s de A. Grothendieck

SGA 7
Expos@
I
Rgsum@ des premiers
expos@s
de A. Grothendieck
r~dig~ par P. Deligne
Sommaire
O. Pr~liminaires
]. Dgmonstration
2. Cycles
arithm~tique
du th~or~me
de monodromie
~vanescents
3. D~monstration
4. Crit~res
g~om~trique
de nullit~
du th~or~me
de monodromie
pour les faisceaux
5. Action de la monodromie
de cycles
~vanescents
sur les ~I
6. Appendice par P. Deligne : d~monstration
th~or~me de r~duction stable
arithm~tique
du
O. Pr~liminaires
0.0. Terminologie.
(0.0.])
trait
les points
Rappelons
: spectre
g~n~riques
rablement
clos.
(0.0.3)
point g~om~trique
hensglien
d'image
de
V
local
~ ) de
nit un point
k(~)
: spectre
de
= dfn ~
S = Spec(V)
dans
: pour un anneau
Pour un schema
, k(x)
:
discrete.
On note souvent
n
et
s
et fermgs d'un trait.
strictement
x.'~S
suivantes
d'un anneau de valuation
(0.0.2)
d'image
les d~finitions
S
~tant une clSture
, on note
souvent
est une extension
s
de
S
~ corps r~siduel
s~pa-
d'un tel anneau.
(dans cet expose)
S . Le corps r~siduel
g~om~trique
: local hensglien
n
s~parable
un point
de l'anneau
alg~brique
localis~
en
: morphisme
de
k(x)
g~om~trique
de valuation
s~parablement
s .
x : Spec(k)
. Pour un trait
g~n~rique
V
> S
clSture
close de
k(s)
(i.e.
intggrale
et d~fi-
-
(0.0.4)
localis~ strict de
(0.0.5)
essentiellement de type fini sur
hens~lien,
X
2
-
I
en le point ggomgtrique
resp. strictement local)
x
: SGA 4 Vlll 4.4.
S : pour un S-schema local (resp. local
: spectre d'un anneau local (resp. de l'hens~lis~
d'un anneau local, resp. localis~ strict) d'un schgma de type fini sur
(0.0.6)
F i
(0.0.7)
Un endomorphisme
unipotent
si ses valeurs propres sont des racines de l'unit~,
M > I
0.|.
> F(n)
S .
: twist ~ la Tate,
T
d'un espace vectoriel de dimension finie est quasii.e. s'il existe N ~ I ,
tels que (T N - I) M = 0 .
Rappels sur la cohomologie ~-adique
Soit
X
un schema de type fini sur un corps alg~briquement clos
sant caract~ristique
p
et
%
un nombre premier premier g
Les groupes de cohomologie
~-adique de
X
k
d'expo-
p .
ont gt~ d~finis dans SGA 4 et
SGA 5.
a) Hi(x,z/% n)
valeurs dans
est le i time groupe de cohomologie du site gtale
Xet
de
X
Z/% n ;
b) par dfifinition,
Hi(x,z~)
c) par dfifinition,
H i (X,Q~) = Hi (X,Z~) @Z~ ~
Les groupes de eohomologie
de m~me ~ partir des
HI(X,Z/% n)
= ~im HI(X,Z/~ n)
;
%-adique ~ supports propres de
X
sont d~finis
de SGA 4 XVII.
C
Dans chacun des cas suivants,
des proprigtgs de finitude raisonnables
on sait prouver que ces groupes
en cohomologie ~ support propre
(0.1.2)
pour
X
propre sur
(0.1.3)
pour
X
lisse sur
(0.1.4)
lorsqu'on dispose de la rSsolution des singularit~s
(0.1.5)
pour
;
k ;
k (grace ~
a)
et g la dualit~ de Poincar~ SGA 4 XVlII)
k , de dimension 4 dim(X)
i = 0, I .
ont
:
(0.1.1)
sch6mas de type fini sur
H6(X)
;
g la Hironoka pour les
;
-
Dans tous ces cas, les
les H i ( x , ~ )
exactes
O
de dimension
courtes
scindfies
~Hi(X,Z~)
@ Z/~ n
De plus,
Hi(x,z/~ n)
R1f
Z/~ n
I
sont finis,
finie et (sauf peut-~tre
int~gre
S
ggngrique
et que
X
il existe un ouvert non vide
soient localement
constants
les Hi(x,Z~)
pour (0.1.5))
de type fini,
on dispose de suites
> TorI(Hi+I(x,z~),z/~n)
du th~orgme de finitude
tion d'un thgorgme de constructibilit~
(de type fini),
-
~ Hi(x,z/~ n)
la dgmonstration
d'un schema nogthgrien
3
~ O .
fournit chaque fois une d~monstra: si
k
est le corps des fractions
est la fibre g~n~rique
Uc
S
tel que, sur
de formation compatible
de
fl : XI
•~ S
U , les
~ tout changement
de
base.
0.2.
Ne supposons
plus
k
alg~briquement
cela reviendrait
i
"ggomgtriques"
H (X~)
clos, et soit
(ou sgparable,
au m~me) de
mologie
(X~
scalaires
de
k
g
(0.1.5),
lin~aire
0.3.
En
Rappels
Q%-cohomologie,
sur les traits
, s , V , V , n , s
k(s)
et
dans
corps de
k(~)
le groupe de Galois
Gal(k/k)
lorsqu'on est dans l'un des cas (0.l.l)
continues
de
Gal(k/k)
Gal(~/~)
(resp.
(en fait sur)
d~fini par
Le quotient
on renvoie g [4]. Soient
comme en (0.0.I)
Le groupe profini
p-groupe.
par extension des
dans un groupe
(0,0.1)
Gal(s/s)
...). Par transport de structure,
Gal(~/n)
X
les groupes de coho-
.
Pour les d~monstrations,
de
k . Nous consid~rerons
de structure,
on obtient ainsi des representations
GL(n,~%)
une clSture alg~brique
est le schgma d~duit de
k ). Par transport
agit sur ces groupes.
k
I/P
p
agit sur
k(s)
un trait hensglienj
l'exposant
) le groupe de Galois
Gal(~/~)
Gal(s/s)
I
(0.0.3). On note
S
Gal(k(~)/k(n))
, de noyau le groupe d'inertie
admet un plus grand sous-groupe
est le groupe d'inertie modern.
I/P --~J lim
n
(resp.
, d'o~ une application de
est une extension non ramifige maximale
I
caract~ristique
P
I . Le sousde
k(~)
qui soit un pro-
On a canoniquement
~ (k(~)) = dfn Z(1) (k(s))
n
-
Si
~
est l'application canonique de
4
-
I/P
I
dans
~ (k) , et que
n
de
u
est un ~l~ment
n
V
de valuation
I/n , on a pour
o ~ I
O(u) ~ ~n(U).U
(mod. ~l~ments de valuation > I/n),
En r~sum~, on a :
(0.3.1)
Gal(~/q) ~
I ~
Gal(~/n)/I
P ,
---~GaI(7/s)
,
^
~/P
"~
P
Z(1)(k(~))
,
: pro-p-groupe
et l'action (par automorphismes
( {e}
si
p = I )
intgrieurs dans
,
Gal(]/n)) de
GaI(~/D)/I
sur
I/P
^
s'identifie ~ l'action naturelle de
0.4.
