M1 Physique Fondamentale 2013-2014 Magistère 2ème année Matière Condensée Recueil de TD - Partie I Modèle atomique de la surface quasicristalline d'un alliage aluminum-palladium-manganèse . Image AFM (microscope à force atomique) du graphène 2 Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud Matière condensée 1 TD - Gaz d'électrons libres à 2 dimensions On considère un gaz d'électrons conné à deux dimensions. Cette situation peut être réalisée expérimentalement à l'interface entre deux semiconducteurs (puits quantiques par exemple) ou bien dans des composés lamellaires tels que les supraconducteurs à haute température critique. On suppose que les électrons sont libres, c'est à dire qu'on ne tient pas compte de l'eet du potentiel cristallin sur les électrons et on suppose qu'ils n'interagissent pas entre eux. 1. Rappeler l'expression de la fonction de distribution de Fermi-Dirac fF D (ϵ, T, µ). Tracer schématiquement cette fonction pour diérentes valeurs de la température T. 2. (a) Les électrons sont astreints à se déplacer sur une surface rectangulaire de dimensions Lx , Ly . En utilisant les conditions périodiques de Born Von Karman, donner → − l'expression du vecteur d'onde k . Quelle surface occupe alors un état dans l'espace − → − → des k ? En déduire la densité d'états g( k ). (b) Rappeler l'expression de l'énergie d'un électron libre. Tracer le disque de Fermi − → dans l'espace des vecteurs d'onde k . Tracer ensuite la surface occupée par les états d'énergies comprises entre ϵ et ϵ + dϵ. Combien cette surface contient-elle d'états ? (c) Calculer la densité d'états par unité d'énergie, g(ϵ) et montrer que c'est une constante g0 que l'on déterminera. 3. Montrez que le nombre d'électrons Ne et l'énergie moyenne totale du gaz d'électrons Ee s'écrivent : ∫ +∞ Ne = dϵg(ϵ)fF D (ϵ, T, µ) 0 ∫ +∞ Ee (T ) = dϵg(ϵ)fF D (ϵ, T, µ)ϵ 0 4. En déduire l'expression de l'énergie de Fermi, ϵF , c'est à dire le potentiel chimique, µ, à température nulle en fonction de la densité électronique, ne , puis g0 en fonction de ϵF . Déterminer également kF en fonction de ne . 5. Les supraconducteurs à haute température critique sont formés d'un empilement de plans très faiblement couplés entre eux (supraconducteurs lamellaires), chaque plan est formé par un assemblage de carrés avec au sommet des atomes de cuivre et au milieu des côtés des atomes d'oxygène. Sachant que chaque carré de côté a = 0, 384 nm a 0, 2 électron libre, donner la densité électronique surfacique par plan. En considérant un plan unique, donner alors un ordre de grandeur de ϵF , de la température de Fermi, TF et du vecteur d'onde de Fermi, kF . Comparer la température de Fermi à la température ambiante. Conclure. 6. En intégrant la formule donnée précédemment, calculer explicitement Ne en fonction de g0 , µ et T . Montrer alors que le potentiel chimique est indépendant de la température dans la limite ϵF ≫ kB T . 3 7. On rappelle que la chaleur spécique Cv à volume constant est dénie par la relation : ∂Ee Cv = , ∂T V où Ee est l'énergie moyenne totale, T la température et V le volume du cristal. Ee ne dépend de la température que par la fonction de distribution de Fermi-Dirac. La fonction de Fermi-Dirac étant discontinue à température nulle, le développement de cette fonction à basse température demande quelques précautions mathématiques. On admettra le résultat suivant (développement de Sommerfeld,1927) : ∫ +∞ dϵh(ϵ)fF D (ϵ, T, µ) = H(µ) + 0 π2 (kB T )2 h′ (µ) + O(T 4 ), 6 où H et h′ désignent respectivement la primitive de la fonction h qui s'annule en 0 et la dérivée de h. Utiliser ce développement pour obtenir l'expression de Ee (µ, T ) à basse température en fonction de T et µ puis de T seul. En déduire l'expression de la chaleur spécique électronique, Cel : Cel = π2 2 π2 T kB g(ϵF )T = kB Ne = γT, 3 3 TF et donner une interprétation qualitative de ce résultat. 