Exercices : Physique Statistique

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Exercices : Physique Statistique
Phy-Stat 02 : Atmosphère adiabatique
Pour l'air atmosphérique de la troposphère (partie de l'atmosphère la plus proche du sol
terrestre) le modèle de l'atmosphère adiabatique est plus réaliste que le modèle de l'atmosphère
isotherme. Dans ce modèle, la pression locale P(z) et la masse volumique ,µ(z) sont supposées
vérifier la relation :
P(z) µ(z)
-
γ
= constante,
où = γ est le rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant de
l'air qui est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29,0 g mol
-1
.
L'accélération de la pesanteur est supposée uniformément égale à g = 9,81 m s
-2
.
1. On note T (z) la température à l'altitude z. Montrer que : P(z)
1-
γ
(T(z)
γ
= constante.
2. En dérivant le logarithme de cette équation et en utilisant l'équation fondamentale de l'
hydrostatique dans le champ de pesanteur, établir que :
( )dT z
dz
= −Γ
où Γ est une constante que l'on exprimera en fonction de M, g, γ et R (constante des gaz
parfaits). Calculer numériquement Γ. Expliquer pourquoi ce modèle n'est pas applicable sur
toute la hauteur del'atmosphère.
3. Exprimer P(z) en fonction de P(0), T (0), Γ, γ et z.
Phy-Stat 03 : Expérience de Jean Perrin
Dans son livre « les atomes » publié en 1913 Jean Perrin décrit des expériences qui lui ont
permis de mesurer le nombre d' Avogadro. Au terme d'une préparation décrite dans le livre,
l'auteur obtient une suspension dans l'eau de grains de gomme-gutte sphériques (résine jaune
d’origine végétale), ayant tous le même rayon a de l'ordre du dixième de micron. Il observe ces
grains au microscope, l'échantillon étant contenu dans une cuve de 100 µm de profondeur. La
gomme-gutte est une substance solide de densité d = 1,194.
1. Chaque grain est soumis à son poids et à la poussée d'Archimède (égale à l'opposé du poids
de son volume en eau). Montrer que l'énergie potentielle E
p
(z) d'un grain de coordonnée z le
long d'un axe (Oz) vertical ascendant est de la forme E
p
(z) = Az où A est une constante. On
exprimera A en fonction de g, d, a et de la masse volumique de l'eau, µ
eau.
2. En faisant l'hypothèse que les grains suivent la loi de Boltzmann, déterminer une longueur h,
dépendant de A et de la température T de l'échantillon, qui caractérise la répartition des grains
selon l'axe (Oz).
Quel est l'ordre de grandeur de h à la température ambiante ? Commenter.
3. Lors d'expériences soignées avec des grains de rayon a = 0,212 µm, Perrin a trouvé que les
concentrations des grains en quatre plans horizontaux équidistants traversant la cuve aux
niveaux : 5, 35, 65 et 95 µm sont proportionnelles respectivement aux nombres : 100, 47, 23 et
12.
En déduire une valeur approchée du nombre d'Avogadro, sachant que la constante des gaz
parfaits vaut R = 8,314 J K
-1
mol
-1
, en prenant pour la température de l'échantillon la valeur
(non précisée par l'auteur) T = 273 K.
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Phy-Stat 04 : Systèmes à trois niveaux d'énergie
On considère un système de N particules indépendantes pouvant exister dans 3 états quantiques
d'énergies égales à 0, ε et 2ε. Le système est en équilibre avec un thermostat de température
T.
1. Quelle est l'énergie moyenne du système pour T <<
B
k
ε
? pour T >>
B
k
ε
? T =
B
k
ε
?
Justifier les réponses.
2. Quelle est la capacité thermique pour T <<
B
k
ε
? pour T >>
B
k
ε
? Justifier les réponses.
Que peut-on en déduire ?
Phy-Stat 06 : Niveaux de vibration
Les niveaux d'énergie de vibration d'une molécule diatomique sont E
n
=
1
2
n + .h.ν
vib
Où ν
vib
est la fréquence de vibration et n est un entier positif quelconque. On considère un
échantillon de ces molécules en équilibre avec un thermostat de température T.
1. Exprimer en fonction de h,ν
vib
et T :
• le pourcentage des molécules qui sont dans l'état d'énergie E
1
,
• le pourcentage de molécules qui sont dans les différents états excités E
n
avec n ≥ 1.
2. Faire les applications numériques à T = 298 K dans le cas de la molécule de diiode I
2
dont la
fréquence de vibration, particulièrement basse, est ,ν
vib
= 6,438.10
12
Hz.
