Exercices : Physique Statistique

Phy-Stat 04 :Systèmes à trois niveaux d'énergie
On considère un système de N particules indépendantes pouvant exister dans 3 états quantiques
d'énergies égales à 0, ε et 2ε. Le système est en équilibre avec un thermostat de température
T.
Exercices : Physique Statistique
1. Quelle est l'énergie moyenne du système pour T <<
Phy-Stat 02 :Atmosphère adiabatique
Pour l'air atmosphérique de la troposphère (partie de l'atmosphère la plus proche du sol
terrestre) le modèle de l'atmosphère adiabatique est plus réaliste que le modèle de l'atmosphère
isotherme. Dans ce modèle, la pression locale P(z) et la masse volumique ,µ(z) sont supposées
vérifier la relation :
P(z) µ(z)-γ = constante,
où = γ est le rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant de
l'air qui est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29,0 g mol-1.
L'accélération de la pesanteur est supposée uniformément égale à g = 9,81 m s-2.
1. On note T (z) la température à l'altitude z. Montrer que : P(z)1-γ (T(z)γ = constante.
2. En dérivant le logarithme de cette équation et en utilisant l'équation fondamentale de l'
hydrostatique dans le champ de pesanteur, établir que :
dT (z )
= −Γ
dz
où Γ est une constante que l'on exprimera en fonction de M, g, γ et R (constante des gaz
parfaits). Calculer numériquement Γ. Expliquer pourquoi ce modèle n'est pas applicable sur
toute la hauteur del'atmosphère.
ε
kB
? pour T >>
ε
kB
? T =
ε
kB
?
Justifier les réponses.
2. Quelle est la capacité thermique pour T <<
ε
kB
? pour T >>
ε
kB
? Justifier les réponses.
Que peut-on en déduire ?
Phy-Stat 06 :Niveaux de vibration
1
Les niveaux d'énergie de vibration d'une molécule diatomique sont En =  n +  .h.νvib

