Optique géométrique - François Konschelle

Optique géométrique
François Konschelle
Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique UMR 7350,
Université de Tours,
37200 France∗
La lumière est un des plus ancien concept étudié par
la physique. Le concept moderne repose sur la notion de
dualité onde-corpuscule, qui a été vérifié expérimentale-
ment en 1986 (Grangier et al.,1986) quand fut repro-
duite l’expérience des fentes de Young avec des photons
uniques. Il devenait alors possible de distinguer chaque
photon individuel impactant un écran. On observe dans
un premier temps des impacts disparates, comme si les
photons se comportaient comme des particules libres.
Néanmoins, lorsque de plus en plus d’évènements sont
enregistrés sur l’écran (i.e. quand beaucoup de photons
commencent à apparaître sur l’écran) on commence à voir
émerger des figures d’interférences (i.e. des oscillations de
l’intensité lumineuse), comme si les photons se compor-
taient comme des ondes.
Comprendre cette dualité onde-corpuscule fût tout
l’objet de la création de la mécanique quantique et de
la théorie quantique des champs dans la première moitié
du XX-ième siècle, qui définissent toutes les interactions
(par exemple les interactions lumière-matière) en terme
d’objets mathématiques ambivalents, capable de prédire
tous les comportements observés jusqu’à aujourd’hui1.
Contrairement à la mécanique dite classique, pour laque-
lle observer un objet (typiquement une planète) n’altère
pas ses propriétés (par exemple sa trajectoire), la mé-
canique quantique admet comme possible d’influencer –
voire de détruire – l’objet d’une mesure. Typiquement un
photon est détruit lorsqu’on veut connaître sa longueur
d’onde. C’est cette destruction qui permet de contracter
(on dit de projeter) une onde jusqu’à l’état de particule.
La nomenclature moderne définit le photon comme
le boson vecteur de l’interaction électromagnétique, ou
comme le boson vecteur d’une théorie de jauge abélienne.
Avant de considérer la théorie quantique des champs,
sa version classique – l’électromagnétisme – prédisait déjà
une multitude de processus. En particulier, il était possi-
ble de décrire relativement correctement les interactions
entre lumière et matière, ainsi que de généraliser ces in-
teractions à un large spectre d’ondes électromagnétiques
et pas seulement au spectre visible comme dans le cadre
de l’optique.
∗http://fraschelle.free.fr
1La mécanique quantique est introduite à partir de la troisième an-
née du cursus de physique. La théorie quantique des champs est
introduite à partir de la quatrième année du cursus de physique.
Pour l’électromagnétisme, la lumière est essentielle-
ment une onde, quoiqu’elle porte quelques notions de par-
ticules2. Ainsi, les ondes électromagnétiques peuvent être
décrites par un vecteur d’onde (éventuellement dépen-
dant de la longueur d’onde dans les milieux dispersifs)
qui pourrait s’assimiler à un vecteur vitesse pour l’onde,
ainsi qu’une quantité de mouvement. De même, les équa-
tions de Maxwell prédisent que les ondes se propagent
dans le vide à une certaine vitesse, dont on s’apercevra
au tournant du XX-ième siècle qu’elle est une constante
universelle c= 299 792,458m·s−1.
Avant l’élaboration de l’électromagnétisme (qui con-
stitue une large part de la science du XIX-ième siè-
cle jusqu’à la réecriture des équations de Maxwell par
Hertz et Heaviside au début du XX-ième siècle), les con-
cepts corpusculaires et ondulatoires de la lumière co-
habitaient. Voir la lumière comme une onde permettait
d’interpréter les expériences d’interférences et de diffrac-
tion. L’approche ondulatoire3culmine avec l’énoncé du
principe de Huygens-Fresnel4:
Huygens-Fresnel: Chaque point de l’espace atteint par
une onde lumineuse se comporte comme une source
ponctuelle secondaire émettant une nouvelle onde
lumineuse d’amplitude et phase égales à l’onde in-
cidente.
Voir la lumière comme une particule permettait
d’interpréter les expériences de propagation dans les
milieux transparents, comme la réfraction, les lentilles
minces et les dioptres. C’est le sujet de ce cours.
