LPAI, 2007-2008, applications du théorème d’Euler, propulsion, Daniel Huilier Application du Théorème d’Euler : Effort sur un diffuseur Un fluide circule dans un conduit dont la section augmente progressivement, passant de Ae à As > Ae|. On pose a : Ae/As (0 < α < 1). Un tel écoulement soumet la conduite à un effort qu'il s'agit de calculer en négligeant les forces de pesanteur et de viscosité. Les profils de vitesse et de pression seront pris uniformes dans les deux sections, Ae et As. L'application du théorème d'Euler donne : r r r r r ρVe2 A e n e + ρVs2 A s n s = −p e A e n e − p s A s n s − ∫∫ pndS S Domaine de contrôle pour I'application du théorème d'Euler à l'écoulement dans un diffuseur. L'égalité précédente montre que la conduite exerce sur le fluide une force colinéaire au sens de l'écoulement et de module ( ) ( ) r − ∫∫ pndS = Ps + ρVs2 A s − Pe + ρVe2 A e S On retrouve la différence de dynalpie (pression statique + pression dynamique) entre la sortie et l'entrée dans le diffuseur. En supposant que vitesses et pressions satisfont la relation de Bernoulli entre les sections amont et aval du diffuseur, le résultat précédent peut encore s'exprimer à partir des valeurs prises soit dans la section d'entrée, soit dans celle de sortie. On trouve alors : Avec la relation de Bernouilli qui donne : 1 1 Pe + ρVe2 = Ps + ρVs2 2 2 et l’équation de conservation de la masse : ρVe A e = ρVs A s 1 LPAI, 2007-2008, applications du théorème d’Euler, propulsion, Daniel Huilier F= 1− α ⎡ 1− α ⎤ ρVe2 ⎥.A e Pe + ⎢ α ⎣ 2 ⎦ F= 1− β ⎡ 1− β ⎤ Ps + ρVs2 ⎥.A s ⎢ β ⎣ 2 ⎦ 1 As = α Ae Les expressions ci –dessus sont positives de sorte que la force qu'exerce le divergent sur le fluide a même sens que l'écoulement, et par réaction, le fluide tend à faire "reculer" le divergent. On pourra, par un raisonnement analogue, étendre ces conclusions au cas d'un convergent. Où l’on a posé β = Hélice classique Une hélice est un dispositif qui peut soit transmettre à un écoulement, soit recevoir de celui-ci une certaine puissance mécanique. Dans le premier cas, elle est utilisée comme moyen de propulsion, la mise en mouvement du fluide s'accompagnant, par réaction, d'une force de traction sur les pales de l'hélice. Dans le second cas, elle sert à convertir une partie de l'énergie cinétique du fluide en travail sur son arbre. Ces deux modes d'utilisation sont schématisés sur la figure 12 et correspondent à des applications de moteurs, pour la propulsion tant aérodynamique qu'hydrodynamique d'une pale, et d'éolienne de l'autre. En négligeant la compressibilité du fluide, les effets de viscosité et le mouvement de giration du fluide, on peut considérer que le passage à travers une hélice motrice se traduit pour le fluide par une accélération et pour une hélice réceptrice, par une décélération. Il en résulte des effets respectifs qui, se produisant dans un milieu ambiant de pression constantes, sont à l’origine de forces appliquées au fluide. C'est la résultante de ces forces qu'il s'agit de calculer. Solution : Désignant par F la résultante de la force exercée sur le fluide par l’hélice, l'application du théorème d'Euler au domaine - voir figure 2 - limité par la surface Σ = A e + S + A s + S' donne : ∫∫ ρV 2 e Ae r r r r n e dS + ∫∫ ρVs2 n s dS = F + ∫∫ − Pa ndS Σ As 2 LPAI, 2007-2008, applications du théorème d’Euler, propulsion, Daniel Huilier r r soit finalement, avec des profils de vitesses uniformes F = − ρVe2 A e + ρVs2 A s .n s ( ) Par ailleurs, la conservation du débit massique impose : ρVe A e = ρVs A s = Q m de sorte que la résultante s'écrit finalement : r r F = Q m .