Oscillateur mécanique Oscillation forcée résonance I

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Oscillateur mécanique
Oscillation forcée résonance
I- Etude expérimentale
1/ Mise en évidence
• Lorsque le moteur tourne, il transmet
périodiquement des excitations au
pendule élastique. Le moteur est alors
appelé excitateur :c’est le système qui
fournit de l’énergie.
• Le pendule élastique est forcé à osciller
avec des périodes différentes de sa
période propre imposées par
l’excitateur. Le pendule élastique est
alors appelé résonateur.
• Le fil : c’est le système de transmission
d’énergie.
2/ Expérience
Cas d’un amortissement faible
On constate que si on change la fréquence de l’excitateur, l’amplitude du
mouvement du corps C change. Alors on se propose dans cette expérience de
suivre l’évolution de l’amplitude maximale X
m
de C en fonction de la
fréquence de l’excitateur.
a- Tableau de mesures
N
e
(Hz) 0,5 0,9 1,2 1,4 1,6 1,8 1,85 1,9 2,0 2,1 2,4 2,6 2,8 3 3,4
X
m
(cm) 4,8 5 4,5
A l’aide d’un chronomètre on mesure la période propre de l’oscillateur et on
déduit sa fréquence propre. T
0
= 0,5 s ; N
0
= 2 Hz.
M
Sy. De couplage
R
C

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b- Courbe X
m
en fonction de N
e
On constate que X
m
prend une valeur
maximale pour N
e
= 1,8 Hz < N
0
Pour cette valeur de fréquence notée N
R
, on dit que
l’oscillateur entre en résonance
d’amplitude.
II- Etude théorique
1/ Résonance d’amplitude
a- Equation différentielle
Un système non représenté exerce sur le solide
S une force
F
r
= F
m
sin(ωt + ϕ
F
).
i
r
On applique la R.F.D au système
{
}
S
∑
=amF
ext
r
r
Bilan des forces
Fetf,R,P,T
r
r
r
r
r
: forces extérieures.
f
r
est la force de frottement
v
h
f
r
r
−
=
;
F
r
force excitatrice
f
r
+
R
r
+
P
r
+
T
r
+
F
r
=
a
m
r
après projection T + f + F = ma
⇔
– Kx- hv + F = ma
⇔
ma + hv + Kx = F
FKx
dt
dx
h
dt
xd
m2
2=++
(1) équation différentielle d’un oscillateur mécanique
en oscillations forcées.
b- Construction de Fresnel
On pose x = X
m
sin(w
e
t + ϕ
x
) et F
e
= F
m
sin(w
e
)
Kx = KX
m
sin(w
e
.t + ϕ
x
) ),KX(V
xm1
ϕ
r
dt
dx
h = hw
e
X
m
sin(w
e
t+ ϕ
x
+ π /2) )
2
,Xhw(V
xme2
π
+ϕ
r
=
2
2
dt
xd
m mw
e2
X
m
sin(w
e
t+ ϕ
x
+ π ) ),Xmw(V
xm
2
e3
π+ϕ
r
F
e
= F
e
sin(w
e
t) )0,F(V
m
r
Trois cas se présentent
• Cas où w
e
< w
0
ϕ
= 0 rad
KX
m
hw
e
X
m
mw
e
2
X
m
F
m
ϕ
x
X
m
N
e
N
R
i
o
T
l
0