Soit plus g~n~ralement
dans
S
et
p'
S
Gal(s/s)
strictement
l'exposant caract~ristique
point g~om~trique g~n~rique de
s , qui s'en d~duit. D'apr~s
S
et
s
~I(S-D,~)
~
I
~
Z(1)(k(s))
local r~gulier, D
un diviseur rggulier
du point g~n~rique de
le point ggom~trique
le lemme d'Abhyankar,
admet un d~vissage analogue ~ (0.3.1)
(0.4.])
sur
D . Soient
~
un
localis~ au point fermg
le groupe fondamental
~I(S-D,~)
:
P
~I(S-D,~)/I----GaI(7/s)
^
=
i/v
P
Z(1)(k(~))
:
sans quotient d'ordre premier ~
L'action par automorphismes
int~rieurs de
KI(S-D,~)/I
p'
sur
I/P
s'identifie
^
l'action naturelle de
0.5.
Gal(s/s)
sur
Z(1)(k(s))
La d~singularisation de N~ron
La m~thode de d~singularisation de N~ron fournit le r~sultat suivant
Lemme 0.5.1.
Soit
S
> S
un morphisme de traits hens~liens,
avec
:
S = Spec(V)
O
S
= Spec(V o)
O
sante de
Alors,
et
~
une uniformisante de
- -
est
limite
inductive
de
k(s)/k(s o)
B.
i
sur
V
O
et
k(n)/k(no)
V -algfibres hensfiliennes
0
de type fini
. On suppose que
K
est une uniformi-
O
V , et que les extensions
V
V
sont s~parables.
lisses
et essentiellement
,
-
Pour construire
les V -alg~bres
5
-
I
voulues,
on prend
V
O
type fini, et on d~singularise
Soit
(0.5.2)
Si
(0.5.1)
pour
S = Spec(V)
S
l'extension
avec
B CV
B
de
Spec(B)
~ la N~ron
(~I]
§ 4).
un trait hens~lien.
est d'~gale
caractgristique,
So = F p ~ ] ( ~ )
n/n
C
o
. L'extension
l'est car
~
d'uniformisante
s/so
~
est s~parable
, gtant une uniformisante,
, on peut appliquer
car
Ep
est parfait,
n'est pas une puissance
o
p
leme
(si
p # 1 )donc
fait partie
d'une p-base.
speetres
de Ep[~](~)-alg~bre~_
hens~liennes
(0.5.3)
Si
d'inggale
V
S
est complet,
est une extension
Cohen)
d'Eisenstein
On trouve que
lisses essentiellement
caract~ristique,
de l'anneau
S
est limite de
de type fini.
g corps rgsiduel
des vecteurs
de Witt
parfait
k ,
( = anneau de
W(k)
n-I
V ~
W(k)
E~.~ /( n +
ai ~)
0
Si on perturbe
a.
un peu les
, on trouve une extension
isomorphe.
On peut donc suppo-
L
ser les
a.. dans
W(k')
, avec
k'
de type fini sur
F
i
faite de
k'
dans
• Soit
= W(k ) E~]/(~ n +
o
la cl$ture par-
o
s'applique
O
~
n-I
~ a. l )
i
O
V/V
, et le corps
r@siduel
de
O
radicielle
k
k et
V
Le lemme 0.5.1
p
V
est une extension
o
d'un corps de type fini sur
F
P
I.
D@monstration
arithm@tique
Le lecteur
du th@orgme
trouvera dans
de monodromie
[5], Appendice,
une d@monstration
du r@sultat
suivant
de A. Grothendieck.
Proposition
1.1.
Soient
sant caract~ristique
dans
GL(n,Q%)
(~)
d'ordre
Aucune
p
S
de
. On suppose
extension
une puissance
de
un trait hens~lien,
k(s)
remplie
finie de
% .
et
p
un nombre premier
une representation
la condition
k(s)
%
suivante
ne contient
continue
premier
de
~ l'expo-
Gal(~/~)
:
toutes
les racines
de l'unit~
-
Alors,
p(o)
il existe un sous-groupe
soit unipotent
pour
La condition
le corps premier
de
suivant
de monodromie
type fini sur
n
et
d'un quelconque
Variante
et
ouvert
~igment
11
v~rifige
aussit3t
I
tel que
pour
k(s)
de type fini sur
de 1.1.
Avec les notations
prgc~dentes,
un espace de cohomologie
de
d u groupe d'inertie
sur un tel corps).
(1.1.1) ~ (1.1.5).
Les r~sultats
l'hypothgse
I
11
r~sulte
1.2.
H
--
l'un des types
-
(~%) est automatiquement
(ou radiciel
Le thgor~me
Th~or~me
o E
6
I
sur
de passage
de
X
un sohgma de
X-q , g coefficients
Si la condition
H
soit
(~%) est v~rifige,
dans
~
,
l'action
est quasi-unipotente.
g la limite O,5 permettent
de se d~barasser
de
(±~).
1.3,
La condition
Soit
H'
0
(X%) dans
un espace de
Ho = H'/torsiOn.o
1.2 est superflue.
Z%-cohomologie
On a par hypoth~se
de
X- qui donne naissance
r]
H = H ° @Z Q~ , et l'action
de
~
H
se
Gal(~/q)
dgduit de
P : Gal(~/n)
Soit
I%,
le plus grand sous-groupe
un groupe de Lie ~-adique premier ~
Proc~dons
(SGA 4 XVI 6.6)
fini dans
g une extension
et
I/P
p(l')
on peut supposer
parfait
quons
S
(EGA OiI I
Posons
(0.5.1).
g
% de
I . Son image dans
est
GL(H )
o
~ ,donc est finie.
de trait
S'
> S • Ceci ne change pas
fini dans
0(I)
, car
II suffit donc de prouver
I'/P'
H
o
est d'indice
le thgor~me
sur
S'
:
que
a) Gal(~/~)
b) s i
premier
est d'indice
et ce qui prgc~de.
....GL(Ho)
agit trivialement
sur
H /~H
o
o
est d'infigale c a r a c t ~ r i s t i q u e ,
S
est complet
g corps r~siduel
10.3.1).
S = Spec(V)
, d~finissons
V
o
comme en (0.5.2)
On a
V = li~ B i
et (0.5.3)
et appli-
-
avec
S. = Spec(B.)
1
1
d'fiquation
tordu
essentiellement
~ = 0 . Pour
~i
sur
i
S. - D.
I
i
7
I
lisse de type fini sur
assez grand,
(d'apr~s
-
H°
provient
V
d'un
la "construetibilit~
0
. Soit
D . C _ S.
i
I
Z -faisceau
gfinfirique" (0.I))
constant
et
~i/~i
est constant.
