Chapitre III Structures algébriques usuelles Table des matières Partie A : Groupes 1. Structure de groupe . . 2. Sous-groupes . . . . . . 3. Morphismes de groupes 4. Le groupe Z/nZ . . . . 5. Groupes monogènes . . 6. Ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 7 8 10 Partie B : Anneaux 1. Structure d’anneau . . . . . . . 2. Sous-anneaux . . . . . . . . . . 3. Inversibles d’un anneau . . . . . 4. Morphismes d’anneaux . . . . . 5. Idéaux d’un anneau commutatif 6. L’anneau Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10 12 12 13 14 16 Partie C : Anneaux de polynômes 1. Propriétés arithmétiques élémentaires . . . . . . . . . . 2. Idéaux de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Propriétés relatives au PGCD . . . . . . . . . . . . . . 4. Décomposition d’un polynôme en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 20 20 22 Partie D : Algèbres 1. Structure d’algèbre . . 2. Sous-algèbres . . . . . . 3. Morphismes d’algèbres 4. Algèbres et polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 23 24 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partie A Groupes 1. Structure de groupe Définition 1. Groupe gGroupe Soit G un ensemble et ∗ une loi de composition interne sur G. On dit que le couple (G, ∗) est une structure de groupe, ou plus simplement G est un groupe (muni de la loi ∗), si : i) Associativité : ∀x, y, z ∈ G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z); ii) Élément neutre : ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, e ∗ x = x = x ∗ e; iii) Symétrique : ∀x ∈ G, ∃y ∈ G, x ∗ y = e = y ∗ x. On dit de plus qu’un groupe G est commutatif si : iv) Commutativité : ∀x, y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x. Remarque 1. On rappelle deux des principales notations pour la loi d’un groupe : — La notation additive (G, +) qui est utilisée exclusivement dans le cas commutatif. Dans ce cas, l’élément neutre est noté 0 et le symétrique de x ∈ G est noté −x. — La notation multiplicative (G, .) (ou (G, ×)) qui peut s’employer dans les cas commutatifs ou non. Dans ce cas, l’élément neutre est souvent noté e ou 1 et le symétrique de x ∈ G est noté x−1 . Exemple 1. — Les ensembles de nombres suivants munis de l’addition sont des groupes : Z, Q, R, C. — Les ensembles de nombres suivants munis de la multiplication sont des groupes : Q∗ , Q∗+ , R∗ , R∗+ , C∗ , U, Un (pour n ∈ N∗ ). — Pour X un ensemble, l’ensemble SX des permutations de X (i.e. des bijections de X dans X) est un groupe pour la composition. — Pour K = R ou C et n ∈ N∗ , L’ensemble GLn (K) des matrices inversibles est un groupe pour le produit matriciel. 2 — Pour n ∈ N, l’ensemble On (R) des matrices orthogonales est un groupe pour le produit matriciel. Proposition 1. gStructurededegroupe Structure groupeproduit produit Soit (G1 , .), (G2 , .) des groupes et on note G = G1 × G2 . On considère la loi de composition suivante sur G : pour (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ G, (x1 , y1 ).(x2 , y2 ) := (x1 x2 , y1 y2 ). Alors G muni de cette loi est un groupe et : • L’élément neutre de G est e = (e1 , e2 ) où e1 est l’élément neutre de G1 et e2 l’élément neutre de G2 . −1 • Le symétrique de (x1 , x2 ) ∈ G, est (x−1 1 , x2 ). Remarque 2. Par récurrence, on peut ainsi munir un produit fini de groupes d’une structure de groupe. 2. Sous-groupes a. Généralités Définition 2. Sous-groupe gSous-groupe Soit G un groupe et H ⊂ G. On dit que H est un sous-groupe de G si : • H est non vide ; • pour tous x, y ∈ H, x.y ∈ H ; • pour x ∈ H, x−1 ∈ H. Proposition 2. gCaractérisationdes Caractérisation dessous-groupes sous-groupes Soit G un groupe et H ⊂ G. Alors H est un sous-groupe de G, si, et seulement si : i) L’élément neutre e de G appartient à H ; ii) pour tous x, y ∈ H, x.y −1 ∈ H. Exemple 2. — Si G est un groupe, {e} et G sont des sous-groupes de G. On les appelle les sous-groupes triviaux de G. — La chaîne d’inclusions suivante est également une chaîne de