electricite - Le Repaire des Sciences
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Université d’Orléans UFR Sciences Licences de Physique et de Chimie 1ère année ELECTRICITE Cours basé sur le manuscrit de M. Pascal Loos Pascal.Loos @ ac-nancy-metz.fr Septembre 2004 1 Chapitre 1 INTRODUCTION : nature du courant électrique Dans un grand nombre de substances (conductrices) l'apparition d'une différence de potentiel provoque le déplacement de charges présentes dans la substance : un courant électrique. l’électron dans la direction opposée au champ, et ce jusqu’à ce que l’électron rencontre un ion ou un autre électron. Après cette collision, l’électron repart dans une direction quelconque qui est immédiatement corrigée r par la force f . On cherche à établir une relation entre la cause (la différence de potentiel) et l'effet (le courant). I. Conduction dans un métal I.1. Description de l'état du métal L’effet du champ se superpose donc au mouvement aléatoire de chaque électron (qui résulte à la fois de l’agitation thermique et des collisions avec les ions). Ceci conduit à un déplacement d’électrons en moyenne dans la direction opposée au champ, avec une vitesse moyenne de dérive Vder qui est de l’ordre de : Vder ~ eE ô , où τ est l’intervalle de temps m moyen entre deux collisions. Cette dérive dans la direction opposée au champ conduit à un écoulement d’électrons le long du conducteur, qui est le courant électrique. Un métal est composé d'ions lourds, pratiquement immobiles, et d'électrons qui se déplacent au hasard en se heurtant aux ions. En l’absence de différence de potentiel entre deux points d’un conducteur métallique (situation d’équilibre électrostatique), ces électrons « libres » sont en mouvement désordonné. Dans ce mouvement, dû à l’agitation thermique, les électrons ont des trajectoires en ligne brisée correspondant aux chocs contre les ions fixes du métal. D’autres matériaux répondent à ce modèle. Les électrons vont dans le sens des potentiels croissants (à l’opposé du champ électrique). On dit que le courant électrique va dans le sens opposé, celui des potentiels décroissants. La vitesse instantanée d'un électron est de l'ordre de 106 m/s. Sa vitesse moyenne est beaucoup plus faible, de l'ordre de 1 mm/s. I.2. Phénomène d’écoulement de charges Lorsqu’une différence de potentiel extérieure U est appliquée entre deux sections d’un conducteur cylindrique placées à une distance d l’une de l’autre, elle crée un champ r électrique E d’intensité U/d constante le long du conducteur. Les ions du métal restent en place, mais les électrons libres sont accélérés dans la direction opposée au champ sous l’action de la force électrique de Coulomb, r r f = −e E . L’accélération, d’amplitude eE/m, conduit à un accroissement de la vitesse de Tous les électrons ont le même mouvement d'ensemble, à la même vitesse moyenne : il n'y a pas d'accumulation de charges dans le volume du conducteur. I.3. Mobilité des charges Comme indiqué ci-dessus, la vitesse moyenne des électrons est proportionnelle au champ électrique appliqué: 2 conducteur. On peut écrire cette définition sous la forme : I = dq/dt Vder = ì E µ est une constante, la mobilité des électrons, qui dépend de l'état du métal (en particulier de sa température, qui contrôle la valeur du paramètre τ). Elle se mesure en m2/V.s. Elle s'exprime en Ampères (C/s). La quantité de charge qui traverse une section de surface unité du conducteur pendant une seconde est appelée densité de courant. Elle s'exprime par j = I/S. C'est pourquoi elle s'exprime en A/m2. Elle a une grande utilité pratique, car elle mesure la quantité de courant qu'un matériau peut supporter. I.4. Comparaison entre l'équilibre électrostatique et la conduction Porteur Champ Potentiel de charge Vitesse Métal à Nul à Constant moyenne l'équilibre l'intérieur nulle Vitesse Non nul à moyenne l'intérieur, Métal faible mais dans le sens traversé non nulle, Gradient des potentiels constant par un dans le sens décroissants courant des (sens du potentiels courant) croissants II. Loi d'Ohm II.2. Relation entre vitesse moyenne des électrons et intensité du courant I.5. Densité de courant et intensité du courant dq est la charge des électrons qui ont traversé une section S pendant dt. Ils se trouvent à une distance de S inférieure ou égale à Vder.dt Modèle simplifié de conducteur métallique : conducteur cylindrique homogène ; la conduction se fait dans l'axe du cylindre. Soit n le nombre d'électrons libres par unité de volume du métal. Alors dq = ne(SVder.dt) Par conséquent I = neSVder et j = neVder Une différence de potentiel V1 – V2 est appliquée entre deux sections droites du cylindre placées en A et B. Le potentiel, constant sur une section droite quelconque du cylindre est linéairement décroissant en fonction de la distance à l’extrémité A. Le champ électrique est dirigé suivant l'axe, et constant en tout point du conducteur. La vitesse moyenne des électrons aussi. II.2. Relation entre intensité du courant et différence de potentiel En introduisant la mobilité il vient : I = neSµE Or E est la différence de potentiel par unité de longueur Donc : La quantité de charge qui traverse une section du conducteur pendant une seconde est appelée intensité du courant dans le 3 Ces deux types d'ions sont freinés par leur interaction avec les autres molécules présentes dans la solution, en particulier celles du solvant. III.2. Conductivité de la solution C'est l'expression de la loi d'Ohm, en appelant R la résistance du conducteur cylindrique envisagé, l étant la longueur du conducteur. La conductivité électrique de la solution est : σ = CαNe(µc + µa) Cette formule est valable pour un électrolyte comprenant une seule espèce d'ions positifs et une seule d'ions négatifs. R s'exprime en ohms, 1/R est la conductance G et s'exprime en Siemens. C est la concentration du soluté, α son degré de dissociation, N le nombre d'Avogadro, e la charge élémentaire, µc et µa les mobilités des deux types d'ions. ρ est la résistivité du matériau, ρ s'exprime en ohms.m. 1/ρ est la conductivité σ, théoriquement en ohms(-1).m(-1), pratiquement en ohms(-1).cm(-1). La loi d'Ohm s'applique. III. Conduction dans une solution d'électrolyte IV. Circuit électrique III.1. Description des phénomènes Un circuit électrique est constitué d’éléments passifs tels que ceux décrits ci-dessus (conducteurs de résistance non nulle, électrolytes), ou d’autres éléments passifs décrits plus bas (condensateurs, bobines), ainsi que d’éléments actifs (générateurs, amplificateurs, etc ...). Ces éléments sont reliés les uns aux autres par des fils de liaison parfaitement conducteurs (ρ ∼ 0). ABCD1D2D4D3 Si V1 est inférieur à V2, les charges négatives se dirigent vers l'électrode 2 : c'est l'anode, où se dirigent les anions. Les cations se dirigent vers la cathode, qui se trouve au plus bas potentiel. 