Les d~vissages
(0.3.1)
et (0.4.1)
donnent
lieu g des diagrammes
con~nutatifs
:
A
Gal(~/~)
~
1
(1.3.1)
et la representation
o
, triviale
P.
i
sur
H
~
1.4.
d e Gal(-D/n)
de
o
H /~H
o
o
Reprenons
dans
est fini. Alors,
2. Cycles
P
I.i ~
I/P
de
groupe
Ker(GL(H)
Z(1)
la variante
que
~l(Si-Di,~)
~ GL(H/~H))
de 0.4 et soit
. On suppose
I
~.s
se d~duit d'une action de
les notations
l'action
Z(1)
!I
l./e.
i i
et on applique
Gal(n,~%)
~'~
I
P.i
Gal(~/~)
, Le
agit donc trivialement,
Variante
~
I I
EI(Si-Di,~)
H
I
k(s)
est
suivante
0
de
un
pro-~-groupe
i.I.
une representation
v~rifie
(~%)
sur
et que
continue
p(P)
est quasi-unipotente.
~vanescents
2.1.
Soit
S
un trait strictement
hypoth~se,
on a ici
formalisme
des cycles ~vanescents
cohomologies
de
X
s = ~ . Soit
et de
s
g partir d'informations
Un r~sultat
selon lequel pour
Dans
f : X
et reprenons
~
f
propre
la thgorie
(sur
et lisse
X
dans
s
la relation
du groupe d'inertie
si
le disque
et
X-
de 0.3. Par
un schema de type fini sur
X ) sur le morphisme
transcendante,
X
les notations
est un outil pour ~tudier
X- , et l'action
~
locales
S
clef de ce type est le th~orgme
d'un espace analytique
comme suit
local,
S . Le
entre
sur celle de
les
X- ,
f .
de sp~cialisation
SGA 4 XVI 2.2,
ont mSme cohomologie.
f : X
> D
D , les cycles
est un morphisme
~vanescents
propre
apparaissent
:
a) Quitte
que au-dessus
~ rapetisser
du disque ~point~
D , on peut supposer
D~
(th~or~me
que
d'isotopie
X
est un fibrg topologi-
de Thom).
Les fibres
;
- 8 -
X
t
( t ~ D~ )
sont en particulier
toutes
b) II n'est pas d~raisonnable
I
isomorphes.
de se representer
la fibre spgciale
X
comme
S
dgduite
de "la"
fibre
: X t .... ~ Xs
rence entre
ggnfirale
. La m~thode
X
t
par
des cycles
les cohomologies
de
X
contraction
de p o l y g d r e s
6vanescents
consiste
et
s
X
~ l'aide
t
dans
X
t
: on a u r a i t
alors ~ 6tudier
de la suite spectrale
la diffede Leray
de
La th~orie
g6om~trique
expliqu6e
transcendante
; il faut remplacer
g6n6rique
S . Inversement,
de
g6om6trique,
Xt
ou
X-
en rempla£ant
par
X xD
on perd parfois
2.2.
le point g6n6ral
on peut calquer
t
~
ou
n
, ~
est tr&s proche de cette thgorie
tED
par
la th6orie
par le revStement
. Ce faisant,
q , le point g6om&trique
transcendance
universel
on se d~barasse
sur la th6orie
~
de nombreux
de
E
et
D ~ , et
q
, mais
de l'information.
Fixons un anneau de torsion
A = z/~nz
ci-dessous
premier
&
A
dans
p ). Soient
p
les morphismes
i
X
lequel
soit inversible
(par exemple
:
) X <
X-
n
S
f~
s
Les faisceaux
de cycles
~ S~
6vanescents
(2.2.1)
Si
f
i
est propre,
i~
et la suite spectrale
spectrale
Xs
sont les
= i • R i ]~ A
:
HP(x,R q ]~ A)
de Leray pour
]
HP(Xs,~q)
Lorsque
sur
n
on a (SGA 4 XII 5.5)
(2.2.2)
(2.2.3)
~i
n ~
~
de propret6.
voit d6j~ sur le cas trivial
X
= @ •
S
j±
A)
se r~crit
rien ne se passe ~ l'infini,
sans hypoth~se
t,J , HP(Xs,i~Rq
HP+q(X~,A)
on peut parfois
obtenir
Qu'il faille quelque hypoth~se
cette suite
~ l'infini
se
-
9
-
On tire aussitSt des d@finitions
Proposition 2.3.
X(~)
Soient
x
X(~)
X
sur
Lg oO
f
Le groupe
=
XS
la fibre g~om@trique g@n@rique de
Hi ( X ( ~ ) ~ , ) A
=
~i = 0
p0ur i > 0 et
4° = A
[@gal par hypoth~se au groupe d'inertie)
Gal(~/n)
i
dans
Soient
agit par trans-
, et
La suite spectrale 2.2.3 est
Variante 2.6.
S
X(R)~
On a
est lisse,
port de structure sur les
X
et
X s (par exemple un point ferm@)
SGA 4 XV 2.1.
C'est
Scholie 2.5.
e__n_n R
S .
@i
Corollaire 2.4.
:
un point g@om@trique de
l'henselis@ strict de
la projection de
I
S = Spec(V)
et
Gal(~/n)-@quivariante.
X = X ×S ~ "
X~
est le compl@ment de
X . Posons
i
i+I
, =H x
(~ ,A)
S
(faisceaux de cohomologie ~ support). On a une suite exacte de faisceaux
0
> 4
-1
i
i > 0 , des isomorphismes
et, pour
>
>A
o
>
>
i
4°
. Pour
....> 0
f
4i
lisse, les
sont
nuls.
Posons
i
i (~
~gl = HX
, A)
(analogue global des
~i ). On dispose d'une
S
suite spectrale
(2.6.1)
HP(Xs,~q ) -
--~ ~gl q
et d'une suite exacte longue de cohomologie qui, pour
(2 .6.2)
.
.
Variante 2.7.
On pose
Soit
K
t
gl
l'extension mod@r@ment ramifi@e maximale de
X t = X x S Spec(Kt)
des variantes mod@r@es
propre, se r@crit
~ H i (x~ , A )
> HI(Xs , A )
.
f
. Soit
("tame")
~t
des
la projection de
~i
en posant
Xt
dans
~. . . .
K
dans
K .
X . On d@finit
10-
-
i
Utilisant que
P
=
Ri v
I
A
est un pro-p-groupe,
p
avec
inversible dans
fi , on
trouve que
(2.7.1)
H~(Xt,A)
(2.7.2)
~i
~t
Pour
aux
f
=
H~(X~,A) P
~iP
propre, la suite spectrale de Leray de
P-invariants
(2.7.3)
3.
=
~t
se d~duit de 2.2.3 par passage
:
H P ( X s , ~ ) --
~
=
HP+q(xt,A)
HP+q(X~,A) P .