sous-groupes : Z⊂Q⊂R⊂C 3 — Pour tout n ∈ N∗ , Un est un sous-groupe de U. — Soit n ∈ N∗ , On (R) est un sous-groupe de GLn (R). b. Sous-groupe engendré par une partie Proposition 3. gIntersectiondedesous-groupes Intersection sous-groupes Soit G un groupe et (Hi )i∈I une famille quelconque de sous-groupes de G. Alors ∩ Hi est un i∈I sous-groupe de G. Autrement dit, une intersection quelconque de sous-groupes est un sous-groupe. Définition-Proposition 3. Soit G un groupe et A ⊂ G. On note ⟨A⟩ l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant A, i.e. ∩ ⟨A⟩ = H où HA = {H sous-groupe de G | A ⊂ H}. H∈HA Alors ⟨A⟩ est le plus petit sous-groupe de G contenant A et on l’appelle le sous-groupe engendré par A. Si de plus ⟨A⟩ = G, on dit que A engendre G. Exemple 3. Soit n ∈ N∗ . Le groupe Sn des permutations de J1, nK est engendré par les transpositions. c. Exemple important : les sous-groupes de Z Théorème 1. gDivisioneuclidienne Division euclidienne Soit a ∈ Z et b ∈ N∗ . Alors il existe un unique couple (q, r) ∈ Z × N tel que : a = bq + r et 0 ≤ r < b. Théorème 2. Soit H ⊂ Z. Alors H est un sous-groupe de (Z, +), si, et seulement si, il existe n ∈ N tel que H = nZ. 4 3. Morphismes de groupes a. Définition Définition 4. gMorphismededegroupes Morphisme groupes Soit G1 , G2 des groupes et f : G1 → G2 . On dit que f est un morphisme de groupes si, pour tous x, y ∈ G1 : f (xy) = f (x)f (y). Exemple 4. — L’exponentielle est un morphisme de groupes de (R, +) dans (R∗+ , ×). — Le déterminant est un morphisme de groupes de (GLn (K), ×) dans (K∗ , ×). — Soit n ∈ N∗ . La signature ε est un morphisme de groupes de (Sn , ◦) dans ({−1, 1}, ×) b. Noyau, Image et sous-groupes Définition 5. gNoyau,Image Noyau, Imaged’un d’unmorphisme morphismededegroupes groupes Soit G1 , G2 des groupes d’éléments neutres respectifs e1 ,e2 et f : G1 → G2 un morphisme de groupes. — On appelle noyau de f l’ensemble Ker(f ) = {x ∈ G1 | f (x) = e2 }. — On appelle image de f l’ensemble Im(f ) = f (G1 ) = {f (x) | x ∈ G1 }. Lemme 1. Soit G1 , G2 des groupes d’éléments neutres respectifs e1 ,e2 et f : G1 → G2 un morphisme de groupes. Alors : f (e1 ) = e2 ; ∀x ∈ G1 , f (x−1 ) = f (x)−1 et ∀x ∈ G1 , ∀n ∈ N∗ , f (xn ) = f (x)n . Proposition 4. Soit G1 , G2 des groupes, H1 , H2 des sous-groupes de G1 , G2 respectivement et f : G1 → G2 un morphisme de groupes. Alors : — f −1 (H2 ) est un sous-groupe de G1 ; — f (H1 ) est un sous-groupe de G2 . 5 Corollaire 1. Soit G1 , G2 des groupes et f : G1 → G2 un morphisme de groupes. Alors : — Ker(f ) est un sous-groupe de G1 ; — Im(f ) est un sous-groupe de G2 . Proposition 5. Soit G1 , G2 des groupes et f : G1 → G2 un morphisme de groupes. On note e1 l’élément neutre de G1 . Alors l’application f est injective si, et seulement si, Ker(f ) = {e1 } Exemple 5. — Soit n ∈ N∗ . L’application z 7→ z n de C∗ dans C∗ est un morphisme de groupes surjectif et son noyau est Un . — Le groupe spécial orthogonal SOn (R) des matrices orthogonales de déterminant 1 est un sous-groupe de On (R) : il est l’image réciproque de {1} par le morphisme de groupes det : On (R) → R∗ . c. Isomorphismes de groupes Définition 6. gIsomorphismededegroupes Isomorphisme groupes Soit G1 , G2 des groupes et f : G1 → G2 . Si f est un morphisme de groupes bijectif, on dit que f est un isomorphisme de groupes. Si f est un isomorphisme de groupes et G1 = G2 , on dit que f et un automorphisme de groupes. Exemple 6. — L’exponentielle est un isomorphisme de (R, +) dans (R∗+ , ×). — Soit G un groupe et g ∈ G. L’application x 7→ gxg −1 est un automorphisme de G (on appelle automorphismes intérieurs de G de telles applications). Proposition 6. Soit G1 , G2 des groupes et f : G1 → G2 . Si f est un isomorphisme, alors f −1 est également un isomorphisme de groupes. Exemple 7. Le logarithme népérien est un isomorphisme de (R∗+ , ×) dans (R, +). 