Unité 2– Les Entiers Les nombres entiers relatifs sont représentés par Z. Ils comprennent tous les nombres entiers positifs et les nombres entiers négatifs compris entre les infinis. Z = {...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} Le chiffre 0 est à la fois positif et négatif (neutre). Il fait partie de l'ensemble des nombres entiers relatifs. Utilisation des entiers relatifs Comparaison au niveau de la mer Cette ressource multimédia porte sur les entiers relatifs et la température. Une vidéo explique le rôle des mathématiques dans la construction et l’entretien de patinoires . http://www.learnalberta.ca/content/mfjhm/index.html?l=0&ID1=MF.JHM.NUM&ID2=MF.JHM. NUM.ENT&lesson=html/video_interactives/entiersRelatifs/integersSmall.html Pointage pour le golf Argent ($) Grandeur et ordre des entiers relatifs L’ordre dans les nombres entiers relatifs est semblable à celle des nombres naturels. La seule différence est que les nombres entiers relatifs comportent des nombres négatifs. Voyons l’ordre croissant des entiers relatifs: On pourrait aussi écrire l'ordre croissant des nombres entiers relatifs comme ceci : ... -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 ... Le zéro est au centre de la droite numérique et agit un peu comme l'axe de symétrie entre les nombres positifs et négatifs. Il est important de comprendre que plus on se déplace vers la gauche, plus les chiffres sont petits. Plus on avance vers la droite, plus les chiffres sont grands. L'addition de nombres entiers relatifs Le sens des nombres Les manuels scolaires utilisent souvent le contexte de l'argent ($) ou de la température (°). Lorsqu'on a un nombre entier positif, on parlera d'une augmentation d'une somme d'argent (un dépôt dans notre compte en banque) ou d'une hausse de température (il fait plus chaud). Lorsqu'on a un nombre entier négatif, on parlera d'une dette d'argent (un retrait du compte en banque) ou d'une baisse de température (il fait plus froid). On imagine qu'on part toujours de zéro (0$ dans le compte ou 0°) Additionner deux nombres entiers positifs (+,+) On procède comme on en a l'habitude avec les nombres naturels. La somme de deux nombres entiers positifs donne toujours un nombre entier positif. Additionner 6 + 3 Les 2 nombres sont positifs, 6 et 3, alors la réponse sera positive. Sens des nombres : Je dépose 6 $ dans mon compte, puis je dépose encore 3 $. J'aurais alors 9 $. Visuellement : En partant de 0, j'augmente de +6 (flèche orange) puis j'augmente encore de +3 (flèche verte). Réponse: 6 + 3 = 9 Additionner deux nombres entiers négatifs (-,-) On procède comme avec entier positifs, mais les avec le sens négatif des nombres. La somme de deux nombres entiers négatifs donne toujours un nombre entier négatif. Additionner −6 + −3 Les deux nombres sont négatifs, −6 et −3, alors la réponse sera négative. Sens des nombres : J'observe une baisse de température de 6° suivie d'une autre baisse de 3°. La température a subi une baisse totale de 9° Visuellement : En partant de 0, j'ai une baisse de −6, suivi d'une baisse de −3 Réponse: −6 + −3 = −9 Additionner deux nombres de signes différents (+,-) ou (-,+) On procède avec le sens des nombres. La somme sera positive ou négative selon le signe du nombre qui est le plus éloigné de 0 sur la droite numérique. Exemple 1: Additionner 6 + (−3) Les deux nombres sont de signes contraires : 6 et −3. Sur la droite, 6 est le nombre le plus éloigné de 0, alors la réponse sera positive. Sens des nombres : La température hausse de 6° (flèche orange), puis baisse de 3° (flèche verte). La température atteint alors 3°. Réponse: 6 + −3 = 3 Exemple 2: Additionner 5 + −4 5 est plus éloigné du 0 que −4, la réponse sera positive. Je dépose 5 $ dans mon compte puis je retire 4 $. Il me reste 1 $ 5 + −4 = 1 Exemple 3: Additionner −6 + 3 Les deux nombres sont de signes contraires : −6 et 3. Sur la droite, −6 est plus éloigné de 0, alors la réponse sera négative. Sens des nombres : La température a baissé de 6° (flèche orange), puis augmenté de 3° (flèche verte). Réponse: −6 + 3 = −3 Méthode des jetons 1) Il te faut des jetons de deux couleurs différentes: • Une couleur pour les nombres positifs • Une autre pour les nombres négatifs. 2) On annule chaque jeton positif avec un jeton négatif. 