4 Chapitre 2 LES BASES : notations, théorèmes généraux Notations utilisées dans le cours : Sauf précisions, on utilise les notations conventionnelles suivantes : "minuscules" : u, i, p, … : grandeurs fonctions du temps, en remplacement de u(t), i(t), p(t), … "MAJUSCULES" : U, I, Umoy, … : grandeurs indépendantes du temps. "Caractères gras" : E, B, F, … : grandeurs r r r vectorielles, en remplacement de E , B, F , ... "Caractères soulignés" : U, I, Z, … : grandeurs complexes associées à des grandeurs sinusoïdales. Par exemple, pour des fréquences de l'ordre de 1 MHz, la dimension du circuit doit être très inférieure à 300 m. I.2. Tension ou d.d.p. I.2.a. Définition Pour obtenir une circulation de courant dans un circuit, il faut qu'au moins deux points de ce circuit soient à un instant donné à des potentiels différents. La notion de potentiel, directement liée à celle de champ électrique, sera explicitée en cours d’électrostatique. Pour l’instant, disons que c’est une quantité, définie en tout point du circuit, qui pourra être imposée en certains points (source de tension). C'est une grandeur algébrique. Conventionnellement, on représente la tension u AB = v A − v B entre les points A et B du circuit par une flèche dirigée vers le point A (la première des deux lettres A et B). I. Définitions. I.1. Courant I.1.a. Définition. Un courant électrique est une circulation de porteurs de charges électriques. L'intensité du courant électrique est la grandeur qui quantifie le débit de charge en un point du circuit. dq i= (II-1) dt BAuAB I.2.b. Loi des tensions (loi des mailles). La somme des tensions effectuée en parcourant une maille (ensemble d’éléments reliés bout à bout, point de départ et d’arrivée commun) est nulle. L'orientation du circuit en ce point fait que l'intensité est une grandeur algébrique (avec un signe). L’on décide de l’orientation de manière arbitraire, dans le cas général, mais si possible de manière à faciliter la présentation (voir conventions de fléchage en I.3) BAuABCuBCuCA I.1.a. Loi des intensités (loi des nœuds). La somme de toutes les intensités des courants entrant en un point de liaison, appelé nœud, est nulle. En effet v A − v A = 0 ⇒ vA − vB + vB − vC + vC − vA = 0 ⇒ u AB + u BC + u CA = 0 I.1.b. A.R.Q.S. : La loi qui précède ne peut être considérée comme exacte que dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) : c'est à dire dans les cas où le produit de la dimension du circuit par la fréquence des intensités considérées est très inférieur à la célérité (vitesse) de la lumière. I.3. Dipôle I.3.a. Définition. Elément d'un circuit électrique comportant deux bornes. Il impose une relation entre la tension u à ses bornes et l'intensité du courant i qui le traverse. La fonction f liant u à i : u = f(i) imposée par le dipôle est appelée caractéristique du 5 u=A u = A⋅i dipôle. Par extension ce terme désigne aussi la représentation graphique de cette fonction. u = A⋅i + B ⋅ I.3.b. Convention de fléchage. - di dt Convention récepteur : BAuABiAB II.1. Résistances. II.1.a. Equation caractéristique Pour une résistance on a : Rui Le courant et la tension sont fléchés en sens inverse. Cela permet d'obtenir des grandeurs positives pour des dipôles s'opposant à la circulation du courant. - (II-3) au cours du temps, tension et courant sont homothétique (de même forme). u = R ⋅i Convention générateur : BAuABiBA II.1.b. Puissance consommée u2 (II-4) p = R ⋅i2 = R Le courant et la tension sont fléchés dans le même sens. Cela permet d'obtenir des grandeurs positives pour des dipôles favorisant la circulation du courant. On constate que cette puissance est à chaque instant positive : la résistance est un élément dissipatif. I.3.c. Puissance électrique II.1.c. Précaution d'emploi La puissance instantanée mise en jeu par un dipôle est : (II-2) p = u ⋅i En régime établi, la résistance ne doit pas dissiper une certaine puissance Pmax dont la valeur est en général prescrite par le constructeur. On en déduit les valeurs maximales du courant et de la tension à ne pas dépasser à l'aide de la formule (I-4). La puissance dissipée l'est sous forme de chaleur, et c'est souvent l'augmentation de température qui est responsable de la destruction du composant. Pour des durées limitées, il est parfois possible de dépasser cette valeur, mais cela dépend de l'inertie thermique de la résistance. En l'absence d'indication du constructeur, il est hasardeux de tenter sa chance ! Cette puissance correspond à la puissance consommée lorsque u et i sont fléchés selon la convention récepteur et à la puissance fournie lorsqu'ils sont fléchés avec la convention générateur. I.4. Vocabulaire - - Conducteur : fil de liaison, Nœud : connexion de plusieurs fils de liaison, Branche : partie du circuit située entre deux nœuds, M a s s e : potentiel de référence d’un circuit, qui n’est pas nécessairement la Terre Terre : potentiel de référence d’une installation (par exemple salle de TP), lié physiquement au sol. II.1.d. Lois d'association II. DIPOLES LINEAIRES Ce sont des dipôles pour lesquels la fonction u = f(i) est une fonction différentielle à coefficients constants Exemples: - En série : Req = R1 + R 2 - En parallèle: Req = (II-5) R1 ⋅ R 2 R1 + R 2 (II-6) Remarques : - La conductance d'une "résistance" est la grandeur G telle que : G = - 6 1 R (II-7) Un conducteur idéal sera supposé avoir une résistance nulle : R = 0. - La résistance d'un conducteur non idéal de section s et de longueur l est : II.3. Sources de courant l R= ρ⋅ s II.3.a. Symbole et équation caractéristique Une source idéale de courant est un dipôle tel que : (II-8) ui II.2. Source de tension II.2.a. Symbole et équation caractéristique i = i N quelque soit u (II-11) Nous ne considérerons dans ce chapitre que des sources de courants continus, iN sera donc constant et noté IN Une source idéale de tension est un dipôle tel que : ui u = e TH quelque soit i (II-9) Nous ne considérerons dans ce chapitre que des sources de tensions continues, eTH sera donc constant et noté ETH II.3.b. Puissance maximale Ces sources de courant sont en général réalisées à l'aide de systèmes électroniques et la tension à leurs bornes est limitée à une valeur maximale Umax La puissance que peut alors délivrer la source de courant est donc inférieure à : II.2.b. Puissance et précautions On utilise en général pour ces dipôles la convention générateur, la grandeur p représente alors la puissance fournie : p = u ⋅ i = U max ⋅ I N ETHi II.3.c. Associations et précautions p = u ⋅ i = E TH ⋅ i Cette puissance doit rester inférieure à une valeur maximale imposée par le constructeur, il s'ensuit qu'il existe une valeur maximale du courant que peut débiter cette source de tension. - En parallèle : I eq = I 1 + I 2 - En série : il est interdit de placer en série deux sources de courant délivrant des courants d'intensités différentes. Une coupure du circuit doit être considéré comme une source de courant nul c'est à dire imposant : I = 0 quelque soit u. Il peut être dangereux d'ouvrir une branche contenant un générateur de courant car cela revient à placer en série avec elle une source de courant nul. Rendre passive une source de courant consiste à poser IN = 0 c'est à dire consiste à transformer la source de courant en coupure du circuit Sur le schéma cela consiste à supprimer le cercle : - II.2.c. Associations - En série : E eq = E1 + E 2 - En parallèle : il est interdit de placer en parallèle deux sources de tensions délivrant des tensions différentes. Le courant de circulation serait en effet infini. (II 10) - - Remarques : - - Un conducteur parfait doit être considéré comme une source de tension nulle c'est à dire imposant : U = 0 quelque soit i. (II-12) u0 Rendre passive une source de tension consiste à poser ETH = 0 c'est à dire que l'on transforme la source de tension en fil (conducteur parfait). Sur le schéma cela consiste à supprimer le cercle : II.4. sources liées (ou sources commandées) Il existe des sources de tension ou de courant dont la caractéristique est imposée par une autre tension ou un autre courant du circuit. 