Phy-Stat 08 : Expérience de Kappler
L'expérience de Kappler (1931) a permis de mesurer la constante
Boltzmann à partir des fluctuations de position d'un petit pendule
de torsion placé dans une enceinte thermostatée de température
T. Le pendule est constitué par un petit miroir suspendu au bout
d'un fil de quartz. Ce miroir peut tourner autour de l'axe du fil et
sa position est repérée par l'angle de torsion θ du fil, angle entre
la normale
n
au miroir et la direction
0
n
de celle-ci lorsque le fil
n'est pas déformé.
L'énergie potentielle associée à la torsion du fil est
2
1
.
2
C
θ
où C est une constante caractérisant
le fil.
1. Un rayon lumineux arrivant sur le miroir fait un angle α avec
0
n
;. Quel est l'angle α
'
entre le
rayon réfléchi et
0
n
?
Le rayon réfléchi arrive sur un film photographique situé à grande distance L du miroir.
Exprimer le déplacement d du point d'impact lorsque θ varie d'un angle très faible ∆θ.
2. Du fait des chocs des molécules du gaz contenu dans l'enceinte avec le miroir, l'angle θ
fluctue autour de 0.
2.a) En utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie exprimer <θ
2
>.
2.b) Avec les données suivantes : T = 287,1 K, C = 9,428.10
-16
kg
.
m
2.
s
-2
et L = 0,865 m,
Kappler a mesuré <d
2
> = 1,250.10
-5
m
2
. Quelle valeur de la constante de Boltzmann a-t-il
trouvée ?
3. Le fil était en quartz, de longueur et de diamètre δ, et sa constante de raideur est C =
. 4
32.
G
π δ
où G = 31,14.10
6
Pa est le module de rigidité du quartz. En supposant que était de

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l'ordre de 1 m, déterminer l'ordre de grandeur de δ.
Phy-Stat 09 : Capacité thermique du dihydrogène gazeux
On s'intéresse à la capacité thermique du dihydrogène H
2
lorsqu'il est gazeux. On rappelle que :
h = 6,626.10
-34
J.s,
2
h
π
= et k
B
= 1, 381.10
-23
J K
-1
.
1) L'écart entre deux niveaux d'énergie de translation d'une molécule H
2
est de l'ordre de
grandeur de ∆
trans
=
2
2
*.
h
m L
où m* = 3,345.10
-27
kg est la masse de la molécule et L la taille
récipient dans lequel le gaz est contenu Calculer
trans
trans
B
k
∆
Θ = pour une valeur réaliste de L.
Conclure quant à l'utilisation du théorème d'équipartition de l'énergie pour les degrés de liberté
de translation.
2) La distance entre les deux noyaux d'hydrogène dans la molécule H
2
est a = 74,14 pm.
2.a) Vérifier que le moment d'inertie de la molécule par rapport à un axe perpendiculaire à l'axe
des noyaux est
2
1
* .
2
I m a
≈ m
*
a
2
. Calculer numériquement I.
2.b) Rappeler les expressions du moment cinétique L et de l'énergie cinétique E
c
d'un solide en
rotation autour d'un axe fixe en fonction de son moment d'inertie I et de sa vitesse de rotation
ω. En déduire une expression de E
c
en fonction de L et I uniquement.
2.c) En mécanique quantique l'expression de l'énergie de rotation en fonction du moment
cinétique reste la même qu'en mécanique classique et le moment cinétique est quantifié les
valeurs possibles de L
2
sont ( + 1)
2
où est un entier positif ou nul. Exprimer le plus petit
écart ∆
rot
entre deux niveaux d'énergie de rotation de la molécule de dihydrogène en fonction de
et I.
2.d) Calculer numériquement
rot
rot
B
k
∆
Θ =
3) On s'intéresse aux mouvements de vibration de la molécule. On note r la distance entre les
deux noyaux d'hydrogène qui n'est plus nécessairement égale à a. L'énergie potentielle de
déformation de la molécule est modélisée par :
E
p
= E
0
(e
-2
α
(r-a)
- 2e
-
α
(r-a)
+ 1)
avec E
0
= 7,716.10
-19
J et α = 2,002.10
10
m
-1
.
L'énergie cinétique de vibration est E
c
=
2
1
* .
8
m r
•
.
3.a) Tracer la courbe donnant E
p
en fonction de r.
3.b) On s'intéresse à des petites vibrations pour lesquelles α(r - a) << 1. Trouver l'expression
de la constante k telle que E
p
=
2
1
.( )
2
k r a
− . Calculer numériquement k.