8. On rappelle que la contribution des vibrations atomiques (phonons) à basse température, dans le cadre du modèle de Debye, est proportionnelle à T 3 quand T ≪ TDebye : Cph = βT 3 . En déduire la forme de la courbe C/T en fonction de T 2 et la méthode pour déterminer les coecients γ et β . En quoi la mesure de γ est-elle importante pour la compréhension d'un matériau ? En considérant que les paramètres des supraconducteurs lamellaires déterminés au 5. s'appliquent au composé de la gure ci-dessous et qu'une mole du matériau contient 6 1023 électrons, montrer que la valeur mesurée de γ est du bon ordre de grandeur. 4 Figure 1. Evolution du rapport C/T pour le supraconducteur lamellaire κ(ET )2 Cu(N CS)2 (Tc = 10K ). Dans l'encadré, représentation de C/T en fonction de T 2 sous un champ magnétique de 10 Tesla lorsque la supraconductivité a disparu. D'après J. Müller et al., Physical Review B, vol. 65, p.140509 (2002) 5 6 Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud Matière condensée 2 TD - Magnétisme du gaz d'électrons - Paramagnétisme de Pauli On considère un gaz d'électrons libres à trois dimensions de densité n et on s'intéresse aux propriétés magnétiques à température nulle (T = 0 K) dues au degré de liberté de spin porté par les électrons. On notera n↑ et n↓ les nombres d'électrons par unité de volume respectivement de spins ↑ et ↓ suivant un axe de quantication Oz. On désignera par g(k) et g(ϵ) les densités d'états par unité de volume du gaz non polarisé (n↑ = n↓ = n2 ). On utilisera les conditions aux limites B.V.K. 1. En présence d'un champ magnétique B parallèle à Oz, un électron de spin S = 1/2 acquiert en plus de son énergie cinétique, une énergie magnétique −m · B, où mz = −gµB Sz est le moment magnétique de l'électron (on prendra le facteur de Landé g = 2). Donner l'expression des énergies totales ϵk,↑ et ϵk,↓ des électrons selon le sens de leur spin. 2. Calculer les densités d'états électroniques par unité de volume g↑ (k) et g↓ (k) dans l'espace des k pour les états non-dégénérés (B ̸= 0) de spin respectivement ↑ et ↓. 3. En déduire l'expression des densités d'états en énergie par unité de volume correspondantes g↑ (ϵ) et g↓ (ϵ) en fonction de la densité g(ϵ) en l'absence de champ magnétique. 4. Donner sans les calculer les expressions intégrales de n↑ , n↓ et ∆n = n↓ − n↑ en fonction des densités d'états en énergie g↑ (ϵ) et g↓ (ϵ), puis en fonction de g(ϵ). 5. Donner l'ordre de grandeur de l'énergie magnétique et la comparer à celle de l'énergie de Fermi. On rappelle la valeur du magnéton de Bohr µB = 9, 2741 × 10−24 J/T. 6. En déduire une expression approchée de ∆n puis de l'aimantation Mz et nalement de la susceptibilité magnétique χ = µ0 ∂Mz /∂B en fonction de µ0 , µB et de la densité d'états au niveau de fermi du gaz d'électrons g(ϵF ) = 3n/2ϵF . Dans un traitement plus avancé on montre que cette susceptibilité dite de Pauli dépend faiblement de la température ; elle est donnée correctement par ce calcul à T = 0 K. 7. La densité électronique du sodium vaut n = 2.68 × 1028 m−3 et son énergie de Fermi ϵF = 3.24 eV. Calculer sa susceptibilité magnétique à T = 0 K. Compte tenu de la masse volumique du sodium ρ = 0.971 g.cm−3 , comparer votre résultat à la gure 1, où sont 1 χ pour diérents métaux. représentées les quantités 4π ρ 7 Figure 1. Susceptibilité magnétique par unité de masse de quelques métaux en fonction de la température. 