0i U = k.i' ou kv'I = k.i' ou kv' 7 Exemple : Le modèle équivalent de Thévenin (ou M.E.T.) d'un générateur réel comporte une source de tension en série avec un dipôle linéaire : iBIN =. iB eTHDipolelinéaire β La valeur de l'intensité débitée par la source de courant est imposée par la valeur de iB circulant dans une autre branche. Il s'agit alors d'une source de courant commandée en courant. En continu, la source de tension est une source de tension continue et le dipôle linéaire une résistance. ETHr III. METHODE D'ETUDE DES CIRCUITS Le modèle équivalent de Norton (ou M.E.N) d'un générateur réel comporte une source de courant en parallèle avec un dipôle linéaire. En continu c'est l'association en parallèle d'une source de courant et d'une résistance : III.1. Diviseur de tension, diviseur de courant. III.1.a. Diviseur de tension. R1u1R2R3uT rIN Lorsque plusieurs résistances sont en série, la tension aux bornes de l'une d'entre elle peut être déterminée par la relation : u1 = u T ⋅ R1 R = uT ⋅ 1 R1 + R 2 + R3 Ri Equivalence des deux modèles : Les résistances r des deux modèles sont les mêmes. Les trois paramètres ETH, IN et r sont liés par la relation : E TH = r ⋅ I N (II-15) (II-13) ∑ i III.1.b. Diviseur de courant. R1i1R2R3iT III.2.b. Lois d'associations des générateurs réels. - Lorsque plusieurs résistances sont en parallèle, le courant qui traverse l'une d'entre elle peut être calculé par la relation : G1 G1 i1 = iT ⋅ = iT ⋅ = iT ⋅ G1 + G 2 + G 3 Gi ∑ i 1 R1 1 R i i En série : On transforme chaque générateur en M.E.T., puis on associe les sources de tensions entre elles, et les dipôles linéaires entre eux : E1r1E2r2 (II-14) ∑ équivaut à E1 + E2r1 + r2 III.2. Générateurs réels III.2.a. Modèles de Thévenin et modèle de Norton d'un générateur réel - Beaucoup de générateurs ne peuvent pas être considérés comme des sources idéales. Ils sont alors modélisés (dans un certain domaine de fonctionnement et au prix de quelques approximations) par l'association d'une source idéale et d'un dipôle linéaire. 8 En parallèle : On transforme chaque générateur en M.E.N., puis on associe les sources de courant entre elles, et les dipôles linéaires entre eux : r1I1r2I2équivaut à :I1 + I2 r = Req = r1 + r2 r1 ⋅ r2 R1 ⋅ R 2 R1 + R 2 Remarques : - - III.3. Théorème de Thévenin et de Norton. Toute portion de circuit comprise entre 2 bornes A et B et qui ne contient que des éléments linéaires peut être modélisée par un générateur équivalent de Thévenin ou de Norton. La relation (I-29) liant ces trois valeurs, la détermination de deux d'entre elles est suffisante pour réaliser la modélisation. On aurait pu utiliser les lois d'association des générateurs pour trouver le résultat : Dans l'exemple précédent on peut considérer qu'il s'agit de 2 générateurs en parallèles : ER1R2AB0 Exemple : ER1R2AB que l'on transforme en modèles de Norton équivalents : R1R2AB E R1 III.3.a. Valeur à donner à ETH C'est la même que la valeur de la tension existant "à vide" entre A et B, c'est à dire celle que relèverait un voltmètre idéal placé entre les bornes A et B. Pour l'exemple précédent on a : E TH = R1 ⋅E R1 + R 2 Ce qui conduit à : AB R2 E1 ⋅ R1 + R 2 : diviseur de tension. III.3.b. Valeur à donner à IN R1 ⋅ R 2 R1 + R 2 L'intérêt est que l'on peut remplacer ensuite cette portion de circuit par le dipôle équivalent trouvé, ce qui peut faciliter la résolution d'un problème. C'est celle de l'intensité qui circulerait à travers un fil reliant les bornes A et B c'est à dire celle mesurée par un ampèremètre idéal placé entre A et B. Dans notre exemple on obtient : III.4. Théorème de Millman. Il permet de trouver le potentiel d'un point du circuit lorsqu'on connaît les autres. ER1R2ABIN R1R2XR3V1V3V2 soit : I N = E R1 ; R2 étant court-circuitée. V1 V 2 V3 + + R1 R 2 R3 VX = 1 1 1 + + R1 R 2 R3 III.3.c. Valeur à donner à r C'est la résistance équivalente à celle du dipôle AB rendu passif , soit pour l'exemple celui de la figure ci-dessous : (II-17) La démonstration est immédiate à l'aide de la modélisation par un ensemble de 3 générateurs en parallèle : R1R2AB 9 V1R1R2XMasseV2V3R3 Pour un condensateur on a : Cui+q-q En remplaçant par les modèles de Norton équivalent on obtient : r1I1r2I2I3r3I1+ I2+ I3 q = C ⋅u i =C⋅ du dt (II-18) (II-19) l'équation (I-10) montre que la tension aux bornes du condensateur ne peut pas subir de discontinuité, cela correspondrait en effet à un courant d'intensité infini, donc à une puissance infinie. Puis on applique la loi d'Ohm. III.7.b. Puissance consommée III.5. Théorème de superposition. L'équation (I-10) conduit à : Dans un circuit ne comportant que des éléments linéaires et plusieurs sources, on peut calculer le potentiel d'un nœud du circuit (ou le courant dans une branche) en faisant la somme des potentiels (ou des courants) obtenus lorsqu'on rend passif tous les sources indépendantes sauf une. (Il est nécessaire de laisser les sources liées). p = u ⋅i = C ⋅u ⋅ du dt En utilisant la relation mathématique suivante : ( ) d u2 du du du =u + u = 2u dt dt dt dt (II-20) on obtient la relation (I-12) p= III.6. Conseils pour la résolution des problèmes. - dq du =C⋅ dt dt ⇒ ( ) d u2 1 ⋅C⋅ 2 dt (II-21) la puissance instantanée consommée par un condensateur est liée à la variation du carré de la tension à ses bornes : si celui ci augmente, le condensateur consomme de la puissance. Mais si le carré de la tension à ses bornes diminue alors le condensateur fourni de la puissance au reste du circuit. L'énergie échangée entre 2 instants ti et tf vaut : Compter le nombre de nœuds dans le circuit. Par exemple le circuit ci dessous ne comporte que 2 nœuds donc une seule tension, les 3 dipôles sont donc en parallèle : W= 1 ⋅ C ⋅ u Cf2 − u Ci2 2 ( ) (II-22) III.7.c. Précaution d'emploi - - - Il ne faut pas dépasser en valeur instantanée la valeur maximale de la tension prescrite par le constructeur. En cas de dépassement, même très bref, on risque de provoquer un claquage entraînant la destruction du composant. D'autre part les condensateurs électrochimiques sont polarisés : une tension inverse à leurs bornes provoque un dégagement gazeux qui peut conduire à une explosion. Affecter le potentiel 0 à la masse du montage ou , à défaut de précision à la borne (–) du générateur délivrant la tension la plus élevée. Utiliser les lois permettant de réduire au maximum le circuit avec le minimum de calcul Vérifier que l'on utilise le diviseur de tension pour des résistance effectivement en série c'est à dire traversée par le même courant et le diviseur de courant pour des résistances effectivement en parallèle c'est à dire placées entre les mêmes nœuds. III.7.d. Lois d'association - En parallèle : C eq = C1 + C 2 - En série: C eq = C1 ⋅ C 2 C1 + C 2 III.7. Condensateurs III.7.a. Equation caractéristique III.8. Inductances. 10 (II-23) (II-24) III.8.a. Equation caractéristique Une inductance L est un dipôle tel que : III.8.d. Lois d'association Lui di u = L⋅ dt et u= dΦ di = L⋅ dt dt (II-26) - III.8.b. Puissance consommée p = u ⋅i = L ⋅i ⋅ () d i2 1 ⋅L⋅ 2 dt di dt (II-27) L'énergie échangée entre 2 instants ti et tf vaut : ) (II-30) Les lois précédentes ne sont valables que pour des inductances non couplées magnétiquement. Les bobines utilisées comme inductances sont réalisées à l'aide de bobinage de fil de cuivre. La résistance de ces bobines n'est pas toujours négligeable ce qui conduit à modéliser une bobine réelle par l'association en série d'une inductance idéale L et d'une résistance r. avec : u = L ⋅ la puissance instantanée consommée par une inductance est liée à la variation du carré de l'intensité qui la traverse : si celui ci augmente, l'inductance consomme de la puissance. Elle en fourni dans le cas contraire. 1 ⋅ L ⋅ i Lf2 − i Li2 2 L1 ⋅ L2 L1 + L2 Luir En utilisant la même transformation mathématiques que pour le condensateur, on obtient la relation (I-18) ( En parallèle: Leq = - L'équation (I-16) conduit à : W= - (II-29) Remarques : L'équation (I-16) montre que l'intensité du courant traversant une inductance ne peut pas subir de discontinuité, cela correspondrait en effet à une tension infinie à ses bornes, donc à une puissance infinie. p= En série : Leq = L1 + L2 (II-25) Cette relation vient de l'expression du flux du champ magnétique et de la loi de Faraday qui seront vues en magnétostatique : Φ = L ⋅i - (II-28) III.8.c. Précaution d'emploi Il ne faut pas dépasser en valeur instantanée la valeur maximale de l'intensité prescrite par le constructeur. En cas de dépassement, même très bref, on risque de "saturer" le circuit magnétique, ce qui provoque une diminution brutale de la valeur de l'inductance pouvant entraîner une surintensité. 