
gendré par A.
Si de plus ⟨A⟩=G, on dit que Aengendre G.
Exemple 3.
Exemple 3.
Soit n∈N∗. Le groupe Sndes permutations de J1, nKest engendré par les transpositions.
c. Exemple important : les sous-groupes de Z
Théorème 1.
Théorème 1. gDivision euclidienneDivision euclidienne
Soit a∈Zet b∈N∗. Alors il existe un unique couple (q, r)∈Z×Ntel que :
a=bq +ret 0≤r < b.
Théorème 2.
Théorème 2.
Soit H⊂Z. Alors Hest un sous-groupe de (Z,+), si, et seulement si, il existe n∈Ntel que
H=nZ.
4

3. Morphismes de groupes
a. Dénition
Dénition 4.
Dénition 4. gMorphisme de groupesMorphisme de groupes
Soit G1, G2des groupes et f:G1→G2.
On dit que fest un morphisme de groupes si, pour tous x, y ∈G1:
f(xy) = f(x)f(y).
Exemple 4.
Exemple 4.
— L’exponentielle est un morphisme de groupes de (R,+) dans (R∗
+,×).
— Le déterminant est un morphisme de groupes de (GLn(K),×)dans (K∗,×).
— Soit n∈N∗. La signature εest un morphisme de groupes de (Sn,◦)dans ({−1,1},×)
b. Noyau, Image et sous-groupes
Dénition 5.
Dénition 5. gNoyau, Image d’un morphisme de groupesNoyau, Image d’un morphisme de groupes
Soit G1, G2des groupes d’éléments neutres respectifs e1,e2et f:G1→G2un morphisme de
groupes.
— On appelle noyau de fl’ensemble Ker(f) = {x∈G1|f(x) = e2}.
— On appelle image de fl’ensemble Im(f) = f(G1) = {f(x)|x∈G1}.
Lemme 1.
Lemme 1.
Soit G1, G2des groupes d’éléments neutres respectifs e1,e2et f:G1→G2un morphisme de
groupes. Alors :
f(e1) = e2;∀x∈G1, f(x−1) = f(x)−1et ∀x∈G1,∀n∈N∗, f(xn) = f(x)n.
Proposition 4.
Proposition 4.
Soit G1, G2des groupes, H1, H2des sous-groupes de G1, G2respectivement et f:G1→G2un
morphisme de groupes. Alors :
—f−1(H2)est un sous-groupe de G1;
—f(H1)est un sous-groupe de G2.
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