Division des distributions. IV: applications

Séminaire Schwartz
B ERNARD M ALGRANGE
Division des distributions. IV : applications
Séminaire Schwartz, tome 4 (1959-1960), exp. no 25, p. 1-5
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25-01
Séminaire SCHWARTZ
4~ année, 1959/60 9 n~ z5
31 mai 1960
DIVISION DES DISTRIBUTIONS
IV : APPLICATIONS
par Bernard MALGRANGE
1. Idéaux de fonctions
Rappelons
d’abord
et 3
gendré par
un
8
différentiables.
dans l’anneau des
= Ja ,
Le passage à
.séries
~r03A9 ; pour
idéal ferme de
la collection des 3
V
==
+
0
a e
p
onc.
r
([5] , [2]) s Soit Q un ouvert
a ~ 03A9 , désignons par 3 l’idéal
théorème dû à WHITNEY
un
développements limités à l’ordre r en a . Alors,
détermine 3
(i. e. si J’ , idéal fermée vérifie
=J).
: J’
est immédiat
~
(dans
ce
cas, les 3
seront des idéaux de
a
formelles).
Notons par ailleurs que les démonstrations s’appliquent
"
changement lorsqu’on remplace "idéal
par "sous-module de
sans
[~03A9]p ,
Soient alors
et posons
les
F, .
[~03A9]p
(S)
pace
l’application F :
... ~
S)~
Appliquons maintenant le théorème
m , il faut et il suffit que , V
tienne à R ; cr = 03A303C8j,a
les qu’on ait
Par
$
...
conséquente
est
I
, 03C8q) ~
l’image
F.
[~]~
[6~]~
de
&.
comme
nous avons
Pour que
et il suffit
En tout point
$
de
a
Whitney : pour
~ 03A9 , la série
$
que
de
~
existe des séries
dire
[~03A9]q
$
Ta,ylor
(1) .
F.
THÉORÈME 1. -
à
(03C81 ,
effet~ ~
e
N ".
dans
est
un esa son
[~’03A9]p ~ [~’03A9]q
tôt notre assertion.
à
s en
p
analytiques dans Q ~
de
engendré par
l’application transposée F de F
est l’application
définie par
théorème ly exposés 23 et 24~ montre
Si)
F’
or,
des fonctions
le
il suffit de démontrer que
image fermée ;
(Si ,
~~J~q)
f.
F, == (f ~ ~..est~ f ) ;
Je dis
fermé
par
en-
a
aussi-
appartienne
de 03A6
formelles 03C8j
appar-
tel-
,a
démontré le théorème suivant :
soit combinaison linéaire,
que la
à
coefficients ~ ~03A9 des
condition suivante soit vérifiée :
le
développement de Taylor de $ est combinaison linéaire
coefficients séries formelles des développements de Taylor des F..
~
"
’
’
~"’
"
’
’
’
° ~"
’
" ’
’
’
Puisque, d’après un théorème classique
BOREL,
(1) indéfiniment
ayant
point
de
tion
dérivable
en un
donné
une
’
il
J
existe toujours
une
fonc-
série de Taylor donnée.
2. Platitude de certains
Rappelons
une
DÉFINITION
N’
module
C4~.
définition
A
1. - Soit
( ).
A-module
modules.
On dit
M
que
(commutatif,
un anneau
pour tout A-module N
N
N’ ~ M
canonique M
est plat
de N , l’application
®A
®A
propriété
vaut à la
propriété
(R) Soient al"
re lation entre le s
... ,
est inj ective.
soit vraie lorsque
équi-
des éléments
ap
de A et (m~ ~
dans M (i. e. ~
a m ~ 0) .
à coef f icients
ai
1 j q ~
1 ° d j ~
~bJ. ~ ... ~ b .PJ ~
2° ~ i , mj = 03A3
b..
gendrées
A-
sous
suivante :
des
(Autrement dit,
un
A . On voit alors facilement que la définition 1
idéal de
N~ ~ ~
M
et
et tout
si,
On vérifie élémentairement qu’il suffit que cette
N == A ~
unité)
élément
avec
e st
une
tels qu’ on ait :
des
et
Il existe
re lation entre les
’
a..
"’
n..
a. , à coefficients df.ns
"les relations entre les
par les relations à coefficients. dans
A
sont
en-
") .