Dans ce cours, on se contentera d’une des formes les
plus anciennes de description de la lumière, appelée op-
tique géométrique. Dans ce cadre, la lumière se propage
en ligne droite sous la forme de rayons de lumière re-
groupés en faisceaux, et aucune énergie ni information
n’est échangée entre ces faisceaux, ou entre les faisceaux
et la matière. L’approximation de l’optique géométrique
est valable pour les milieux transparents qui n’absorbent
2L’électromagnétisme est introduit dès la deuxième année du cur-
sus de physique.
3On parle également d’optique physique. Cette approche est
développée à partir de la deuxième année du cursus de physique.
4Voir la page Wikipédia sur le principe de Huygens-Fresnel pour
plus de détails.

2
pas l’énergie des faisceaux lumineux, soit dans la lim-
ite des petites longueurs d’ondes par rapport à l’énergie
d’excitation des atomes constituant le matériaux.
Le principal intérêt de l’optique géométrique est
l’économie de difficultés mathématiques permettant
néanmoins de décrire une grande variété de prob-
lèmes physique, allant par exemple de la déviation
des rayons lumineux par l’atmosphère terrestre jusqu’à
l’optimisation de dispositifs optiques tels que lunettes
astronomiques ou microscopes, ou les corrections op-
tiques nécessaires aux problèmes de vision humaine.
L’optique géométrique peut éventuellement être cor-
rigée pour décrire certains processus d’absorption et
d’atténuation des intensités optiques, processus qui dé-
passent le strict cadre de l’optique géométrique tel que
présenté dans la suite de ce cours.
CONTENTS
I. Chemin optique 2
II. Principe de Fermat 2
III. Lois de Snell-Descartes 2
A. Démonstration de la relation de Snell-Descartes 3
B. Réflexion 4
C. Réfraction limite et réflexion totale 4
D. Nomenclature des tracés optiques 4
IV. Formation des images 5
A. Système optique et axe optique 5
B. Object ponctuel et image ponctuelle 5
C. Image réelle et virtuelle 5
D. Stigmatisme 6
E. Conditions de Gauss 6
F. Foyers 6
G. Grandissement 7
H. Aberrations 7
V. Dioptre sphérique 7
A. Relation de conjugaison 7
B. Foyers, vergence, constructions de rayons et d’objets,
grandissement 8
VI. Association de dioptres sphériques 8
VII. Lentille mince 9
VIII. L’oeil 10
A. Démonstration alternative de la relation de
Snell-Descartes 10
References 11
I. CHEMIN OPTIQUE
Dans la vision corpusculaire, on associe la notion de
chemin optique au trajet de la lumière. Le chemin op-
tique décrit la difficulté pour la lumière de se propager
dans différents milieux transparents. On peut en effet
supposer que les milieux très denses s’opposent à la prop-
agation de grains de lumière, en complète analogie avec
le transport d’une particule dans un milieu inhomogène
(i.e. consistuté de multiples particules).
Indice optique nd’un milieu :
n=c
v;n≥1(1.1)
avec cla vitesse de la lumière dans le vide (c’est une
constante universelle), et vla vitesse de la lumière dans
le milieu.
Certains milieux sont dispersifs, c’est-à-dire que
l’indice optique dépend de la longueur d’onde associée au
rayon lumineux traversant ce milieu. La loi de Cauchy
exprime cette dépendance sous la forme :
n(λ) = A+B
λ2(1.2)
où Aet Bsont des constantes positives dépendant du
matériaux, et λla longueur d’onde.
Chemin optique Lentre les points Aet Bd’un milieu
d’indice n
L=ZB
A
n(s)ds (1.3)
Milieu linéaire, homogène et isotrope (LHI) : nne
dépend pas de la position ⇒L=nkABk.
II. PRINCIPE DE FERMAT
Fermat: Le chemin suivi par la lumière pour aller d’un
point Aà un point Best celui dont le chemin op-
tique est extrêmal (i.e. minimal ou maximal).
Comme on a
L=ZB
A
n(s)ds =ZB
A
c
v(s)ds =cZB
A
dt =cT (2.1)
puisque ds =v(t)dt par définition, le chemin optique L
extrêmal entre les points Aet Bcorrespond au temps
extrêmal de propagation Tentre les points Aet B.
Deux conséquences dans les milieux LHI du principe
de Fermat :
•la lumière se propage en ligne droite (c’est la courbe
extrêmale entre deux points dans les milieux ho-
mogènes)
•retour inverse de la lumière : le trajet suivi par la
lumière ne dépend pas du sens de parcours.
