Rappels de cours de géométrie plane

Configurations du plan
Rappels de cours
1 Triangles
1.1 Théorèmes des milieux
Théorème 1
– La droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.
– La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un autre côté coupe le
troisième côté en son milieu.
– La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est égale à la moitié de la
longueur du troisième côté.
A
B
C
J
I
1.2 Droites remarquables
Théorème 2
Dans un triangle :
– les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
– les 3 médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
Ce point est situé aux 2
3de chaque médiane en partant du sommet.
– les 3 bissectrices sont concourantes en point équidistant des 3 côtés du triangle. Ce point est le
centre du cercle inscrit dans le triangle.
– les 3 médiatrices sont concourantes en point équidistant des 3 sommets du triangle. Ce point est le
centre du cercle circonscrit au triangle.
A
B
C
C0
B0
A0
H
A
B
C
C0
B0
A0
G
A
B
C
I
A
B
C
C0
B0
A0
O
Seconde 8 – 2011/2012 1

CONFIGURATIONS DU PLAN COURS
2 Triangle rectangle
2.1 Théorème de Pythagore et sa réciproque
Théorème 3
Soit A BC un triangle.
– Si A BC est rectangle en Aalors BC 2=A B 2+AC 2.
– Si BC 2=A B 2+AC 2, alors A BC est rectangle en A.
a
b
ca2=b2+c2
2.2 Cercle circonscrit
Théorème 4
Soit AM B un triangle.
– Si AM B est rectangle en M, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
– Si Mest sur le cercle de diamètre [A B ]alors AM B est rectangle en M.
O
A
M
B
3 Angles
3.1 Angles opposés par le sommet
Théorème 5
Deux angles opposés par le sommet ont même mesure.
3.2 Angles alternes-internes et angles correspondants
Théorème 6
Soient Det D0deux droites et ∆une droite qui coupe Det D0
– Si Det D0sont parallèles alors les angles alternes-internes et les angles correspondants ont même
mesure.
– Si les angles alternes-internes ou les angles correspondants ont même mesure, alors Det D0sont
parallèles.
Seconde 8 – 2011/2012 2

CONFIGURATIONS DU PLAN COURS
correspondants
alternes
internes
D
D0
∆
3.3 Angles d’un triangle
Théorème 7
La somme des angles d’un triangle est égale à 180˚.
A
B
C
4 Parallélogrammes
Définition 1 Un quadrilatère ABC D est un parallélogramme si [AC ]et [BD]ont le même milieu. Ce
milieu est appelé centre du parallélogramme.
A B
D C
I
Théorème 8
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même mesure.
A B
D C
k
k
A B
D C
4.1 Rectangles
Définition 2 Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
A B
D C
Seconde 8 – 2011/2012 3

CONFIGURATIONS DU PLAN COURS
Théorème 9
– Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit.
– Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont même mesure.
A B
D C
A B
D C
4.2 Losanges
Définition 3 Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont même mesure.
A
B
D
C
Théorème 10
– Un parallélogramme est un losange si et seulement si il a deux côtés consécutifs de même mesure.
– Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
A
B
D
C
A
B
D
C
4.3 Carrés
Définition 4 Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
5 Théorème de Thalès
Théorème 11
On considère deux droites (BM )et (C N )sécantes en A.
– Si (BC )et (M N )sont parallèles alors AM
A B =AN AC =M N BC
– Si AM
A B =AN AC et si A,B,Met A,C,Nsont alignés dans le même ordre alors (BC )et (M N )sont
parallèles.
B
C
N
M
A
B
C
N
M
A
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