6 4. Le groupe Z/nZ a. Congruences On rappelle la relation de congruence entre deux entiers relatifs pour un entier naturel non nul fixé : gRelationdedecongruence Relation congruence Définition 7. Soit n ∈ N∗ . Pour a, b ∈ Z, on dit que a est congru à b modulo n si b − a ∈ nZ; on note : a ≡ b mod n. Proposition 7. Soit n ∈ N∗ . La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence sur Z. De plus, elle est compatible avec l’addition sur Z, i.e. pour tous a, b, c, d ∈ Z, si a ≡ b mod n et c ≡ d mod n, alors { a + c ≡ b + d mod n; ac ≡ bd mod n. b. L’ensemble Z/nZ Notation 1. gClassesd’équivalence Classes d’équivalencemodulo modulonn Soit n ∈ N∗ . — Pour k ∈ Z, on note k = {x ∈ Z | x ≡ k mod n} la classe d’équivalence de k pour la relation de congruence modulo n ; — On note Z/nZ l’ensemble des classes d’équivalence de la relation de congruence modulo n. Remarque 3. — On a 0 = nZ, 1 = 1 + nZ, ... , k = k + nZ. — Soit α ∈ Z/nZ est une classe d’équivalence pour la relation de congruence modulo n, si k est un entier tel que k ∈ α, alors α = k. On dit alors que k est représentant de la classe α. Proposition 8. Soit n ∈ N∗ . Alors Z/nZ est un ensemble fini de cardinal n et on a : Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}. 7 c. Le groupe Z/nZ Théorème 3. gStructurededegroupe Structure groupesur surZ/nZ Z/nZ Soit n ∈ N∗ . Il existe sur Z/nZ une loi de composition interne notée + et appelée loi additive quotient telle que, pour tous x, y ∈ Z, x + y = x + y. Muni de cette loi, (Z/nZ, +) est un groupe commutatif où : — l’élément neutre est 0 ; — pour k ∈ Z/nZ, −k = −k. Proposition 9. Soit n ∈ N∗ . L’application πn : Z → Z/nZ telle que pour k ∈ Z, πn (k) = k est un morphisme surjectif de groupe. 5. Groupes monogènes a. Généralités et exemples Par mesure de simplicité, pour G un groupe et x ∈ G, on notera ⟨x⟩ en lieu et place de ⟨{x}⟩ pour désigner le sous-groupe engendré par le singleton {x}. Définition 8. gGroupemonogène Groupe monogène Soit G un groupe. On dit que G est monogène s’il est engendré par un seul élément i.e. s’il existe x ∈ G tel que : ⟨x⟩ = G. Dans ce cas, on dira que l’élément est un générateur de G ou encore que G est engendré par x. Proposition 10. Soit (G, .) un groupe et x ∈ G. Alors : ⟨x⟩ = {xk | k ∈ Z}. 8 Remarque 4. Attention, pour la notation additive (G, +) cette égalité devient : ⟨x⟩ = {kx | k ∈ Z}. Exemple 8. gGroupesmonogènes Groupes monogènesclassiques classiques — Z est engendré par 1, i.e. Z = ⟨1⟩ ; — pour n ∈ N∗ , Z/nZ est engendré par 1, i.e. Z/nZ = ⟨1⟩ ; — pour n ∈ N∗ , Un est engendré par ei n , i.e. Un = ⟨ei n ⟩ ; 2π Définition 9. 2π gGroupecyclique Groupe cyclique Soit G un groupe. On dit que G est cyclique s’il est monogène et fini. b. Classification des groupes monogènes Proposition-Notation 11. Soit G un groupe et x ∈ G. Alors l’application notée φx : Z → G telle que, pour k ∈ N : φx (k) = xk est un morphisme de groupes. Théorème 4. gClassificationdes Classification desgroupes groupesmonogènes monogènes — Tout groupe monogène infini est isomorphe à (Z, +) ; — Tout groupe monogène de cardinal n ∈ N∗ est isomorphe à (Z/nZ, +). Exemple 9. Soit n ∈ N∗ . Le groupe (Un , .) est isomorphe à (Z/nZ, +). c. Les générateurs de Z/nZ Théorème 5. gThéorèmededeBézout Théorème Bézout Soit n, m ∈ Z. Alors n et m sont premier entre eux si, et seulement si, il existe u, v ∈ Z tels que un + vm = 1. 9 Proposition 12. Soit n ∈ N et k ∈ Z. Alors k est un générateur de Z/nZ si, et seulement si, k et n sont premiers entre eux. 6. Ordre d’un élément Définition 10. gOrdred’un Ordre d’unélément élément Soit G un groupe et x ∈ G. On dit que x est d’ordre fini si le cardinal de ⟨x⟩ est fini. Dans ce cas, on appelle ordre de x et on note o(x) le nombre entier naturel : o(x) = #⟨x⟩. Proposition 13. Soit G un groupe et x ∈ G un élément d’ordre fini d ∈ N∗ . i) Le nombre d est le plus petit entier naturel non nul qui vérifie l’égalité xn = e. ii) Pour tout n ∈ Z, xn = e si, et seulement si, d divise n. Proposition 14. Soit G un groupe fini. Alors tout élément x de G est d’ordre fini et o(x) divise #G. Partie B Anneaux 1. Structure d’anneau a. Définitions et exemples Définition 11. Anneau gAnneau Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne sur + et ·. On dit que le triplet (A, +, ·) est une structure d’anneau, ou plus simplement A est un anneau (muni des lois + et ·), si : i) (A, +) est un groupe commutatif d’élément neutre 0A ; ii) la loi · est associative ; 10 iii) Distributivité : pour tous a, b, c ∈ A, et a.