8 Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud Matière condensée 3 TD - Eets de connement du gaz d'électrons On considère la lame métallique mince carrée de côté L et d'épaisseur l, L ≫ l, représentée sur la gure 1. L'axe Oz est perpendiculaire au plan de la lame. Ox et Oy sont dans le plan de la lame. On cherche à prendre en compte les eets associés à la faible épaisseur de la lame en comparant les eets des conditions aux limites périodiques (B.V.K.), rigoureusement valables dans le cas de solides innis, et les conditions aux limites "de la boîte" appliquées suivant la direction Oz . On prend ainsi rigoureusement en compte les eets de surface en z = 0 et z = l. La première partie de cet exercice fait appel à des notions de cours / TD qui seront utilisées dans les parties suivantes. Figure 1. schéma de la lame mince. 3.1 Préliminaires : le gaz d'électrons libres à 3D et à 2D On considère un gaz d'électrons libres à 3D, occupant un volume Ω = L2 × l et dont le nombre d'électrons par unité de volume est noté n3D , que l'on traite en utilisant des conditions aux limites périodiques (B.V.K.) dans les 3 directions. 1. Rappeler l'expression de la fonction d'onde ψ⃗k (x, y, z). 2. Donner, en les justiant, les conditions de quantication pour les composantes de ⃗k . On prendra soin de préciser les valeurs autorisées (positives, négatives, nulles) pour ces composantes. 3. Représenter le volume des états occupés à T = 0 dans l'espace des ⃗k . On introduira, sans le calculer, le vecteur d'onde de Fermi. 4. Redonner sans démonstration la valeur de la densité d'états dans l'espace des ⃗k , g3D (⃗k). 5. En déduire que la densité d'états en énergie s'exprime sous la forme g3D (ε) = Aε1/2 . On donnera l'expression de A. 6. On se place à température nulle. Exprimer le nombre d'électrons par unité de volume, n3D , sous la forme d'une intégrale qui fait intervenir g3D (ε) et l'énergie de Fermi εF , puis calculer n3D en fonction de εF et de constantes. 9 7. Calculer ϵF en eV, puis kF dans le cas du cuivre, n3D = 8 × 1028 m−3 . Pour un gaz d'électrons libres à 2D, distribués sur une surface S , et dont le nombre d'électrons par unité de surface est noté n2D : 8. Rappeler, sans démonstration, la dépendance en énergie de la densité d'états en énergie g2D (ε) . 9. Déterminer l'énergie moyenne à T = 0 en fonction de εF . 3.2 Lame mince : énergie de surface Maintenant, on prend en compte rigoureusement les eets des faces de la lame mince perpendiculaires à Oz . On utilise donc des conditions aux limites périodiques (B.V.K.) uniquement suivant les directions Ox et Oy et la condition ψ = 0 sur les faces perpendiculaires à Oz , situées en z = 0 et z = l. La fonction d'onde associée à un vecteur ⃗k s'écrit alors : ψ(x, y, z) = B eikx x eiky y sin kz z 1. Quelles sont les conditions sur kx et ky ? Quelle est la condition sur kz ? Montrer en particulier que le choix kz = 0 est maintenant impossible. 2. Montrer que les états occupés à T = 0 occupent maintenant dans l'espace des ⃗k un hémisphère. Le plan de base kz = 0 est-il occupé ? 3. Montrer que par rapport aux conditions B.V.K. suivant les 3 directions, la densité dans ′ l'espace des ⃗k , g3D (⃗k), est maintenant doublée. En déduire que la valeur de kF est quasiment inchangée. 4. Les électrons qui, dans les conditions B.V.K occupaient le plan de base kz = 0, sont rejetés à la surface de Fermi. Pourquoi ne peut-on pas les mettre, à T = 0, sur des états pour lesquels ∥⃗k∥ < kF ? 