(Vs − Ve )n s r Pour une hélice motrice, Vs -Ve est positif et la force produite par le fluide sur l'hélice (- F ) s'exerce clans le sens opposé à l'écoulement, le résultat s'inversant pour une hélice fonctionnant en récepteur. Poussée d'une turbomachine Le fonctionnement d'un turboréacteur peut être décrit de façon très schématique de la façon suivante : Un débit massique de fluide Qm est admis en entrée de la machine. Il y est ensuite comprimé puis reçoit un débit qf de carburant. Le mélange est alors brûlé dans une chambre de combustion ce qui a pour effet d'en augmenter la température et donc l'énergie (enthalpie totale en fait). Une part de cette énergie sert à actionner une turbine qui entraine le compresseur, l'autre part est émise, après détente dans une tuyère, sous forme cinétique et thermique dans le jet de sortie de la machine. C'est la quantité de mouvement ainsi libérée qui est à l'origine, par réaction de la poussée de l'engin qu'il s'agit de calculer. Solution Considérons alors un domaine de contrôle Δ tel que celui représenté à la figure 3. En négligeant le débit de carburant (qf << Qm), tout se passe, du point de vue du bilan de quantité de mouvement sur A, comme si le débit massique Qm de fluide subissait une accélération axiale, passant d 'une vitesse d 'admission Va à une vitesse d'éjection Ve >> Va. Fig.3: Domaine de contrôle pour l'application du théorème d'Euler à une turbomachine. Le théorème d'Euler appliqué au domaine limité par la surface Σ = A e + S + A a + S 0 donne : r r r r r r ρ a Va2 A a n a + ρ e Ve2 A e n e = −p a A a n a − p e A e n e − ∫∫ pndS − ∫∫ pndS S0 3 S LPAI, 2007-2008, applications du théorème d’Euler, propulsion, Daniel Huilier en prenant les profils de vitesse et pression uniformes à l'admission (section Aa) et à l'éjection (section Ae). La résultante des forces exercées par le fluide interne sur la machine vaut donc : r r r r r Fint = − ∫∫ PndS = + (Pa + ρ a Va2 )A a n a + (Pe + ρ e Ve2 )A e n e + ∫∫ PndS S S0 Nous admettrons qu'en première approximation la pression statique est la même sur toutes les frontières libres du domaine Δ et égale à P∞ . La relation précédente devient : r r r r Fint = + ( P∞ + ρ a Va2 )A a n a + (P∞ + ρ e Ve2 )A e n e + P∞ ∫∫ ndS S0 Par ailleurs, le fluide extérieur exerce sur la face externe de la surface S une résultante de pression qui vaut : r r Fext = ∫∫ − P∞ n ext dS S De sorte que la résultante des forces appliquées à la machine par le fluide tant interne qu’externe vaut : r r r r r r r R = − Fint + Fext = −(P∞ + ρ a Va2 )A a n a − (P∞ + ρ e Ve2 )A e n e − P∞ ∫∫ ndS − P∞ ∫∫ ndS S0 S Il apparaît ainsi que l’ensemble des contributions mettant en jeu la pression P∞ est nul puisque regroupé sur la surface fermée Σ. On en déduit que la poussée du moteur vaut finalement : r r r R = (−ρ a Va2 A a + ρ e Ve2 A e )n a = Qm(Ve − Va )n a En vol stationnaire, la poussée/réaction, de signe opposée à Va est exactement compensée par la force de traînée, T, s’exerçant sur la surface d’un avion par exemple. La puissance dissipée par la traînée , ou puissance employée à cette propulsion, vaut : R.Va = QmVa (Ve − Va ) Le gain en énergie cinétique ( en termes de puissance), soit la puissance fournie à l’air pour accroître son énergie cinétique, vaut : P= 1 1 1 Q m .Ve2 − Q m Va2 = ρA e Ve ( Ve − Va )(Ve + Va ) 2 2 2 Le rendement est donné par : η= RVa 2Va = P Va + Ve Ve est nécessairement supérieure à Va, η est toujours inférieur à 1, mais il tend vers 1 si Va tend vers Ve. 4