D~monstration g~om~trique du th~orgme de monodromie
Soit
fi comme en 2.2.
Conjecture 3.1 (puret~).
r~gulier et
D
Soient
A
un anneau excellent strictement local (0.2)
un diviseur rggulier de
U = Spec(A) - D = Spec(A[I/X]
).
Spec(A)
Hq(U,A)
A
=
pour q = 0
A(-l)
0
pour q = | (notation (0. 0.6))
pour q m l
Voici des cas o~ £ette conjecture est connue (SGA 4 XIX)
pour
t~ristique
dim(A)
p
x . Soit
On a
I
(3.1.I)
d~fini par un param~tre
q = 0 ou | , pour
A
de caract~ristique
0 , pour
:
A
d'~gale earac-
lorsqu'on dispose de la r~solution des singularit~s en dimension
et en caract~ristique
de puret~ relatif
p , ou pour
(Spec(A),D)
un couple lisse (th~or~me
SGA 4 XVI 3.7).
Lorsqu'on dispose de la puret~, et que
D =
[
D.
est un diviseur ~ croi-
i
sements normaux dans
m~tre,
Spec A
la cohomologie de
, d~fini par une partie d'un syst~me r~gulier de para-
U = Spec(A) - D
10
est donnge par
11
H°(U,A)
= A
HI(U,A) = A(-I) B
(3. I .2)
Hq(u,A)
Ces formules
D ~B x D k
sont identiques
~ celles
= q HI(U,A)
qui, sur
Soit
Soit
f : X
X
S
un trait strictement
~
S
un morphisme
est lisse et que
supposera
que ce diviseur
X
local.
est
(globalement,
r~guliers
se r~cup~rer
par localisation).
Notons
Soient
x
(par exemple
en degrgs
0
x
et
un point de
ferm~,
la cohomologie
de
On suppose que
g croisements
X
est r~gulier,
localement
:
X
=
s
un point g@omfitrique de
et
X . On
pour la topo-
(le cas g@n~ral peut
leurs multiplicit@s
C = {i]x ~ Di}
(0.0.3).
normaux dans
Z D.i
: (Xs)re d = iEB
Xs , x
(0.0.1)
K
X
Z m.D.
i~B l £
localis@
le complexe
en
concentr~
-I
(utilise
sont les suivants
d
>
la puret~).
Z : d((nj))
Les sroupes
=
E m. n.
j J J
de cycles
~vanescents
i
@tx
mod~rgs
:
(i) On a un isomorphisme
~t~ ~
~ ot ~
(ii)
les notations
et non seulement
m.
l
x = x ) ,
K : %C
3.3.
On garde
est un diviseur
s
somme de diviseurs
Thgorgme
¢ , donnent
de type fini.
logie ~tale)
x
(donnfi par le cup-produit)
.
3.2.
que
I
-
Canonique
--~'JA ( H I ( K ) ~
est une
de
A-alg~bres
A(_l))~ A
A-alg~bre
graduges
~otE
A E , pour
E
un e n s e m b l e s u r l e q u e l l e
^
groupe d'inertie
~
ments
mod@r~
I
= I/P = ~(1)(k(s))
t
le plus grand d i v i s e u r
premier ~
p
de
agit transitivement,
~
la m~thode
a) Soient
complgment
X
n
d'un diviseur
Xtx~[(t!/n)]
k )
J
proque de
X(~)
U
l'application
dans
(pour
X
d'~l~-
H (K)
- -
Voici
de nombre
0
de d@monstration.
le localis@
~ croisements
strict de
X
normaux),
t.
J
en
x
,
U = X(~)
une @quation
-
X(~)s
locale de
(le
D. ,
J
(n,p) = l ; c'est un schema
. D'apr~s
"image r~eiproque"
3.1.2,
de
on a
Hq(Un,A)
11
r~gulier) et U
l'image rgcin
q
Hq(Un,A) =/~(A(-l) C) ; pour m = x d
dans
Hq(Um,A)
est la multiplication
-12-
par
dq .
Posant
~ =
~
U
(n,p)= | n
I
, on a donc
H°(~,A)=
A
q ~
H (u,A) =
li~ Hq(Un,A)
(3.3.1)
= 0
pour
q # 0
n
%
b)
U
est
un p r o r e v S t e m e n t
de
U
de g r o u p e
i~(t)(k(s))
C
. Par dffinition,
^
on a
~t x = H ~ ( U t
,A)
; U
est un prorev~tement
chacune des composantes
connexes
par le groupe d'inertie
mod6r@.
on tire alors
les formules
En termes
K(Z(1)(k(s))C,I)
morphisme
6
Corollaire
de
--
q
des
on peut dire que
U
dans le
la purer6).
multiplicit6s
et du nombre maximum
le groupe d'inertie
U
aussitSt
ristique
0 , ou pour
Th@or~me
3.5.
k(n)
I
t
=I/P
C
f
propre.
Soit
D.j
Soit
q ~ O , et
passant
d'un
~ , ce
.
N
q'
~
le plus petit
la borne inf@rieure
pa__r,un m~me point.
Pour
T
dans
, on a
de puret6 requis
sur
Hq(x~
,A )P
2.7 de 2.5.
sont disponibles
essentiellement
pour les
H l , en caract6-
de type fini sur un corps.
une courbe projective
par automorphismes
cohomologique
> Z(])(k(s))
de 3.3 et de la variante
d'un anneau de valuation
HI(C~,~)
pour
Soit
S
K(Z(1)(k(s)),l)
m. (jEB%
j
de diviseurs
mod6r6
Les r6sultats
est la fibre d'un morphisme
Supposons
(T N - I) q' = O
R6sulte
U-
d = E m. n. : Z(1)(k(s)) C
3 J
(utilise
de
, et celles-ci sont permut6es transitivement
~t
De (3.3.]) et de la suite spectrale d'Hochschild-Se~re,
cohomologique
3.4.
HI(K) @ Z(1)(k(s))
3.3.
imag6s,
induisant
commun multiple
de
de groupe
discrete
et lisse sur le corps des fractions
V . Le groupe d'inertie
quasi-unipotents
d'6chelon
I ~agit sur
2 : il existe
N
tel que,
T ~ I , on air
(T N - I) 2 = O
On se ramgne h supposer
un sous-groupe
ouvert
Il
de
I
V
sur
HI(c~,Q%)
strictement
tel que
12
local.
(T - I) 2
=
0
L'assertion
sur
H I
est qu'il existe
pour
T ~
Il
-
Ii nous
est loisible
cer
par son n o r m a l i s ~
V
dans un groupe
que
P
agit
de
C
sur le t h g o r ~ m e
Soit
CI
~
dans
un m o d u l e
o
cette
d'une
V
un m o d g l e
cf.
excellent
r~gulier
g croisements
Soit
jacobienne,
quasi-unipotente
Remarque
2 pour
3.7.
de
3.8.