5. Dans le cas B.V.K., l'énergie moyenne des électrons dans le plan kz = 0 est celle d'un gaz 2D d'énergie de Fermi εF . Donner le gain d'énergie moyen, ∆ε, par électron qui migre du plan kz = 0 à la surface de la sphère de Fermi. On peut noter que ce gain d'énergie moyen correspond au passage des conditions B.V.K 3D pour un solide inni aux conditions plus rigoureuses de cette partie, adaptées à la géométrie de la lame mince. 6. Le nombre total d'états du disque de rayon kF est celui d'un gaz d'électrons 2D répartis sur une surface L2 et d'énergie de Fermi εF . A partir de la densité d'états dans l'espace des ⃗k à 2 dimensions, g2D (⃗k), calculer le nombre total d'électrons à T = 0 gagnant une énergie moyenne ∆ε. 7. En déduire le gain d'énergie total ∆E puis l'énergie de surface ∆E/2L2 que l'on mettra sous la forme εF × f (kF ) où f (kF ) est une fonction de kF . Vérier l'homogénéité de la formule obtenue. Calculer cette énergie pour le cuivre en J/m2 . 3.3 Densité électronique au voisinage de la surface On rappelle que la densité électronique dans un métal n(x, y, z) s'écrit : ∫ ∫ ∫ n(x, y, z) = ∥ψ∥2 g(⃗k)dkx dky dkz ∥⃗k∥<kF 10 1. Dans le cas des conditions B.V.K. 3D, montrer que cette densité est homogène. Donner sa valeur, n0 , en fonction de kF . 2. Dans le cas de la lame mince, traitée rigoureusement, ( sin 2kF z − 2kF z cos 2kF z ) n(z) = n0 1 − 3 (2kF z)3 Quelle est la distance pour laquelle n(z) = n0 pour la première fois ? Comment se compare-t-elle à l'ordre de grandeur de la distance interatomique ? Que peut-on en conclure pour les eets de surface sur le gaz d'électrons ? Figure 2. Variation de la fonction n(z) 11 12 Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud Matière condensée 4 TD - Réseau direct 4.1 Réseau rectangulaire On considère un réseau rectangulaire simple bidimensionnel sur lequel on place des atomes de type A aux sommets des rectangles et des atomes de type B aux centres. 1. Représenter schématiquement ce réseau et y placer les atomes A et B. Déterminer le motif associé à ce réseau. Tracer les vecteurs de base de ce réseau. 2. Dans le cas où les atomes A et B sont identiques, représenter une maille primitive de ce réseau. Déterminer la multiplicité de la maille rectangulaire. 4.2 Structures cubiques Pour chacune des structures suivantes : métal de type Lithium : tous les atomes au sommet et au centre du cube sont identiques structure CsCl : l'atome au centre du cube est diérent des atomes au sommets du cube structure pérovskite : un atome est placé au centre (Ba, Ca,...) du cube, les sommets du cube sont occupés par un autre type d'atome (titane en général) et les faces du cube sont occupées par des atomes d'Oxygène. Figure 1. De gauche à droite, structures de type Lithium, CsCl, pérovskite. Donner : 1. le motif dans la maille cubique conventionnelle en précisant les coordonnées des atomes. 2. la formule chimique du composé et le nombre de motifs par cube. 13 4.3 Réseau hexagonal 4.3.1 Réseau hexagonal simple On considère un réseau hexagonal simple bidimensionnel représenté schématiquement sur la gure ci-dessous. L'angle entre chaque direction est de 60◦ . 1. Représenter diérentes mailles primitives pour ce réseau. Dans la suite, on choisira celle qui s'appuie sur les vecteurs ⃗a et ⃗b de la gure. 2. Dessiner une maille multiple rectangulaire centrée. Quelle est sa multiplicité ? Déterminer la norme des vecteurs de base de cette maille rectangulaire en fonction de a = ∥⃗a∥. Figure 2. 