11 di + r ⋅i dt (II-31) Chapitre 3 REGIMES VARIABLES PERIODIQUES Soit p(t) la puissance instantanée consommée par un dipôle à l’instant t. En régime périodique on défini par P la puissance moyenne ou puissance active : I. DEFINITIONS. I.1. Notations générales - g ou g(t) : grandeur variable au cours du temps, <g> = Gmoy = G = valeur moyenne de la grandeur _ valeur de crête. Geff = G (sans indice) = valeur efficace U et I valeurs efficaces de tension ou de courant. G : nombre complexe pouvant être associé à une grandeur g(t) fonction sinusoïdale du temps. P= (III-7) ∫ II.2. Quelques cas particuliers II.2.a. Régimes continus : P=U.I (III-8) II.2.b. Une grandeur (u ou i) est continue. Par exemple la tension est continue u = U et l'intensité est périodique. On peut écrire : P =U ⋅ I.2. Grandeurs périodiques si g(t) est une fonction périodique de période T et de fréquence f, on peut écrire : 1 T t +T (III-9) ∫ i(t )dt = U ⋅ I t II.2.c. Cas des interrupteurs idéaux Pour les interrupteur idéaux, quand u ≠ 0 alors i = 0 et quand i ≠ 0 alors u = 0. C'est pourquoi à chaque instant, le produit u.i est nul : P = 0. g (t ) = G + G1 2 sin(ωt + ϕ 1 ) + G 2 2 sin( 2ωt + ϕ 2 ) + ... + 1 t +T u ⋅ idt T t (III-1) G n 2 sin(ωt + ϕ n ) + ... ainsi que : g (t ) = G + g a (t ) (III-2) II.3. Puissance consommée par les dipôles linéaires avec - ω= 2π -1 = 2πf : pulsation (rd.s ) T (III- 3) ga(t) : ondulation ou composante alternative de g(t). La valeur moyenne de g(t) : G= 1 T t +T ∫ g (t )dt On a : ∫ Ou bien : i = (III-4) u 1 1 ⇒P= ⋅ u 2 dt R R T T ∫ II.3.b. Valeurs efficaces t Définition : On pose I : valeur efficace de i(t) la grandeur telle que : On défini également : - le fondamental de g(t), I2 = (III-5) l'harmonique de rang n de g(t) : (III-6) g n (t ) = G n 2 sin( nωt + ϕ 1 ) g 1 (t ) = G1 2 sin(ωt + ϕ 1 ) - II.3.a. Résistances ; 1 2 u = R ⋅i ⇒ P = R ⋅ i dt T T 1 2 1 2 i dt ⇒ I = i dt T T∫ T T∫ (III-10) I est l’intensité du courant continu qui dissiperait la même puissance que i(t) à travers une résistance. De la même manière on pose : II. PUISSANCE ELECTRIQUE EN REGIMES U= VARIABLES II.1. Cas général. 12 1 u 2 dt T T∫ (III-11) Remarque 1 : U ≥ |_| et I ≥ |_| (démo. = un peu de math.) Remarque 2 : u(t) et |u(t)| ont la même valeur efficace. Remarque 3 : La valeur efficace d'une tension u n’est pas forcément égale à Û/√2 Attention ! Pour les régimes périodiques non sinusoïdaux, ce n'est pas un cosinus. III. REGIMES SINUSOÏDAUX. Ce sont les régimes ou la tension et le courant sont tous les deux des fonctions sinusoïdales du temps. Lorsqu'une source de tension sinusoïdale alimente un circuit ne comportant que des dipôles passifs linéaires, toutes les tensions et toutes les intensités sont des fonctions sinusoïdales du temps ayant même fréquence. II.3.c. Inductances pures On a vu au chapitre 2 (§ III.8.b) que : p = u ⋅i = L ⋅i ⋅ di dt d'où l'on déduit que l'énergie échangée entre 2 instants ti et tf vaut : 1 W = ⋅ L ⋅ i Lf2 − i Li2 2 ( III.1. Définitions ) III.1.a. Impédances et admittance des dipôles linéaires En régime périodique la valeur du courant est la même au début et à la fin de la période (sinon cela n’est pas un régime périodique). On en déduit : Dans le cas de régimes sinusoïdaux, on note Z le rapport de la valeur efficace de la tension aux bornes du dipôle par la valeur efficace du courant qui le traverse : ΔW = 0 ⇒ P = 0 Z= Une inductance ne consomme pas de puissance active en régime périodique. Y, l'admittance du dipôle (en Siemens), est l'inverse de l'impédance : II.3.d. Condensateurs Y= 1 = I Z U On peut montrer que l’on obtient les mêmes équations que pour l’inductance en inversant L et C ainsi que i et u. ΔW = Cette représentation conduit à une méthode de résolution des problèmes, d’emploi souvent simple, assez puissante, qu’il ne faut pas hésiter à employer. On représente une grandeur sinusoïdale de la forme y = a cos (ωt + ϕ) par un vecteur Un condensateur ne consomme pas de puissance active en régime périodique. II.4. Puissance apparente et facteur de puissance. OM tournant autour d’un point fixe O à une vitesse angulaire ω, ce vecteur ayant une longueur a et faisant avec l’axe polaire dit l’axe des phases un angle ωt + ϕ. II.4.a. Puissance apparente La puissance apparente consommée par un dipôle est définie par : (III-12) S =U ⋅I =U eff ⋅Ieff C'est produit des valeurs efficaces. L'unité correspondante est le Volt-Ampère (V.A.) et non pas le Watt. C'est une grandeur un peu artificielle, qui est utile pour le dimensionnement des installations. y a O ωt + ϕ Dans le cas du circuit passif linéaire, tous les vecteurs considérés tournant à la même vitesse angulaire, l’ensemble de ceux-ci, dit construction de Fresnel, tourne autour de O sans se déformer, aussi a-t-on coutume de représenter les vecteurs à l’instant t=0. II.4.b. Facteur de puissance Noté fp, il est défini par le rapport : P S (III-15) III.1.b. Représentation de Fresnel 1 C (U 2f − U i2 ) 2 fp = (III-14) Z est appelée impédance du dipôle, en Ohm. Remarque : on a fait abstraction de sa résistance interne ! D’où U U eff = I I eff (III-13) 12 Prenons l’exemple d’un circuit RC série alimenté par une tension sinusoïdale. III.1.c. Transformations complexes Nous utiliserons le plus souvent les nombres complexes comme outil pour la résolution des problèmes d'électrocinétique en régime sinusoïdal. La représentation de Fresnel peut être considérée comme la représentation dans le plan complexe de quantités électriques, courants ou tensions, définies de manière suivante : i R u = Û cos ωt C On a : A une grandeur g(t) fonction sinusoïdale du temps et telle que : (III-16) g(t)=G 2 cos(ωt +ϕ) on fait correspondre un nombre complexe G tel que : - Module de G = G : valeur efficace de la grandeur, - Argument de G = ϕ : phase à l'origine de la grandeur. t 1 u = Û cos ù t = R i + ∫ i(t' ) dt' C0 Cherchons i sous la forme i= Î cos(ωt+ϕ) : uR = R Î cos(ωt+ϕ) et Î uC= 1 Î sin(ωt+ϕ) = cos(ωt+ϕ - π/2) ùC ùC uC est en quadrature retard par rapport à uR. Il est simple de prendre pour origine des phases la phase de i. La construction de Fresnel se fait alors de la façon suivante : par un point O de l’axe on mène le vecteur représentant uR, puis on lui ajoute vectoriellement le vecteur représentant uC. Le vecteur somme représente u. On peut alors écrire le nombre complexe G de deux manière : - G = a + jb = G cos ϕ + jG sin ϕ - -ϕ Origine des phases celle de i Û Î Cù Û 1 2 R +( ) ùC En coordonnées polaires : G = G∠ϕ (III-18) Lorsque nous avons besoin de faire la somme ou la différence de deux grandeurs sinusoïdales g1(t) et g2(t), on utilise les coordonnées rectangulaires : (a + jb )+ (c + jd )= (a + c) + j(b + d) (III-19) Lorsque nous avons besoin de faire la produit ou la division de deux grandeurs sinusoïdales g1(t) et g2(t), on utilise les coordonnées polaires : [G1 ∠ϕ 1 ]⋅ [G 2 ∠ϕ 21 ]= [(G1 ⋅ G 2 )∠(ϕ 1 + ϕ 2 )] (III20) Pour calculer Î et ϕ à partir de cette représentation, on utilise les propriétés du triangle rectangle : Î= (III-17) Remarque : en électricité, le nombre complexe imaginaire pur unité est noté j, afin d’éviter la confusion avec la notation du courant électrique. Nous le noterons j. R Îi O En coordonnées rectangulaires : et 2 tan(ϕ)= 1 RCù III.1.d. Impédances et admittances complexes Dans le cas de régimes sinusoïdaux on note : (III-21) u(t)= U 2 cos(ωt +ϕ u ) R 2 +( 1 )2 l’impédance du ùC circuit. On définit aussi l’admittance Y=1/Z. Cet exemple se généralise à des circuits comportant des inductances (dont la ddp aux bornes est en quadrature avance par rapport au courant). On appelle Z = i(t)= I 2 cos(ωt +ϕ i) (III-22) respectivement la tension aux bornes du dipôle et le courant qui le traverse. 