Sur les nombres de Stirling de 1 espèce

Sur les nombres de Stirling de 1ère espèce
BAKIR FARHI
Département de Mathématiques
Université de Béjaia
Algérie
Béjaia, le 11 novembre 2013
Table des matières
1 Définition et simples propriétés 2
2 Relation de récurrence liant entre les nombres de Stirling de 1ère espèce 4
3 Interprétation combinatoire des nombres de Stirling de 1ère espèce 5
4 Série génératrice associée au nombres de Stirling de 1ère espèce 7
5 Formule explicite pour les nombres de Stirling de 1ère espèce et ses ap-
plications arithmétiques 8
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BAKIR FARHI Les nombres de Stirling de 1ère espèce
Résumé
Dans ce papier, on étudie les propriétés élémentaires des nombres de Stir-
ling de première espèce ainsi que leur signification combinatoire et deux
de leurs applications arithmétiques qui consistent à démontrer le théo-
rème d’Ibn Al-Haytham et le petit théorème de Fermat.
1 Définition et simples propriétés
Pour tout ce qui suit, étant donné n∈N, on notera par xnet xnles polynômes
en x, définis respectivement par :
xn:=x(x−1)(x−2) ...(x−n+1)
xn:=x(x+1)(x+2) ...(x+n−1),
avec les conventions naturelles x0=x0=1.
N. B : Il est évident que l’on a pour tout n∈N:
(−x)n=(−1)nxn.
Définition : Les nombres de Stirling 1de 1ère espèce sont, par définition, les
nombres entiers s(n,k) (n,k∈N,k≤n) qui figurent dans le développement
du polynôme xn. On a précisément pour tout n∈N:
xn=
n
k=0
s(n,k)xk(1)
Exemple : On a : x3=x(x−1)(x−2) =x3−3x2+2x; d’où l’on tire :
s(3,0) =0 , s(3,1) =2 , s(3,2) = −3 et s(3, 3) =1.
La première question qu’on se pose concerne le signe de s(n,k). On a la :
Proposition 1. Pour tous n,k∈N, avec k ≤n, le signe du nombre entier s(n,k)
est (−1)n+k.
Démonstration. Soit n∈N. En substituant dans (1) xpar −x, on obtient :
(−x)n=
n
k=0
s(n,k)(−x)k,
1. James Stirling (1692-1770) : Mathématicien écossais.
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c’est-à-dire :
(−1)nxn=
n
k=0
(−1)ks(n,k)xk.
D’où l’on tire :
xn=
n
k=0
(−1)n+ks(n,k)xk(2)
Comme les coefficients du polynôme xnsont de toute évidence tous positifs, on
en déduit que (−1)n+ks(n,k)≥0, ∀n,k∈N, avec k≤n. Autrement dit, le signe
de tout nombre s(n,k) est (−1)n+k. Ce qui achève cette démonstration.
Nous enchainons sur la proposition suivante qui donne quelques proprié-
tés faciles des nombres s(n,k).
Proposition 2. Pour tout n ∈N∗,ona:
s(n,0) =0et s(n,n)=1 (3)
s(n,1) =(−1)n−1(n−1)! (4)
n
k=1
(−1)ks(n,k)=(−1)nn! (5)
n
k=1
|s(n,k)|=n! (6)
|s(n,k)|≤n!(pour tout k ∈N, k ≤n) (7)
Démonstration. Soit n∈N∗fixé.
• Démontrons (3) : Les nombres s(n, 0) et s(n,n) sont respectivement les coef-
ficients de x0et de xndans le développement du polynôme xn=x(x−1) ···(x
−n+1). Il est bien clair que ces coefficients sont respectivement 0 et 1, comme
il fallait le prouver.
• Démontrons (4) : Le nombre s(n,1) est par définition le coefficient de xdans le
développement du polynôme xn=x(x−1) · · · (x−n+1). Ce qui est aussi le coef-
ficient constant du polynôme (x−1)(x−2)· · · (x−n+1). Ce coefficient est simple-
ment la valeur de ce dernier polynôme en 0 ; c’est donc égale à (−1)(−2)···(−n
+1) =(−1)n−1(n−1)!. D’où s(n,1) =(−1)n−1(n−1)!, comme il fallait le prouver.
• Démontrons (5) : L’identité (5) résulte simplement de la substitution de xpar
−1 dans l’identité polynômiale (1) tout en remarquant que (−1)n=(−1)(−2)· · ·
(−n)=(−1)nn!.