4.3.2 Réseau hexagonal simple. Structure nid d'abeille On considère le graphène formé par un plan unique de graphite où les atomes de carbone sont placés aux sommets d'hexagones réguliers de côté ℓ. 1. Déterminer le réseau et le motif associés à cette structure nid d'abeille. 2. Dessiner une maille primitive telle que l'angle entre les deux vecteurs de base soit de 60◦ . Dénir alors les vecteurs de base ⃗a et ⃗b. 3. Calculer la norme des vecteurs{de base en fonction de ℓ. Déterminer les coordonnées des − →} − → atomes du motif dans la base a , b . 4. Indiquer diérentes familles de rangées réticulaires et donner la distance entre rangées pour une d'entre elles. 14 Figure 3. A gauche, structure nid d'abeille. A droite, image AFM (microscope à force atomique) du graphène. (http ://www.physik.uni-augsburg.de/exp6/imagegallery/afmimages/afmimages_e.shtml) 15 16 Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud Matière condensée 5 TD - Réseau réciproque et diraction par un cristal 5.1 Réseaux rectangulaires à deux dimensions 1. Soit un réseau rectangulaire de maille (⃗a, ⃗b). Construire le réseau réciproque. 2. Soit le réseau rectangulaire centré dont la maille conventionnelle est celle du réseau précédent. Dénir les vecteurs de base a⃗0 et b⃗0 de la maille primitive. Construire les ⃗0 et B⃗0 de la maille primitive du réseau réciproque de deux façons : vecteurs de base A • directement, de façon géométrique ; • exprimer a⃗0 et b⃗0 dans la base (⃗a, ⃗b) puis calculer les coordonnées de A⃗0 et B⃗0 dans la ⃗, B ⃗ ). base (A Construire le réseau réciproque et le comparer au précédent. 5.2 Diraction par un réseau monoatomique à deux dimensions avec motif Figure 1. Structure nid d'abeille (ci-dessus à gauche) et gure de diraction d'une surface de graphite obtenue par diraction d'électrons lents (ci-dessus à droite). On considère la structure nid d'abeille dénie au TD 4. 1. Rappeler la nature du réseau direct et le motif de cette structure ainsi que les vecteurs de base. On note a la norme de ces vecteurs. Exprimer les coordonnées des vecteurs ⃗a et ⃗b du réseau direct dans le repère orthonormé (x,y) puis calculer celles des vecteurs du réseau réciproque. 2. Calculer le facteur de structure S(h, k). Montrer que |S| peut prendre deux valeurs. L'image de diraction que l'on s'attend à voir correspond-elle à l'image obtenue expérimentalement ? 17 18 Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud Matière condensée 6 TD - Structures cristalline et magnétique Certains uorures anhydres de métaux de transition divalents, de formule générique AF2 (A=Mn, Fe, Co, Ni, Zn), cristallisent dans une structure dite de type rutile observée pour l'oxyde de titane TiO2 . Cette structure est décrite dans une maille quadratique simple de paramètres a = b et c (un parallélipipède rectangle), dont les valeurs sont proches pour les diérents uorures. Dans ce texte, basé sur les études de ces uorures dans les années 50 par diraction de rayons X et de neutrons, on considère uniquement le cas du uorure de manganèse MnF2 pour lequel a = b = 4, 8734 Å et c = 3, 3103 Å. 6.1 Réseau réciproque et diraction 1. Donner la nature du réseau réciproque d'un réseau quadratique simple de paramètres a et c et exprimer ses paramètres de maille en fonction de a et c. 2. Rappeler les conditions de Bragg sur l'angle 2θ entre faisceau incident et faisceau diracté, pour obtenir une intensité diractée. On exprimera le résultat en utilisant la longueur d'onde λ du rayonnement utilisé, les paramètres de maille du réseau réciproque, a⋆ et c⋆ et des entiers h, k et l, puis on exprimera la relation donnant