3) La réponse de l’opération est donnée par le nombre de jetons restants. Le signe est fourni par la couleur des jetons qui restent. Additionner deux nombres de signes différents (+,-) ou (-,+) Additionner 8 + −6 1) Il te faut des jetons de deux couleurs différentes. 8 jetons oranges pour les positifs, 6 jetons verts pour les négatifs. 2. On annule chaque jeton positif avec un jeton négatif. 3. La réponse de l’opération est donnée par le nombre de jetons restants. Le signe est fourni par la couleur des jetons qui restent. Il reste 2 jetons orange (positifs). Ainsi, 8 + −6 = 2 Additionner deux nombres de mêmes signes (+,+) ou (-,-) Additionner: 8 + 6 Les deux termes de l'addition sont positifs alors les jetons ne s'annulent pas entre eux. On les additionne: Ainsi 8 + 6 = 14 Méthode de la droite numérique Cette méthode est très visuelle. 1) On dessine une droite numérique. 2) On trace un point sur le premier terme de l'opération à effectuer. 3) Le deuxième terme de l'addition nous indique le nombre de bons à effectuer sur la droite numérique. On fait des bons vers la droite si le nombre est positif et des bons vers la gauche si le nombre est négatif. Additionner −4+8 1) On dessine une droite numérique. 2) On trace un point sur le premier terme de l'opération à effectuer (-4) 3) Le deuxième terme de l'opération est positif (8). Il nous indique qu'il faut faire 8 bons vers la droite. Réponse : −4 + 8 = 4 Additionner −1 + −4 1) On trace une droite numérique. 2) On trace un point sur le premier terme de l'opération à effectuer (-1). 3) Le deuxième terme de l'opération est négatif (-4). Il nous indique de faire 4 bons vers la gauche. Réponse : −1 + −4 = −5 La soustraction de nombres entiers relatifs Visualise cette vidéo pour obtenir une explication de la soustraction d'entiers relatifs. http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=gkpSy4k2Nrw Méthode plus rapide pour soustraire des relatifs Soustraire un relatif revient en fait à ajouter son opposé. Il suffit d'appliquer cette règle pour se ramener à une addition de relatifs. L'opposé d'un nombre relatif est le nombre qui a la même partie numérique, mais le signe contraire. Exemple l'opposé de -7 est +7 l'opposé de +3 est -3 Propriété Quand on ajoute un nombre et son opposé, le résultat est 0. Exemple Exemple La multiplication de nombres entiers relatifs La multiplication est l'opération qui consiste à faire une addition répétée. Le produit désigne le résultat de cette opération. Les facteurs correspondent à chaque composante de la multiplication, c'est-à-dire les nombres qui sont multipliés ensemble. • Lorsqu'on multiplie 2 nombres ayant le même signe, le produit sera positif. • Lorsqu'on multiplie 2 nombres ayant des signes contraires, le produit sera négatif. Exemples Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux positifs. Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux négatifs. Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents. Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents. Exemples Le résultat est positif car il y a deux facteurs négatifs et deux est un nombre pair. Le résultat est négatif car il y a cinq facteurs négatifs et cinq est un nombre impair. La division de nombres entiers relatifs Une division donne le résultat d'une multiplication à trou : (+8) ÷ (+2) = ? c'est comme ? x (+2) = (+8) ===>? = (+4), donc (+8) ÷ (+2) = (+4) (-15) ÷ (+3) = ? c'est comme ? x (+3) = (-15) ===>? = (-5 ), donc (-15) ÷ (+3) = (-5) (+24) ÷ (-6) = ? c'est comme ? x (-6) = (+24) ===>? = (-4), donc (+24) ÷ (-6) = (-4) (-14) ÷ (-7) ÷= ? c'est comme ? x (-7) = (-14) ===> ? = (+2), donc (-14) ÷ (-7) = (+2) La règle de la division découle donc de la règle sur la multiplication...et la règle des signes est la même. L’ordre des opérations La priorité des opérations est une convention qui établit un ordre à respecter pour effectuer les calculs dans une chaîne d'opérations. Voici l'ordre à suivre: 1. Les parenthèses. 2. Les exposants 3. Les divisions et multiplications (de la gauche vers la droite) 4. Les additions et les soustractions (de la gauche vers la droite) Pour se souvenir de l'ordre, on peut prendre les premières lettres de chacune des étapes et former un mot : PEDMAS. Vidéo http://www.youtube.com/watch?v=sRVNXIdU470&feature=player_embedded 1. Les parenthèses 2. Les exposants 3. Les multiplications et les divisions (de la gauche vers la droite) 4. Les additions et les soustractions