X
de
I
pour
(ou 3.6)
lorsqu'on
de
supposer
de n u l l i t ~
Soient
S
S . Posons
Si
X'
n
V : invoquer
par ~ c l a t e m e n t s ,
3.3,
k(n)
de
I
de fibre
, bas~e
ici
1.6).
spgciale
o
~ C I ' ~t '
n , e t 3.5 en r ~ s u l t e .
Puisque
sur
o
SGA 4 XVI
3.4 s ' a p p l i q u e n t
i n d ~ p e n d a n t de
A
H i (A ,Q~)
est quotient
ou
T£(A)
est en fait q u a s i - u n i p o t e n t e
est
dispose
qui sera d o n n g e d a n s
de la p u r e t ~
que pour
l'exposant
X
propre
du th~or~me
l'expos~
et de la r g s o l u t i o n
0 ) la m ~ t h o d e
pour
d'gchelon
•
ab~liennes
strictement
pr~cgdente
et lisse
sur
~
de
IX § 3 .
des s i n g u -
d~montre
de n i l p o t e n e e .
Hq(X~
, Z~)
le thgor~me
Ainsi, en ~gale
et
de cycles
local
et
( r e I1 C
T
dans un
sch~matique
> S
f : X
et les autres
~
13
i
de
X
I )
~vaneseents
un s c h e m a de type fini
.
est l ' a d h ~ r e n c e
= A
sur
les f a i s c e a u x
n = dim(XT])
-I
de
C
; on p o u r r a i t
est g la base de la d ~ m o n s t r a t i o n
I) q+l = 0
pour
un trait
- X' , ~
s
Co
§ 2, p. 87
de
I , on a
(T-
4. C r i t ~ r e s
N
sur
des b o r n e s
0 , on trouve
ouvert
de
H I (X~,Q)
en c a r a c t ~ r i s t i q u e
et fournit
[~
dans
ab~lienne sur
sur
les v a r i ~ t ~ s
sous-groupe
s
P
2.
stable
(par exemple
X
(rempla-
du p r o - p - g r o u p e
(pour l ' e x i s t e n c e
au c o m p l ~ t ~
que l ' a c t i o n
3.5
caract~ristique
a) Sur
avec
Le th~or~me
de m o n o d r o m i e ,
4.1.
l'image
finie
on peut en p a r t i c u l i e r
V
Les a r g u m e n t s
de type fini
II est clair que
larit~s
~ une e x t e n s i o n
Puisque
sur
C , dgduit
encore
d'~chelon
C
en p a s s a n t
une v a r i ~ t g
on trouve
L'action
de
la d i s c u s s i o n
normaux.
A
tout schgma
r~duction
k(~)
est finie,
GL(n,Q£)
H I ( c ~ , ~ / ~ n ) p = H I ( c ~ , ~ / ~ n)
et
de
extension).
minimal
d'Abhyankar,
Remarque 3 . 6 .
sur
les s c a l a i r e s
Lie £ - a d i q u e
au cas
un d i v i s e u r
I
trivialement.
Soit
se r a m e n e r
d'~tendre
13-
dans
sont nuls
;
X,ona:
-14-
b) sur
X'
, les
i
et
@i
relatifs
g
I
X/S
ou ~
X'/S
coincident,
et
#-I = 0 .
S
Puisque
X
est plat sur
Thgorgme
X'
est plat sur
S , ceci permet
souvent
de se remener
au cas o~
S .
4.2.
(i) On a
~i = 0
pour
i > n .
(ii) Plus pr~cis~ment,
pour
x
un point de
X
dont l'adh~rence
soit de
S
dimension
k
( k = deg tr(k(x)/k(s))
) et pour
x
un point g~om~trique
localis~
en
x , on a
~i_ = 0
pour
i > n-k
, i.e.
X
d(# i)
$ n-i
~i
i
_ = H (X(])~
On a
(notation
, A)
, et
de SGA 4 XIV 2.1).
X(~)~
est limite projective
de schemas
X
affines
de dimension
Lefschetz
affine
~
g~n~rique
~
de
f
dans
X
Si
(i) pour
est
f
et plat
(i) ~ s u l t e
que
X
est plat sur
> ~ Sk
g : X
d'un corps,
et
strict de
i
Q
= H (X(x)~-F,A)
,
d'
k
A S
= 0
en
de
(4.1) et qu'il
g(x) soit le point
x . On a
est un p-groupe
pour
i > n-k
Q .
.
o3 le th~or~me.
est propre et plat et que la dimension
d , le morphisme
S
tel que
Gal (~
_--r/s ,~)
i
H (X(x)~-r,A)
g , on a
donc du th~or~me
~ la limite.
le trait localis~
i
H (X(x)~,A)
c) On a
--
S'
est le spectre
b) D'apr~s
4.3.
quasi-fini
. Soit
a) S i
Corollaire
. L'assertion
(ii), on peut supposer
S-morphisme
de
k(~)
(SGA 4 XIV 3.2) par passage
Pour prouver
existe un
n sur
de spgcialisation
du lieu de non lissit~
HI(Xs )
• > HI(X~)
S
un isomorphisme
4.4,
pour
Pour prouver,
s'appuyera
Lefschetz
i > n+d+l
et un ~pimorphisme
dans certains
cas, que les
sur la th~orie de la dualitg
locaux de SGA 2 XIV).
(ou en ~gale caractgristique
la Hironaka
locale
i
pour
i = n+d+l
pour
i
(directement
Cet outil n'est disponible
p lorsqu'on
dans les dimensions
dispose
consid~r~es).
14
petit
.
sont nuls,
on
ou via des thgor~mes
qu'en caractgristique
de la r~solution
de
0
des singularit~s
-
Th~orgme
phisme
4.5.
Supposons
S
de type fini et
x
15-
I
de c a r a c t E r i s t i q u e
un point
fermE de
0 . Soient
X
• S
f : X
. On suppose
un mor-
que
S
x ,
X
(a) x
est un point de n o n lissitg
(b) X
e s t de p r o f o n d e u r
s'identifie
dimension
N
i
~x
Alors
Soit
sEomEtrique
~ un s o u s - s c h E m a
relative
en
=
X
0
dEfini
x , avec
pour
sa fibre
relative
par
n 4 N-k
i < n
le localisE
isolE dans
k
~ n
en
Equations
dans un s c h e m a
S'
de
S
lisse de
.
strict
de
X
en
x
et
V = X
-
{x}
. Pour
S , soient
dans
(1) Si i
n
de m ~ m e
, soient
= 0
sur
X
(X)
= X
x
V' = V ×S S'
X'x = Xx ×S S' et
x
x
(i.e.
S
S
V = V ×
'
S
S
. Pour
S
le
On a
"
en toute g E n E r i s a t i o n
x
de
darts
X
)
S
X S
pour i ~ m
tout
X
fini sur
normalisg
de
.
X
trait
x : au v o i s i n a g e
, alors
Hi-l(Xx)
~i(~)
=
~i(~])
= +i
H
~ ~
pour
i ,< m
.