III. LOIS DE SNELL-DESCARTES
Plan d’incidence : le plan d’incidence lié à un rayon
lumineux touchant au point d’incidence Iune interface
entre deux milieux optiques est le plan constitué par la
normale à l’interface entre les deux milieux au point Iet
le rayon lumineux incident.

3
A. Démonstration de la relation de Snell-Descartes
Pour obtenir la loi de Snell-Descartes, on utilise le
principe de Fermat : de tous les trajets que la lumière
pourrait emprunter, celui qui sera choisi doit minimiser
ou maximiser le chemin optique L. Faisons alors partir
un rayon lumineux du point Adans un milieu homogène
et isotrope d’indice n1, incident en Ià l’interface entre le
milieu d’incice n1et le milieu d’indice n2avec un angle
ˆ
i1avec la normale à l’interface de séparation des milieux
en I. Ce rayon est dévié dans le milieu homogène et
isotrope d’indice n2, faisant un angle ˆ i2avec la normale
à l’interface de séparation des milieux au point I, et ar-
rive au point B. Cette construction est donnée par la
figure 1. Puisque les deux milieux d’indices n1et n2sont
homogènes et isotropes, le chemin optique dans chacun
des deux milieux est une ligne droite. Dans ce cas, ex-
trêmiser le chemin optique
L(A→I→B) = n1kAIk+n2kBIk(3.1)
revient à positioner le point Isur l’interface en gardant
les points Aet Bfixes, de sorte que Lsoit extrêmal (mini-
mal ou maximal). On cherche donc les angles d’incidence
et d’émergence des rayons lumineux en I. Il nous faut
Figure 1 Schéma du calcul de la formule de Snell-Descartes
par une méthode simple. Il s’agit de déplacer le point Iet
d’extrêmiser le chemin optique L(A→I→B)en fonction de
ce déplacement. En pratique, il faut calculer dL/dx = 0 avec
x=kA0Ikou x=kB0Ik.
pour cela exprimer la dépendance de Len Ià l’aide d’une
seule longueur qui servira de variable d’ajustement de
l’extrêmum, disons kA0Ik, et calculer la variation
dL (A→I→B)
dkA0Ik= 0 (3.2)
(on peut bien évidemment prendre n’importe quelle autre
longueur que kA0Ik, par exemple kB0Ik, mais une seule
longueur doit apparaître dans la dérivée, sinon on n’est
pas en train de calculer l’extrêmum global).
On cherche donc à exprimer les distances kAIket kBIk
à l’aide de la longueur kA0Ik. Dans le triangle AA0I
rectangle en A0, on a
kAIk2=kA0Ik2+kAA0k2
⇒ kAIk=qkA0Ik2+kAA0k2(3.3)
d’après Pythagore. Dans le triangle BB0Irectangle en
B0, on a
kBIk2=kB0Ik2+kBB0k2
⇒ kBIk=qkB0Ik2+kBB0k2(3.4)
d’après Pythagore. Or on a la relation évidente kB0Ik=
kA0B0k−kA0Ik(voir Fig.1), donc finalement
L(A→I→B) = n1qkA0Ik2+kAA0k2+
+n2q(kA0B0k−kA0Ik)2+kBB0k2(3.5)
où n’apparaît donc plus que kA0Ik, comme souhaité.
Maintenant, extrêmiser Lconsiste à calculer (3.2). On
obtient5
dL
dkA0Ik= 0 ⇒n1kA0Ik
qkA0Ik2+kAA0k2−
−n2kA0B0k−kA0Ik
q(kA0B0k−kA0Ik)2+kBB0k2= 0 (3.6)
On pourrait maintenant calculer la longueur kA0Ik
minimisant (ou maximisant) le chemin optique entre A
5On utilise la formule
dq(a−x)2+b2
dx =d(a−x)2 dx ·d√u+b2 du
u=(a−x)2
=−2 (a−x)·1
2
1
q(a−x)2+b2
en application directe de la formule de la dérivée en chaîne. Pour
le terme proportionnel à n1on pose a= 0,x=kA0Iket b=
kAA0kdans cette formule. Pour le terme proportionel à n2, on
pose a=kA0B0kx=kA0Iket b=kBB0kdans cette formule.

