B - Ecole des Ponts ParisTech

Concurrence et Marches
Ecole Nationale des Ponts et Chaussees
Exercices en économie industrielle
couvrant les séances 2-3-4
(B.Caillaud)
1. Monopole et tarification de pointe. Une entreprise en situation de
monopole produit un bien dont la demande varie de façon cyclique. Chaque
année est divisée en une période de pointe et une période hors pointe. Pendant
les périodes de pointe, la demande est Dp (pp ). Pendant les périodes hors pointe
la demande est Dh(ph ) = λDp (ph ) avec λ ∈]0, 1[.
La production du bien demande un capital fixe, le même en pointe et hors de
pointe. Soit K la capacité installée. Le coût de production est cq pour q ≤ K, et
infini pour q > K.
a) Quelle est la production socialement efficace ?
b) Quelle production choisirait un monopole qui cherche à maximiser son profit
?
c) Nous allons maintenant étudier la production optimale quand le choix de
capacité est fait par l’entreprise. Pour ceci, supposons que le coût d’une unité
de capacité est d (de façon plus précise, d représente la charge annuelle due au
fait d’avoir une unité de capacité supplémentaire). En supposant que λ est assez
petit, quelle est la production socialement efficace ? (La difficulté de la question
consiste à expliquer le sens de “assez petit”).
Quelle production choisirait un monopole qui chercherait à maximiser son
profit ?
d) En quoi votre réponse serait-elle modifiée si λ n’était pas petit ?
2. Bien durable. Un monopole peut produire à coût nul un bien durable
dont la durée de vie est de 2 périodes, t = 1 et t = 2. Les consommateurs achètent
une ou zéro unité du bien. Ils diffèrent par l’utilité qu’ils retirent du bien. Un
consommateur est indicé par θ ∈ [0, 1], où θ désigne l’utilité d’une unité du bien
durable pendant une période. La taille de la population est normalisée à 1 et
θ est uniformément réparti sur [0, 1]. Le monopole ne peut pas identifier le θ
d’un consommateur, il ne peut donc parfaitement discriminer. δ est le facteur
d’actualisation commun.
a) Supposer que l’entreprise s’engage au début de la période 1 sur des prix p1 et
p2 . Déterminer la demande à chaque période, en fonction de (p1 , p2 ). Montrer
1+δ
1
M
que pM
1 = 2 et p2 ≥ 2 réalisent l’optimum pour le monopole.
b) On suppose dorénavant que le monopole ne peut pas s’engager sur p2 à la
période 1. Le jeu est le suivant:
• le monpole choisit p1 ;
• chaque consommateur décide d’acheter en t = 1 au prix p1 ou d’attendre;
• en t = 2, le monopole choisit p2 ;
• chaque consommateur qui n’a pas encore acheté décide d’acheter ou pas.
b1) En supposant que tous les θ ∈ [K, 1] ont acheté en période 1, trouver la
demande en t = 2 étant donné p2 . Déduire le prix p2 choisi par le monpole en
t = 2 en fonction d K.
b2) Etant donné p1 , montrer qu’il existe un type K(p1 ) de consommateur tel que,
si les consommateurs anticipent que la seconde période va se dérouler comme en
b1) avec K = K(p1 ), alors θ < K(p1 ) décident d’attendre en t = 1 et θ > K(p1 )
achètent en période t = 1 face au prix p1 .
b3) En déduire le prix p1 choisi par le monopole en t = 1. Comparer ce prix ainsi
que les profits intertemporels retirés par le monopole au cas de la question a).
Expliquer.
3. Discrimination spatiale. Une firme est placée au point 0 de l’intervalle
[0, 1]. Les consommateurs sont uniformément répartis sur cet intervalle. La demande du consommateur placé à distance x de l’entreprise est 1 − (p + tx), où p
est le prix qu’il doit payer et t ≥ 1 le coût de transport. Le coût de production
est 0.
1) Interpréter cette fonction de demande.
2) Supposer que le monopole peut faire de la discrimination du 1er degré. Quel
prix fera-t-il payer ? Quel sera son profit ?
3) Quel prix le monopole fera-t-il payer s’il ne peut pas discriminer ?
4) Comparer les solutions avec et sans discrimination.
4. Ventes liées. Cet exercice est destiné à montrer que la décision de lier
des ventes peut être dictée par des considérations stratégiques.
