e - courants et tensions variables

E - COURANTS ET TENSIONS VARIABLES
E - 1 - DIFFERENCE ENTRE TENSION CONTINUE ET TENSION VARIABLE
Une fois qu'un circuit électrique est monté, une tension (ou un courant ) est continue si
sa valeur ne varie pas tant que l'on ne modifie pas le circuit. Il est usuel dans ce cas de
représenter par des majuscules U ces tensions continues (ou I pour les intensités de
courant).
Les piles et les batteries sont des exemples de générateurs de tensions
continues.
Au contraire, une tension variable a une valeur qui change dans le temps sans pour
autant que le circuit soit modifié. Et si la tension varie dans le temps; alors l'intensité du
courant varie aussi. Dans ce cas, l'habitude veut que l'on représente ces tensions et
ces intensités par des minuscules u(t) et i(t) qui spécifient bien leur variation dans le
temps.
Cette variation dans le temps signifie aussi bien que leur valeur change
mais éventuellement aussi que le signe d'une telle tension peut changer et
qu'en conséquence le sens de passage du courant peut changer, mais ceci
ne modifie pas leur définition :
uAB(t) = vA(t) - vB(t)
et
i(t) =
∆Q
∆t
Exemple : Aux bornes A et B d'un générateur on observe une tension uAB(t) qui varie dans le
temps comme le représente le graphique ci-dessous :
uAB (t) (V)
4
2
10
5
t (ms)
15
-2
-4
Pour 0 < t < 3 ms
uAB = 4 V > 0
vA > vB
le courant sort par la borne A du
générateur
Pour 3 < t < 4 ms
uAB = - 3 V < 0
vA < vB
le courant sort par la borne B du
générateur
Pour 4 < t < 7 ms
uAB = 4 V > 0
vA > vB
le courant sort par la borne A du
générateur
etc.
A. Biolluz
1
E - II - TENSION PERIODIQUE
Lorsque à intervalle de temps régulier et quel que soit l'instant initial, la
tension reprend toujours la même valeur, la tension variable est dite
périodique et la période T correspond à cette durée d'intervalle de temps.
Évidemment cette période se mesure en secondes.
Exemple : La tension variable uAB(t) représentée précédemment est une tension périodique
de période T = 4 ms.
instant initial t1
valeur initiale u1
instant final t2 = t1 +T
valeur finale u2 = u1
0,5 ms
4V
4,5 ms
4V
1,5 ms
4V
5,5 ms
4V
2,5 ms
4V
6,5 ms
4V
3,5 ms
-3V
7,5 ms
-3V
etc.
On définit aussi la fréquence f comme l'inverse de la période.
f=
1
T
La fréquence se mesure en hertz (symbole : Hz) et représente le nombre
de périodes en une seconde
Exemple : la fréquence de l'exemple précédent est :
f = 1 = 250 Hz
T
E - III - TENSION ALTERNATIVE
Une tension variable est dite alternative si sa valeur moyenne sur une
période est égale à zéro.
EXEMPLE : pour faire le calcul de cette moyenne dans le cas de l'exemple précédent on
observe que sur une période de 4 millisecondes, la tension vaut 4 V pendant 3 millisecondes
puis - 3 V pendant 1 milliseconde :
umoyen =
4 × 3 − 3 ×1
= 2,25 V
4
La tension uAB(t) de cet exemple n'est donc pas alternative.
2
A. Biolluz
E - IV - TENSION SINUSOÏDALE
Une tension sinusoïdale est une tension variable périodique et alternative
dont la variation peut s'exprimer par une fonction mathématique sinus ou
cosinus (cela dépend de la valeur de la tension à l'origine des dates):
uAB(t) = UMsin(ω
ωt)
uAB(t) = UMcos(ω
ωt)
ou
Les alternateurs sont des générateurs de tensions sinusoïdales
Exemple : ci-dessous est représentée une tension sinusoïdale
uAB(t) = 4sin(
2 t)
0,008
Cette tension est bien périodique : elle retrouve toujours la même valeur au bout de 8 ms.
Cette tension est bien alternative : sa valeur moyenne sur une période est nulle.