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• Cas où w
e
= w
0
• Cas où w
e
> w
0
Remarque
Dans les trois cas l’élongation x(t) est en retard de phase par rapport à la force
excitatrice F
e
.
c- Expression de X
m
et de tg( ϕ
Fe
- ϕ
x
)
D’après la propriété du triangle rectangle ( Pythagore ), on a :
F
m2
= ( K – mw
e2
).X
m2
+ h
2
w
e2
X
m2
d’où
2222 m
m
)mwK(wh
F
X−+ = et
)ww(m
hw
mwK
hw
)(tg
2
e
2
0
e
2
e
e
xF
e
−
=
−
=ϕ−ϕ
d- Résonance d’amplitude
Déterminons pour qu’elle valeur de w
e
, X
m
admette un maximum.
0)mw2)(mwK(2wh20))mwk(wh(
dw
d
e
2
ee
222
e
2
e
2
e
=−−+⇔=−+
2
2
2
0ee
2
e
22
e
m
2
h
ww0wOr0)wm4Km4h2(w −=⇔≠=+−⇔
22
2
2
0e
m
8
h
NNou
π
−= appelée fréquence de résonance notée N
R
.
ϕ
= 0 rad
KX
m
hw
e
X
m
mw
e
2
X
m
F
m
ϕ
x
ϕ
= 0 rad
KX
m
hw
e
X
m
mw
e
2
X
m
F
m
ϕ
x

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On constate que N
e
< N
0
.
On constate aussi que plus l’amortissement
est faible ( h est faible ), plus N
e
est faible et
plus la différence entre la fréquence de
résonance et la fréquence propre est
importante.
Remarque
Pour le cas d’un amortissement très faible
(h ≅ 0)
)ww(m F mwK F
X
2
e
2
0
m
2
e
m
m
−
=
−
= Si
∞
→
→
m0
X;ww
2/ Résonance de vitesse
a- Equation différentielle
Reprenons l’équation différentielle d’un oscillateur mécanique forcé.
FeKx
dt
dx
h
dt
xd
m
2
2
=++ on peut écrire aussi Fedt.v
w
K
hv
dt
dv
m
e
=++
∫
b- Construction de Fresnel
On pose v = V
m
sin(w
e
t + ϕ
v
) et F
e
= F
m
sin(w
e
)
hv = hv
m
sin(w
e
.t + ϕ
v
) ),hV(V
vm1
ϕ
r
dt
dv
m= mw
e
V
m
sin(w
e
t+ ϕ
v
+ π /2) )
2
,Vmw(V
vme2
π
+ϕ
r
=
∫
vdt
w
K
e e
w
K V
m
sin(w
e
t+ ϕ
v
- π /2) ),Xmw(V
xm
2
e3
π+ϕ
r
F
e
= F
e
sin(w
e
t) )0,F(V
m
r
X
m
N
e
Résonance aiguë
Résonance floue
X
m
N
e
N
0
ϕ
= 0 rad
hV
m
mw
e
V
m
m
e
V
w
K
F
m
ϕ
v
Cas où mw
e
>
e
w
K
ou w
e
> w
0
N
R1
N
R2
N
R3

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c- Expression de V
m
et de tg( ϕ
Fe
- ϕ
v
)
D’après la propriété du triangle rectangle ( Pythagore ), on a :
2
e
e
2
m
m
2
e
e
2
m
22
m
)
w
K
mw(h
F
V)
w
K
mw(VhF −+ =⇔−+= .
m
m
m
Z
V
F=appelée impédance mécanique.
h
w
K
mw
)(tg
e
e
VF
−
=ϕ−ϕ
d- Résonance de vitesse
La résonance de vitesse lorsque mw
e
=
e
w
K
ou w
e
= w
0
A la résonance de vitesse on a :
• V
m
=
h
F
m
la résonance est d’autant plus aiguë que h est faible.
• F
m
hV
m
la force excitatrice est directement opposée à la force de
frottement.
• 0)(tg
VF
=
ϕ
−
ϕ
car ϕ
Fe
= ϕ
v
III- Généralisation
Un oscillateur est en résonance, lorsqu-il reçoit périodiquement de l’énergie de
la part d’un excitateur sous un période comparable à sa période propre. On
distingue deux types de résonance : une résonance d’amplitude et une
résonance de vitesse.
IV- Exemples de résonance d’amplitude
• Catastrophe du pont d’Angers 1850
• Gyroscope à lames
• Vibration des pièces d’une machine