REMARQUES.
la Si
M
est
un
2° Si
B
est
un sur-anneau
B-module
plat,
3° Si l’on
M
et si
des
l~I
a une
et
A-module
est
un
sont
séries
A , plat
A-module plat
M:
plats,
EN, N~’
en
tant que
(évidente
(évident) .
l’est aussi
et si
A-module,
avec
M
est
un
(R) )*
A-modules :
est
plat
(facile
avec
(R) ,
ou
la suite exacte
lieu de
(pour
R 9
la
par
R[X1 , ... , Xn]
(resp.
... , Xn]] ,
resp.
polynômes (resp. des séries formelles! resp. des.
indéterminées9 à coefficients réels, et de méme avec
1’anneau des
convergentes) à
contient
(2)
n
Tor) ~
R{X1 , ... , Xn})
au
dé
suite exacte de
Dés3ignons
C
V
plat,
l’un
n
quelconque
démonstration,
Les modules seront touj ours
de
plat sur ceux des autres qu’ il
exemple [4], Appendice ; on passe par
ces anneaux
voir par
supposés
est
unitaires
(i.
e.
b’
x E
lx
=
x)- .
l’intermédiaire des fonctions rationnelles
PQ,
P
dule
plat
Q
et
sur
polynômes, avec
les polynômes) .
Le théorème suivant
THÉORÈME 2. - Soit
ment
(3)
à
répond
régulières
CL ) l’anneau des
germes de
analytiques réelles)
différentiables
(n entier 0) ;
e.
de la forme
à
un
[3] :
question posée par SERRE
~0 (resp.
i,
forment évidemment
0 , lesquelles
une
0,
en
fonctions indéfini-
l’origine
dans
Rn
plat.
un
Rn ,
désignons par CL l’anneau des germes de foncdes fonctions
tions analytiques réelles au voisinage de a . Soient
... ,
f
il
analytiques réelles dans un voisinage de l’origine ; d’après le théorème
existe deê
pour 1 j $ q , analytiques réelles au voisi... ,
G.
nage de l’origine, vérifiant
V j 03A3 g.. f.
0 , et possédant la propriété suivante : en tout point a assez voisin de 0 , les G. d - engendrent les relations.
entre les
f. à coefficients dans d ~ Soient alors (p. ~ 1 ~ i ~ P des fonctions
tout point a assez
différentiables au voisinage de 0 , vérifiant
voisin de 0 , les séries de Taylor
(p. des (p. vérifient évidemment :
20 . Comme les séries formelles forment un module plat sur les séries
DÉMONSTRATION. - Pour
a ~
gpj)
(g1j ,
=
=
03A 03C6i fi = 0 ; en
=
convergentes
(exemple
binaison linéaire des
il en résulte que
des
~. ~ différentiables,
... ~ ~ )
G.
voisinage
0
y
~
de
dans
Pk 0
Gj,a
0
03C6p,a)
((p. i
en
à coefficients
Soit maintenant
de
résulte que
est
,a , ... y
à coefficients séries formelles. D’après le théorème 1,
au voisinage de
0 ~ combinaison linéaire
il
et le
théorème est démontré.
l’anneau des germes de fonctions
0
dans
Cn ;
C
est
"partiellement holomorphe
si elle vérifie,
disons qu’une fonction
pour
1
: i
k :
analytiques complexes au
différentiable (p au voisinage
en
~03C6
=
0 . Pour
~~i
’
z"
... ,
k
=?
0,
et écrivons
PO
est
l’anneau des germes de fonctions différentiables au voisinage de 0 dans C et
il résulte aussitôt du théorème 2 (plus la remarque 2 et un "passage du réel au
complexe" évident)
de
que
P0
o-modules
(0 ~ k ~ n
où la seconde
application
()
()
-
o
est
1)
(~)
est
Un
O-module plat. Considérons alors la suite
l’injection,
et la
troisième est l’application :
Dans la
omettrons le mot "indéfiniment".
La
suit est due à J.-P. SERRE,
suite, nous
présentation qui
il résulte de
~ ~03C6 ~zk+1 .
(p
k ,
conséquente
et que, par
jective,
l’intégrale
Cauchy
que cette
précédente est exacte. Une récurrence sur
résultat suivante qui répond à une question
est
P.C
un
REMARQUE. - Si l’on appelle "partiellement analytique réel en
dans R " un germe de fonction différentiable au voisinage de
contre, j e ne sais pas si,
(ni l’analogue analytique réel).
