rapport

Projet Informatique de Master 2
Réduction dimensionnelle 2D à 1D
d’un isolant topologique
Mamy Rivo DIANZINGA
sous la direction de Roland HAYN
Mars 2012

Sommaire
1. Introduction
2. Réduction dimensionnelle 2D à 1D
d’un isolant topologique
2.1 Spectre d’énergie 2D
2.2 Spectre d’énergie 1D
3. Algorithmes
4. Conclusion

1. Introduction
Les isolants topologiques sont une nouvelle phase de la matière,
découverte récemment (découverte théorique en 2005). Les isolants
topologiques sont ces matériaux dont l’intérieur est un isolant
ordinaire, mais la surface agit comme un conducteur. Ces états
conducteurs à la surface d’un isolant topologique sont possibles grâce
à la combinaison de l’interaction spin-orbite et l’invariance par
renversement du temps. Les états de bords de l’isolant topologique
2D ou les états de surface de l’isolant topologique 3D, ressemblent
énormément aux états de bords d’un système à effet Hall quantique,
qui avaient déjà été trouvés dans les années 1980.
De nouveaux articles publiés [1] montrent que l’isolant topologique
2D, qui est l’état spin Hall quantique, présente un gap d’énergie en
son sein, mais des états conducteurs dans les bords. L’objet de ce
rapport est alors de présenter les calculs du spectre d’énergie de
l’isolant topologique 2D. Quant au stage numérique, il nous a permis
en particulier :
- de nous familiariser avec les langages de programmation Python
et Fortran pour faire des calculs numériques,
- et de faire la réduction dimensionnelle 2D à 1D d’un isolant
topologique.
2. Réduction dimensionnelle
2.1 Spectre d’énergie 2D
L’hamiltonien de départ de l’isolant topologique 2D est donné par
la matrice 4x4 [2] :
où  est le vecteur impulsion dans le réseau 2D.
1

avec  la matrice identité 2x2, et  les matrices de Pauli.
Pour de petites valeurs de ,
 et  sont les termes du couplage spin-orbite. A,B,C,D et M sont
les paramètres à déterminer.
Comme  est déduit de  par la transformation d’inversion
de temps, il ne suffit de considérer pour la suite des calculs que
.
Ainsi, l’hamiltonien 2D correspond à :
Le spectre d’énergie est alors :
avec
2.2 Spectre d’énergie 1D
Pour faire la réduction dimensionnelle, l’hamiltonien  est
d’abord écrit dans le modèle des liaisons fortes. On se place dans
un réseau carré bidimensionnel, de paramètre a.
2

Dans le modèle des liaisons fortes, seuls les quatre premiers
voisins d’un site (I,J) comptent.
L’hamiltonien  correspond à :
 (2)
avec 
 l’opérateur qui crée un atome au site (I,J), et  des
matrices 2x2 à déterminer.
En utilisant la transformée de Fourier suivante :
 et  la position au site (I,J)
L’identification de  à (1) donne alors :
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