Université Lille 1 – Sciences et Technologies 23 mai 2011 Licence

Université Lille 1 – Sciences et Technologies 23 mai 2011
Licence Sciences et Technologies. Unité : Mécanique du Point Matériel
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Exercice I : le pendule simple.
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.
Partie A. Principe fondamental de la dynamique
Soit un pendule simple constitué d’une bille de masse m, supposée ponctuelle, accrochée à
l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l (voir Figure 1). On écarte la
bille d’un angle θ
o
et on la lâche sans vitesse initiale. La position de la bille en fonction du temps est
définie par l’angle θ que fait le fil avec la verticale. On considère que les forces de frottement sont
négligeables. On note g l’accélération due à la pesanteur.
1. Représenter sur un schéma les forces appliquées sur la bille.
2. Déterminer l’expression vectorielle de l’accélération de la bille en coordonnées polaires dans la
base mobile
(
)
θρ
u ,u .
3. Écrire la relation fondamentale de la dynamique et la projeter dans la base mobile
(
)
θρ
u ,u .
4. Déduire l’équation différentielle en θ du mouvement de la bille.
5. Que devient cette équation pour les petits angles ?
6. Donner la solution de cette équation en fonction des conditions initiales : justifier soigneusement
la réponse et définir précisément chacun des termes.
Partie B. Questions de cours
1) Énoncer clairement le théorème de l’énergie cinétique
2) Exprimer le travail d’une force entre deux points A et B de l’espace.
3.a) Quand dit-on d’une force qu’elle est conservative ?
3.b) Montrer que, si un objet ponctuel n’est soumis qu’à des forces conservatives ou qui ne
travaillent pas, son énergie mécanique ne varie pas.
Partie C. Aspects énergétiques
On reprend le pendule simple défini dans la partie A (voir Figure 1).
C.1) On écarte la bille de sa position d’équilibre d’un angle θ
o
(point A) et on la lâche avec une
vitesse initiale
o
v
(voir Figure 1). La position de la bille en fonction du temps est définie par
l’angle θ que fait le fil avec la verticale.
a) Exprimer le travail des forces s’exerçant sur la bille lorsqu’elle passe du point A au point B, en
fonction de θ
o
et θ et des autres données du problème. Le travail est-il moteur ou résistant ?
b) Exprimer l’énergie potentielle E
P
de la bille lorsqu’elle est en B, notamment en fonction de θ.
On prendra E
P
= 0 lorsque le pendule est à la verticale (bille en position basse).
c) Établir l’expression littérale de la norme de la vitesse v
B
de la bille lorsqu’elle arrive en B, en
fonction de θ
o
, θ v
o
et des autres données du problème.
d) Pour quelle valeur de l’angle θ la vitesse de la bille est-elle maximale ? Calculer cette vitesse.
On prendra g = 10 m.s
-2
, v
o
= 1 ms
-1
, l = 80 cm et θ
o
= 60°.
e) Établir l’expression littérale de la valeur maximale de l’angle, θ
max
, que le fil fera avec la
verticale après une ½ oscillation. Comparer qualitativement θ
max
à θ
o
et commenter.

C.2) On écarte de nouveau la bille d’un angle θ
o
(point A) et on la lâche cette fois avec une vitesse
initiale
1
v
. La vitesse initiale est telle que le pendule fait un tour complet autour de son point
d’attache et que la bille passe par la verticale avec une vitesse
2
v
(voir Figure 2).
a) Établir l’expression littérale de la norme de la vitesse v
1
de la bille en fonction des données du
problème.
b) Calculer v
1
si v
2
vaut 1 ms
-1
et θ
o
= 60°.
C.3) On écarte de nouveau la bille d’un angle θ
o
, puis on la lâche sans vitesse initiale. En utilisant
l’énergie mécanique du pendule, puis en la dérivant par rapport au temps, déterminer l’équation
différentielle qui régit le mouvement de la bille.
O
θ
o
θ
B
A
ρ
u
θ
u
A
o
v
A
Figure 1
O
θ
o
A
1
v
A
Figure 2
2
v
A

Exercice II : Accéléromètre
On cherche à mesurer l’accélération d’un ascenseur. Pour cela, on suspend au plafond de la cabine
une masse m accrochée à un ressort de raideur K. On place une règle le long du ressort permettant de
mesurer ses variations de longueur (voir Figure 3). L’ascenseur peut avoir différents types de
mouvement durant lesquels l’accélération est supposée constante.
On prendra les conventions notées sur la Figure 3 : le mouvement de l’ascenseur dans le référentiel
terrestre (R
T
) est défini par rapport à l’axe O
T
z et le vecteur accélération de la cabine est noté
z
uaa =. La position de la masse m est repérée dans le référentiel (R) lié à l’ascenseur à l’aide de
l’axe Ox de vecteur unitaire
z
uu −= . La masse est en O lorsque l’ascenseur est immobile. On note
g l’accélération due à la pesanteur.
Le but de cet exercice est d’établir la relation entre la position x de la masse par rapport à la règle et
la valeur algébrique a de l’accélération de l’ascenseur :
1. L’ascenseur est tout d’abord immobile. La longueur du ressort à vide est égale à L
o
. Lorsque la
masse m est accrochée, on mesure une longueur L à l’équilibre. Donner l’expression de la
raideur K du ressort en fonction notamment de L et L
o
.
Calculer K en prenant L
o
= 20 cm, L = 25 cm, m = 0,1 kg, g = 10 m.s
-2
.
2. Quel est le mouvement du référentiel (R) par rapport au référentiel (R
T
) lorsque l’ascenseur
fonctionne ? Le référentiel (R) est-il galiléen lorsque l’accélération a est non nulle ? Même
question si a = 0. Justifier brièvement les réponses.
3. Écrire la relation fondamentale de la dynamique dans (R) en faisant apparaître les forces
d’inertie que vous définirez. Que valent ces forces d’inertie dans le cas de l’ascenseur en
mouvement ?
4. L’ascenseur est en mouvement : déterminer la relation entre l’accélération a et la position x de la
masse lorsque celle-ci est en équilibre dans le référentiel (R).
5. Applications numériques :
- La masse m se trouve devant la graduation x = –1 cm. Quelle est dans ce cas la valeur de
l’accélération a ? À quels types de mouvement de l’ascenseur cela correspond-il ?
- Mêmes questions si la position correspond à x = +1 cm, puis si x = 0 cm.
- Quelle serait la longueur du ressort dans le cas d’un ascenseur en chute libre ?
Cabine immobile Cabine en mouvement
z
Sol O
T
z
u
z
O
T
z
u
O
x
u
O
x
u
z
uaa =
Figure 3