3 . Equations
Soient
23 et
i
=
24, joint
module
plat
au
sur
tion à. coefficients
cela,
V
i~
nous
les
T.
j
q)
l
Q
Soit
polynômes
= Rn
e ~ ~
P.
[l] (tome 2~
... ~
x’)
n
soit
analytiques
en un
point
forment
(T. ~ ... ~
relation entre les
T..
précédentes,
dans
§’ « Pour
152-154)0
Pn(R),
et soient
... , Tp des prode trouver des distributions Sj
les équa.tions proposées. Pour
cela,
par
exemple dans l’ouvert
0,
muni dos coordonnées
Q,j. n K
B~~
--.
une
peut prendre les S.
vérifie
définies dans
x)
théorème 1, exposée
... ,
outre les conditions
pj
l’hyperplan (projectif) x1 =
~.
§’ .
il faut et il suffit que toute rela-
peut raisonner localement: plaçons-nous
(x’. ~
le
O-module plat
P.
un
(x1 ,
en
ceci : pour que
et supposons
projectif
sur
locales
est
0
ouvert
un
montrons que l’on
comme
dans
entre les
longements de T1 , ... , Tp à Pn(R) ; il suffit
Pn(R) dont la restriction à Rn
de
P.
n ,
polynômes
des
polynômes~ montre
Sj , (S.) e
raisonnerons
Plongeons.!!:
k
pour
fait que les germes de fonctions
Prenons maintenant 03A9
ait
1
p ;
... ;
soit de la forme
on
prolongeable
dérivées partielles à coefficients constants dans
aux
P ..
Pi
posons
on
x.
partiellement holomorphe en
... , z- dans C
=
en repassant du complexe au réel, on trouve aussitôt que les gerx. +
forment un
partiellement analytiques réels en
... , x.
03B10-module plat.
Par
un
... ,
0
germe de fonction
en un
(z.
sur-
par ATIYAH :
2 bis. -
mes
est
application
la suite
et la remarque 3 montrant alors le
posée
de
par
*
complé.
25-05
Notre
ou,
après multiplication
Or!
s’écrit :
système d’équations
pour x’1 ~ 0 ,
par
nous
puissance convenable
une
de
que les conditions de
savons
xt 1
compatibilité
de notre sys-
tème sont vérifiées; le théorème 1 bis des exposés 23 et 24 montre alors l’existence
des
E
vérifiant les équations voulues.
S. J
S~ ~
transformation de F our ier ~
THÉORÈME 3. - Les
on
obtient :
1 ’
D..
tiels à coefficients constants dans
pour
qu’il existe
des Sj
J
entre les
’
et les
des distributions ~
T.
.
=
T.2014 ,
S’ ,
il faut et il suffit
’**~
vérifiée : toute relation entre les
"opérateurs différentiels
Dj = (Dj1 ,...,Djq)
à coefficients constants" est
une
relation
T ..
J
Nous laissons
au
lecteur le soin d’énoncer les résultats
partir
"polynômes"
par
analogues
aux
théorèmes
qui précède, (en remplaçant "fonctions anaet"différentiable" par "~S") , et ceux que l’ on en dé-
1 et 2 que l’on obtient à
lytiques"
étant de s opérateurs différen-
q)
vérifiant 03A3 D.. S.
4 ~-J J
~ S’
que la condition suivante soit
à coefficients
.
de
ce
duit par transformation de Fourier.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
(Laurent). -
SCHWARTZ
1950
et
1951
Strasbourg, 9
[2]
Séminaire
[3]
[4]
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WHITNEY
t. 70,
-
Bourbaki,
SERRE (Jean-Pierre) o
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SERRE (Jean-Pierre).
Fourier
[5]
(Act.
et 10).
(Laurent)
SCHWARTZ
Théorie des distributions, tomes 1 et 2. - Paris, Hermann,
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Grenoble,
(Hassler). 1948,
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t.
Les théorèmes de Whitney sur les fonctionsdifférentiables.
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Un théorème de dualité, Comment. Math. Helvet, t. 29, 1955,
Géométrie analytique et
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géométrie algébrique,
On ideals of differentiable
635-658.
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Amer. J. of
Math.,