4
et B, il suffirait pour cela d’inverser la relation précé-
dente. Néanmoins, on va plutôt exprimer la condition
d’optimisation du chemin optique en terme des angles ˆ i1
et ˆ i2ainsi que des indices optique n1et n2. Cela donnera
une condition mathématique très générique pour laquelle
on n’aura pas besoin de positionner des points artificiels
Aet Bsur le parcours de la lumière. Pour cela, on va
maintenant remplacer (ce sont les étapes effectuées ci-
dessus avant la dérivation, maintenant faites dans l’autre
sens)
qkA0Ik2+kAA0k2=kAIk(3.7)
en regard de n1et la relation évidente kA0B0k−kA0Ik=
kB0Ikpuis
q(kA0B0k−kA0Ik)2+kBB0k2=
=qkB0Ik2+kBB0k2=kBIk(3.8)
en regard de n2. On obtient ainsi que le chemin optique
extrêmal doit vérifier
dL
dkA0Ik= 0 ⇒n1kA0Ik kAIk−n2kB0Ik kBIk= 0 (3.9)
or sinˆ i1=kA0Ik
kAIket sinˆ
i2=kB0Ik
kBIket l’on obtient ainsi
la relation
n1sinˆ i1=n2sinˆ i2(3.10)
qui est connu sous le nom de loi de la réfraction, ou
loi de Snell-Descartes.
Ainsi, le chemin optique optimal entre deux milieux
linéaires, homogènes et isotropes d’incide optique n1et
n2vérifie la relation de Snell-Descartes, ou loi de la
réfraction.
Une deuxième démonstration utilisant la méthode
courante associée au principe variationnel (dont le
principe de Fermat est un exemple) est donnée en Ap-
pendice.
B. Réflexion
Dans le cas de la réflexion, rayons incident et émer-
gent se propagent dans le même milieu n1=n2et
donc sinˆ i1= sinˆ i2depuis la relation de Snell-Descartes
(3.10). De plus, puisque l’on ne considère que des angles
ˆ
i1,2∈[0, π/2], on a alors
ˆ
i1=ˆ i2(3.11)
qui est la loi de la réflexion.
À une interface entre deux milieux, les deux
phénomènes de réflexion et de réfraction ont lieu. On
peut négliger l’un de ces processus dans le cas de l’optique
des milieux transparents, puisque l’intensité associée à
l’un des deux processus est dans ce cas beaucoup plus
faible que l’intensité de l’autre, et que l’on ne consid-
ère pas les variations d’énergie dans le cadre de l’optique
géométrique. Dit autrement, l’un des deux processus
(réflexion ou réfraction) n’est simplement pas percepti-
ble à l’oeil.
C. Réfraction limite et réflexion totale
Lorsque n1≥n2(respectivement n1≤n2), on dit
que le milieu d’indice optique n1est plus (respectivement
moins) réfringent que le milieu d’indice optique n2.
Puisque
n1sinˆ i1=n2sinˆ i2(3.12)
et que ˆ i1,2∈[0, π/2] ⇒sinˆ i1,2∈[0,1], il y a des restric-
tions sur les indices et/ou les angles.
Lorsque n1≥n2, alors sinˆ i1≤sinˆ i2: en passant dans
un milieu plus réfringent, la lumière se rapproche de la
normale. Inversement, en passant dans un milieu moins
réfringent, la lumière s’éloigne de la normale.
En passant d’un milieu d’indice optique n1à un milieu
d’indice optique n2≤n1, le rayon lumineux peut arriver
au cas extrême ˆ i2=π/2⇒sinˆ i2= 1, auquel cas on aura
sinˆ ilim =n2
n1
(3.13)
qui représente l’angle limite au dela duquel (i.e. pour
ˆ
i1≥ˆ ilim) il ne peut plus y avoir de rayon réfracté. Le cas
ˆ
i1=ˆ ilim est appelé réfraction limite. Puisque les deux
phénomènes de réflexion et de réfraction existent simul-
tanément, et qu’il ne peut y avoir de réfraction lorsque
ˆ
i1≥ˆ ilim, le rayon est complètement réflechi. On parle
de réflexion totale dans ce cas.