• Démontrons (6) : En multipliant les deux membres de l’identité (5) par (−1)n,
on obtient : n
k=1
(−1)n+ks(n,k)=n!.
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Mais puisque le signe de chaque nombre s(n,k) (1 ≤k≤n) est (−1)n+k(en
vertu de la proposition 1), on a pour tout k∈{1,...,n}:(−1)n+ks(n,k)= |s(n,k)|
et l’on conclut enfin que : n
k=1|s(n,k)| = n!, comme il fallait le prouver.
• Démontrons (7) : L’estimation (7) est une conséquence immédiate de (6).
La proposition est démontrée.
Remarque : Nous verrons plus loin que la propriété (6) devient évidente compte
tenu du sens combinatoire des nombres de Stirling de 1ère espèce.
2 Relation de récurrence liant entre les nombres de
Stirling de 1ère espèce
On a la proposition suivante :
Proposition 3. Pour tous n,k∈N∗avec k ≤n, on a :
s(n+1,k)=s(n,k−1) −ns(n,k) (8)
et
|s(n+1,k)|=|s(n,k−1)|+n|s(n,k)|(9)
Démonstration. Soit n∈N∗fixé. On a d’une part :
xn+1=
n+1
k=0
s(n+1,k)xk=xn+1+
n
k=1
s(n+1,k)xk
(car s(n+1,0) =0 et s(n+1, n+1) =1). Et d’autre part :
xn+1=x(x−1)· · · (x−n+1)(x−n)=(x−n)xn=(x−n)
n
k=0
s(n,k)xk
=x
n
k=0
s(n,k)xk−n
n
k=0
s(n,k)xk=
n
k=0
s(n,k)xk+1−
n
k=0
ns(n,k)xk
=
n+1
k=1
s(n,k−1)xk−
n
k=0
ns(n,k)xk=xn+1+
n
k=1
(s(n,k−1) −ns(n,k))xk
(car s(n,0) =0 et s(n,n)=1).
En identifiant les coefficients de xk(k∈N∗,k≤n) des deux expressions que
l’on a trouvé pour xn+1, on aboutit à :
s(n+1,k)=s(n,k−1) −ns(n,k),
qui n’est rien d’autre que (8).
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Etant donnés n,k∈N∗avec k≤n, l’identité (9) s’obtient en multipliant les
deux membres de (8) par (−1)n+k+1et en se rappelant que le signe de s(a,b)
est (−1)a+b(∀a,b∈N,a≥b) en vertu de la proposition 1. Ceci achève notre
démonstration.
Le triangle des nombres de Stirling de 1ère espèce
En se servant de la relation récurrente (9), on peut dresser les nombres de Stir-
ling de 1ère espèce (en valeurs absolues) dans un triangle (infini) du même type
que le triangle arithmétique d’Al-Karaji 2des coefficients binomiaux. On ob-
tient le suivant :
n=01
n=10 1
n=20 1 1
n=30 2 3 1
n=40 6 11 6 1
n=50 24 50 35 10 1
.
.
..
.
..
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..
.
..
.
..
.
..
.
....
Dans ce triangle, chaque ligne de rang n≥1 commence par un 0 et se termine
par un 1 et ses coefficients du milieu s’obtiennent par la relation récurrente (9)
en fonction des coefficients de la ligne qui la précède. Par exemple, le nombre
50 de la 5ème ligne est obtenu par la formule 6 +4×11 (où les nombres 6 et 11
proviennent de la 4ème ligne).
3 Interprétation combinatoire des nombres de Stir-
ling de 1ère espèce
Le sens combinatoire des nombres de Stirling de 1ère espèce est relatif à l’en-
semble des permutations d’un ensemble fini. Nous rappelons d’abord quelques
notions sur ce sujet :
Soient n∈N∗et A={a1,..., an} un ensemble fini à néléments. Une permu-
tation des éléments de Apeut être vue comme une bijection de l’ensemble A
dans lui même. L’ensemble de toutes les permutations de Ase note par S(A).
C’est un ensemble fini de cardinal n! et en le munissant de la loi de composition
des applications (de Adans A), on en formera un groupe qui n’est commutatif
que pour n=1 ou 2. Ce groupe s’appelle « le groupe symétrique associé à A».
2. Abu Bakr Al-Karaji ú
k .QºË@ QºK.ñK.@: Mathématicien arabe, né en 953 et mort en 1029.
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