{x}
Les
~
i
sont en effet des
faisceaux
de c o h o m o l o g i e
~ support
dans
V
de
S
; sous
les h y p o t h e s e s
de 4.5,
(2) L ' h y p o t h g s e
XIV 5.6,
elle i m p l i q u e
(b) de 4.5 est stable
en notant
D'aprgs
Corollaire
section
4.6.
=
que
H i-I
{x}
~i(~)
4.2. et 4.5,
Pour
complgte
pour
S
(X')
x
=
par c h a n g e m e n t
0
est limite
pour
inductive
i < n
des
4.7.
Pour
fournit
on a
Sous
A'
en effet,
de d i m e n s i o n
i
~x
=
0
SGA 2
A-alg~bre
les
;
de c a r a c t E r i s t i q u e
relative
pour
les h y p o t h e s e s
une
pour
D'apr~s
~i(v')
n
et
i # n
de 4.6,
finie,
g
15
X/S
une inter-
S
.
n
#x
est un
un general
i
~A ' r e l a t i f s
0 ,
un point de non lissitE
x ~ X
- -
Corollaire
de base.
on a
un trait h e n s g l i e n
relative
isolE darts sa fibre,
(SGA 4 XV 2.|).
m =
que
~i(v')
on eonclut
(a) est d ' a p p l i c a t i o n
A'
,
A-module
n o n sense
plat.
(SGA 4 XVII 5.2.11)
16-
-
n
i
~A'
et on applique
4,6 ~
Variante
Dans
de
4.8.
f . On peut
A'
=
suppr~mons
par r~currence
d'appliquer
4.5
(A',~)
la condition
(a) et soit
Z
le lieu de non
conclure
i
~x
On proc~de
Tor
.
4.5,
encore
I
=
0
descendante
(I) avec
pour
i < n
dim Z s
sur
dim
. L'hypoth~se
m = n - dim Z
{x}
, et on achgve
de r~currence
la d ~ m o n s t r a t i o n
permet
comme pr~c~-
S
demment.
4.9.
Ii est possible
mations
sur
les fibres
le r~sultat
est
Proposition
4.10.
d(y)
d'obtenir
g~om~triques
toutefois
Sous
(a)
x
(b)
Pour
un crit~re
d'une
unit~
est un point
= 0
(c)
pour
y
Gardons
D'apr~s
de
i=
~x
(X)
>
X
S
0
pour
n
Comme
le eas des intersections
eompl~tes,
de 4.5,
isol~
dans
, d'adh~rence
x , on a
i < n-I
les notations
de 4.5
de Lefschetz
local
H i (V') ~
4.11.
des infor-
prof
supposons
que
sa fibre.
dens
ety(X~)_
X-
de dimension
>, n - d(g)
,
i.e.
,
Hi(v ')
par
X-
seulement
i ,< n - d(g)
le th~or~me
et on conclut
g~n~reles
de
utilisant
bon que 4.5.
de n o n l i s s i t ~
tout point
prof et
Alors,
f .Dans
moins
les hypothgses
, qui soit une g~ngrisation
H~ .(X_)
lY#
D
de
de nullit~
(c) que
en 4.8,
Hi(v)
on peut
.
; on peut
(SGA 2 XIV),
4.5
(I) avec
l'hypoth~se
( i < n-I
)
> H i (Vs)
( i = n-I
)
pour
de 4.10 une variante
16
i ~ n-I
m = ~
(b) fournit
% > Hi(Vs )
= lim> Hi(V ') = O
donner
appliquer
, d'oO 4.10.
ne supposant
pas
(a).
.
-]7
5.
Action de la monodromie
sur les
-
I
~]
Dans cet § ( = expos~ de Grothendieck
thEor~me
de r~duction
une d~monstration
analogue
x
l
Soient
... x
directe
est stable
[~
E~
ont donne
du thEor~me
3.6). Nous utiliserons
aussi
Rim).
clos,
C une courbe projective
C . On dit que
fermgs de
sur
k
et
X = (C ; Xl,.. , x n)
si
(a) C est rgduite
gentes distinctes
et ses seules singularit~s
sont des points doubles
~ tan-
;
(b) les
x.
l
(c) si
C1
sont distincts,
et des points
est une composanteirrEductible
des points de la normalis~e
d'un des
qu'on peut aussi d~duire
(expos~ Vl de
fini de points
nous ferons usage du
Artin et Winters
(IX § 3, utilisant
un corps algEbriquement
un ensemble
n
ab~liennes
Schlessinger
k
pour les courbes.
de ce thEorgme,
pour les variEt~s
la th~orie de
5.1.
semi-stable
du 19/II/1968),
x i , alors,
si
C'
'
CI
de
1
C
au-dessus
I
est de genre
0
lisses de
de
C ;
C , et que
E
d'un point singulier
(resp•
I)
E
est l'ensemble
de
a au moins
Cl
ou
3 (resp
l)
ElEments.
La condition
(c')
X
(c")
Si
~' = ~(E x.)
(c) Equivaut
g chacune
n'a pas d'automorphismes
m
est le faisceau
des suivantes
infinitEsimaux
inversible
:
non triviaux.
dualisant,
le faisceau
inversible
est ample.
Z
Un
S
S-schEma
si ses fibres
n = 0
viale
gEomEtriques
est considErS.
x I, • .., x n
C , muni de sections
sont des courbes
L'extension
des r~sultats
stables.
est une courbe
Dans
stable
sur
[3] §§ 1,2, seul le cas
de loc. cit. au cas g~n~ral est tri-
:
(I) Pour
ample pour
n ~ 3
stable,
(cf.
[3] 1.2).
(2) Le schema
gulier au-dessus
HI(c,w,
X/k
formel
d'un diviseur
M
On) = 0
des modules
~ croisements
17
de
pour
X
n ~ 2
est lisse,
normaux de
M .
et
et
~,0n
est trgs
C
reste sin-
-18-
(3) Pour
sur S
X
et
(isomorphismes
(4) Pour
Y
stables
compatibles
X/k
I
sur
S , Isoms(X,Y)
est fini et non ramifi~
aux points marquis).
stable,
AUtk(X)
.....
> Aut k Pic°(C)
est injectif.
On a enfin
Proposition
5.].I.
d'un trait
S , avec
et une courbe
Soit
stable
X' 8S, ~' = X
8
n'
N
q'
sur
v6rifie
S'
lisses de
lisse.
X'
sur le normalis~
santes
S'
de
S
finie s~parable
dans
q
telle
q'
q
de
n
que
•
du th6or~me
(a). On 6clare
pour que
rationelles
stable sur
......... le point ggn~rique
Ii existe une extension
de r6duction
tel que la fibre sp6ciale
C"
..., Xn )
C
Cela r6sulte
prendre
Xn = (C n ; xl,
semi-stable
g~om6trique
ensuite,
On contracte
lisses de self intersection
qui permet de
du module minimal
de faGon it6r6e
(b) soit v6rifi~e.
habituel
C"
de
C ,
s'il le faut, des points
alors
les cha~nes
deux ne contenant
aucun
de compo-
x.
de la fi-
I
bre sp6ciale
et on obtient
C'
On peut v6rifier
de
C
a r6duction
n
5.2.