D. Nomenclature des tracés optiques
Le rayon incident, représenté par le vecteur ~ i, arrive
sur l’interface, représenté par le vecteur sans direction
¯
iau point d’incidence I:I∈~ i∩¯ i. En ce point I,
part une normale représentée par le vecteur non orienté
¯nà l’interface ¯ i:¯n⊥¯ i,I∈¯n. L’angle d’incidence ˆ i
est alors l’angle entre la normale ¯net le rayon incident
~
i:ˆ i=\
¯n,~
i. Le rayon transmis (soit réflechi, soit
réfracté), représenté par le vecteur ~r, quitte l’interface
en faisant un angle ˆravec la normale ¯n:ˆr=[ (¯n, ~r),
appelé angle de réflexion ou angle de réfraction.
Sur la figure 2est représenté le cas correspondant à une
réfraction.

5
IV. FORMATION DES IMAGES
A. Système optique et axe optique
Un système optique est un ensemble de dioptres et
de miroirs. Un système optique associe à tout rayon inci-
dent (qui entre dans le système) un rayon émergent (qui
sort du système).
Un système optique est centré s’il présente une sym-
métrie de révolution autour d’un axe, qui est alors dit axe
optique du système optique. L’axe optique est toujours
supposé orienté (de gauche à droite par convention).
Un système optique sépare un espace objet (à gauche
par convention) d’un espace image (à droite du système
optique par convention).
B. Object ponctuel et image ponctuelle
Un objet ponctuel Aest défini comme l’intersection
d’au moins deux rayons incidents.
Un objet ponctuel Adans l’espace objet est appelé un
objet réel.
Un objet ponctuel A0dans l’espace image est appelé
une image réelle.
On appelle source lumineuse tout objet ponctuel
Figure 2 Schéma d’une réfraction, ~ iest le rayon incident, I
est le point d’incidence, ¯nla normale à l’interface, ~r le rayon
réfracté, ˆ il’angle d’incidence et ˆrl’angle de réfraction.
dont tous les rayons lumineux associés sont émergents.
Les notions d’objet et d’image peuvent être confondues
: l’image d’un système optique S1peut être l’objet d’un
autre système optique S2situé dans l’espace image du
précédent. D’ailleurs, lorsque deux systèmes optiques S1
et S2se suivent le long de l’axe optique (orienté), l’espace
image de l’un (S1) est l’espace objet de l’autre (S2). Deux
systèmes optiques S1et S2orientés de S1àS2le long de
l’axe optique peuvent être vus comme un seul système
optique Sdont l’espace objet est celui de S1et l’espace
image de Sest l’espace image de S2.
C. Image réelle et virtuelle
Un système optique associe un rayon émergent à un
rayon incident. D’après le principe de retour inverse de
la lumière, à tout rayon incident correspond un et un seul
rayon émergent, et vice-versa : à tout rayon émergent
n’est associé qu’un seul rayon incident. Un système op-
tique peut donc être défini comme une application math-
ématique Senvoyant de l’espace objet Overs l’espace
image Iet qui à tout rayon incident ~ iassocie un unique
rayon émergent ~e :
S:O→I;S~ i=~e (4.1)
et cette application admet un inverse S−1:I→
O;S−1(~e) =~ i.
En revanche, un objet ponctuel Aest défini par
l’intersection de deux rayons lumineux. Supposons
ces deux rayons ~ i1et ~ i2incidents au système optique
d’application S. On suppose que S~ i1=~e1et S~ i2=
~e2, i.e. que le rayon incident ~ i1,2est transformé en
un rayon émergent ~e1,2par le système optique. Rien
ne garantit que ~e1et ~e2n’aient une intersection, ni
que l’intersection de ces rayons émergents se fasse dans
l’espace image
Ainsi on défini :
•Lorsque les deux rayons émergents ~e1et ~e2se
croisent dans l’espace image I, on dira que l’image
A0de l’objet Apar le système optique Sest réelle.
•Lorsque les deux rayons émergents ~e1et ~e2se
croisent dans l’espace objet O, on dira que l’image
A0de l’objet Apar le système optique Sest
virtuelle.
Il est parfois difficile de discerner les notions d’images
et d’objet réels ou virtuels. C’est que ces notions sont
intrinsèquement expérimentales. Un objet réel ou une
image réelle peuvent être collectés/mesurés (par exemple
sur un écran. Un objet virtuel ou une image virtuelle ne
peuvent pas être mesurés ou collectés.