(b + c) = a.b + a.c (b + c).a = b.a + c.a iv) Unité : la loi · possède un élément neutre noté 1A et appelé unité de A. On dit de plus qu’un anneau A est commutatif si la loi · est commutative. Définition 12. Corps gCorps Un anneau (A, +, ·) commutatif tel que (A ∖ {0A }, ·) est un groupe est appelé un corps. Remarque 5. — Un anneau A est dit trivial si 0A = 1A . Dans ce cas A = {0A }. — Il découle de la définition qu’un corps ne peut pas être un anneau trivial. Exemple 10. — Z, Q, R et C sont des anneaux commutatifs munis de l’addition et de la multiplication des nombres. Les anneaux Q, R et C sont même des corps munis de ces opérations. — R[X], C[X] sont des anneaux commutatifs munis de l’addition et de la multiplication des polynômes. — Soit n ∈ N, Mn (R) et Mn (C) sont des anneaux non commutatifs (sauf pour n = 1) munis de l’addition et de la multiplication des matrices. — Soit E un espace vectoriel. L(E) est un anneau non commutatif (sauf si E est de dimension inférieure ou égale à 1) muni de l’addition et de la composition des applications. b. Anneaux intègres Définition 13. gAnneauintègre Anneau intègre Soit A un anneau. On dit que A est intègre si pour tous a, b ∈ A, a.b = 0A ⇒ a = 0A ou b = 0A . Remarque 6. — Dans un anneau, un élément a ̸= 0A est un diviseur de zéro s’il existe b ̸= 0A tel que a.b = 0A . — Dans un anneau intègre, tout élément a ̸= 0A est régulier pour la loi · i.e. pour tous x, y ∈ A, ax = ay ⇒ x = y. 11 c. Structure d’anneau produit Proposition 15. gStructured’anneau Structure d’anneauproduit produit Soit (A1 , +, ·), (A2 , +, ·) des anneaux et on note A = A1 × A2 . On considère les lois de composition suivantes sur A : pour (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ A, et (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 + x2 , y1 + y2 ) (x1 , y1 ).(x2 , y2 ) := (x1 .x2 , y1 .y2 ). Alors A muni de ces lois est un anneau et : • L’élément nul de A est 0A = (0A1 , 0A2 ). • L’unité de A est 1A = (1A1 , 1A2 ). Remarque 7. Par récurrence, on peut ainsi munir un produit fini d’anneaux d’une structure d’anneau. 2. Sous-anneaux Définition 14. Sous-anneau gSous-anneau Soit (A, +, ·) un anneau et B ⊂ A. On dit que B est un sous-anneau de A si : i) B un sous-groupe de (A, +) ; ii) B est stable par · i.e. pour tout a, b ∈ B, a.b ∈ B. iii) L’unité 1A de A appartient à B. Remarque 8. Si (A, +, ·) est un anneau et B ⊂ A est un sous-anneau de A, alors (B, +, ·) est un anneau. Définition 15. Sous-corps gSous-corps Soit (K, +, ·) un corps et L ⊂ K. On dit que L est un sous-corps de K si L est un sous-anneau de K qui est un corps. Proposition 16. gCaractérisationdes Caractérisation dessous-anneaux sous-anneaux Soit (A, +, ·) un anneau et BsubsetA. Alors B est un sous-anneau de A si, et seulement si, i) 1A ∈ B ; ii) pour tous x, y ∈ B, x − y ∈ B ; iii) pour tous x, y ∈ B, x.y ∈ B. 12 3. Inversibles d’un anneau Définition 16. gGroupedes Groupe desinversibles inversibles Soit (A, +, ·) un anneau. On appelle groupe des inversibles (ou groupe des unités) et on note A× (ou U (A)) l’ensemble des éléments inversibles de (A, ·). Proposition 17. Soit (A, +, ·) un anneau. Alors le groupe des inversibles A× muni de la loi · est un groupe. Exemple 11. — Z× = {−1, 1} ; R× = R∗ ; C× = C∗ ; — K[X]× = K∗ ; — Mn (K)× = GLn (K) 4. Morphismes d’anneaux a. Définition Définition 17. gMorphismed’anneaux Morphisme d’anneaux Soit A, B deux anneaux et f : A → B une application. On dit que f est un morphisme d’anneaux si : i) pour tous x, y ∈ A, f (x + y) = f (x) + f (y) ; ii) pour tous x, y ∈ A, f (xy) = f (x)f (y) ; iii) f (1A ) = 1B . Un morphisme d’anneau bijectif est appelé un isomorphisme d’anneaux. b. Noyaux, images et sous-anneaux Définition 18. Noyau/Image gNoyau/Image Soit A, B des anneaux et f : A → B un morphisme d’anneaux. — Le noyau de f est le sous-ensemble de A Ker(f ) = {a ∈ A | f (a) = 0B }. — L’image de f est le sous-ensemble de B Im(f ) = f (A) = {f (a) | a ∈ A}. 