Analyse de Fourier, analyse spectrale et équations aux dérivées

Promotion 2012
Année 2
Enseignement diversifié 1
MAT432
Analyse de Fourier, analyse spectrale
et équations aux dérivées partielles
Jean-Michel Bony, Yvan Martel
Édition 2013

Introduction
Ce cours a pour objectif de proposer une introduction à l’étude mathématique
de certaines équations aux dérivées partielles en mettant en application les
connaissances des élèves sur deux thèmes classiques de l’analyse : l’analyse hil-
bertienne (notamment, la théorie spectrale des opérateurs bornés) et l’analyse
de Fourier.
Les concepts et techniques mathématiques utilisés dans ce cours inter-
viennent de façon très importante dans d’autres disciplines, notamment en
sciences physiques, mais ne représentent évidemment qu’une infime partie des
mathématiques utilisées par les autres sciences.
Ce polycopié reprend l’essentiel du texte de la version précédente du cours
MAT432 de Jean-Michel Bony et Isabelle Gallagher, Analyse de Fourier et
théorie spectrale. Toutefois, dans cette nouvelle version, certains chapitres ont
été rajoutés et le plan a été modifié pour placer un accent plus important sur
l’étude des équations aux dérivées partielles.
Deux points majeurs de ce cours sont donc l’analyse de Fourier et l’étude
des équations aux dérivées partielles.
L’analyse de Fourier. — Le lecteur connaît déjà bien les séries de Fourier mais
nous leur consacrons le Chapitre 3, notamment pour replacer leur étude dans
le cadre naturel des fonctions périodiques de carré sommable sur une période
et pour en donner des applications à quelques équations aux dérivées partielles
linéaires.
La transformation de Fourier, indissociable de la convolution, est étudiée
au Chapitre 4, notamment dans le cadre des fonctions de carré sommable sur
Rd. Une fonction fà valeurs complexes, définie sur Rdpeut sous des hypothèses
assez générales, et en tout cas sans supposer aucune périodicité, se représenter
sous la forme suivante
f(x) = (2π)−dZRdeix·ξb f(ξ)dξ,

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appelée formule d’inversion de Fourier, où la fonction b f, définie dans Rd, s’ap-
pelle la transformée de Fourier de fet s’en déduit de manière analogue :
b
f(ξ) = ZRde−ix·ξf(x)dx.
La première de ces formules exprime fcomme une superposition, indexée par ξ,
de fonctions particulièrement simples : les exponentielles imaginaires x→eix·ξ
qui oscillent à la fréquence |ξ|, chacune d’elles étant affectée d’une amplitude
b
f(ξ), et d’une phase arg b f(ξ).
Cette représentation a créé une véritable révolution, que ce soit en mathé-
matiques ou en physique, dans la manière de penser une fonction. La donnée
de b fest exactement équivalente à celle de f— on dispose des formules ci-
dessus pour déduire l’une de l’autre — mais l’information contenue dans fest
analysée et recombinée de manière très différente pour former b f. Une grande
(ou faible) valeur de f(x0)signifie que le phénomène physique décrit par fest
important (ou négligeable) en ce point. Une grande (ou faible) valeur de b f(ξ0)
signifie que la “fréquence” ξ0contribue beaucoup (ou peu) pour reconstruire f.
Cette dualité entre analyse en amplitude et analyse en fréquence est d’une
grande importance en physique comme en mathématiques. En mécanique
quantique, les rôles joués par fet b fsont parfaitement symétriques. Dans l’ex-
pression de lois physiques, ou dans les dispositifs expérimentaux, c’est tantôt
ftantôt b fqui apparaît simplement. Pour une équation aux dérivées partielles
linéaire à coefficients constants, la recherche de solutions du type x→eix·ξest
un calcul purement algébrique ; rechercher d’autres solutions comme superpo-
sition de celles-ci, c’est précisément rechercher b f, etc.
Les équations aux dérivées partielles. — L’étude de ces équations constitue la
partie la plus nouvelle de ce cours pour le lecteur. Nous avons choisi de traiter
des équations aux dérivées partielles simples (en particulier, linéaires) mais qui
sont considérées comme universelles, c’est-à-dire qu’elles apparaissent dans de
nombreux contextes différents en sciences physiques.
On appelle équation aux dérivées partielles (EDP) une équation concernant
une fonction inconnue ude plusieurs variables et impliquant plusieurs de ces
dérivées partielles. Selon les cas, les variables indépendantes de la fonction
inconnue upourront être notées :
– soit x= (x1, . . . , xd)∈Rd(ou un domaine de Rd), où d≥1est la
dimension de l’espace ;
– soit (t, x), où t∈Rreprésente le temps (ou parfois une variable d’espace
qui doit être privilégiée) et x∈Rd(ou un domaine de Rd) est la variable
d’espace.

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Dans le premier cas, on a affaire à une équation stationnaire et dans le deuxième
cas à une équation d’évolution.
Il est très rare que l’on cherche à obtenir toutes les solutions d’une équation
— il y en a en général beaucoup trop — on cherche le plus souvent à obtenir
une solution (si possible unique) satisfaisant à des conditions additionnelles.
Les états stationnaires des systèmes physiques, ou leur évolution, sont fréquem-
ment régis par des équations aux dérivées partielles, mais la modélisation n’est
complète que si on adjoint les autres conditions (initiales, à la frontière . . .)
auxquelles il sont soumis. Par exemple :
(i) Pour des problèmes d’évolution, on cherche fréquemment à déterminer
l’évolution du système connaissant son état à l’instant 0. La formulation ma-
thématique correspondante est le problème de Cauchy : déterminer une solu-
tion u(t, x)de l’équation aux dérivées partielles dont les valeurs u(0, x)sont
imposées.
(ii) Pour un problème stationnaire dans l’espace entier, on impose souvent
soit des conditions à l’infini (on demandera ainsi que le potentiel électrosta-
tique vérifie l’équation de Poisson et tende vers 0 à l’infini), soit la finitude de
certaines normes (traduisant par exemple la finitude de l’énergie).
(iii) Pour des problèmes stationnaires dans un domaine borné, on doit décrire
le comportement physique du système à l’interface. Mathématiquement, cela
conduira par exemple à imposer la valeur de la solution à la frontière, ou bien
celle de sa dérivée normale (condition portant sur le flux).
(iv) Pour un problème d’évolution dans un domaine borné, il faudra en gé-
néral imposer à la fois des conditions à l’instant initial, et des conditions à la
frontière.
Détaillons maintenant le plan des Chapitres 1 à 7.
Dans le Chapitre 1, nous abordons par des outils élémentaires l’équation de
transport linéaire (la plus simple des EDP) ainsi que l’équation de Burgers, qui
est la seule équation non linéaire étudiée dans ce cours. Le but de ce chapitre
est surtout d’introduire quelques notions fondamentales liées aux EDP dans
des cas simples où des calculs explicites sont possibles.
Le Chapitre 2 est consacré aux équations de Laplace et Poisson, qui sont
les EDP du second ordre les plus simples à écrire :
∆u= 0 ,−∆u=f .
Un concept clé de ce chapitre est la notion de solution fondamentale.
Le Chapitre 3, dédié aux séries de Fourier, contient aussi une application
à l’équation de la chaleur linéaire périodique.