Soit
Xq
(cf.
[3], preuve de 2.3 p. 88),
eomme dans
stable.
loc. cit. que
L'hypoth~se
de l ~ s i t 6
un schema g~omgtriquement
tions d'un trait strictement
local
C'
sur
existe d~s que la jacobienne
C
est par ailleurs
superflue~
connexe de type fini sur le corps des frac-
S . Pour
~
un point g~om~trique
de
Xq
on a une
suite exacte
(5.2.1)
0 --zI(X~,~)
d'o8 un homomorphisme
~I(X~)
. Passant
-de
> ~I(X,¢)
Gal(~/n)
dans
au plus grand quotient
> Gal(~/n)
> 0
,
le groupe des automorphismes
premier
~
p ~]
-(P)
ext6rieurs
(x~) de ~1(X~)
de
on
trouve
(5.2.2)
Gal(~/n)
Supposons
trique
ment,
~
~ n
que
X
> X
X
n
ait
> Aut ext
un point
rationnel
--
n
(~I p) (X~))
x
, et
. Pour ~ = x , la suite exacte
d'o~
18
.
soit
(5.2.2)
x
le
point
splitte
gfiomfi-
canonique-
- 19-
(5..2 3)
Ix] :
Th~or~me
5.3.
5.3.1.
Gal(~/~)
L'image de
Soient
nexes de
X'
> Aut (~](X-,x))~
P
R~duction au cas o3
par 5.2.2
X
passer ~ une extension
X'q
et
triquement normaux et int~gres,
connexes,
P k(Yj) ~ X~in
, choisissons
par
X
p
K(|P)(x;~,x i)
X~-
) X.-
Pour
supposer
remplace
d'un
X-
lisse
p
P
agit.
d'indiee
X-
normal et
P'
X" sont
3n
et
Prk(Y j) ~
x.l : c'est
le chemin "premier g
de
P
p "
invariant
£kij
finis d'ordre pre-
agit trivialement
sur
(i.e. de ce que
@tales) que
U
un ouvert, ~l(U)
s'envoie sur K](X~)
lisse et affine. Coupant par les sections h y p e r p l a n e s
et appliquant
P'
agit
strict
Bertini,
de
S
g~nfiriques ( c e c i
au p o i n t gfinfirique de l a f i b r e
on se ramgne ~ s u p p o s e r que
le nombre.
X
X
n
spgciale
est lisse,
Xn = C
fini de points rationnels
Appliquant
-
finie de
est le complfiment dans une courbe projective
xiJ(dont
(5.].I),
X = (C ; x! .... , Xn)
{x I ''''' x n } . On applique alors le r~sultat suivant
19
et
il nous est l ~ s i b l e
le th~or~me de r~duction semi-stable
on se ram~ne g supposer qu'il existe une courbe stable
telle que
; on peut donc
connexe et de dimension un. Quitte g passer ~ une extension
d'un ensemble
d'augmenter
S
de
est lim d'ensembles
fini
sont g~om~-
k = | ou 2
~kij
, il r@sulte des formules de Van Kampen
, on peut supposer que
Xn
. Pour
. On peut prendre
g
X!
X"n " Quitte
x. , et que les
l
est de descente effective pour les rev~tements
sgomgtriquement
k(~)
yj
-~kij
> K(P))
le pro-p-groupe
n
S par l e l o c a l i s g
~kS)
connexes de
con-
sur ~:I p ) ( X ~ , x )
trivialement
5.3.2.
les composantes
une classe de chemins
D~s lors, si un sous-groupe
les
la famille des composantes
avec un point rationnel
(le m~me modulo Ker(~
sur lesquels
)i
Kl (X'-'x')l~,
l . Soit
est finie.
normal et int~gre.
k(n), on peut supposer que les
P : l'ensemble des chemins premiers
mier ~
(X~
avec un point rationnel
un gl~ment d'un torseur sous
correspondant
(ou 5.2.3, cela revient au m~me)
(X"jn )~j
finie de
g~om@triquement
> Aut i|'~(P)(x~,x))
est g~om@triquement
le normalisg de
X'q , X"n = X'~ ×X
I
sur
-
ThEor~me
propre
5.4.
Soient
et plat,
des points
sections
ordinaires
disjointes
X = X - Y . Soit
de
et premiere
g
U . Alors
f : X
> S
un morphisme
de
un sous-schEma
l'ouvert
S
X , reunion d'un nombre
de lissitE.
au-dessus
l'image de
de
duquel
~I(U,~)
dans
Soit x
X
fini de
un point rationnel
est lisse,
Aut(~IP)(x~,
et
x~))
~
de
un point
est ab~lienne
p .
On prendra
parce que les
Y
dans
l'ouvert
local,
une courbe dont les seuls points de non lissitE sont
et
contenues
U
I
un schema strictement
de fibre spEciale
doubles
gEom~trique
S
20-
-(P)
~I
garde qu'on ne peut faire agir
vgrifient
On se ram~ne au cas
formel de modules
anneau de series
de spEcialisation.
S
puis au cas universel
o~
munie de ses sections.
S
complet,
sur un anneau de Cohen
est le complement
d'un diviseur
ce cas universel,
d'apr~s
-(P)(x~,x~)
~I
sur
le th~or~me
pour la fibre spEciale,
formelles
~l(U,~)
g croisements
le lemme
:
est un schema
est alors un
S = Spec(W[[t I ... tn] ] )
normaux d'Equation
d'Abhyankar,
S
que
KI(U,~)
et
U
t 1 ... tm = 0 . D a n s
est abElien et premier
p , d'oO le thEorgme.
Remarque
5.5.
quelconque
On peut d~montrer
un rEsultat
analogue
en considfirant une section plane gEn~rique
~ 5.4 en dimension
relative
de dimension un et en appliquant
Bertini.
6. Appendice
: demonstration
arithmEtique
du thEor~me
de reduction
stable
(par P. Deligne)
Soient
d # 0 . Pour
lienne
sur
de
~S's'
un trait et
S'
k(n')
de NEron de
S
A ,
~ S
. Le thEor~me
une variEtE
un morphisme
d~duite de
sur
A
S' ,
A
MS,s,
local de traits,
par extension
sur
k(n)
, de dimension
on note
A ,
n
la vari~tE
abElienne
des scalaires.
o
sa f i b r e spEciale et &S's'
de r~duction
stable est le suivant.
20
Soient
MS,
la composante
abE-
le module
neutre
21
-
a
r~duction
-
Th~or~me
6.1.
Pour
S'
convenable,
A ,
n
sion d'une vari~tg ab~lienne par un tore.