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On considère un continuum de consommateurs potentiels pour deux biens. Ces
consommateurs sont décrits par leur type x, uniformément répartis sur [0, 1].
L’entreprise 1 a un monopole sur le marché du bien A et tous les consommateurs ont la même évaluation r du bien, de sorte que la demande pour le bien A
est
½
1 si pA ≤ r,
D(pA ) =
0 si pA > r.
Sur le marché B au contraire, les consommateurs ont des prix de réservation
différents et l’entreprise 1 a un concurrent, l’entreprise 2. On appellera Bi le bien
vendu par l’entreprise i dans le marché B, et pi le prix qu’elle fait payer sur ce
marché. Le marché du bien B est un marché à la Hotelling :
• l’entreprise 1 est située en 0 et l’entreprise 2 en 1 ;
• le coût de transport est t.
• un consommateur choisira le bien Bi dont l’offre maximise s − di − pi où di
est la distance du fournisseur au consommateur, et où s est supposé grand .
Dans les deux marchés les coûts sont nuls.
Partie 1. Dans cette partie, on suppose que les décisions de prix des deux
entreprises ainsi que la décision de la première de lier ou non ses produits sont
simultanées.
Prouver que l’entreprise 1 peut, quel que soit le prix que fait payer l’entreprise
2, se garantir un profit au moins égal et en général supérieur sans lier les ventes.
Partie 2. On suppose maintenant que l’entreprise 1 peut décider de lier ses
ventes avant que les entreprises ne choisissent (toujours simultanément) leurs prix.
Montrer que les profits de l’entreprise 2 seront toujours moins élevés quand il y a
ventes liées. En déduire que s’il y a un coût fixe de production dans la production
des biens Bi , le jeu:
1. l’entreprise 1 choisit de lier ses ventes ou non;
2. l’entreprise 2 choisit d’entrer sur le marché ou non;
3. les entreprises choisissent leurs prix de façon simultanée;
3
peut avoir un équilibre dans lequel l’entreprise 1 choisit de lier ses ventes et
l’entreprise 2 choisit de ne pas entrer.
5. Contraintes de capacité. Il existe un continuum de consommateurs
indicés par v ∈ [0, 1], répartis selon une densité uniforme de masse totale 1. Un
consommateur v a une utilié v − p s’il achète une unité du bien au prix p.
a) Quelle est la demande totale au prix p1 , notée D(p1 ).
b) Deux entreprises sont présentes. Si l’entreprise 1 a des contraintes de capacité
Q1 et tarife un prix p1 < p2 tel que D(p1 ) > Q1 , elle rationne tous les consommateurs qui demandent une unité au prix p1 en tirant au sort de manière
équiprobable pour chaque consommateur s’il est servi ou non. Quelle est alors la
demande résiduelle qui s’adresse à l’entreprise 2.
c) Les deux entreprises se font concurrence en prix avec des contraintes de capacité
Q1 et Q2 telles que Qi ≤ 14 et sans coût. Montrer qu’à l’équilibre, elles tarifent
p∗ = 1 − Q1 − Q2 . Quels sont leurs profits ? Conclure.
6. La ville circulaire. On suppose que les consommateurs sont répartis sur
un cercle de circonférence 1. S’ils achètent le bien au prix p à une entreprise située
à une distance d de leur position favorite, leur utilité est A − p − td. On suppose
que A est assez grand pour que les consommateurs achètent toujours une unité
du bien, leur objectif est donc de choisir le fournisseur qui minimise p + td.
Les entreprises ont un coût fixe f et un coût variable c, de sorte que si
l’entreprise i fait face à une demande Di son profit est (pi − c)Di − f si elle
entre sur le marché, et 0 sinon. On suppose :
• qu’il y a beaucoup d’entreprises potentielles, de sorte qu’à l’équilibre les
profits des entreprises qui sont entrées sur le marché est 0;
• que si n entreprises sont entrées sur le marché, elles se répartissent uniformément sur le cercle.
Le jeu que nous étudions est donc un jeu à deux étapes :
• entrée ;
• fixation des prix.
a) Montrer que dans la deuxième étape
p du jeu le prix sera c + t/n.
b) Montrer qu’à l’équilibre il y aura t/f entreprises.
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c) Quel serait le nombre d’entreprises qu’un planificateur bienveillant aurait
mis en place ? Comparer.
