Partiel du 2 décembre 2013.

MPRI, Fondations math´ematiques de la th´eorie des automates
Olivier Carton, Jean-´ Eric Pin
Partiel du 2 d´ecembre 2013. Dur´ee: 1h 30, notes de cours autoris´ees
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Avertissement : On attachera une grande importance `a la clart´e, `a la pr´ecision et `a
la concision de la r´edaction.
Partie 1. ´ Etude d’un langage.
Question 1. Soit A={a, b}et soit Lle langage de A∗reconnu par l’automate Arepr´esent´e
ci-dessous
123b
a
b
a
Question 2. V´erifier que Aest l’automate minimal de L.
Question 3. Donner une expression rationnelle pour L.
Question 4. Calculer le mono¨ıde syntactique Mde L. On donnera la liste des ´el´ements et des
relations permettant de d´efinir M(vous devriez trouver 6 ´el´ements, en comptant l’´el´ement neutre).
Question 5. Donner la liste des idempotents de M.
Question 6. D´eterminer la structure en D-classes de Met dessiner les diagrammes boˆıtes `a œufs.
Question 7. Le langage Lest-il sans-´etoile? Justifier votre r´eponse.
Question 8. Soit eun idempotent d’un semigroupe S. Montrer que l’ensemble eSe ={exe |x∈
S}est un sous-semigroupe de S, qui est en fait un mono¨ıde de neutre e.
Question 9. Calculer eM e pour chaque idempotent ede M. V´erifier que si e6= 1, eM e est un
mono¨ıde idempotent et commutatif.
Partie 2. Logique
On s’int´eresse au fragment FO1[min,max, P, S, (a)a∈A] de la logique du premier ordre sur les mots
d´efini de la fa¸con suivante: outre les pr´edicats ahabituels, pour chaque lettre a∈A, on a aussi
deux symboles de constante min et max et deux symboles de fonction Pet S. Pour un mot
u=a1···an, le domaine d’interpr´etation est l’ensemble {1, ..., n}. Le symbole min est interpr´et´e
par 1 et le symbole max par n. Les symboles Pet Ssont respectivement interpr´et´es comme les
fonctions pr´edecesseur et successeur. Ainsi P x =x−1 et Sx =x+1. Par convention Pmin = min
et Smax = max. Enfin le fragment FO1est celui dans lequel une seule variable est autoris´ee.
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Question 10. Quel est le langage de A+repr´esent´e par les formules suivantes:
(1) ∃xaSSx
(2) amin ∧aPmax
Question 11. Trouver un ´enonc´e de ce fragment d´efinissant le langage Lde la premi`ere partie.
Question 12. Montrer que tout langage d´efini par ce fragment logique est n´ecessairement sans
´etoile.
Question 13. Donner une description des langages d´efinissables par ce fragment et justifier votre
description.
Question 14. (Difficile) Soit Mle mono¨ıde syntactique d’un langage expressible dans ce fragment.
Montrer que si eest un idempotent diff´erent de 1 de M, alors eM e est un mono¨ıde idempotent et
commutatif.
Question 15. (Encore plus difficile) Montrer que si le mono¨ıde syntactique d’un langage de A+
est ap´eriodique et v´erifie la condition de la question pr´ec´edente, alors ce langage est expressible
dans le fragment FO1[min,max, P, S, (a)a∈A].
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MPRI, Fondations math´ematiques de la th´eorie des automates
Olivier Carton, Jean-´ Eric Pin
December 2, 2013. Duration: 1h 45.
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Warning : Clearness, accuracy and concision of the writing will be rewarded.
Part 1. Study of a language
Question 1. Let A={a, b}and let Lbe the language of A∗recognized by the automaton A:
123b
a
b
a
Question 2. Verify that Ais the minimal automaton of L.
Question 3. Give a rational expression representing L.
Question 4. Compute the syntactic monoid Mof L. Give the list of elements and the defining
relations of M. (Hint: you should find 6 elements, including the identity).
Question 5. Give the list of all idempotents of M.
Question 6. Give the D-class structure of Mand draw the corresponding egg-box pictures.
Question 7. Is the langage Lstar-free? Justify your answer.
Question 8. Let ebe an idempotent of a semigroup S. Show that the set eSe ={exe |x∈S}
is a subsemigroup of S, which is in fact a monoid with identity e.
Question 9. Compute eM e for each idempotent eof M. Verify that if e6= 1, then eM e is an
idempotent and commutative monoid.
Partie 2. Logic
We are interestested in the fragment FO1[min,max, P, S, (a)a∈A] of first order logic on words
defined as follows: on top of the usual predicates a, for each letter a∈A, one also has two
constant symbols min and max and two function symbols Pand S. For a word u=a1···an, the
domain is the set {1, ..., n}. The symbol min is interpreted as 1 and the symbol max as n. The
symbols Pand Sare respectively interpreted as the predecessor and successor functions. Thus
P x =x−1 and Sx =x+ 1. By convention Pmin = min and Smax = max. Finally the FO1
fragment is the one in which only one variable is allowed.
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Question 10. What is the language of A+represented by the following formulas:
(1) ∃xaSSx
(2) amin ∧aPmax
Question 11. Find a sentence of this fragment defining the language Lof the first part.
Question 12. Show that every language defined by this fragment is necessarily star-free.
Question 13. Give a description of the languages definable in this fragment and justify your
answer.
Question 14. (Difficult) Let Mbe the syntactic monoid of a language expressible in this fragment.
Show that if eis an idempotent different from the identity of M, then eM e is an idempotent and
commutative monoid.
Question 15. (Even more difficult) Show that if the syntactic monoid of a language of A+is
aperiodic and satisfies the condition of the previous question, then this language is expressible in
the fragment FO1[min,max, P, S, (a)a∈A].
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