13 On défini alors l'impédance complexe du dipôle par Z, Z étant le rapport de la tension complexes aux bornes du dipôle par le courant complexe qui le traverse : Z= U U = ∠(ϕ u − ϕ i ) = Z∠ϕ I I cos a ⋅ cos b = p = UI cos(2ωt + ϕ i + ϕ u ) + UI cos(ϕ u − ϕ i ) Cette expression est la somme de deux termes : - (III-24) Application au cas des dipôle linéaires : Dipôle Z Y R G Inductances L jLω -j / Lω -j / Cω jCω Condensateurs C (III- 27) On défini l'admittance complexe du dipôle par Y le nombre complexe tel que : Résistances R (III- 26) on obtient : (III-23) I I 1 Y = = = ∠(ϕ i − ϕ u ) = Y∠ − ϕ Z U U 1 [cos(a + b )+ cos(a − b )] 2 La puissance fluctuante : le premier terme de la formule (III-27). C'est une grandeur sinusoïdale de fréquence 2f et de valeur moyenne nulle. - La puissance active : le deuxième terme, qui est d'ailleurs égale à la moyenne de p : (III-28) P = UI cos ϕ _ correspond au déphasage de la tension par rapport au courant. III.1.e. M.E.T. et M.E.N. en régimes sinusoïdal. III.2.b. Puissance apparente et facteur de puissance. Les loi du diviseur de courant et du diviseur de tension ainsi que les théorèmes de Thévenin, Norton et Millman peuvent être utilisés en régime sinusoïdal à condition d'utiliser les nombre complexes images des courants et des tensions ainsi que les impédances complexes. Le modèle de Thévenin d'un ensemble de dipôles linéaires est constitués d'une source de tension sinusoïdale en série avec une impédance : On rappelle que la puissance apparente consommée par un dipôle est définie par : S = U ⋅ I = U eff ⋅ I eff (III-12) et le facteur de puissance par : fp = P S (III-13) Dans le cas des régimes sinusoïdaux, ce facteur de puissance est égal au cosinus du déphasage de la tension par rapport à l'intensité. Les distributeurs pénalisent les gros consommateurs d'électricité dont le facteur de puissance est inférieur à une certaine norme (en France 0,93 soit tg ϕ > 0,4). ETHZ Le modèle de Norton d'un ensemble de dipôles linéaires est constitué d'une source de courant sinusoïdale en parallèle avec une impédance : IV. MESURES DE TENSIONS VARIABLES YIN IV.1. Voltmètres numériques IV.1.a. Mesure de la tension moyenne Schéma de principe : uCi = k.uIkKK’ III.2. Puissances en régimes sinusoïdal III.2.a. Puissance active et puissance fluctuante. L'expression de la puissance instantanée lorsque la tension et le courant sont des fonctions sinusoïdales du temps conduits à : p = 2UI ⋅ cos(ωt + ϕ u ) ⋅ cos(ωt + ϕ i ) (III-25) - en utilisant la relation trigonométrique : 14 K passant et K’ bloqué : on charge C pendant une durée constante Tint : la durée - d’intégration (en général 100 ms) avec un courant i = k.u (k dépend du calibre choisi). K bloqué, K’ passant : on mesure la durée Δt nécessaire pour décharger C à courant constant = I IV.1.c. Cas des voltmètres «bas de gamme» Les multiplieurs de précision sont des composants coûteux, les appareils bas de gamme utilisent la méthode de mesure suivante : umoyenneSortiex 1,11Entrée Ci dessous nous avons comparé l'évolution de la tension aux bornes du condensateur lorsque l'entrée du montage est soumise à une tension variable u puis à une tension 2u : 2.iiTintt2.tuCt Ces appareils ne peuvent mesurer que la valeur efficace de tensions purement sinusoïdales : umoyenneSortie :x 1,11Entrée 0,637 ⋅ Û 0,707 ⋅ Uˆ = Uˆ 2 Δ Δ IV.2. Voltmètres analogiques La charge totale stockée vaut : ku.Tint ; Cette charge est ensuite déstockée à courant constant et vaut donc : I.t ; d’où : u = Bien que l’on n’en fabrique quasiment plus, ils sont encore utilisés dans certaines salles de T.P.. Ce sont des appareils dérivés des ampèremètres analogiques. I ⋅ Δt k ⋅ Tint Si la tension est doublée, on constate que la durée de décharge est aussi doublée. IV.2.a. Voltmètres magnétoélectriques Ils sont repérés par le symbole : En position continu ils affichent la valeur moyenne des tensions de forme quelconque. En position alternatif, ils indiquent la valeur efficace uniquement pour les tensions sinusoïdales (ils fonctionnent selon le même principe que les voltmètres numériques bas de gamme). IV.1.b. Mesure de la valeur efficace d’une tension Les appareils capables de mesurer la valeur efficace d’une tension de forme quelconque sont dits : voltmètres TRMS (True Root Mean Square) ou RMS AC+ DC. Principe de la mesure : k.u(k.u)2Xmoyenne<(k.u)2>Valeurefficacevraie IV.2.b. Voltmètres ferromagnétiques Ils sont repérés par le symbole : Appareils obsolètes : ils peuvent mesurer la valeur efficace des tensions de forme quelconque, mais leur bande passante est limitée à quelques centaines de Hz. et leur faible résistance interne (quelques centaines d’ohms) fait qu’ils perturbent le montage. Il est donc préférable de ne plus les utiliser. Remarques : - Certains appareils ne mesurent que la valeur efficace de l’ondulation de u : Ua . Ils sont dits RMS-AC avec AC : alternating current. Par opposition les voltmètres qui mesure la valeur efficace de la tension en incluant sa valeur moyenne sont dits RMS –AC + DC, avec DC : direct current. - Pour obtenir la valeur efficace vraie avec un voltmètre RMS-AC il faut faire le 2 + U a2 calcul suivant : U eff2 = U moy IV.3. Limitations IV.3.a. Impédance interne 15 Un voltmètre réel peut être considéré comme l'association en parallèle d'un voltmètre idéal (traversé par un courant nul) et d'une impédance placée en parallèle : VZVi = 0 tension est ensuite mesurée par un voltmètre ou visualisée par un oscilloscope. Pour en savoir plus : Un capteur à effet Hall fourni une tension proportionnelle au champ magnétique et donc dépendant de l'intensité i. i uH L'impédance interne du voltmètre Z V est en général constante pour les voltmètres numériques et fonction du calibre choisi pour les voltmètres analogiques. Mais les non-linéarités et les phénomènes d'hystérésis empêchent d'obtenir une mesure très précise dans une large gamme d'intensité. Aussi le montage est modifié : un système électronique (contre réaction) impose au transformateur ci dessous de fonctionner à flux nul, et c'est le courant d'annulation du flux is qui est converti en tension à l'aide d'un convertisseur à amplificateur opérationnel : IV.3.b. Limite en bande passante. La gamme de fréquence pour laquelle le voltmètre est utilisable est définie par le constructeur. En dehors de cette plage de fréquence le voltmètre fourni une valeur erronée, le plus souvent inférieure (mais pas systématiquement) à la valeur exacte de la tension (Cf. TP Mesures). is vs ip up V. AUTRES APPAREILS DE MESURES V.1. Ampèremètres V.1.a. Généralités R Les ampèremètres numériques sont constitués de l ‘association d’un convertisseur couranttension et d’un voltmètre numérique. On retrouve donc des appareils numériques et des appareils analogiques du même type que les voltmètres, avec les mêmes spécifications. vM = R is convertisseur courant-tension Le rapport de transformation m est égal à 1000 ou 10 000, on a : is = 1/m ·ip. Remarque : les ampèremètres ferromagnétiques sont encore utilisables pour mesurer la valeur efficace des courants non sinusoïdaux de fréquences industrielles. Ce type de capteur est plus coûteux que le shunt et sa sensibilité aux champs magnétiques extérieures peut nécessiter quelques précautions, mais il apporte de nombreux avantages : La chute de tension introduite dans le montage est très faible : vs étant limitée à quelques volts la tension vp est inférieure à quelques mV. L’isolation galvanique entre la mesure et le circuit est un élément appréciable de sécurité. La bande passante est relativement large : du continu à couramment 100kHz (500 kHz pour certains modèles), elle est souvent supérieure à celle du voltmètre mesurant la tension vM. Un ampèremètre réel peut être considéré comme l'association en série d'un ampèremètre idéal (tension nulle à ses bornes) et d'une impédance placée en série : AZAu = 0 Si l'utilisation de capteur de calibre 500 kA concerne plus l'industrie qu'une salle de travaux pratiques, on trouve dans le commerce des appareils à circuit ouvrable permettant la mesure de courant d'intensité comprise entre quelques dixièmes d'ampère et quelques centaines d'ampères. Du fait de l'éventail des calibres et de leur bande passante, les capteurs à effet Hall sont introduits dans un grand nombre d'appareils de