13 Proposition 18. Soit A1 , A2 des anneaux et f : A1 → A2 un morphisme d’anneaux. Alors Im(f ) est un sousanneau de A2 . Remarque 9. ATTENTION gATTENTION Contrairement au cas des groupes où le noyau d’un morphisme est un sous-groupe, le noyau d’un morphisme d’anneau n’est JAMAIS un sous-anneau de l’anneau de départ (à moins que l’anneau d’arrivée ne soit trivial). En effet, si B ̸= {0B }, 1A ∈ / Ker(f ) car f (1A ) = 1B ̸= 0B . Ainsi, Ker(f ) ne peut pas être un sous-anneau puisqu’il ne contient pas 1A . 5. Idéaux d’un anneau commutatif Comme on vient de le voir, le noyau d’un morphisme d’anneau n’est pas un sous-anneau. Néanmoins, il possède des propriétés remarquables que l’on va étudier dans la suite : a. Définition et premières propriétés Définition 19. gIdéald’un Idéal d’unanneau anneaucommutatif commutatif Soit A un anneau commutatif et I ⊂ A. On dit que I est un idéal de A si : i) I est un sous-groupe de (A, +) ; ii) I est stable par multiplication par les éléments de A, i.e. pour tout x ∈ I et tout a ∈ A, ax ∈ I. Exemple 12. Soit A, B des anneaux commutatifs. — A et {0A } sont des idéaux de A. — Pour f : A → B un morphisme d’anneaux, Ker(f ) est un idéal de A. Proposition 19. gImageréciproque Image réciproqued’un d’unidéal idéal Soit A, B des anneaux commutatifs, f : A → B un morphisme et J un idéal de B. Alors f −1 (J) est un idéal de A. b. Opérations sur les idéaux 14 Proposition 20. gSommed’idéaux Somme d’idéaux Soit A un anneau commutatif et I, J des idéaux de A. Alors l’ensemble I + J = {x + y | x ∈ I , y ∈ J} est un idéal de A Remarque 10. On peut généraliser ce résultat par récurrence : une somme finie d’idéaux est un idéal. Proposition 21. gIntersectiond’idéaux Intersection d’idéaux Soit A un anneau commutatif et (Ik )k∈K une famille quelconque d’idéaux de A. Alors ∩ Ik k∈K est un idéal de A. Exercice 1. Soit A un anneau commutatif et X ⊂ A. 1. Montrer qu’il existe un plus petit idéal de A contenant X. On l’appelle l’idéal engendré par X. 2. Soit x ∈ A. Montrer que l’idéal engendré par le singleton {x} est égal à l’ensemble : Ax := {Ax | a ∈ A}. Un idéal engendré par un singleton est appelé idéal principal et un anneau dont tous les idéaux sont principaux est appelé anneau principal. c. Divisibilité dans un anneau commutatif intègre Définition 20. gDiviseuretetmultiple Diviseur multiple Soit A un anneau commutatif intègre et x, y ∈ A. On dit que x divise y et on note x|y s’il existe a ∈ A tel que y = ax. Dans ce cas, on dira également que x est un diviseur de y ou encore que y est un multiple de x. Proposition 22. gCaractérisationdedelaladivisibilité Caractérisation divisibilitéen enterme termed’idéaux d’idéaux Soit A un anneau commutatif intègre et x, y ∈ A. Alors x|y si, et seulement si, Ay ⊂ Ax. d. Exemples : les idéaux de Z 15 Théorème 6. gIdéauxdedeZZ Idéaux Les idéaux de Z sont les nZ pour n ∈ N. Remarque 11. Ainsi, Z est un anneau principal. En effet, pour tout n ∈ N, nZ = Zn est l’idéal engendré par {n}. 6. L’anneau Z/nZ a. Structure d’anneau Théorème 7. gStructured’anneau Structure d’anneausur surZ/nZ Z/nZ Soit n ∈ N∗ . Il existe sur Z/nZ des lois de composition internes notée + et · appelées respectivement loi additive quotient et loi multiplicative quotient telles que, pour tous x, y ∈ Z, x+y =x+y et x.y = x.y. Muni de ces lois, (Z/nZ, +, ·) est un anneau commutatif où l’élément nul est 0 et l’unité est 1. Proposition 23. Soit n ∈ N∗ . L’application : πn : Z k → 7 → Z/nZ k est un morphisme surjectif d’anneaux de noyau Ker(πn ) = nZ. b. Les inversibles de Z/nZ Proposition 24. gÉlémentsinversibles Éléments inversiblesdedeZ/nZ Z/nZ Soit n ∈ N et k ∈ Z. Alors k est inversible dans Z/nZ si, et seulement, si k est premier avec n. Corollaire 2. Soit n ∈ N∗ . On a équivalence entre : i) n est premier ; ii) Z/nZ est un anneau intègre ; iii) Z/nZ est un corps. 