Etude d`un circuit R, L, C parallèle – diagrammes de Bode et

IUT RT La Rochelle
Année 2011-2012
Mathématiques 1A – Module M1
Fondamentaux d’Algèbre et de Trigonométrie
Etude d’un circuit R, L, C parallèle – diagrammes de Bode et de Nyquist
R
I – Impédance du circuit R, L, C parallèle
On considère un circuit R, L, C parallèle traversé
par un courant sinusoïdal de pulsation variable 
L
i(t)
- L’intensité du courant est de la forme : i (t )  I M sin t
- La tension aux bornes est de la forme : u (t )  U M sin(t   )
C
Nous allons calculer l ' impédance complexe Z en fonction de 
u(t)
Cela permettra d’étudier le déphasage  entre la tension et l’intensité :   arg  Z 
le rapport des amplitudes
UM
U
entre la tension et l’intensité : M  Z
IM
IM
1) Taper sous Maxima et interpréter la commande : assume(w>=0) 
Indiquer de même à Maxima que R, L et C sont strictement positifs.
2) a) Calculer à la main l’expression de l’ admittance complexe Y = 1/Z du circuit
Rappel (loi de Kirchhoff) : dans un montage en parallèle, les admittances Yi = 1/ Zi s’ajoutent.
b) Définir la fonction correspondante sous Maxima :
Y(w):= 1/R + … 
3) Définir sous Maxima la fonction impédance complexe Z() : Z(w):= 1/Y(w) 
Visualiser le résultat et contrôler la réécriture effectuée en réaffichant sa valeur : Z(w) 
4) a) Calculer avec Maxima la forme algébrique de Z() ( utiliser le bouton Forme cart. )
b) Définir sous Maxima la fonction déphasage  ( )  arg  Z ( )  :
%phi(w):= arg(Z(w)) 
Visualiser le résultat simplifié par Maxima : %phi(w):= arg(Z(w)) 
b
5) a) Justifier que si z  a  bi est un complexe de partie réelle a  0 , alors arg( z )  arctan  
a
b) Retrouver alors à la main l’expression de  ( ) du 4)b) à partir de celle de Z() du 4)a)
6) a) Définir sous Maxima la constante 0 
1
:
LC
w0 : 1/sqrt(L*C) 
b) Calculer et simplifier avec Maxima Z (0 ) . Qu’obtient-t-on pour cette pulsation particulière 0 ?
c) Justifier sans calculs que le déphasage  (0 ) est nul est nul. Vérifier avec Maxima.
7) Définir sous Maxima la fonction gain G ( )  20 log Z ( )
(exprimé en dB) : G(w):= … 
Visualiser le résultat et contrôler la simplification effectuée en réaffichant sa valeur : G(w) 
8) a) Calculer avec Maxima la dérivée de G ( )  20 log Z ( ) ( utiliser le bouton Dériver  )
b) En déduire avec Maxima les solutions de l’équation G( )  0 ( utiliser le bouton Résoudre  )
9) Justifier alors la définition de la pulsation propre 0 d’un circuit RLC :
La pulsation propre (ou de résonance) d’un circuit RLC est celle pour laquelle le déphasage entre la
tension et l’intensité est nul, et pour laquelle le gain (et donc le rapport des amplitudes) est maximum.
II – Diagrammes de Bode
y
Les diagrammes de Bode d’un circuit en régime
permanent sont le résultat du tracé des courbes des
fonctions G ( ) et de  ( ) représentées dans des
repères semi-logarithmiques en abscisse.
1
0
1) Définir sous Maxima les trois constantes R, L et C suivantes :
R = 1k (un kilo Ohm = 103 
L = 0,5 H (Henry)
10
1
100
2

log
R:… ; L:… ; C:… 
(un micro Farad = 10 F)
C = 0,3 F
2) Tracer la courbe semi-logarithmique de
G ( ) en appuyant sur Courbe 2D»
et en utilisant les paramètres ci-contre :
(sélectionnez d’abords la valeur de
avant d’entrer celle des autres paramètres)
Lorsque  est très grand, on peut faire l’approximation :
1 
1 
  C 
2
 L 
R 
2
1
2
2
  C    C 
2
R

3) Calculer alors à la main une expression approchée de G ( ) en utilisant le résultat de I 6)
En déduire la forme de la courbe observée pour le diagramme précédent pour  est grand.
4) Faire le travail équivalent pour  est très petit (proche de 0) et interpréter également le résultat.
5) Tracer maintenant la courbe semi-logarithmique de  ( ) en utilisant les mêmes paramètres.
Commenter l’allure de la courbe obtenue.
III – Diagramme de Nyquist
M ( )
Im  Z (w) 
Le diagramme de Nyquist d’un circuit en régime
permanent est le résultat du tracé du lieu des points
M() d’affixes Z() pour  compris entre 0 et 
1) Tracer la courbe paramétrique des points M() en
utilisant les paramètres ci-dessous :
2) Quelle « figure » donne le diagramme de Nyquist de ce circuit ?.
Z ( )
Arg  Z ( ) 
Re  Z (w) 