mesure : ampèremètres, multimètres, wattmètres, analyseurs de L'impédance interne ZA d'un ampèremètre est en général fonction du calibre. V.1.b. Sonde à effet Hall Les pinces ampèremétriques à effet Hall se placent autour d’un conducteur parcouru par l’intensité à mesurer. Elles permettent de convertir l’intensité de ce courant en une tension proportionnelle. Le facteur de proportionnalité est indiqué sur l’appareil. La réseau et convertisseurs courant-tension pour oscilloscope. V.2. Wattmètres Le wattmètre est muni d’un capteur de courant, d’un capteur de tension et d’un 16 IMVRxFigure V.3.1 multiplieur. Il affiche ensuite le produit de cette multiplication. Pour pouvoir fonctionner, les deux bornes du capteur de courant doivent être en série avec le dipôle et les deux bornes du capteur de tension en parallèle du dipôle dont on mesure la puissance qu’il consomme. DFigure V.2W IVVRxFigure V.3.2IM Pour en savoir plus : Lorsque la valeur de la résistance RX est inférieure à une dizaine d'ohms il faut mettre en œuvre un câblage qui évite de prendre en compte les diverses résistances de connexion : il s'agit du montage réalisé dans les ohmmètres 4 fils dont le schéma équivalent est représenté ci-après : Il est nécessaire de respecter simultanément les limitations des deux capteurs sous peine de destruction de l’appareil (par exemple, la puissance consommée par un interrupteur est très faible bien que le courant qui le traverse ne soit pas négligeable). Rc IV V.3. Ohmmètres Un générateur de courant impose une intensité IM à travers la résistance RX puis on mesure la tension VM apparaissant à ses bornes (figure V.3.1). Mais un tel montage ne permet pas de mesurer avec précision des résistances dont la valeur excède quelques kΩ car le courant dans le voltmètre n'est alors plus négligeable (la résistance interne du voltmètre étant couramment égale à 10 MΩ). Le montage est donc complété par un générateur de courant auxiliaire asservi à la valeur de la tension mesurée par le voltmètre et chargé de délivrer le courant dans le voltmètre noté IV (figure V.3.2). IM Rx V R'c RC et R’C représentent les résistances des connexions de la résistance RX à l'ohmmètre. RX étant faible, IV est négligeable devant IM. La chute de tension RC.IV est donc négligeable devant RX.IM. La chute de tension R’C.IM. n'est, quant à elle, pas prise en compte par le voltmètre. 17 Chapitre 4 CIRCUITS LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL Le régime sinusoïdal est un cas particulier des régimes variables. Il est particulièrement important pour deux raisons : - C’est le régime sous lequel est produite et distribuée l’énergie électrique. - Tous les régimes périodiques peuvent être décomposés en somme de régimes sinusoïdaux. Le théorème de superposition permet d’utiliser les principaux termes de cette décomposition afin de décomposer l’étude d’un circuit linéaire alimenté en régime périodique quelconque en somme de circuit alimenté en régime sinusoïdal. commode d’utiliser la transformation complexe et de définir T(ω) telle que : T (ω)= T(ω) est alors un nombre complexe dont le module et l’argument dépendent de la fréquence, donc de la pulsation. Il est donc entièrement défini par les expressions : - De son module T = fT(ω) - De son argument ϕ = fϕ(ω) Afin de rendre compte des propriétés du quadripôle il est habituel de tracer les deux courbes correspondant aux évolutions de son module et de son argument en fonction de la fréquence. Pour des raisons de commodité on préfère utiliser des échelles logarithmiques, d’où l’introduction du décibel. Une première étude des régimes sinusoïdaux a été faite au chapitre 3. On rappelle les expressions des impédances et des admittances complexes des dipôles linéaires : Dipôle I.2. Le décibel Z Y Résistances R R G Inductances L jLω -j / Lω -j / Cω jCω Condensateurs C I.2.a. Décibel sonore Au son le plus faible perceptible par l’oreille humaine (il s’agit évidemment d’une moyenne réalisée sur un « échantillon représentatif ») on fait correspondre la valeur de 0 Bel.. La puissance sonore correspondante est notée Pref. = 10-12 W. - Un son de puissance 10. Pref. correspond à 1 Bel soit 10 décibels (dB). - Un son de puissance 100. Pref. correspond à 2 Bel soit 20 dB. - Un son de puissance 10 n. Pref. correspond à n Bel soit (10.n) dB. I. REPONSE EN FREQUENCE DES CIRCUITS LINEAIRES I.1. Fonction de transfert L ‘association de dipôles linéaires dont l’impédance est liée à la fréquence (inductances, condensateurs) permet de réaliser des circuits dont l’une au moins des tensions a une valeur qui dépend de la fréquence d’excitation. Ce type de circuit peut se mettre sous la forme d’un quadripôle : T()Vs() = T[Ve()]Ve() ω ω ω ω Vs (ω) Ve(ω) I.2.b. Décibel en électricité. On définit, comme pour les sons, le gain en puissance d’un quadripôle par GP exprimé en Bel : ω P GP =log s Pe On rappelle que la pulsation ω est liée à la fréquence par la relation : Une tension u appliquée aux bornes d’une résistance R provoque la dissipation d’une puissance : ω =2πf La fonction T(ω) est couramment appelée fonction de transfert du quadripôle. Il est plus 2 P= u R 18 Pour une tension de référence notée Vref choisie arbitrairement, on peut calculer la valeur en décibel d’une tension V à l’aide de la relation : 2 V 2 =10n ⋅Vref Courbe de gain 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+05 1,E+06 40 n soit V =(10)2 ⋅Vref 20 Cette échelle est le plus souvent utilisé pour la quantification du module du gain en tension d’un quadripôle : GV =20⋅log 0 Vs =20⋅log T . Ve -20 Cela revient à considérer que Vref = Ve. -40 Remarque : La valeur du gain en tension d’un Courbe de phase quadripôle qui divise la tension par 2 (ce qui correspond à une puissance divisée par 2) est égale à : GV =20⋅log 1 = −3,0103 dB ≈ - 3 dB 2 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 3,14 1,57 I.3. Diagramme de Bode. Il est constitué de deux courbes ; - La courbe de gain où l’on trace le gain en fonction du logarithme de la pulsation (ou de la fréquence). - La courbe de phase où l’on trace l’argument de T (en radians) en fonction du logarithme de la pulsation. Propriété importante : Lorsqu’une fonction de transfert T peut s’écrire sous la forme du produit de 2 fonctions de transfert T1 et T2 alors son diagramme de Bode peut être tracé en faisant la somme des deux diagrammes de Bode de T1 et T2 : T =T 1⋅T 2 0,00 -1,57 -3,14 On remarque que la courbe de gain est une droite ayant un coefficient directeur négatif égal à - 20 dB par décade. Ce quadripôle est inutilisable pour les très basses fréquences. En effet l’intégration d’un grandeur continue conduit à une tension de sortie qui tend vers l’infini. Comme ces quadripôles sont le plus souvent réalisés à l’aide de montage comportants des amplificateurs opérationnels, la tension de sortie est limitée à une quinzaine de volts. Lorsque la tension de sortie atteint cette valeur limite, on dit que le quadripôle est “saturé”. ⇒20logT =20logT1 + 20logT2 ⇒ Arg T =Arg T 1 + Arg T 2 Afin de pouvoir exploiter la proprièté précédente, nous présentons ci-dessous les diagrammes de Bode des fonctions de transfert les plus élémentaires (avec ω0 choisi arbitrairement : ω0 = 2000 rad/s) I.3.b. Dérivateur La fonction de transfert d’un dérivateur est : I.3.a. Intégrateur T= En sinusoïdal, on obtient l’expression complexe de l’intégrale d’une grandeur en divisant le nombre complexe image de cette grandeur par jω : T= jω ω0 On multiplie le nombre complexe image de la grandeur par jω . ω0 jω dont le diagramme de Bode est : 19 Courbe de gain 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 Courbe de gain 1,E+05 1,E+06 1,E+01 40 40 20 20 0 0 -20 -20 -40 -40 1,E+02 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+05 1,E+06 Courbe de phase Courbe de phase 1,E+01 1,E+03 1,E+05 1,E+01 1,E+06 3,14 3,14 1,57 1,57 0,00 0,00 -1,57 -1,57 -3,14 -3,14 Le coefficient directeur est positif et égal à + 20 dB par décade. A l’inverse du quadripôle intégrateur, le dérivateur conduit théoriquement à une tension de sortie infini pour les très hautes fréquences. Les montages intégrateurs sont donc saturés à partir d’une certaine valeur de la fréquence d’entrée. D’autre part ils sont très sensibles aux parasites de fréquences élevées qu’ils amplifie considérablement. La solution consiste à les empêcher de fonctionner au delà d’une certaine fréquence. 