Conductance d`un circuit quantique

Conductance d’un circuit quantique
Conduction quantique et Physique mésoscopique, cours 3 PHY 560B
Gilles Montambaux users.lps.u-psud.fr/montambaux
27/01/2017 1
1
2
21
1
() 2
2
d
dF
bal F dxkW
e
WhAevG
1
12
2() 2 2e
d
dF
ddiff F kW
We l
DLAehL G
2
1
1
In2 t2
d
d
F
qkW
e
GhA
F
e
Dvl
d
Loi d’Ohm
Coefficient de diffusion
Conductance de Sharvin (balistique)
Conductance balistique quantifiée
à vérifier
plus tard
L
L
W
W
3
On mesure une conductance et pas une conductivité
La conductance dépend de la façon dont on la mesure
B
Qu’est ce que la conductance ?
Landauer-Büttiker : conductance = transmission
anneau métallique contact atomique nanotube
Gaz 2D graphène réseau de fils

Formule de Landauer
Conductance = Transmission
2
2e GT
h
Formalisme de Landauer-Büttiker
R. Landauer (1927-1999)
M. Büttiker (1950-2013)
ici, d=2
1
V2
V
1
V2
V2
2 2e
F
kW l
GhL
e
2
2
F
kW
e
Gh
G
Loi d’Ohm
conductanceIGV
Un conducteur parfait a une résistance finie !!!???
et pourtant, pas de chute de potentiel dans l’échantillon !
6
7
Réservoir
Contact
Terminal
1
V2 V
Le transport électronique entre les deux réservoirs est équivalent à la
transmission d’une onde à travers une barrière de potentiel
Fil d’amenée (lead)
diffuseur
Exemple : nanotube de carbone
11
eV  22
eV
Le fil 1D
I
8
Réservoir
Contact
Terminal
1
V2 V
Hypothèses :
•Un réservoir absorbe les électrons et les renvoie à un potentiel chimique
et une température donnés.
• Pas de relation de phase entre les électrons qui entrent et sortent dans
chaque réservoir.
•Le diffuseur est élastique.
• La résistance des réservoirs est négligeable devant celle du fil.
Fil d’amenée (lead)
diffuseur
Problème de mécanique quantique 1D
11
eV  22
eV
Le fil 1D
I

1
V2 V
diffuseur
Problème de mécanique quantique 1D
Courant porté par un électron dans un état k:k
ev
jT
L
11
eV 22
eV
12
0
2()[( ) ( )] e
I
T
f
eV
f
eV d
h
En sommant sur tous les états :
( Résultat remarquable, la vitesse a disparu )
T ( ): coefficient de transmission
Le fil 1D
cf. tableau
I
1
V2 V
diffuseur
Régime linéaire :
11
eV 22
eV
2
0
2() ef
GTd
h
Basse température :
2
2()
F
e
GT
h
21/(25812,807 )
e
h
Quantum de conductance
Le fil 1D
cf. tableau
I
11
1
V2 V
diffuseur
2
2()
F
e
GT
h
Formule de Landauer
Pas de diffuseur (conductivité infinie ?)
2
2e
Gh
Conductance finie et quantifiée !!!
Le fil 1D
I
12
1
V2 V
Où est la chute de potentiel ?
Où la puissance est-elle dissipée ?
Comment mesurer la conductance du diffuseur lui-même ?
2
2e
Gh
Le conducteur parfait a une conductance finie et quantifiée !!!
I

Profil de potentiel chimique
Pas de résistance dans l’échantillon
Résistance « de contact »
Puissance dissipée dans les contacts
12
4
m
VV h
Ie
c
R
22
12
2( )
e
P
VV
h
cf. tableau 14
Fils d’amenée et réservoirs
Institut Néel
Université de Bâle
15
résistance « 2 terminaux »
et résistance « 4 terminaux » I
16
4 vs. 2 terminaux
1
V2 V
2
12
2( )
e
IVV
h
()
A
B
IVV
Si échantillon parfait, VA=VB
A
VB V
2
22e
Gh 4
G

17
1
V2 V
221
()IGVV 4()
A
B
IGVV 
Si diffuseur, VA=VB
diffuseur
A
VB V
2
22e
GT
h
4???G
4 vs. 2 terminaux
I
Profil de potentiel 
1
V
2
V
T = 1
A
V
x
B
V
T < 1
2
V
A
V
B
V
1
V
Balistique
Un diffuseur
saut de potentiel AUX contacts
2
22e
Gh
4
G
2
421
eT
GhT
2
22e
GT
h
Pas de dissipation dans le fil
1
V2 V
2
12
2( )
e
I
TV V
h
 2
2( )
A
B
eT
IVV
hR
2
22e
GT
h
2
42eT
GhR
conductance « 2 terminaux » conductance « 4 terminaux »
A
VB V
19
4 vs. 2 terminaux
I
12
()
AB
VV RVV
12AABB
VVVVVV
I
II
2
R
2c4c
RRRR
La résistance « 2fils » est l’addition en série
de la résistance « 4fils » et des deux résistances de contact
2
22e
GT
h
2
42eT
GhR
20
T < 1
2
V
A
V
B
V
1
V
4 vs. 2 terminaux