7. Qualité non-observable. On considère un marché dans lequel il y a un
grand nombre, N, d’acheteurs et de vendeurs potentiels de voitures d’occasion.
La distribution de la qualité des voitures potentiellement mises sur le marché est
décrite par la distribution F (s), de densité f , sur [sl , sh]. L’utilité d’un vendeur
est
½
θ0 s s’il garde la voiture,
p
s’il la vend.
L’utilité d’un acheteur est
½
θs − p s’il achète une voiture de qualité s,
0
s’il n’achète pas de voiture.
Les θ des acheteurs sont distribués sur [θl , θh ] avec une distribution G et une
densité g. On a
θl < θ0 < θh .
Les vendeurs connaissent la qualité s de leur voiture, mais les acheteurs ne la
connaissent pas.
1) Si l’information était symétrique, quelles voitures seraient échangées et entre
qui ?
2) Calculer la fonction d’offre avec information asymétrique. Si le prix est p
quelle est la qualité moyenne des voitures mises sur la marché ? Montrer que cette
qualité augmente avec p.
3) Calculer la fonction de demande avec information asymétrique.
4) Quel est l’équilibre si f et g sont uniformes sur [0, 1] ?
5) Supposer qu’il y ait plusieurs équilibres (ce qui peut se passer pour certaines
fonctions F et G). Considérer deux prix d’équilibre tels que p1 < p2 . Montrer
que les vendeurs et les acheteurs préfèrent l’équilibre correspondant au prix p2 .
Est-ce qu’un phénomène similaire est possible dans un équilibre Walrasien ?
6) Reconsidérer les données de la partie 4. Supposer θ 0 = 12 . Montrer que si le
gouvernement peut imposer une qualité minimale s0 > 0, le bien-être social peut
augmenter.
8. Différenciation et concurrence à la Cournot. L’espace des biens
possibles est le segment unitaire, et les consommateurs sont uniformément répartis
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sur ce segment, de masse totale 1. Deux entreprises se localisent respectivement
en x = a et x = 1 − b (avec a < 1 − b). En chaque point x, le prix local est
donné par p(x) = 1 − Q(x) où Q(x) est la somme de q1 (x) et q2 (x) que les deux
entreprises décident de livrer au point x. Livrer qi (x) au point x en partant du
point xi coûte à la firme i: t | x − xi | qi (x) et l’on suppose que t < 1. Le
déroulement du jeu est donc: les firmes choisissent leur localisation, puis elles
décident de combien approvisionner sur le marché x pour tout x.
a) Caractériser l’équilibre en profil d’approvisionnement q1 (.) et q2 (.), pour des
localisations données. Analyser le prix qui émerge sur chaque marché et commenter.
b) Montrer que si b = 12 , la meilleure localisation de l’7entreprise 1 est de se situer
au centre du marché. Commenter la différence avec le modèle d’Hotelling en prix.
9. Différenciation informationnelle et publicité. On considère le modèle
d’Hotelling avec coût unitaire de transport t et deux entreprises à chaque extrémité
du segment [0, 1]. Les consommateurs en nombre total 1, sont uniformément
répartis sur [0, 1] et leur utilité de réservation pour une unité du bien est s. Les
entreprises peuvent faire de la publicité qui correspond à des prospectus envoyés
aléatoirement par la poste: un consommateur en x a une probabilité φi de recevoir
un prospectus de l’entreprise i qui décide d’un montant φi (donc restreint à [0, 1])
de publicité, qui lui coûte A(φi ) = a2 φ2i . Par ailleurs le coût unitaire de production
est c. Un consommateur ne peut acheter le bien que d’une entreprise dont il a été
informé.
a) Caractériser la demande d’une entreprise étant donné (p1 , p2 , φ1 , φ2 ) en supposant que:
| p2 − p1 |≤ t
et
s > sup{p1 , p2 } + t.
b) Les entreprises choisissent simultanément (pi , φi ). Ecrire et interpréter les
conditions de meilleure réponse.
c) En déduire l’équilibre symétrique si s est grand et 2a ≥ t. Est-ce qu’une taxe
sur la publicité, interprétée comme un accroissement de a, peut être localement
bénéfique pour les entreprises ? Expliquer.
