TS Chimie Détermination de la viscosité d`une huile moteur Exercice

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TS Chimie
Détermination de la viscosité
d’une huile moteur
Exercice résolu
Enoncé
Dans les moteurs à combustion, on minimise les frottements entre les pièces mécaniques en
utilisant des huiles afin d'obtenir un frottement visqueux : plus une huile est épaisse, plus sa
viscosité est élevée.
On souhaite déterminer expérimentalement la viscosité d'une huile moteur. Pour cela on filme la
chute verticale d'une balle dans cette huile moteur avec une caméra numérique. L'exploitation du
film avec un ordinateur permet de déterminer les valeurs de la vitesse du centre d’inertie G de la
balle en fonction du temps : on obtient le graphe donné en annexe n°1.
A. Première partie : validité de la modélisation de la force de frottement
Pour étudier le mouvement de la balle, on se place dans le référentiel, supposé galiléen, du
laboratoire. On travaillera dans un repère (O, i ) sur un axe vertical (Oz) orienté vers le bas.
Les caractéristiques de la balle sont : masse m = 35,0 g ; rayon R = 2,00 cm ; volume V = 33,5 cm3.
La masse volumique de l'huile est ρ = 0,910 g.cm-3.
On suppose que la force de frottement s'exprime sous la forme f   k.v avec v vecteur
vitesse du centre d'inertie de la balle. On appellera vz la composante de v dans le repère (O, i ).
1. a) Faire l'inventaire des forces extérieures appliquées à la balle en chute verticale dans
l'huile, puis les représenter, au points G et sans souci d’échelle, sur le schéma en annexe n°2.
b) Comment nomme-t-on le modèle choisi pour la force de frottement ?
2. a) En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement de
la balle dans le référentiel du laboratoire.
dv
b) Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme :
= A – B.v avec A et B des
dt
constantes dont on donnera les expressions littérales.
c) Vérifier que la constante A est égale à 1,27 S.I. en précisant, sans justifier, son unité (valeur
du vecteur champ de pesanteur : g = 9,81 m.s-2).
3. Le mouvement de chute de la balle présente deux régimes visibles sur le graphe donné en
annexe n°1.
a) Sur ce graphe, séparer par un axe vertical les domaines des deux régimes (on précisera le
domaine du régime permanent et le domaine du régime transitoire du mouvement de la balle).
b) Relever la valeur de la vitesse limite vlim.
c) Que vaut la valeur du vecteur l'accélération a du centre d’inertie de la balle quand celle-ci
atteint la vitesse limite ?
Viscosité huile moteur
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4. La méthode d'Euler permet d'estimer, par le calcul, la valeur de la vitesse du centre d’inertie
dv(ti )
de la balle en fonction du temps en utilisant les deux relations :
= A – B.v(ti) et v(ti+1) = v(ti)
dt
dv(ti )
+
×Δt (avec Δt le pas d'itération et la constante B égale à 7,5 s-1). On obtient le tableau de
dt
valeurs suivant :
t (s)
dv
(m.sdt
2
)
v (m.s-1)
0
0,080
0,16
0,24
0,32
0,40
0,48
0,56
?
0,51
0,20
?
0,030
0,020
0,00
0,00
0
0,102
0,143
?
0,165
0,167
0,169
0,169
a) Quel est le pas d'itération de la méthode d'Euler proposée ?
b) Que vaut l'accélération à l'instant t = 0 s ?
En utilisant la méthode d’Euler :
c) Calculer la valeur du vecteur vitesse à la date t = 0,24 s.
d) En déduire la valeur du vecteur accélération à la même date.
5. a) Placer, sur le graphe en annexe n°1, les valeurs des vitesses obtenues par la méthode
d'Euler .
b) En comparant les points obtenus par la méthode d'Euler et les points expérimentaux, dire si le
modèle choisi pour la force de frottement de l'huile sur la balle est valide ?
c) Sur quel paramètre peut-on agir pour améliorer la résolution de l'équation différentielle par la
méthode d'Euler ?
B. Deuxième partie : détermination de la viscosité de l’huile moteur
Pour des vitesses faibles, la formule de Stokes permet de modéliser la force de frottement
fluide f agissant sur un corps sphérique en fonction du coefficient de viscosité η de l'huile, du
rayon R de la balle
et du vecteur vitesse v du centre d’inertie de la balle : f = – 6.π.η.R. v (avec η en Pa.s, R en m et
v
en m.s-1).
1. Exprimer la viscosité η en fonction de B, m et R.
2. À l'aide des valeurs de viscosité données ci-dessous, identifier l'huile moteur étudiée.