16 c. Théorème Chinois Théorème 8. gThéorèmeChinois Théorème Chinois Soit n, m ∈ N deux entiers premiers entre eux. Alors les anneaux Z/(nm)Z et Z/nZ × Z/mZ sont isomorphes et l’application : φ Z/(nm)Z k nm → Z/nZ ( n× Z/mZ ) m k ,k 7→ est un isomorphisme d’anneaux. Corollaire 3. gApplicationdu Application duthéorème théorèmeChinois Chinois Soit n, m ∈ N deux entiers premiers entre eux. Pour tout a, b ∈ Z, il existe un entier k vérifiant le système : { x ≡ a mod n x ≡ b mod m et les solutions de ce système sont exactement les entiers congrus à k modulo nm. Méthode de résolution : n et m étant premier entre eux, on cherche deux entiers u, v ∈ Z tels que nu + mv = 1. Ainsi, les entiers x1 = nu et x2 = mv vérifient { { x2 ≡ 0 mod n x1 ≡ 1 mod n et x2 ≡ 1 mod m x1 ≡ 0 mod m Ainsi, x = x1 a + x2 b est solution du système initial (Toujours vérifier que ce x est bien solution pour éviter les erreurs dans les calculs précédents !) ; par suite l’ensemble des solutions est : x + nmZ = {x + nmk | k ∈ Z}. { Méthode : Que faire dans le cas d’un système : x ≡ a mod p x ≡ b mod q où p et q ne sont pas premiers entre eux ? Soit d = pgcd(p, q) et M = ppcm(p, q). Alors on peut montrer qu’il existe une solution à ce système, si et seulement si a ≡ b mod d. Dans ce cas, une solution est donnée par x = a + qu b−a d où u est un entier qui vérifie pu + qv = d (où v ∈ Z) et de plus, l’ensemble des solutions forme un classe modulo M Z. d. Indicatrice d’Euler 17 gFonctionindicatrice Fonction indicatriced’Euler d’Euler Définition 21. On appelle fonction indicatrice d’Euler l’application φ : N∗ → N définie, pour n ∈ N∗ , par : φ(n) = #{k ∈ J1, nK | k et n sont premiers entre eux}. Proposition 25. gPropriétésdedel’indicatrice Propriétés l’indicatriced’Euler d’Euler i) φ(1) = 1, ii) pour n ≥ 2, φ(n) = #(Z/nZ)× , iii) pour p premier, φ(p) = p − 1, iv) pour p premier et α ∈ N∗ , φ(pα ) = pα − pα−1 v) pour n, m ∈ N∗ avec n et m premiers entre eux, φ(nm) = φ(n)φ(m). Corollaire 4. αk 1 Soit n ∈ N avec n ≥ 2. On considère p = pα 1 ...pk = premiers. Alors : Théorème 9. k ∏ i pα i sa décomposition en facteurs i=1 ( ) ( ) ) k ( ∏ 1 1 1 φ(n) = n 1 − ... 1 − =n 1− . p1 p1 pi i=1 gThéorèmed’Euler Théorème d’Euler Soit n ∈ N avec n ≥ 2. Alors, pour tout a ∈ Z tel que a et n sont premier entre eux, aφ(n) ≡ 1 mod n. Corollaire 5. gPetitthéorème Petit théorèmededeFermat Fermat Soit p un nombre premier. Alors pour tout a ∈ Z tel que a ∈ / pZ, ap−1 ≡ 1 mod p 18 Partie C Anneaux de polynômes Dans toute cette partie, K désigne un sous-corps de C et on considère l’anneau commutatif intègre (muni de ses opérations usuelles) K[X] des polynômes à coefficients dans K. 1. Propriétés arithmétiques élémentaires a. Divisibilité Théorème 10. gDivisioneuclidienne Division euclidiennedans dansK[X] K[X] Soit A, B ∈ K[X] et B ̸= 0. Alors il existe un unique couple (Q, R) ∈ (K[X])2 tel que : A = BQ + R et deg(R) ≤ deg(B) − 1. On appelle Q le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B. Remarque 12. Ainsi B|A si, et seulement si le reste R est nul. b. Inversibles On rappelle le fait suivant : Proposition 26. Les éléments inversibles de K[X] sont les éléments de K∗ i.e. K[X]× = K∗ . c. Polynômes irréductibles Définition 22. gPolynômeirréductible Polynôme irréductible On dit que A ∈ K[X] est un polynôme irréductible dans K[X] si deg(A) ≥ 1 et : B|A ⇒ B = λ ou B = λA avec λ ∈ K. 19 Remarque 13. Ainsi, si A = P Q avec deg(P ) ≥ 1 et deg(Q) ≥ 1 alors A n’est pas irréductible dans K[X]. Exemple 13. — X 2 + X + 5 et X + 1 sont irréductibles dans R[X] mais X 2 + 2X + 1 ne l’est pas. — X 2 − 2 est irréductible dans Q[X]. d. Polynômes premiers entre eux Définition 23. gPolynômespremiers Polynômes premiersentre entreeux eux Soit A, B ∈ K[X]. On dit que A et B sont premiers entre eux si, pour P ∈ K[X] P |A et P |B ⇒ P ∈ K∗ , i.e. si les seuls diviseurs communs de A et B sont les polynômes constants non nuls. Proposition 27. Soit A, B ∈ K[X] tel B est irréductible. Alors A et B sont premiers entre eux si, et seulement si, B ne divise pas A. 2. Idéaux de K[X] Théorème 11. Les idéaux de K[X] sont les P K[X] pour P ∈ K[X]. Remarque 14. Ainsi, K[X] est un anneau principal. 