10. Compatibilité des produits. Soit un continuum de consommateurs,
de masse 1, répartis uniformément sur [0, 1]. Il existe deux biens physiques, A et
B, et deux entreprises, 1 et 2. La firme 1, située au point 0, produit le bien A, à
coût nul et qui peut être transporté sans coût (bien digital), et le bien physique
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B, à coût unitaire c. L’entreprise 2, située au point 1, ne produit que le bien B,
à coût c. Le coût de transport du bien B sur une distance d est td2 .
Un consommateur peut acheter une unité de A et une unité de B. L’entreprise
1 peut décider que le bien A soit (bien universel) ou non (bien spécifique) compatible avec le bien B produit par l’entreprise 2: ε = 1 pour le cas compatible,
ε = 0 pour le cas spécifique. Si A est tarifé pA , et si p1 et p2 sont les tarifs du
bien B, un consommateur en x a une utilité:
v + s − pA − p1 − tx2
s’il achète A et B à l’entreprise 1,
εv + s − pA − p2 − t(1 − x)2
s’il achète A à l’entreprise 1 et B à l’entreprise 2, et
s − pi − t(x − xi )2
s’il n’achète que le bien B à l’entreprise i. Lorsqu’il fait sa décision, le consommateur connaît ε. On suppose enfin que s est grand et v < 3t.
a) Supposer que A est universel (ε = 1). Montrer que le modèle est séparable
simplement en un modèle de Hotelling et un problème de tarification de monopole
sur A. En déduire les fonctions de profit des entreprises en fonction de (pA , p1 , p2 ).
b) Supposer que A est spécifique (ε = 0). Montrer que les demandes sont telles
que: DA = D1 = 1 − D2 et qu’elles sont données par des demandes d’Hotelling
en fonction de p2 et P = pA + p1 − v. Interpréter et en déduire les fonctions de
profit.
c) Supposer que, simultanément, l’entreprise 2 choisit p2 et l’entreprise 1 choisit
(ε, pA , p1 ). Monter qu’à p2 fixé, pour tout choix (ε = 0, pA , p1 ) il existe un choix
(ε = 1, p0A , p01 ) qui donne un profit supérieur ou égal à l’entreprise 1. Qu’en déduire
sur la décision de compatibilité.
d) Supposer que l’entreprise 1 choisit ε, observé par l’entreprise 2, puis les deux
entreprises choisissent les prix.
d1) Calculer les prix et profits d’équilibre lorsque ε = 1.
d2) Calculer les prix et profits d’équilibre lorsque ε = 0.
d3) En déduire la décision de compatibilité en équilibre.
d4) Expliquer ce résultat et la différence avec la question c). Comment modifier
le modèle pour trouver une adoption stratégique de ε = 0.
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11. Cartel et rabais secrets. Nous allons reconsidérer le modèle avec rabais
secrets, mais supposer que les entreprises n’entrent dans une phase de punition
qu’après deux périodes dans laquelle la demande d’une entreprise a été égale
à zéro. De cette façon, les entreprises s’assurent mieux contre le risque d’une
succession de périodes à demande basse.
L’équilibre que nous cherchons à identifier a donc la forme suivante, qu’il est
plus facile de décrire en distinguant trois types de périodes :
• la première période est de type 1 ;
• Si la période t est de type 1, la période t + 1 est de type
— 1 si les deux entreprises ont des ventes positives pendant t ;
— 2 si une des deux entreprises au moins a des ventes nulles pendant t ;
• Si la période t est de type 2, la période t + 1 est de type
— 1 si les deux entreprises ont des ventes positives pendant t ;
— 3 si une des deux entreprises au moins a des ventes nulles pendant t.
Les périodes de type 3 sont les premières périodes d’une phase de punition de
durée T . La première période suivant une phase de punition est de type 1.
1) Appelons Vi le profit actualisé des entreprises au début d’une période de
type i. Ecrire le système de trois équations à trois inconnues qui permet de calculer
les trois Vi en fonction de δ, T , et Πm .
Vérifier que ce système admet comme solution
V1 = kΠm (1 + αδ)
V2 = kΠm (1 + αδ T +1 )
V3 = kδ T Πm (1 + αδ).
avec
k=
(1 − α)
.
2(α2 δ 2 (1 − δ T ) + (1 + αδ)(1 − δ))
2) Quelles contraintes doivent satisfaire V1 , V2 , V3 pour que les entreprises
aient intérêt à participer à la collusion ?
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3) Montrer que ces contraintes ne sont pas satisfaites pour T = 0.
