Chapitre 12 : Division euclidienne I- Poser une division euclidienne Vocabulaire : Dividende Diviseur Quotient Reste Dans une division euclidienne, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers. Propriété : On a l’égalité : dividende = (diviseur x quotient) + reste avec reste < diviseur Exemple : Poser la division euclidienne de 3 928 par 17. - 3 9 3 4 - 2 8 5 2 5 1 8 1 8 1 7 - 1 7 2 3 1 aide : on écrit une partie de la table de 17 17 × 1 = 17 1 17 × 2 = 34 17 × 3 = 51 17 × 4 = 68 17 × 5 = 85 Dans la division euclidienne de 3 928 par 17, le quotient est 231 et le reste est 1 On a l’égalité : 3 3928 = (17 x 231) + 1 . Le reste 1 est bien inférieur au diviseur 17. II- Multiples et diviseurs d’un nombre entier 1) Vocabulaire Exemple : Poser la division euclidienne de 105 par 7. 1 0 - 7 - 5 7 1 3 5 3 5 5 0 Dans la division euclidienne de 105 par 7, le quotient est 15 et le reste est 0. On a donc l’égalité : 105 = 7 x 15 Vocabulaire : Comme 105 = 7 x 15 • 105 est un multiple de 7 et de 15 • 105 est divisible par 7 et par 15 • 7 et 15 sont des diviseurs de 105 • 7 et 15 divisent 105 attention : les multiples et les diviseurs d’un nombre entier sont aussi des nombres entiers ! 2e Exemple : 6 324 est-il un multiple de 31 ? aide : on écrit une partie de la table de 31 31 × 1 = 31 - 6 3 6 2 1 - 1 1 2 4 3 1 2 0 4 2 0 2 2 31 × 2 = 62 31 × 3 = 93 31 × 4 = 124 4 4 31 × 5 = 155 0 Comme le reste de la division euclidienne de 6 324 par 31 est égal à 0 on a 6 324 = 31 x 204. Donc 6 324 est un multiple de 31. On dit aussi que : - 6324 est divisible par 31. - 31 est un diviseur de 6 324. - 31 divise 6 324 2) Critères de divisibilité Par 10 : Un nombre est divisible par 10 lorsqu’il se termine par zéro. Exemples : • 30 ; 420 ; 6 500 ; 13 080 … sont divisibles par 10 • 51 ; 38 ; 147 ; 1 689 ; 32 076 … ne sont pas divisibles par 10. Par 5 : Un nombre est divisible par 5 lorsqu’il se termine par 0 ou par 5. Exemples : • 15 ; 60 ; 345 ; 780 ; 4 600 ; 28 735 … sont divisibles par 5. • 64 ; 107 ; 891 ; 1 323 … ne sont pas divisibles par 5. Par 2 : Un nombre est divisible par 2 lorsqu’il est pair (C’est-à-dire s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.) Exemples : • 36 ; 512 ; 1 724 ; 45 838 … sont divisibles par 2. • 47 ; 601 ; 1 283 ; 71 325 … ne sont pas divisibles par 2. Par 4 : Un nombre est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est dans la table de 4. Exemples : • 124 ; 532 ; 1 608 ; 57 016 … sont divisibles par 4. • 826 ; 341 ; 1 814 ; 25 669 … ne sont pas divisibles par 4. Par 3 : Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table de 3. Exemples : • 3 195 : 3 + 1 + 9 + 5 = 18. 18 est dans la table de 3, donc 3 195 est divisible par 3. • 19 204 : 1 + 9 + 2 + 0 + 4 = 16 16 n’est pas dans la table de 3, donc 19 204 n’est pas divisible par 3. Par 9 : Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table de 9. Exemples : • 147 357 : 1 + 4 + 7 + 3 + 5 + 7 = 27 27 est dans la table de 9, donc 147 357 est divisible par 9. • 490 : 4 + 9 + 0 = 13 13 n’est pas dans la table de 9 donc 490 n’est pas divisible par 9 III- Résoudre un problème Enoncé : Paul a une collection de 344 timbres. Il souhaite les ranger dans un album. Chaque page de cet album peut contenir 25 timbres. De combien de pages aura-t-il besoin pour ranger tous ses timbres ? Solution : 3 4 4 2 5 Dans la division euclidienne de 344 par 25, le quotient est 13 et le reste est 19. - 2 5 On a donc l’égalité : 324 = (25 x 13) + 19 0 9 4 Il y aura 13 pages complètes et une page contenant 19 timbres. - Donc Paul utilisera 14 pages de son album. 7 5 1 9 1 3