Cette tension est bien représentée par une fonction sinus : elle s'annule lorsque t = 0 alors
que ce n'est pas le cas d'une fonction cosinus.
uAB(t) (V)
4
2
5
10
t (ms)
15
-2
-4
UM est la valeur maximale d'une telle tension parce qu'un sinus ou un
cosinus est au maximum égal à 1.
Exemple : dans l'exemple ci-dessus, la valeur maximale UM est égale à 4 volts.
ω est sa pulsation. Elle se mesure en radian par seconde (symbole :
rad.s - 1) pour que le produit (ω
ωt) soit un angle en radian si t est une date
en seconde.
Exemple : dans l'exemple ci-dessus, la pulsation vaut :
ω= 2
= 785,4 rad.s - 1
0,008
A. Biolluz
3
Pourquoi l'écriture de la pulsation se présente-t-elle souvent sous forme d'une
fraction de 2π plutôt que sous forme d'un nombre ? Pour mettre en évidence la
périodicité des fonctions sinus et cosinus.
En effet les mathématiques enseignent que :
sin (α
α) = sin (α
α+ 2π
π) et cos (α
α) = cos (α
α+ 2π
π)
donc, dans l'expression mathématique de uAB, chaque fois que ωt augmente de 2π,
le sinus ou le cosinus reprend la même valeur. Ce qui correspond, comme le montre
le graphique, à une augmentation du temps t de la période T.
ω(t + T) = ωt + ωT = ωt + 2π
sin(ωt) = sin(ωt + 2π) = sin(ω(t + T))
Ce qui permet d'établir une relation entre pulsation, période et fréquence.
La pulsation ω, la période T et la fréquence f sont reliées par les relations :
ωT = 2π
π ou
ω=
2π
π
= 2π
πf
T
Exemple : la lecture sur le graphe précédent de la période T donne 8 ms et l'expression de ω
correspond bien à la relation ci dessus lorsque la période est évidemment exprimée en
seconde.
T = 8 ms = 0,008 s
et
ω = 2π = 2
rad.s-1
0,008
T
Exercice d'application E - 1
Retrouver l'expression mathématique des deux tensions dont on connaît la
représentation graphique de leur variation dans le temps :
a)
uAB(t) (mV)
100
50
10
- 50
- 100
4
A. Biolluz
20
t (ms)
30
b)
uAB(t) (V)
4
2
0,5
1
t (ms)
1,5
-2
-4
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
a) Équation correspondant au premier graphique
La fonction mathématique peut être un sinus puisque à la date t = 0, la tension est
nulle.
La valeur maximale est de 125 mV :
UM = 125 mV = 0,125 V
La période est de 20 ms :
T = 20 ms = 0,02 s
La pulsation s'en déduit :
ω = 2π = 10 2 π rad.s - 1
0,02
L'équation s'écrit donc :
uAB(t) = 0,125 sin(10 2 π t)
b) Équation correspondant au second graphique
La fonction mathématique peut être un cosinus puisque à la date t = 0, la tension est
maximale.
La valeur maximale est de 3 V:
UM = 3 V
La période est de 1 ms :
T = 1 ms = 10 - 3 s
2π
La pulsation s'en déduit :
ω = − 3 = 2.10 3 π rad. s - 1
10
L'équation s'écrit donc :
uAB(t) = 3 cos(2.10 3 π t)
Les relations trigonométriques reliant les fonctions sinus et cosinus permettent de
transformer les équations des tensions sinusoïdales.
Parmi ces relations, on peut en considérer deux particulièrement utiles :
sin(α
α) = cos(α
α- π )
2
et
cos(α
α) = - sin(α
α- π )
2
Exemple : dans l'exercice d'application E - 1, cela peut permettre d'obtenir une écriture
différente des équations représentant les tensions observées.
A. Biolluz
Pour la tension a) :
uAB(t) = 0,125 sin(10 2 π t) = 0,125 cos (10 2 π t - π )
Pour la tension b) :
uAB(t) = 3 cos(2.10 3 π t) = - 3 sin (2.10 3 π t - π )
2
2
5