4) Montrer que pour α et δ assez proches de 1, il ne peut jamais y avoir
coopération.
5) Quel serait le critère que l’on utiliserait pour calculer le T optimal?
12. Cartel asymétrique. Dans un marché la fonction de demande est
D(p) = 1−p. L’entreprise 1 a des coûts unitaires égaux à 0, alors que l’entreprise 2
a des coûts unitaires égaux à c2 ∈]0, 1/2[.
a) Les entreprises se livrent à une concurrence à la Bertrand, où elles se partagent le marché si elles fixent le même prix. Montrer que le jeu n’a pas d’équilibre.
Montrer qu’il est par contre raisonnable de supposer que l’entreprise 1 fera des
profits égaux à (1 − c2 ) et l’entreprise 2 des profits égaux à 0. Expliquer pourquoi
ceci est une hypothèse raisonnable. En quoi est-ce que votre réponse changerait
si on avait c2 > 1/2 ?
b) Soit pm
2 le prix de monopole que choisirait l’entreprise 2 si elle était seule sur
le marché. Montrer que c’est aussi le prix qu’elle préférerait si les deux entreprises
choisissaient de créer un cartel qui fixe les prix, et qu’elles se partagent le marché
également.
c) Considérer maintenant le modèle dans un cadre répété. Soit δ le facteur
d’escompte. Les entreprises soutiennent la collusion à un prix pc dans l’intervalle
m
[pm
1 , p2 ] avec des menaces de retourner au “presque-équilibre” de Bertrand où 1
fait des profits égaux à 1 − c2 et 2 des profits égaux à 0. Quelles conditions doit
satisfaire δ pour que la collusion puisse se maintenir ? Montrer que la contrainte
liante est celle qui exprime les incitations de l’entreprise 1. Expliquer.
13. Entrée et indivisibilité. On considère une industrie dans laquelle les
investissements sont des usines de capacité 1. Une fois qu’une usine est construite,
elle ne peut que fonctionner à pleine capacité. Construire n usines, n = 1, 2, . . .
coûte 3, 5n. Il n’y a pas de coût variable. La fonction inverse de demande est
P (q) = 6 − q, donc si la capacité K a été installée, le prix est 6 − K.
a) Montrer qu’un monopole n’installera qu’une usine.
b) Quel est l’équilibre s’il y a un duopole et que les deux entreprises choisissent
simultanément leur investissement ?
c) Supposez que l’entreprise 1 est un leader de Stackelberg. Quel est l’équilibre
?
14. Entrée et implantation multiple. On considère un marché à la
Hotelling, où les consommateurs sont répartis sur le segment de droite [0, 1]. Les
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entreprises 1 et 2 jouent le jeu suivant :
• l’entreprise 1 décide de construire une usine soit en 0, soit en 0 et 1 à la fois
;
• l’entreprise 2 décide de s’installer en 1 ou de ne pas s’installer du tout ;
• les deux entreprises se livrent à une compétition en prix.
On suppose que les coûts sont nuls, et que les coûts de transport sont assez
faibles pour qu’il y ait vraiment concurrence entre deux entreprises installées aux
deux extrémités du segment. En plus des bénéfices liés à la vente du bien il y a un
“petit bénéfice” ε lié à des aides gouvernementales à la création d’une usine, de
sorte que les profits venant d’une usine qui vend quantité q au prix p sont pq + ε.
a) Quel est l’équilibre du jeu ? L’entrée de la firme 2 est-elle bloquée, dissuadée
ou accommodée ? En quoi est-ce que l’équilibre est changé si l’entreprise 2 peut,
si elle le désire, construire deux usines, une en 1 et l’autre en 0 (mais a aussi la
possibilité de n’en ouvrir qu’une ou 0) ? En quoi change-t-il si l’entreprise 2 n’a
le choix qu’entre ouvrir deux usines ou en n’ouvrir aucune ?
b) Supposez que ε soit négatif, comment les réponses à a) sont-elles modifiées
?