3.c) Exprimer l'énergie mécanique de vibration en fonction de u = r - a et
u
•
. En déduire
l'expression de la fréquence ν de vibration. Calculer numériquement ν.
3.d) En mécanique quantique les niveaux d'énergie de vibration sont
1
2
n + .h.ν où n est un
entier. Exprimer le plus petit écart ∆
vib
entre deux niveaux d'énergie de vibration. Calculer
numériquement
vib
vib
B
k
∆
Θ =
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4) Estimer la capacité thermique du dihydrogène aux températures suivantes : 10 K, 100 K,
1000 K, 10000 K.
Phy-Stat 12 : Molécule de dihydrogène ortho ou para
Le dihydrogène gazeux est un mélange de types de molécules qui diffèrent l'une de l'autre par
le spin de leurs noyaux atomiques. Ces deux formes sont appelées ortho- et para-hydrogène, et
la forme ortho correspond à un état excité qui n'existe pas à l'état pur.
On considère un système de N molécules indépendantes de dihydrogène dans leur état
fondamental à deux niveaux d’énergie ε
1
et ε
2
en équilibre avec un thermostat qui maintient la
température T. On suppose que N >>1 et on pose : ε = ε
2
- ε
1
> 0 et
B
175K
k T
ε
= βε =
1) A quelle énergie correspond l’état para-hydrogène ?
2) On suppose que l’état para est non dégénéré tandis que l’état ortho est dégénéré 3 fois.
En déduire la fonction de partition puis le nombre de molécules, notés N
1
et N
2
, dans chacun
des deux états.
3) Déterminer l’énergie interne U en fonction de N, ε
1
, ε et β.
4) Le thermostat maintient une température T = 14 K. Montrer que
( )
2
N3.exp
N
= −βε
En déduire
une expression approchée de l’énergie interne et de la capacité thermique à volume constant.
Phy-Stat 17 : Modèle de ferromagnétisme
On considère le modèle à deux niveaux de paramagnétisme de Brillouin. Chacun des N atomes
d'un solide de température T, placé dans un champ magnétique
.
z
B B.u
= , possède alors l
'
énergie
magnétique -m
z
B où m
z
projection du moment magnétique selon
z
u
, peut prendre les valeurs ±
m
1) Rappeler l'expression des probabilités d'occupation de chacun des états pour un atome.
2) En déduire l'expression du moment magnétique moyen du solide <m
ztot
> en projection sur
z
u
, en fonction du champ magnétique B et de la température T. Tracer l'allure de <m
ztot
>
en fonction de
.
.B à température fixée.
3) Quelle est la valeur maximale atteinte ? Expliquer le résultat.
Dans certaines substances dites ferromagnétiques (aimants), le champ magnétique engendré par
les différents atomes prend des valeurs notables et ne peut pas être négligé par rapport au
champ extérieur
B
. L'expression précédente de <m
ztot
> reste valide, à condition de remplacer
B. par B + λ.<m
ztot
> où λ est une constante.
4) Grâce à une interprétation graphique, montrer que le moment magnétique <m
ztot
> est non
nul, même en l
'
absence de champ magnétique, dans une certaine gamme de températures.
5) Que peut-on prévoir si on chauffe un aimant ?
Phy-Stat 18 : Capacité thermique des solides
Afin de pouvoir évaluer précisément la capacité thermique d'un solide, on utilise le modèle
unidimensionnel suivant (modèle d'Einstein, 1907).
Chaque atome de masse m est considéré comme un oscillateur harmonique quantique à 1
dimension. Quantiquement, les énergies d'un oscillateur harmonique unidimensionnel d'énergie
potentielle E
p
(x) =
2 2
1
m x
2
ω sont E
n
=
1
n2
+ ω
, où ω est une constante et n est un entier

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naturel.
On pose : u =
B
k T
ω
1) Pour un solide en équilibre avec un thermostat de température T, exprimer la probabilité
p
n
(u) qu'un atome soit dans l'état indicé par n
2) Montrer que l’énergie moyenne <ε(T)> d’un atome vaut :
<ε(T)>
B
.coth
2 2.k T
ω ω
=
3) Évaluer la capacité thermique que molaire C
v,m
(T) du solide.
4) Quelle est la limite à haute température ? Quelle loi retrouve-t-on ?
5) Quelle est la limite de C
v,m
(T) à basse température ? Comment l'interpréter simplement ?
6) Tracer l'allure de C
v,m
(T).
On donne : coth(X) =
ch(X)
sh(X)
et
( )
2
1
coth(X) '
sh (X)
= −
2
n 0
1
n.exp( n)
4sh
2
+∞
=
−α =
α
∑
pour α > 0