sin θ en fonction de λ, a, a/c et ces entiers h, k et l. 3. Application numérique : (a) On utilise des neutrons thermalisés à 650 K, c'est à dire dont l'énergie cinétique correspond à une température de 650 K. Les neutrons sont des particules qui, dans ces conditions obéissent aux lois de la mécanique classique. Montrer que la longueur d'onde associée aux neutrons est λ = 1, 2 Å. (b) Comparer au diagramme de diraction de la gure 3 obtenu à 300 K. On se contentera d'examiner les raies (1,1,0) et (2,1,0). Dans cette maille quadratique simple, les positions des six ions du motif sont données ci dessous : A2+ (0, 0, 0) ; (1/2, 1/2, 1/2) F− (u, u, 0) ; (1 − u, 1 − u, 0) ; (1/2 + u, 1/2 − u, 1/2) ; (1/2 − u, 1/2 + u, 1/2) Le nombre u a une valeur approximative de 0,3. 6.2 Réseau de Bravais 1. Donner un schéma décrivant la maille quadratique simple de cette structure cristalline et placer les ions en prenant u ≃ 0, 3. 2. Combien de formules AF2 la maille contient-elle ? 19 6.3 Facteur de structure 1. En notant fA , fF les facteurs de diusion respectifs des ions A2+ et F− , donner l'expression du facteur de structure S(h, k, l) associé au motif. L'exprimer sous la forme : S(h, k, l) = fA [1 + g(h + k + l)] + 2fF [cos 2π(h + k)u + g(h + k + l) cos 2π(h − k)u] 2. Dans le cas h + k + l impair, montrer que l'intensité sera nulle si h ou k est nul. 3. Quel devrait être le premier pic de Bragg observé ? Est-ce en accord avec le spectre à 300 K de la gure 3 ? 6.4 Diraction des rayons X et détermination de u [facultatif] An de déterminer la valeur du paramètre u, on utilise les résultats des expériences de diffraction des rayons X sur MnF2 . Cette partie permet d'apprécier la précision obtenue sur les paramètres de maille par une expérience de diraction. 1. Calculer le rapport des facteurs de structure pour les raies (2,0,2) et (3,1,1) en fonction de fMn , fF et u. 2. Ce rapport vaut 1,22. En déduire la valeur numérique de u (on gardera la valeur la plus grande) et montrer qu'une variation de 1% de u induirait une variation de plus de 30% sur ce rapport d'intensité. On donne fMn /fF = 2, 42 et la représentation graphique ci-dessous. 6 5 4 3 2 1 0 f(x) -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 0 1 2 3 4 5 X Figure 1. Représentation graphique de la fonction (2, 42 + 2 cos x)/(cos 2x − cos x) 6.5 Structure magnétique et diraction des neutrons Dans le uorure de manganèse, les ions Mn2+ portent un moment magnétique. Les couplages entre premiers voisins tendent à anti-aligner les moments magnétiques qui s'ordonnent en dessous de 67 K comme indiqué sur la gure 2. Les neutrons portent un spin et on peut 20 alors montrer que le facteur de diusion neutronique dépend de l'orientation des moments. Il convient alors de distinguer le facteur de diusion pour les moments orientés vers le haut fM n↑ et de celui des moment orientés vers le bas fM n↓ . Les ions F− ne sont pas aectés. Figure 2. Structure magnétique dans la phase ordonnée : seuls les ions Mn2+ ont été représentés. Le nouveau motif est donc : 2+ Mn2+ ↑ (0, 0, 0) ; Mn↓ (1/2, 1/2, 1/2) F− (u, u, 0) ; (1 − u, 1 − u, 0) ; (1/2 + u, 1/2 − u, 1/2) ; (1/2 − u, 1/2 + u, 1/2) 1. Donner l'expression du nouveau facteur de structure Sm (h, k, l). 2. On considère le cas h + k + l impair, la condition d'extinction h = 0 ou k = 0 est-elle toujours vériée ? 3. Commenter la diérence entre les diagrammes de diraction obtenus en dessous et au dessus de la température de transition. 