2
Où νvib est la fréquence de vibration et n est un entier positif quelconque. On considère un
échantillon de ces molécules en équilibre avec un thermostat de température T.
1. Exprimer en fonction de h,νvib et T :
• le pourcentage des molécules qui sont dans l'état d'énergie E1,
• le pourcentage de molécules qui sont dans les différents états excités En avec n ≥ 1.
2. Faire les applications numériques à T = 298 K dans le cas de la molécule de diiode I2 dont la
fréquence de vibration, particulièrement basse, est ,νvib = 6,438.1012 Hz.
3. Exprimer P(z) en fonction de P(0), T (0), Γ, γ et z.
Phy-Stat 08 :Expérience de Kappler
Phy-Stat 03 :Expérience de Jean Perrin
Dans son livre « les atomes » publié en 1913 Jean Perrin décrit des expériences qui lui ont
permis de mesurer le nombre d' Avogadro. Au terme d'une préparation décrite dans le livre,
l'auteur obtient une suspension dans l'eau de grains de gomme-gutte sphériques (résine jaune
d’origine végétale), ayant tous le même rayon a de l'ordre du dixième de micron. Il observe ces
grains au microscope, l'échantillon étant contenu dans une cuve de 100 µm de profondeur. La
gomme-gutte est une substance solide de densité d = 1,194.
1. Chaque grain est soumis à son poids et à la poussée d'Archimède (égale à l'opposé du poids
de son volume en eau). Montrer que l'énergie potentielle Ep (z) d'un grain de coordonnée z le
long d'un axe (Oz) vertical ascendant est de la forme Ep(z) = Az où A est une constante. On
exprimera A en fonction de g, d, a et de la masse volumique de l'eau, µeau.
2. En faisant l'hypothèse que les grains suivent la loi de Boltzmann, déterminer une longueur h,
dépendant de A et de la température T de l'échantillon, qui caractérise la répartition des grains
selon l'axe (Oz).
Quel est l'ordre de grandeur de h à la température ambiante ? Commenter.
3. Lors d'expériences soignées avec des grains de rayon a = 0,212 µm, Perrin a trouvé que les
concentrations des grains en quatre plans horizontaux équidistants traversant la cuve aux
niveaux : 5, 35, 65 et 95 µm sont proportionnelles respectivement aux nombres : 100, 47, 23 et
12.
En déduire une valeur approchée du nombre d'Avogadro, sachant que la constante des gaz
parfaits vaut R = 8,314 J K-1 mol-1, en prenant pour la température de l'échantillon la valeur
(non précisée par l'auteur) T = 273 K.
L'expérience de Kappler (1931) a permis de mesurer la constante
Boltzmann à partir des fluctuations de position d'un petit pendule
de torsion placé dans une enceinte thermostatée de température
T. Le pendule est constitué par un petit miroir suspendu au bout
d'un fil de quartz. Ce miroir peut tourner autour de l'axe du fil et
sa position est repérée par l'angle de torsion θ du fil, angle entre
la normale n au miroir et la direction n 0 de celle-ci lorsque le fil
n'est pas déformé.
L'énergie potentielle associée à la torsion du fil est
le fil.
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où C est une constante caractérisant
1. Un rayon lumineux arrivant sur le miroir fait un angle α avec n 0 ;. Quel est l'angle α' entre le
rayon réfléchi et n0 ?
Le rayon réfléchi arrive sur un film photographique situé à grande distance L du miroir.
Exprimer le déplacement d du point d'impact lorsque θ varie d'un angle très faible ∆θ.
2. Du fait des chocs des molécules du gaz contenu dans l'enceinte avec le miroir, l'angle θ
fluctue autour de 0.
2.a) En utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie exprimer <θ2>.
2.b) Avec les données suivantes : T = 287,1 K, C = 9,428.10-16 kg .m2. s-2 et L = 0,865 m,
Kappler a mesuré <d2> = 1,250.10-5 m2. Quelle valeur de la constante de Boltzmann a-t-il
trouvée ?
3. Le fil était en quartz, de longueur et de diamètre δ, et sa constante de raideur est C =
G
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1
C .θ 2
2
π .δ 4
32.
où G = 31,14.106 Pa est le module de rigidité du quartz. En supposant que était de
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4) Estimer la capacité thermique du dihydrogène aux températures suivantes : 10 K, 100 K,
1000 K, 10000 K.
l'ordre de 1 m, déterminer l'ordre de grandeur de δ.
Phy-Stat 09 : Capacité thermique du dihydrogène gazeux
On s'intéresse à la capacité thermique du dihydrogène H2 lorsqu'il est gazeux. On rappelle que :
-34
h = 6,626.10
J.s,
h
=
2π
et kB = 1, 381.10
-23
-1
JK .
1) L'écart entre deux niveaux d'énergie de translation d'une molécule H2 est de l'ordre de
grandeur de ∆trans =
h2
m * .L2
où m* = 3,345.10-27 kg est la masse de la molécule et L la taille
récipient dans lequel le gaz est contenu Calculer Θtrans =
∆trans
pour une valeur réaliste de L.
kB
Conclure quant à l'utilisation du théorème d'équipartition de l'énergie pour les degrés de liberté
de translation.
2) La distance entre les deux noyaux d'hydrogène dans la molécule H2 est a = 74,14 pm.
2.a) Vérifier que le moment d'inertie de la molécule par rapport à un axe perpendiculaire à l'axe
1
2
des noyaux est I ≈ m * .a 2 m*a2. Calculer numériquement I.
2.b) Rappeler les expressions du moment cinétique L et de l'énergie cinétique Ec d'un solide en
rotation autour d'un axe fixe en fonction de son moment d'inertie I et de sa vitesse de rotation
ω. En déduire une expression de Ec en fonction de L et I uniquement.
2.c) En mécanique quantique l'expression de l'énergie de rotation en fonction du moment
cinétique reste la même qu'en mécanique classique et le moment cinétique est quantifié les
valeurs possibles de L2 sont ( + 1) 2 où est un entier positif ou nul. Exprimer le plus petit
écart ∆rot entre deux niveaux d'énergie de rotation de la molécule de dihydrogène en fonction de
et I.
2.d) Calculer numériquement Θrot
∆
= rot
kB
3) On s'intéresse aux mouvements de vibration de la molécule. On note r la distance entre les
deux noyaux d'hydrogène qui n'est plus nécessairement égale à a. L'énergie potentielle de
déformation de la molécule est modélisée par :
avec E0 = 7,716.10
-19
Ep = E0 (e-2α(r-a) - 2e-α(r-a) + 1)
J et α = 2,002.1010 m-1.
L'énergie cinétique de vibration est Ec =
•2
1
m * .r .
8
Phy-Stat 12 : Molécule de dihydrogène ortho ou para
Le dihydrogène gazeux est un mélange de types de molécules qui diffèrent l'une de l'autre par
le spin de leurs noyaux atomiques. Ces deux formes sont appelées ortho- et para-hydrogène, et
la forme ortho correspond à un état excité qui n'existe pas à l'état pur.
On considère un système de N molécules indépendantes de dihydrogène dans leur état
fondamental à deux niveaux d’énergie ε1 et ε2 en équilibre avec un thermostat qui maintient la
température T. On suppose que N >>1 et on pose : ε = ε2 - ε1 > 0 et
ε
= βε = 175K
kB T
1) A quelle énergie correspond l’état para-hydrogène ?
2) On suppose que l’état para est non dégénéré tandis que l’état ortho est dégénéré 3 fois.
En déduire la fonction de partition puis le nombre de molécules, notés N1 et N2, dans chacun
des deux états.
3) Déterminer l’énergie interne U en fonction de N, ε1, ε et β.
4) Le thermostat maintient une température T = 14 K. Montrer que
N2
= 3.exp ( −βε )
N
En déduire
une expression approchée de l’énergie interne et de la capacité thermique à volume constant.
Phy-Stat 17 : Modèle de ferromagnétisme
On considère le modèle à deux niveaux de paramagnétisme de Brillouin. Chacun des N atomes
d'un solide de température T, placé dans un champ magnétique. B = B.uz , possède alors l'énergie
magnétique -mzB où mz projection du moment magnétique selon uz , peut prendre les valeurs ±
m
1) Rappeler l'expression des probabilités d'occupation de chacun des états pour un atome.
2) En déduire l'expression du moment magnétique moyen du solide <mztot> en projection sur
uz , en fonction du champ magnétique B et de la température T. Tracer l'allure de <mztot>
en fonction de ..B à température fixée.
3) Quelle est la valeur maximale atteinte ? Expliquer le résultat.
Dans certaines substances dites ferromagnétiques (aimants), le champ magnétique engendré par
les différents atomes prend des valeurs notables et ne peut pas être négligé par rapport au
champ extérieur B . L'expression précédente de <mztot> reste valide, à condition de remplacer
B. par B + λ.<mztot> où λ est une constante.
3.a) Tracer la courbe donnant Ep en fonction de r.
4) Grâce à une interprétation graphique, montrer que le moment magnétique <mztot> est non
nul, même en l'absence de champ magnétique, dans une certaine gamme de températures.
3.b) On s'intéresse à des petites vibrations pour lesquelles α(r - a) << 1. Trouver l'expression
5) Que peut-on prévoir si on chauffe un aimant ?
de la constante k telle que Ep =
1
k .(r − a)2 .
2
Calculer numériquement k.
•
3.c) Exprimer l'énergie mécanique de vibration en fonction de u = r - a et u . En déduire
l'expression de la fréquence ν de vibration. Calculer numériquement ν.
1
3.d) En mécanique quantique les niveaux d'énergie de vibration sont  n +  .h.ν où n est un
2

