Conductance d`un circuit quantique

Loi d’Ohm
Gdiff  e 2 D  ( F )
D
W d 1
e2  k W 
 2 Ad  F 
L
h
 2 
vF le
d
d 1
le
L
W
Coefficient de diffusion
L
Conductance de Sharvin (balistique)
Conductance d’un circuit quantique
Gbal  e 2 vx
 ( F )W d 1  2

e2
k W 
Ad 1  F 
h
 2 
d 1
W
L
Conductance balistique quantifiée
Conduction quantique et Physique mésoscopique, cours 3
Gilles Montambaux
PHY 560B
users.lps.u-psud.fr/montambaux
27/01/2017
d 1

e2
k W  
Gq  2 Int  Ad 1  F  
h
 2  

à vérifier
plus tard
1
Qu’est ce que la conductance ?
anneau métallique
Gaz 2D
contact atomique
graphène
nanotube
réseau de fils
B
On mesure une conductance et pas une conductivité
La conductance dépend de la façon dont on la mesure
3
Landauer-Büttiker : conductance = transmission
I  GV
conductance
ici, d=2
Conductance = Transmission
e2
G2 T
h
Formule de Landauer
V2
V1
G2
e 2 k FW  le
h  2L
Loi d’Ohm
R. Landauer (1927-1999)
V2
V1
G2
e 2 k FW
h 
G
Un conducteur parfait a une résistance finie !!!???
Formalisme de Landauer-Büttiker
M. Büttiker (1950-2013)
Le fil 1D
et pourtant, pas de chute de potentiel dans l’échantillon !
Le fil 1D
1    eV1
diffuseur
V1
Exemple : nanotube de carbone
Réservoir
Contact
Terminal
diffuseur
V1
1    eV1
V2
I
Fil d’amenée (lead)
•Un réservoir absorbe les électrons et les renvoie à un potentiel chimique
et une température donnés.
• Pas de relation de phase entre les électrons qui entrent et sortent dans
chaque réservoir.
•Le diffuseur est élastique.
• La résistance des réservoirs est négligeable devant celle du fil.
 2    eV2
Fil d’amenée (lead)
Le transport électronique entre les deux réservoirs est équivalent à la
transmission d’une onde à travers une barrière de potentiel
 2    eV2
Hypothèses :
V2
I
Réservoir
Contact
Terminal
6
Problème de mécanique quantique 1D
7
8
Le fil 1D
Le fil 1D
diffuseur
V1
diffuseur
V1
 2    eV2
1    eV1
I
1    eV1
Problème de mécanique quantique 1D
T ()
Régime linéaire :
ev
j kT
L
Courant porté par un électron dans un état k :
En sommant sur tous les états :
V2
: coefficient de transmission
2e 
I    T ( )[ f (  eV1 )  f (  eV2 )]d 
h 0
2e 2
G
h
Basse température :
2e 2
G
T ( F )
h
V2
I
 2    eV2


0
T ( )
f
d

Quantum de conductance
e2
 1/(25812,807)
h
cf. tableau
( Résultat remarquable, la vitesse a disparu )
Le fil 1D
cf. tableau
Le conducteur parfait a une conductance finie et quantifiée !!!
diffuseur
V1
Formule de Landauer
I
V2
V1
2e 2
G
T ( F )
h
I
V2
2e 2
G
h
Pas de diffuseur (conductivité infinie ?)
Où est la chute de potentiel ?
2e 2
G
h
Où la puissance est-elle dissipée ?
Comment mesurer la conductance du diffuseur lui-même ?
Conductance finie et quantifiée !!!
11
12
Profil de potentiel chimique
Université de Bâle
Pas de résistance dans l’échantillon
Résistance « de contact »
V V
h
Rc  1 m  2
I
4e
Puissance dissipée dans les contacts
P2
Institut Néel
e2
(V1  V2 ) 2
h
Fils d’amenée et réservoirs
cf. tableau
14
4 vs. 2 terminaux
VA
résistance « 2 terminaux »
VB
V1
V2
I
et résistance « 4 terminaux »
Si échantillon parfait, VA=VB
15
e2
I  2 (V1  V2 )
h
e2
G2  2
h
I    (VA  VB )
G4  
16
4 vs. 2 terminaux

Profil de potentiel
VA
x
Balistique
VB
G2  2
e2
h
G4  
V1
diffuseur
V1
V2
V2
I
VA
Si diffuseur, VA=VB
T=1
VB
saut de potentiel AUX contacts
Un diffuseur
I  G4 (VA  VB )
I  G2 (V1  V2 )
e2
G2  2 T
h
V1
V2
VA
G4  ???
T<1
17
4 vs. 2 terminaux
G2  2
e2
T
h
G4  2
e2 T
h 1 T
VB
Pas de dissipation dans le fil
4 vs. 2 terminaux
VA
VB
V1
V1
V2
T<1
I
e2
I  2 T (V1  V2 )
h
e2 T
I 2
(VA  VB )
h R
e2
G2  2 T
h
e2 T
G4  2
h R
conductance « 2 terminaux »
V2
VA
VB
VA  VB  R(V1  V2 )
R2 
V1  VA VA  VB VB  V2


I
I
I
R2  Rc  R4  Rc
conductance « 4 terminaux »
19
La résistance « 2fils » est l’addition en série
de la résistance « 4fils » et des deux résistances de contact
G2  2
e2
T
h
G4  2
e2 T
h R
20
Four terminal resistance of a ballistic quantum wire (2001)
V1
V2
2
Source
Drain
e2
G2  2
h
« cleaved-edge overgrowth »
G4  
V1
Source
R. De Picciotto et al., Four terminal resistance of a ballistic quantum wire, Nature 411, 51 (2001)
1
2
VA
21
3
V2
VB
Landauer-Büttiker « multiprobe formula »
Relation générale entre les courants et les tensions
Généraliser la formule de Landauer
pour un circuit quelconque à plusieurs terminaux
la résistance « 4 fils » est nulle
La résistance « 2 fils » est quantifiée
en PC
Drain
22
Transmission et matrice de « scattering »
i
o’
o
 i  r
  S 
 o '
 i '  t
T  t
i
i’
o
2
Propriétés de la matrice de scattering
R  r
t '  i 
 
r '  i '
o’
o
s
S   11
 s21
s12 

s22 
i’
Conservation du courant ( unitarité )
S †S  1
T  R 1
Invariance par renversement du sens du temps
S t  B  S ( B )
2
25
sij  B  s ji ( B )
26