4. En fait, la diérence entre les facteurs de diusion fM n↑ et fM n↓ s'annule dans le cas où les moments sont parallèles au vecteur de diusion. Montrer que le diagramme obtenu conrme l'orientation des moments choisis sur la gure 2. Figure 3. Diagramme de diraction de neutrons au dessus (300 K) et en dessous (23 K) de la transition magnétique. 21 22 M1 Physique Fondamentale 2013-2014 Magistère 2ème année Matière Condensée Devoirs 2 Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud Matière condensée Devoir 1 : Eet tunnel d'électrons libres : application au microscope à eet tunnel (prix Nobel 1986) Données numériques : Constante de Boltzmann : k = 1, 38 × 10−23 J/K. Nombre d'Avogadro : NA = 6, 02 × 1023 Constante de Planck : h = 6, 62 × 10−34 J.s Masse de l'électron : me = 9 × 10−31 kg Masse du neutron : mn = 1, 675 × 10−27 kg Charge de l'électron −e = −1, 6 × 10−19 C On considère deux solides métalliques identiques dont les surfaces planes perpendiculaires à Oz sont séparées par un petit intervalle de vide d'épaisseur s. A l'intérieur de chacun des solides, les électrons peuvent se déplacer librement dans les 3 directions de l'espace, avec un vecteur d'onde ⃗k et une énergie cinétique ϵ(⃗k) = ~2 k 2 /2m. Leur énergie de Fermi est ϵF . L'intervalle entre les deux plaques correspond à une barrière d'énergie potentielle U = ϵF + ϕ. L'énergie potentielle des électrons ne dépend que de leur position sur l'axe z , normal aux deux surfaces, et peut se représenter par le schéma suivant : 3 On applique une diérence de potentiel entre les deux métaux de telle manière que les métaux (1) et (2) soient respectivement aux potentiels 0 et V > 0. L'énergie potentielle des électrons et la position du niveau de Fermi dans chacun des métaux sont alors donnés par le schéma suivant : L'écart en énergie entre les 2 niveaux de Fermi est eV (−e est la charge de l'électron) et on suppose eV ≪ ϕ et eV ≪ ϵF . 6.6 Préliminaires : le gaz d'électrons libres à 3D Pour un gaz d'électrons libres à 3D, occupant un volume Ω et dont le nombre d'électrons par unité de volume est noté n : 1. Rappeler la valeur de la densité d'états dans l'espace des ⃗k , g(⃗k) ; on utilisera les conditions aux limites périodiques. 2. Exprimer n sous forme d'une intégrale qui fait intervenir g(⃗k) puis calculer le module du vecteur d'onde de Fermi, kF , en fonction de n et de constantes. En déduire l'énergie de Fermi. 3. Calculer kF puis ϵF en (eV), dans le cas du cuivre, de masse atomique ACu = 63, 5 × 10−3 kg de densité d = 8, 9, avec un électron par atome. 6.7 Condition de l'eet tunnel A température nulle, T = 0, les électrons de (1) peuvent passer par eet tunnel dans (2) si et seulement si : kz > 0 (1) 2 2 ~k ϵF − eV ≤ ≤ ϵF (2) 2m (kz est la composante selon z du vecteur d'onde de l'électron libre considéré). On rappelle que dans un processus tunnel, les électrons conservent leur énergie. 1. Justier les deux conditions (1) et (2). 2. Représenter les états correspondants dans l'espace des ⃗k . On notera l'invariance par rotation autour de l'axe kz et on pourra eectuer une coupe dans le plan ky = 0. 4 6.8 Les électrons candidats à l'eet tunnel à T =0 K 1. On considère les électrons du métal (1), vériant les conditions d'eet tunnel et dont le vecteur d'onde ⃗k fait un angle avec l'axe z compris entre θ et θ + dθ (dθ inniment petit). Donner le volume de l'espace des ⃗k correspondant, dV⃗k (k, k + dk; θ, θ + dθ) ; dk représente la petite variation de k = |⃗k| déduite de l'équation (2). 