entier. Exprimer le plus petit écart ∆vib entre deux niveaux d'énergie de vibration. Calculer
numériquement Θvib =
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∆vib
kB
Phy-Stat 18 : Capacité thermique des solides
Afin de pouvoir évaluer précisément la capacité thermique d'un solide, on utilise le modèle
unidimensionnel suivant (modèle d'Einstein, 1907).
Chaque atome de masse m est considéré comme un oscillateur harmonique quantique à 1
dimension. Quantiquement, les énergies d'un oscillateur harmonique unidimensionnel d'énergie
1
1
potentielle Ep(x) = mω2 x2 sont En =  n +  ω , où ω est une constante et n est un entier
2
2

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
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naturel.
On pose : u =
ω
kB T
1) Pour un solide en équilibre avec un thermostat de température T, exprimer la probabilité
pn(u) qu'un atome soit dans l'état indicé par n
2) Montrer que l’énergie moyenne <ε(T)> d’un atome vaut :
<ε(T)> =
3)
4)
5)
6)
 ω 
ω
.coth 

2
 2.kB T 
Évaluer la capacité thermique que molaire Cv,m(T) du solide.
Quelle est la limite à haute température ? Quelle loi retrouve-t-on ?
Quelle est la limite de Cv,m(T) à basse température ? Comment l'interpréter simplement ?
Tracer l'allure de Cv,m(T).
On donne :
coth(X) =
+∞
ch(X)
sh(X)
∑ n.exp(−αn) =
n=0
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et ( coth(X)) ' = −
1
α
4sh2  
2
1
sh2 (X)
pour α > 0
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