1,E+02 1,E+03 1,E+04 I.3.d. Passe haut du premier ordre n°1 Fonction de transfert : jω ω0 T= jω 1+ ω0 Diagramme de Bode : Courbe de gain 1,E+01 40 20 I.3.c. Passe bas du premier ordre. Fonction de transfert : 0 T= 1 jω 1+ ω0 -20 Diagramme de Bode : -40 20 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 Le diagramme de Bode dépend de la valeur de ξ. ou du facteur de qualité Q (cf. Chapitre 4). On rappelle que : Courbe de phase 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 3,14 Q= 1 2ξ 1,57 Les diagrammes de Bode représentés cidessous correspondent à Q = 0,5 pour les courbes en traits fins et Q = 5 pour les courbes en traits épais (ω0 = 2000 rd/s) 0,00 -1,57 Courbe de gain -3,14 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+05 1,E+06 20 0 I.3.e. Passe haut du premier ordre n°2 Fonction de transfert : T =1+ -20 jω ω0 -40 Diagramme de Bode : Courbe de gain 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 -60 1,E+05 1,E+06 40 Courbe de phase 1,E+01 20 1,E+02 1,E+03 1,E+04 3,14 0 1,57 -20 0,00 -40 -1,57 Courbe de phase 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 -3,14 1,E+06 3,14 On remarque qu’au-delà de ω0, le coefficient directeur vaut – 40 dB par décade, et qu’il existe une symétrie de la courbe de phase par rapport au point (ω0 ; -π/2). 1,57 0,00 II. METHODE D’ETUDE. A partir d’un exemple nous allons développer les méthodes mises en œuvre pour l’étude des quadripôles. -1,57 -3,14 II.1. Expression de la fonction de transfert Contrairement au précédent il sature pour les hautes fréquences. Considérons le montage représenté à la figure 1: I.3.f. Passe bas du second ordre. Fonction de transfert : T= 1 2 ω 1+ 2jξ − ω 2 ω0 ω0 21 RCvsveCRFigure 1 En trait fin, on a tracé la courbe réelle : pour ω =ω 0 , T = 1 3 On constate que le diagramme asymptotique fourni une approximation suffisante de la courbe de gain. Il en n’est malheureusement pas de même en ce qui concerne la courbe de phase : la courbe réelle étant relativement différente au voisinage de ω0 . Ce montage est équivalent à celui représenté figure 2, à condition de poser : Z 1= R− j Cω Courbe de phase −jR C R Z 2= ω = j jRCω +1 R− Cω 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 3,14 1,57 Z1vsveZ2Figure 2 0,00 -1,57 On a alors : Z2 1 1 = = Z 1 + Z 2 j RCω − 1 +3 ω ω0 j − +3 RCω ω0 ω posant ω0 = 1 RC T= en -3,14 ) ( II.3. Détermination expérimentale du diagramme de Bode d’un quadripôle. Pour tracer le diagramme de Bode d’un quadripôle, on l’alimente avec un générateur délivrant une tension sinusoïdale dont la valeur efficace est fixe et dont la fréquence est réglable (figure 3). II.2. Tracé du diagramme de Bode asymptotique d’un quadripôle. Pour ω →0 , T → jω : dérivateur (Cf. § - vsveFigure 3Voie 1quadripôle Sondedifférentielle (sinécessaire) Voie 2GBF ω0 I.3.b) - Pour ω →∞ , T → ω0 : intégrateur (Cf. § jω I.3.a) D’où le diagramme asymptotique : Courbe de gain 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 40 20 0 -20 -40 22 Chapitre 5 REGIMES TRANSITOIRES II.1.a. Etat initial (t < 0) I. RAPPELS DU CHAPITRE 2 L’interrupteur K ouvert impose i = 0, donc la tension uC aux bornes du condensateur UC0 est constante (IV-2) et la tension uR aux bornes de la résistance est nulle. La tension uK aux bornes de l'interrupteur vaut donc : (V-5) u K = E −U C0 A t = 0, on ferme l'interrupteur K (rien n'oblige à poser comme origine des temps l'instant de la fermeture de K, mais c'est plus pratique). La loi des mailles et la loi des nœuds sont applicables aux expressions instantanées des courants et des tensions. On se limite à l'étude des circuits qui ne comportent que des dipôles linéaires : résistances R, inductances pures L, condensateurs C et générateurs parfaits. Les équations caractéristiques de ces dipôles sont: Résistance : u = R ⋅ i (V-1) du Condensateurs : i = C ⋅ (V-2) dt di Inductances : u = L ⋅ (V-3), dt Sources de tension : u = E quelque soit i II.1.b. état à t = 0+ C'est l'instant qui suit la fermeture de K. L'interrupteur étant fermé, on a uK = 0. La loi des mailles impose : E = u R + u K + uC (V-6) La tension aux bornes du condensateur vaut toujours UC0. On obtient alors : u R 0+ = E − U C 0 (V-7) (IV-4) Les équations (V-2) et (V-3) imposent : - En continu (régime "établi"), la dérivée de n'importe quelle grandeur étant nulle, l'inductance se comporte comme un fil ou un interrupteur fermé et le condensateur se comporte comme une coupure du circuit ou un interrupteur ouvert. - L'intensité qui traverse une inductance ne peut subir de discontinuité (varier instantanément). De même la tension aux bornes d'un condensateur ne peut subir de discontinuité. d'où : i 0+ = E −U C0 R (V-8) Le circuit subit une brusque discontinuité de courant qui impose un début de variation pour la tension uC avec un coefficient directeur à l'origine qui vaut : du C dt E −U C0 = RC 0+ (V-9) II.1.c. A t quelconque. En considérant (IV-1), (IV-2) et (IV-6) on obtient : II. REGIMES TRANSITOIRES DU PREMIER ORDRE. E = R ⋅C du C + uC dt (V-10) Le produit RC, homogène à une durée est appelé constante de temps du circuit. II.1. Modification de la charge d'un condensateur à travers une résistance. La solution de l'équation différentielle (V-10) s'obtient à l'aide de la solution générale donnée en annexe (annexe IV-1) et en considérant que : - UC0+ = UC0 - UCf = E ERCuCiuRKuKFigure 1 23 résistance du circuit on doit éventuellement ajouter la résistance de la bobine et la résistance interne du générateur. L'ouverture de l'interrupteur lorsque le courant est établi est contraire au principe qui interdit la mise en série de deux sources de courant imposant des courants d'intensités différentes (Cf. Chapitre 1, § II-5c). Cette ouverture produit une étincelle de rupture aux bornes de l'interrupteur. - τ = RC On en déduit : t u C = (U C 0 − E )⋅ exp − +E RC (V-11) - La courbe de la variation de uc correspond à la courbe type décrite en annexe (§ IV-2). Remarques : - Plus le produit R C est grand plus les variations de uC s'effectuerons lentement. - Si le générateur de tension continue est remplacé par une source de tension périodique e(t), de période T et de valeur moyenne E moy, la tension qui s'établira aux bornes du condensateur sera d'autant plus proche de Emoy que τ sera supérieure à T. III. REGIMES TRANSITOIRES DU SECOND ORDRE III.1. Cas général. Le circuit étudié est représenté à la figure 3. II.2. Etablissement du courant dans un circuit inductif. RLuLiuCFigure 3uRuEC ERLuLiuRKFigure 2 La loi des mailles impose : u E = u R + u L + uC En utilisant les équations caractéristiques de ces dipôles on obtient : L'étude se mène d'une manière similaire à celle effectuée au paragraphe précédent : - pour t < 0, u K = E et u L = u R = i = 0 - - L⋅ L di E ⋅ +i = R dt R (V-14) en substituant (I-10) Dans (IV-11), il vient : à t = 0+ : il ne peut pas y avoir de discontinuité pour l'intensité traversant l'inductance L : u R = i = 0 , de plus u K = 0 donc on a : u L = E (brusque discontinuité de la tension aux bornes de l'inductance). Pour t > 0, la loi des mailles impose : uL + uR = E ⇒ di + R ⋅ i + uC = u E dt LC d 2uC dt + RC 2 du C + uC = u E dt et en dérivant IV-11 : LC d 2i dt 2 + RC du di +i = C E dt dt (V-16) Ces grandeurs respectent une équation différentielle du second ordre d'où l'appellation "régimes transitoires du second ordre". (V-12) La solution de cette équation différentielle est alors : III.2. Solution du régime libre. E t E E t i = − ⋅ exp − + = 1 − exp − (V-13) L R R R τ R L avec τ = , constante de temps du circuit. R On pose u E = 0 = Cte ⇒ du E = 0 . Nous sommes dt donc amenés à résoudre l'équation différentielle suivante : LC d2x dt 2 + RC dx d 2 x R dx 1 +x=0⇔ 2 + + x=0 dt L dt LC dt Remarques : - (V-15) III.2.a. Notations usuelles ω0 : pulsation propre en rad/s, telle que : La résistance à prendre en compte est la résistance totale de la maille : à la 24 uC subit des oscillations, ce régime est dit pseudopériodique. 