2. En déduire le nombre d'électrons correspondant, à T = 0 et par unité de volume, dn(θ, θ+ dθ), susceptibles de passer par eet tunnel à travers la barrière de potentiel dans la direction (θ, θ + dθ). Montrer qu'on peut le mettre sous la forme : dn(θ, θ + dθ) = 6.9 Courant tunnel à T =0 meV kF sin θ dθ 2π 2 ~2 K On admet que le coecient de transmission par eet tunnel à travers la barrière, D, est donné par 1√ 2mϕ D = exp(−2k0 s) avec k0 = ~ D = nombre d'électrons transmis/nombre d'électrons incidents. 1. A partir des résultats de la question précédente, écrire le nombre d'électrons par unité de volume dn′ (θ, θ + dθ) transmis dans la direction (θ, θ + dθ) et en déduire que la contribution djz au courant tunnel traversant la barrière selon z s'écrit sous la forme : djz = B cos θ sin θ dθ où B est une constante exprimée en fonction des données du problème. 2. En déduire, sous forme intégrale, la densité de courant total jz circulant par eet tunnel entre les deux plaques. 3. Calculer jz et montrer qu'elle peut se mettre sous la forme : jz = AV exp(−2k0 s) Exprimer la valeur de A en fonction ϵF et de constantes. 4. Application numérique : Quelles sont les valeurs prises par 2 k0 , D, A et jz (préciser les unités) si l'on donne : ϵF = 5 eV ϕ = 3 eV V =0.05 Volt s = 5 6.10 Microscope à eet tunnel En fait l'une des électrodes est constituée d'une pointe très ne (terminée par un atome !) située à une distance s au dessus d'une surface métallique. Cette substitution ne modie pas sensiblement les résultats ci-dessus. 1. Sachant qu'il est possible de discerner les variations de courant de l'ordre de 10%, évaluer la variation de s susceptible d'être ainsi discriminée (résolution topographique du microscope tunnel). On prendra s = 5 . 2. Dessiner schématiquement la variation du courant en fonction de la tension (caractéristique courant-tension). A quoi correspond la partie V < 0 de la caractéristique ? 5 6 Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud Matière condensée Devoir 2 : Diraction par un cristal polyatomique Un cristal de chlorure de sodium, formé d'ions N a+ et Cl− , est représenté sur la gure 1. Figure 1. Structure du N aCl (ions Cl− en gris et N a+ en noir) basée sur un réseau cubique, et photo de cristaux de N aCl (sel de table). 1. Déterminer le réseau direct, le motif, et le réseau réciproque. 2. Pour calculer le facteur de structure, on décrit la structure cristalline par un réseau cubique simple associé à un motif de 8 ions. Donnez les coordonnées des ions du motif dans la maille. 3. Calculer le facteur de structure S(h, k, l) en fonction des facteurs de diusion des ions N a+ et Cl− . 4. Montrez que l'on peut factoriser S(h, k, l) en un produit de 2 termes, l'un dépendant des facteurs de diusion, l'autre non. Interprétez ces deux termes. 5. On rappelle que l'intensité d'un pic de Bragg est proportionnelle à |S|2 . Sachant que, pour la diusion des rayons X, le facteur de structure atomique f d'un ion est proportionnel à son nombre d'électrons (on rappelle que ZN a = 11 et ZCl = 17), commentez le diagramme de diraction de la gure 2. On s'intéressera en particulier aux intensités relatives des pics de Bragg d'indices pairs et impairs. 6. Rappelez la loi de Bragg. A partir de celle-ci et du diagramme de la gure 3, calculer le paramètre de maille du cristal de N aCl. 7. On remplace les ions N a+ par des ions K + (ZK = 19). Le paramètre de réseau change mais non la structure cristalline. Que devient S(h, k, l) ? Avec quelle autre structure cristalline pourrait-on confondre la structure de KCl si on ne disposait pour toute information que de diagrammes de rayons X ? 7 Figure 2. Diagramme de diraction X d'une poudre de N aCl obtenu en utilisant la raie d'émission Kα du cuivre, λ = 1.54 Å. 8