Huile moteur à 20°C
SAE10
SAE30
SAE50
0,088 Pa.s
0,290 Pa.s
0,700 Pa.s
Viscosité huile moteur
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Annexe
Annexe n°1
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Annexe n°2
O
i
G
z
Viscosité huile moteur
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Corrigé
A. Première partie : validité de la modélisation de la force de frottement
1. a) Faire l'inventaire des forces extérieures appliquées à la balle en chute verticale dans l'huile, puis les
représenter, au points G et sans souci d’échelle, sur le schéma en annexe n°2.
Les 3 forces extérieures qui s’exercent sur la balle sont (voir schéma en fin de corrigé) :
- son poids P
- la poussée d’Archimède F
- la force de frottement f
b) Comment nomme-t-on le modèle choisi pour la force de frottement ?
Il s’agit d’un frottement laminaire.
2. a) En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement de la balle dans le
référentiel du laboratoire.
Fext = P + F + f = m. a (avec a : vecteur accélération du centre d’inertie de la balle)
dvz
dvz
Projection dans le repère (O, i ) : Pz + Fz + fz = m.az = m.
=> P – F – f = m.
dt
dt
Or : P = m.g ; F = m’.g = ρ.V.g (avec m’ : masse du liquide déplacé par la balle) ; f = k.v
dv
dv
 .V
k
=> m.g - ρ.V.g – k.v = m.
(car vz = v) =>
= g.(1 –
).v
dt
dt
m
m
b) Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme :
donnera les expressions littérales.
On a donc :
dv
dt
= A – B.v avec A = g.(1 –
 .V
m
) et B =
dv
dt
= A – B.v avec A et B des constantes dont on
k
m
c) Vérifier que la constante A est égale à 1,27 S.I. en précisant, sans justifier, son unité (valeur du vecteur
champ de pesanteur : g = 9,81 m.s-2).
A = 9,81 x (1 -
0, 910  33, 5
35, 0
) = 1,27 m.s-2
3. a) Sur ce graphe en annexe n°1, séparer par un axe vertical les domaines des deux régimes (on précisera le
domaine du régime permanent et le domaine du régime transitoire du mouvement de la balle).
Voir graphe en fin de corrigé.
b) Relever la valeur de la vitesse limite vlim.
Vlim = 17 cm.s-1
c) Que vaut la valeur du vecteur l'accélération a du centre d’inertie de la balle quand celle-ci atteint la vitesse
limite ?
v = vlim = Cte =>
dv
= 0 et a = 0
dt
4. a) Quel est le pas d'itération de la méthode d'Euler proposée ?
Δt = 8,0 x 10-2 s
b) Que vaut l'accélération à l'instant t = 0 s ?
A t = 0, v0 = 0 =>
 dv  = A soit : a = 1,27 m.s-2
0
 
 dt 0
c) Calculer la valeur du vecteur vitesse à la date t = 0,24 s.
v(0,24) = v(0,16) +
Viscosité huile moteur
dv(0,16)
dt
. Δt
soit : v(0,24) = 0,143 + (0,20 x 0,080) = 1,6 x 10-1 m.s-1
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d) En déduire la valeur du vecteur accélération à la même date.
a(0,24) =
dv(0, 24)
dt
= A – B.v(0,24)
soit : a(0,24) = 1,27 – (7,5 x 1,6 x 10-1) = 7,0 x 10-2 m.s-2
5. a) Placer, sur le graphe en annexe n°1, les valeurs des vitesses obtenues par la méthode d'Euler.
Voir graphe en fin de corrigé.
b) En comparant les points obtenus par la méthode d'Euler et les points expérimentaux, dire si le modèle choisi
pour la force de frottement de l'huile sur la balle est valide ?
La courbe obtenue par la méthode d'Euler est suffisamment proche des points expérimentaux
pour valider le modèle laminaire.
c) Sur quel paramètre peut-on agir pour améliorer la résolution de l'équation différentielle par la méthode d'Euler
?
On peut diminuer le pas d’itération.
B. Deuxième partie : détermination de la viscosité de l’huile moteur
1. Exprimer la viscosité η en fonction de B, m et R.
f   k.v et f = – 6.π.η.R. v => k = 6.π.η.R
Or : B =
k
m
=> B =
6...R
m
=>  
B.m
6..R
2. Identifier l'huile moteur étudiée.
=
7,5  35,0  10
-3
6  3,14  2, 00  10
Viscosité huile moteur
2
= 7,0 x 10-1
: il s’agit de l’huile SAE50
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Régime permanent
Régime transitoire
Annexe n°2
O
i
f
F
G
P
z
Viscosité huile moteur
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