1 1 = ω 02 ⇒ Lω 0 = LC Cω 0 τ : temps de relaxation en seconde : τ = L R Rc : résistance critique en Ohm : Rc = 2 figure 5 8 6 L C 4 2 ξ (ou σ , ou m) : coefficient d'amortissement sans unité R R = :ξ= 2 Lω 0 R c 0 -20,00 ω 02 dt 2 0,08 -8 -10 La période de ces oscillations vaut : 1 dx 1 d 2 x 2ξ dx +x=0⇔ 2 + +x=0 Qω 0 dt ω 0 dt 2 ω 0 dt T= 2π 2π = ω ω ⋅ 1−ξ 2 0 Lorsque le facteur de qualité est supérieur à 2, (ξ < 0,25), cette pseudo-période est proche de celle qui correspond au régime oscillant non amorti, soit : III.2.b. Solutions de l'équation Le discriminant de l'équation caractéristique est égal à : T = 2π LC : 2 4 R − LC L - Pour R = Rc (ou Q = 0,5 ou ξ =1), le régime est dit "critique". La figure 6 nous permet de voir que dans ce cas la tension aux bornes du condensateur ne subit aucun dépassement et qu'elle s'annule très rapidement. Il est nul lorsque la résistance de la maille est égale à la résistance critique Rc. Les résultats de la résolution des équations différentielles développées en annexe (§ IV-2) nous obligent à différentier 3 régimes distincts selon la valeur de R, la résistance totale de la maille : - 0,06 -6 Avec ces notations, l'équation à résoudre peut s'écrire : + 0,04 -4 Lω 0 1 1 = = Q, facteur de qualité : Q = 2ξ R RCω 0 1 d2x 0,02 figure 6 0 0,00 -2 0,02 0,04 0,06 0,08 Pour R < Rc (ou Q < 0,5 ou ξ >1) -4 Les racines sont réelles, l'allure de la tension uC est représentée à la figure 4 (avec Q = 0,25). On constate que u C ne subit aucune oscillation, ce régime est dit apériodique. -6 -8 figure 4 0 0,00 -2 -10 0,02 0,04 0,06 0,08 III.3. Solution complète. -4 Nous nous limiterons au cas où uE est égal à une constante. La solution particulière s'obtient, comme pour le premier ordre, en cherchant le régime final (ou régime établi). On additionne à ce résultat la solution de l'équation sans second membre, puis on détermine les constantes à l'aide des conditions initiales. -6 -8 -10 - Pour R > Rc (ou Q > 0,5 ou ξ <1) Les racines sont complexes, l'allure de la tension uC est représentée à la figure 5 avec (Q = 4). On constate que III.4. Applications pratiques 25 Deux cas se présentent fréquemment en électricité : ∫ - Les oscillations sont recherchées On réalise alors des circuits de très grands facteurs de qualité. Le problème consiste à minimiser la résistance de la maille. En électronique on utilise parfois des montages "convertisseurs d'impédances négatives" qui permette de l'annuler. dx l dt 1 t =− =− dt ⇒ ln x l = − + Cte xl τ τ τ ∫ ∫ Si A = B alors exp(A) = exp(B ), donc la solution du régime libre est : t t x l = exp − + Cte = K ⋅ exp − τ τ Pour obtenir la solution complète x, on additionne les solutions xl et Xf : t x = K ⋅ exp − + A τ - Les oscillations doivent être éliminées. Les résonances produites peuvent provoquer l'apparition de tensions ou de courants détruisant une partie du circuit. Par exemple un condensateur placé en parallèle d'un dipôle inductif pour améliorer le facteur de puissance peut provoquer une mise en résonance du circuit pour un harmonique du réseau. Il faut alors modifier sa valeur pour décaler la fréquence de résonance. K est une constante d'intégration que l'on détermine avec la solution complète et la condition initiale c'est à dire la valeur X0+ prise par x à l'instant t = 0+ : 0 X 0 + = K ⋅ exp − + A = K + A ⇒ K = X 0 + − A τ La solution générale est donc : t x = (X 0 + − A)⋅ exp − τ IV. ANNEXES IV.1. Solutions des équations différentielles du premier ordre. + A IV.1.b. Allure des courbes : La courbe obtenue à l'aide des valeurs du § précédent est représentée ci dessous : IV.1.a. Résolution mathématique Soit l'équation différentielle du premier ordre : dx τ +x= A dt La solution de ce type d'équation est la somme de deux termes : La solution du régime forcé et la solution du régime libre. Le régime forcé ou régime final, dans ce cas, correspond au moment ou l'on a atteint le régime continu. La grandeur x est alors continue, égale à Xf et sa dérivée est nulle. La solution du régime forcé est donc : Xf = A x tg à l'origine x final Après une durée correspondant à τ, la valeur de x est X0+ plus 63 % de la variation à effectuer soit : Le régime libre est régit par l'équation différentielle : τ dx l + xl = 0 dt x(τ ) = X 0 + + 0,63( X f − X 0 + ) Après une durée correspondant à 3τ, la valeur de x est X0+ plus 95 % de la variation à effectuer soit : Pour résoudre cette équation, on commence par séparer les variables xl et t : τ ⋅ dx l = − x l ⋅ dt ⇒ dx l dt =− xl τ x(3τ ) = X 0 + + 0,95( X f − X 0 + ) Enfin, après une durée correspondant à 5τ, la valeur de x est X0+ plus 99,3 % de la variation On intègre ensuite les deux membres de cette équation : 26 à effectuer, on peut alors considérer que le régime transitoire est terminé. x = K 1 exp(r1t )+ K 2 exp(r2 t ) Pour les régimes transitoires du second ordre rencontrés en électricité il est d'usage d'écrire l'équation différentielle sous la forme : IV.1.c. Demi-période Dans certains domaines scientifiques il est plus habituel, pour les régimes transitoires du premier ordre, de définir à la place de la constante de temps τ une durée T appelée demi-période (T ≈ 0,7 τ). Après une durée T la variable a effectué la moitié de la variation, il en reste donc la moitié. Après deux T il en reste un quart, après 3 T il en reste un huitième etc.. Le régime transitoire peut être considéré comme terminé après 7 T ≈ 5 τ. d2x dt 2 r 2 + 2ξω 0 r + ω 02 = 0 ( 3 cas se présentent alors : - dt Les constantes sont déterminées à l'aide des conditions initiales : à t = 0+ - dx +x=0 dt x = (K 1t + K 2 )exp(rt ) = (K 1t + K 2 )exp(− ω 0 t ) - Δ' < 0 ⇒ ξ 2 < 1 Les deux racines sont deux nombres complexes conjugués : Ar 2 + Br + 1 = 0 r1 = ω 0 ξ − j 1 - ξ 2 r2 = r1* = ω 0 ξ + j 1 - ξ 2 Cette équation porte le nom d'équation caractéristique de l'équation différentielle. La solution de l'équation d X + X = 0, dt Δ' = 0 ⇒ ξ 2 = 1 ⇒ ξ = 1 Dans ce cas particulier : r1 = r2 = r = −ω 0 , et la solution est de la forme : à condition de poser r1 ⋅ r2 = A et r1 + r2 = − B La détermination des valeurs de r1 de r2 s'effectue en constatant que ce sont les racines de l'équation du second degré suivante : − r2 ) x = K 1 exp(r1t )+ K 2 exp(r2 t ) dx +B +x=0 dt − (r1 + r2 ) ( d'où d dx dx − r2 − r1 + x + − r1 + x = 0 dt dt dt 2 ) r2 = −ξω 0 + ω 02 ξ 2 − 1 = −ω 0 ξ − ξ 2 − 1 On peut montrer que cette équation peut être développée sous la forme : d2x ( r1 = −ξω 0 − ω 02 ξ 2 − 1 = −ω 0 ξ + ξ 2 − 1 Il est régit par l'équation différentielle suivante : r1 r2 Δ' > 0 ⇒ ξ 2 > 1 On a alors deux racines réelles négatives (car ξ > 0) IV.2.a. Solution du régime libre: dt 2 ) dont le discriminant est Δ' = ξ 2ω 02 − ω 02 = ω 02 ξ 2 − 1 IV.2. Solutions des équations différentielles du second ordre. A dx + ω 02 x = 0 dt Les racines r1 et r 2 sont alors les solutions de l'équation caractéristiques : Exemples : demi-vie des atomes radioactifs, période d'un tissu pour les calculs de désaturaturation de l'azote en plongée sous marine. d2x + 2ξω 0 La solution est de la forme : dx avec : X = − r1 + x dt ( ) ( ) x = K 1 exp r1 ⋅ t + K 2 exp r2 ⋅ t De plus on pose habituellement : est de la forme (Cf. § IV-1) : ω = ω0 ⋅ 1−ξ 2 X = K 2 ⋅ exp(r2 t ) d'où : Il reste alors à résoudre : x = exp(ξω 0 t )⋅ (K 1 exp(− jω ⋅ t )+ K 2 exp(jω ⋅ t )) dx X = − r1 + x = K 2 exp(r2 t ) dt Les constantes K1 et K2 sont déterminées à l'aide des conditions initiales. ayant pour solution (Cf. § IV-1) : 27