15. La dissuasion à l’entrée comme bien public. On considère deux
entreprises dans un marché face à une troisième qui menace d’entrer. Pour étudier
le problème, nous employons le modèle suivant:
1. Les entreprises 1 et 2 s’engagent sur leurs productions respectives q1 et q2 .
2. Étant donné q1 et q2 , qu’elle observe, la firme 3 décide ou non d’entrer, et
si elle entre, elle choisit sa production q3 .
a) En supposant que tous les coûts de production sont égaux à 0 (et donc qu’il
n’y a pas de coût fixe), calculer l’équilibre du jeu. Comparer la production des
entreprises 1 et 2 avec celles l’équilibre de Cournot.
b) Supposer maintenant que le coût f3 d’entrée pour l’entreprise 3 est égal à
1/212 . Montrer qu’il existe un équilibre dans lequel les entreprises 1 et 2 produisent
la même quantité qu’en a) et où l’entreprise 3 entre. Montrer qu’il existe aussi un
équilibre dans lequel chacune des deux entreprises produit 5/11 et où l’entreprise 3
n’entre pas (on suppose que si l’entreprise 3 est indifférente entre entrer et ne pas
entrer, elle n’entre pas.) Interprétez la multiplicité d’équilibres.
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16. Courbes d’expérience. On considère un modèle à 2 périodes. Le
marché est caractérisé par une demande D(p) = 1 − p. Il existe une entreprise en
place, seule en première période. Lorsque cette entreprise produit q0 en première
période (au coût unitaire c), son coût unitaire de production de seconde période
est c0 = c − λq0 , où λ n’est pas trop grand.
a) Quelle production de première période devrait choisir l’entreprise en place en
situation de monopole protégé de l’entrée ?
b) On suppose qu’il existe une menace d’entrée en seconde période, mais que
l’entrant prend sa décision d’entrer sans observer la production de première période de l’entreprise en place. La concurrence se fait en quantités. Quelle production
de première période sera choisie pour s’adapter à la menace d’entrer ?
c) On suppose maintenant que l’entrant peut observer la production de première
période avant sa décision d’entrer. Quelle production de première période sera
choisie ?
d) Comparer et commenter.
17. Renouvellement stratégique de matériel. Deux entreprises peuvent produire le même bien. L’horizon est infini, le temps continu avec un facteur
d’actualisation e−rt . Une entreprise seule sur le marché gagnerait un profit instantanné de monopole m; avec deux entreprises, la concurrence est de type Bertrand.
Pour être active, une entreprise doit acheter une machine qui permet ensuite
de produire à coût nul. La machine impose un coût fixe instantanné pendant
toute sa durée de vie, égale à H, avec f < m < 2f. Le coût fixe est irrecouvrable,
et doit donc être dépensé même si la machine est jetée avant H. En t = 0, le jeu
commence avec l’entreprise 1 achetant une machine neuve. Puis, à chaque date,
chaque entreprise décide d’acheter ou non une (nouvelle) machine.
a) Si les coûts fixes de chaque machine sont payés, en valeur actualisée, à la date
d’acquisition de la machine, quelle somme est alors déboursée ? Montrer que
la stratégie pour la firme 1 consistant à acquérir une machine en t = 0, puis à
acquérir indéfiniment une nouvelle machine à chaque fois que la machine actuelle
a un âge de H − ∆, où 0 < ∆ < H2 (il y a donc une durée pendant laquelle
l’entreprise a deux machines), a un coût actualisé égal à:
C=
f 1 − e−rH
.
r 1 − e−r(H−∆)
b) On suppose que la stratégie suivante, pour chaque entreprise, est une stratégie
d’équilibre et l’on va caractériser ∆ pour qu’il en soit ainsi:
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Renouveler si ma machine a un âge plus grand ou égal à H − ∆, et que je
suis seul sur le marché; Renouveler si ma machine a un âge plus grand ou égal
à H − ∆, et que l’autre entreprise a une machine d’âge supérieur à celui de ma
machine actuelle; ne pas renouveler sinon. Si je suis inactif (sans machine),
acheter une machine si l’autre a une machine d’âge supérieur à H − ∆; sinon,
ne pas entrer.
b1) Quel est le profit actualisé en t d’une entreprise en place à cette date, si les
deux entreprises suivent ces stratégies ?
b2) A quel meilleur moment une firme inactive pourrait-elle entrer et pour quel
profit actualisé, si l’autre obéit à la stratégie ?
b3) Pour quelle valeur de ∆ les stratégies forment-elles un équilibre ? Monter que
2∆ < H.
f
∆
b4) Montrer que lorsque H tend vers 0, H
tend vers 1 − m
et le profit actualisé à
la date 0 tend vers 0. Expliquer cet équilibre de dissipation de rente.
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