3. Propriétés relatives au PGCD a. PGCD et PPCM Définition 24. Soit A, B ∈ K[X] des polynômes non nuls. — Le PGCD de A et B est le générateur unitaire de l’idéal AK[X] + BK[X] ; 20 — Le PPCM de A et B est le générateur unitaire de l’idéal AK[X] ∩ BK[X]. Notation 2. Soit A, B ∈ K[X] des polynômes non nuls. — On note A ∧ B le PGCD de A et B ; — On note A ∨ B le PPCM de A et B. Proposition 28. Soit A, B, D, M, P ∈ K[X] des polynômes non nuls avec D, M unitaires. Alors : • D = A ∧ B si, et seulement si, D vérifie les deux conditions : i) D|A et D|B ; ii) si P |A et P |B alors P |D. • M = A ∨ B si, et seulement si, M vérifie les deux conditions : i) A|M et B|M ; ii) si A|P et B|P alors M |P . b. Relation de Bézout et Algorithme d’Euclide Proposition 29. gRelationdedeBézout Relation Bézout Soit A, B ∈ K[X] des polynômes non nuls et D = A ∧ B. Alors il existe U, V ∈ K[X] tels que D = AU + BV. Proposition 30. Soit A, B ∈ K[X] des polynômes non nuls et R le reste de la division euclidienne de A par B. Alors A ∧ B = B ∧ R. Théorème 12. gAlgorithmed’Euclide Algorithme d’Euclidepour pourles lespolynômes polynômes Soit A, B ∈ K[X] des polynômes non nuls avec deg(A) ≥ deg(B) et D = A ∧ B. Alors la suite récurrente (Rn ) : { R0 = A, R1 = B; Rn+2 est le reste de la division euclidienne de Rn par Rn+1 est stationnaire en 0 et D est le polynôme unitaire associé à Rd où d = max{n ∈ N | Rn ̸= 0}. 21 c. Lien avec les polynômes premiers entre eux Proposition 31. Soit A, B ∈ K[X] des polynômes non nuls. Alors A et B sont premiers entre eux si, et seulement si, A ∧ B = 1. Théorème 13. gThéorèmededeBézout Théorème Bézoutpour pourles lespolynômes polynômes Soit A, B ∈ K[X] des polynômes. Alors A et B sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe U, V ∈ K[X] tels que AU + BV = 1. Théorème 14. gLemmededeGauss Lemme Gauss Soit A, B, C ∈ K[X]. Si A et B sont premiers entre eux et si A|BC alors A|C. 4. Décomposition d’un polynôme en facteurs irréductibles a. Décomposition en facteurs irréductibles Proposition 32. On a les propriétés suivantes : — Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 possède un diviseur irréductible. — Si A est irréductible et A|P1 ...Pn , alors il existe i ∈ J1, nK tel que A|Pi . — Tout polynôme de degré 1 est irréductible. — Un polynôme de degré 2 ou 3 est irréductible si, et seulement si, il n’a pas de racine dans K. Théorème 15. gDécompositionen Décomposition enfacteurs facteursirréductibles irréductibles Soit A ∈ K[X] un polynôme non constant. Alors A s’écrit de façon unique comme le produit A=λ n ∏ Piαi , i=1 où λ ∈ K∗ , n ∈ N, et pour i, j ∈ J1, nK, i ̸= j, Pi est un polynôme unitaire irréductible, αi ∈ N∗ et Pi ̸= Pj . b. Irréductibles dans R[X] et C[X] 22 Théorème 16. gThéorèmededeD’Alembert-Gauss Théorème D’Alembert-Gauss Tout polynôme non constant de C admet au moins un racine dans C. Proposition 33. — Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1. — Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif. Partie D Algèbres Dans toute cette partie, K désigne un sous-corps de C. 1. Structure d’algèbre Définition 25. Soit A un espace vectoriel sur K et · un loi de composition interne sur A. On dit que le couple (A, ·) ou plus simplement que A est une algèbre sur K si : i) la loi · est associative ; ii) la loi · est bilinéaire ; iii) la loi · possède un élément neutre 1A . Exemple 14. — (K[X], ×) est une algèbre sur K ; — si E est un espace vectoriel sur K, (L(E), ◦) est une algèbre sur K ; — (Mn (K), ×) est une algèbre sur K ; — si X est un ensemble, (F(X, K), ×) est une algèbre sur K. 2. Sous-algèbres Définition 26. Sous-algèbre gSous-algèbre Soit (A, ·) une algèbre sur K et B ⊂ A. On dit que B est une sous-algèbre de A si : i) B est un sous-espace vectoriel de A. ii) B est stable par · ; iii) 1A ∈ B. 23 Exemple 15. — Vect(1A ) et A sont des sous-algèbres de A ; — L’ensemble Tn+ (K) des matrices triangulaires supérieures est une sous-algèbre de Mn (K). 