144 Problèmes d`angles et de distances en dimension 2 ou 3

144 Problèmes d'angles et de distances en
dimension 2 ou 3
22 mars 2010
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Bibliographie
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La base
Audin Géométrie
Biasi Mathématiques pour le CAPES et l'agrégation interne
Coxeter & Greitzer Redécouvrons la géométrie
Hahn Complex numbers and geometry
Ladegaillerie Géométrie ane, projective, euclidienne et anallagmatique
Laville Géométrie pour le CAPES et l'Agrégation
Sortais & Sortais La géométrie du triangle
Tabachnikov Billiards
2.1 Problèmes simples d'angles et de distance
Alignement ;
Cocyclicité.
2.2 Détermination d'angles et de distances
Identités classiques :
dénition de π ,
somme des angles d'un triangle, d'un polygone,
théorème de Thalès,
dénition classique de cosinus et sinus,
théorème de Pythagore,
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théorème d'Al-Kashi a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â,
théorème de l'angle inscrit et critère de cocyclicité,
formule des sinus sina  = 2R où R est le rayon du cercle circonscrit,
calcul de la distance d'un point à une droite, d'un point à un plan,
entre deux droites ;
inégalités classiques :
double inégalité triangulaire,
caractérisation des projections orthogonales ;
2.3 Lieux géométriques dénis à l'aide d'angles et de
distances
médiatrice d'un segment, cercle circonscrit à un triangle ;
bissectrices de deux droites, cercle inscrit dans un triangle ;
\
le lieu des points M tels que AM
B = α est un arc de cercle ;
dénition des coniques (non dégénérées, non circulaires) par foyer et
directrice ;
dénition bifocale des coniques à centre.
2.4 Transformations
Les isométries préservent les distances mais aussi les angles ;
les isométries sont anes ;
les similitudes préservent les angles.
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Pour aller plus loin
3.1 Géométrie du triangle
Cercle des neuf points et droite d'Euler [Hahn/ ?] ;
(*)
Inégalité d'Erd®s-Mordell [Audin] ;
(*)
théorème de Morley [Hahn, Laville] ;
(*)
droite de Simpson : les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point
sur les côtés d'un triangle dont alignés si et seulement ce point est situé
sur le cercle circonscrit au triangle ;
(*)
théorème de Ptolémée : dans un quadrilatère non croisé inscriptible, la
somme des produits des longueurs des paires de côtés opposés est égale
au produit des longueurs des diagonales ;
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3.2 Coniques
Un ensemble de points du plan, non tous alignés, à distances entières
les uns des autres, est ni ;
(*)
les coniques comme intersection d'un cône et d'un plan, théorème de
Dandelin [Ladegaillerie, p464 / Biasi] ;
(*)
lois de Képler, la deuxième en particulier.
3.3 Problèmes d'optimisation
Le segment est le plus court chemin entre deux points ;
lois de Snell-Descartes, plus généralement optique et géodésie ;
projection sur les convexes ;
dénition variationnelle du barycentre ;
θ
problème du footballeur ;
théorème de Torricelli : dans un triangle dont les angles sont inférieurs à
2
π , l'unique point minimisant la somme des distances aux sommets est
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l'intersection des trois droites joignant chacun des sommets au troisième
sommet du triangle équilatéral extérieur construit sur le côté opposé.
3.4 Billard
Réexion sur une droite ;
billard elliptique [Tabachnikov] ;
problème de Fagnano [Coxeter & Greitzer] ;
(*)
(*)
3.5 Géométrie sphérique
[Audin]
Plus court chemin entre deux points de S 2 ;
loxodromes et projection de Mercator ;
formule de Girard : l'aire d'un triangle sphérique est égale à la somme
des angles moins π .
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3.6 Applications qui préservent les angles ou les distances
Il n'existe pas d'application isométrique d'une partie de la sphère dans
une partie du plan ;
il existe des applications conformes d'une partie de la sphère dans une
partie du plan (dont la projection stéréographique et la projection de
Mercator) ;
les applications holomorphes d'une variable sont conformes ;
théorème de Liouville : une application R2 → R2 qui est C 1 , conforme
directe et bijective est une similitude ou une translation [Audin] ; (*)
les groupes nis de transformations anes préservent une structure
euclidienne.
3.7 Polyèdres
Dénition des polyèdres réguliers ;
les faces d'un polyèdre régulier sont des triangles, des carrés ou des
pentagones ;
calcul des angles dièdres d'un polygone régulier.
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