II r~sulte assez facilement
soit une extension
siduel de
k(s)
S
s~parable
I
finie de
k(~)
. Supposons
naturelle.
o~ le groupe d'inertie
grand pro-£-groupe
g~n~rateur de
Lemme 6.2.
tel que
k(n')
(le m~me argument marcherait
pour
sur un tel corps).
le module de Tare,
representation
S'
est exten-
tout d'abord que le corps r~-
Soient £ un nombre premier premier ~ l'exposant
T£(A)
i.e. sA~,s,
de 6.1. qu'on peut prendre
est de type fini sur le corps premier
radieiel
stable,
V£(A) = T£(A) 8 Q£
P : Gal(~/~)
I
agit de fa~on unipotente
et
Z£(1)
r
(0.3). Soient
r~siduel
~ GL(T£(A))
Une extension des scalaires pr~liminaire
quotient
Z£(1)
et
caract~ristique
p ,
la
nous ram~ne au cas
(|.2) donc ~ travers son plus
T
l'image dans
le plus grand entier > 0
tel que
GL(T£(A))
d'un
(T-I) r # 0 . On a :
L'application
o E I , v E V£(A) I
induit des morphisme
> (p(o)-l) r (v)
et isomorphisme
V£(A) I
~
Q£(r)
M
~
V£(A) I
(6.2.1)
%
V£(A)/Ker(T-I) r ® ~£(r)
V£(A) I e t
6.3.
V£(A) I
sont des
On dit qu'une representation
...............
> Im(T-l) r
Gal(]/s)-modules
£-adique
sur
le corps premier,
un point ferm~ de
avec
X
de
k(s)
k(s) = k(X)),
M
est galoisien.
> GL(V)
T : Gal(s/s)
n (n ~ Z ) si la condition suivante est v~rifi~e
(~) Pour un module convenable
et
est de poids
:
(X = une vari~t~ irr~ductible
~ se factorise par
X , les valeurs propres de
T(F )
~l(X,s)
sont des hombres
de type fini
et pour
x
alg~briques
X
dont les eonjugu~s
Frobenius
complexes
g~om~trique
sont tous de valeur absolue
-I
~x )"
21
Ik(x) ln/2
(F x
d~signe le
-
si
HOmGaI(V,W)
V
(resp.
W )
22
est de poids
-
I
n
(resp.
m ) et que
n # m
, on a
= 0 .
o
6.4.
Si
Ii r g s u l t e
a
est
multiplicative
reprfisentation
et poids
6.5.
la v a r i ~ t ~
VI(A~)I
extension
6.6.
et
d'une
A~
2a x
de 6.4,
cormne
a
galoisien
espaces
duale
et
o
de
&S,s
V/(A) I
et
est
V/(A) I = V / ~ S ,
m
de
A
s)
la dimension
done e x t e n s i o n
p a r une r e p r g s e n t a t i o n
m
-I
Q/(r)
pour
d'une
de d i m e n s i o n
Im(T-1)
A
m
x
est de poids
mI ~ m
VI(AX)
%(I).
Si
, il r g s u l t e
et de poids
et
a
de 6.4 que
0
VI(A)
et
m
VI(A) I
est
par une r e p r e s e n t a t i o n
6.2 que
-2r
r ~
. Puisque
I . Si
Im(T-l) r # 0 , on
r = 0 , on a
a + m ~ d
2 a + m = 2 d ,
a bonne
est de poids
ont m ~ m e d i m e n s i o n
A
Hans
que
.
6.5 et de l ' i s o m o r p h i s m e
et
. Rappelons
g valeurs
de d i m e n s i o n
et de poids
m = 0 , a = d
de 6.2 que
Weil,
que
-I
sont en d u a l i t ~
{
donc
' d'apr~s
et poids
ab~lienne
representation
Le m o d u l e
d~duit
2a
VI(A) I
pour
de d i m e n s i o n
& °S , s
abglien
de N ~ r o n
.
A±
sont d ~ f i n i s
du m o d u l e
grand quotient
de
de d i m e n s i o n
-2
Soit
(donc
universelle
l a d i m e n s i o n du p l u s
de l a p a r t i e
m
de la p r o p r i ~ t ~
r~duction.
-2
et que
Supposons
VI(A)/VI(A)
que
I
r = I . On tire alors
est de poids
0 ; ces
.
On a alors
d i m V/(A)__
I
= 2d - m.l = 2a + m
2 dimes,
s ~> 2 (a + m) >I 2 a + m + m! = 2 d = 2 dim~As, s
de sorte
que
que
= m
m I
plicative
6.7.
de
Pour
supposer
An
a rgduction
, i.e. que
stable
Im(T-l) c
(dim~s,s
VI(A) I ~
= a + m)
V / ( ~ , s)
,
. On a o b t e n u en m~me
est le
V£
de la partie
temps
multi-
A °
S,s
traiter
le cas g~n~ral,
nous
utiliserons
que
22
(0.5)
(cf.
1.3). On se ram~ne
- 23 -
(a) les conditions
(b) Gal(~/n)
de (0.5.2) ou (0.5.3)
agit trivialement
(c) l'aetion de
I
sur
Sous ces hypotheses,
thgse
(a) permet d'appliquer
reprenens
les notations.
I
TI(A)
sur
Al
;
que
(0.5.1) pour avoir
s.
A
i
assez grand,
S = $im S i
le point ferm~ de
sur
lement sur
S.l - D . Le groupe
neutre
~o
KI(SI - D i , ~)
du modgle de Ngron
~i
sur
agit sur
S.l , et
TI(A)
e'1
~S
(~i)l
est
, et agit trivia-
agit trivialement.
:
TI(A) I = T/(A) Ii '
et (6.2.1) est un diagramme de
Tl(~i'si ) = T°(~°)£
s = TI(A) I = Tl (All)"
Gal(s./s.)-modules
I i
ments
eomme en 1.3, dent nous
i
la composante
Tl(A)/l TI(A) ~ A l . Comme en 1.3, on voit que
On a alors par ~1.3.1)
L'hypo-
S,
provient d'un schema en greupe lisse ~ fibres connexes
constant
a r~duction stable.
n
i
Pour
;
est unipotente.
nous prouverons
Soit
sent v~rifiges
6.4 g 6.6.
23
auquel
on peut
appliquer
les a r g u -
-
24
-
I
BIBLIOGRAPHIE
[i]
[2]
[3]
[4]
[5]
M. ARTIN
Algebraic approximation of structures over complete
rings. Publ. Math. I.H.E.S. 36 -1969. pp. 23-58.
M. ARTIN and G. WINTERS.
Degenerate
local
fibres and reduction of curves,
P. DELIGNE and D. MUMFORD. The irreductibility of the space of curves of a
given genus. Publ " Math. I.H.E.S. 36 - 1969. pp. 75 - ]|0.
J.P,
SERRE
Corps locaux,Publ. Math, univ. Nancago-Hermann
J.P.
SERRE and J. TATE, Good reduction of abelian varieties.
88 3 - 1968 - pp. 492 - 517,
24
1962.
Ann, of Math.