3. Morphismes d’algèbres gMorphismed’algèbre Morphisme d’algèbre Définition 27. Soit A, B deux algèbres sur K et f : A → B. On dit que f est un morphisme d’algèbres si : i) pour tous λ, µ ∈ K et tous x, y ∈ A, f (λx + µy) = λf (x) + µf (y); ii) pour tous x, y ∈ A, f (xy) = f (x)f (y); iii) f (1A ) = 1B . Exemple 16. — λ 7→ λ1A est un morphisme d’algèbres de K dans Vect(1A ) ; — Pour P ∈ GLn (K), M 7→ P M P −1 est un morphisme d’algèbres de Mn (K) dans lui-même. Proposition 34. Soit A, B deux algèbres sur K et f : A → B un morphisme d’algèbres. Alors — Le noyau Ker(f ) est un idéal de l’anneau (A, +, ·) — L’image Im(f ) est une sous-algèbre de B. 4. Algèbres et polynômes a. Polynômes appliqués à un élément d’une algèbre Notation 3. gPolynômed’un Polynôme d’unélément élément Soit A une algèbre sur K, u ∈ A et P ∈ K[X] avec P = n ∑ ai X i . On note P (u) l’élément de A i=0 P (u) = n ∑ ai ui = a0 1A + a1 u + ... + an un . i=0 24 Exemple 17. — Soit E un espace vectoriel sur K. Pour f ∈ L(E) et P = n ∑ ai X i ∈ K[X], i=0 P (f ) = a0 Id + a1 f + ... + an f n ; ∗ — Soit n ∈ N . Pour M ∈ Mn (K) et P = n ∑ ai X i ∈ K[X], i=0 P (M ) = a0 Tn + a1 M + ... + an M n . Proposition-Notation 35. Soit A une algèbre sur K et u ∈ A. L’application notée fu : K[X] P → 7 → A P (u) est un morphisme d’algèbres. b. Polynômes annulateurs Définition 28. gIdéaletetpolynôme Idéal polynômeannulateur annulateur Soit A une algèbre sur K et u ∈ A. On appelle idéal annulateur de u l’ensemble Ker(fu ) = {P ∈ K[X] | P (u) = 0A }. Un polynôme P ∈ K[X] est appelé polynôme annulateur de u s’il appartient à l’idéal annulateur de u i.e. si P (u) = 0. On a montré dans la partie précédente que K[X] est un anneau principal. Ceci justifie la définition suivante : Définition 29. gPolynômeminimal Polynôme minimal Soit A une algèbre sur K et u ∈ A d’idéal annulateur non réduit à 0A . On appelle polynôme minimal de u et on note πu le générateur unitaire de l’idéal annulateur de u. Exemple 18. Soit A une algèbre sur K. — Un élément u de A est dit nilpotent s’il existe n ∈ N∗ tel que un = 0. Dans ce cas, le polynôme X n est un polynôme annulateur de u. Comme le polynôme minimal de u divise X n donc il existe k ≤ n tel que πu = X k . — Un élément u de A est un idempotent si u2 = u. Dans ce cas, X 2 − X est un polynôme annulateur de u. Comme πu |X 2 − X, alors on a 25 trois cas possibles : 1) πu = X 2 − X. 2) πu = X, auquel cas u = 0A 3) πu = X − 1, auquel cas u = 1A c. Algèbre engendrée par un élément Notation 4. Soit A une algèbre sur K et u ∈ A. On note K[u] = {P (u) | P ∈ K[X]}. Proposition 36. Soit A une algèbre sur K et u ∈ A. Alors K[u] est une sous-algèbre commutative de A. Proposition 37. Soit A une algèbre sur K et u ∈ A. Si u admet un polynôme minimal πu ∈ K[X] avec d = deg(πu ), alors K[u] est un espace vectoriel de dimension finie d et ( k) u 0≤k≤d−1 est une base de K[u]. Méthode : Connaissant le polynôme minimal πu d’un élément ( u )d’une algèbre A, on peut, pour P ∈ K[X], donner la décomposition de P (u) dans la base uk 0≤k≤d−1 de K[u] : il suffit de déterminer le reste R de la division euclidienne de P par πu et d’évaluer R en u pour obtenir la décomposition voulue. Ainsi, cette méthode donne un moyen pratique pour calculer les puissances successives un de u pour n ∈ N∗ ! Proposition 38. Soit A une algèbre sur K de dimension finie. Alors tout élément de A admet un polynôme minimal. 26