1. Cours 6: Anneau des polynômes 1.1. L’ensemble des polynômes à une indéterminée Dé…nitions: Soit (A; +; :) un anneau unitaire et commutatif On appelle polynôme à une indéterminée X et à coe¢ cients dans A toutes écriture algebrique de la forme a0 + a1 X 1 + ::: + an 1 X n 1 + an X n + ::: où les ai 2 A sont nuls sauf un nombre …ni. Si on note P ce polynôme, alors: * Les ai sont appelés les coe¢ cients de P . * Le plus grand indice n véri…ant an 6= 0 (s’il existe) est appelé degré de P et noté deg P et dans ce cas an X n est appelé terme dominant de P: * Si le terme dominant de P est 1X n le polynôme P est dit unitaire. * Si tous les ai sont nuls ,P est appelé polynôme nul noté 0 et par convention deg 0 = 1 * Chaque élément a0 de A est un polynôme, appelé polynôme constant. L’ensemble des polynômes à une indéterminée X à coe¢ cients dans A est noté A [X] : Remarques: 1) Dans un polynôme, on omet souvent les ai X i pour les ai nuls et on l’écrit suivant les puissances décroissantes de X. 2) On écrit souvent, X au lieu de X 1 et X n au lieu de 1X n . 3) Soient P = a0 + a1 X 1 + ::: + an 1 X n 1 + an X n + ::: et Q = b0 + b1 X 1 + ::: + bn 1 X n 1 + bn X n + ::: (P = Q) , (8i 2 N : ai = bi ) : Exemples : 1) P = X n 1 (où n 2 N ) est un polynôme unitaire de degré n à coe¢ cients dans Z; C.à.d P 2 Z [X] : Le terme dominant de P est X n et ses coe¢ cients sont ( 1; 0; :::; 0; 1; 0; :::; 0; :::). C.à.d: Tous lespcoe¢ cients sont nuls sauf a0 = 1; et an = 1: 5X est un polynôme non unitaire de degré 3 à coe¢ cients 2) Q = 2X 3 dans R; C.à.d Q 2 R [X] : p 5; 0; 2; 0; :::; 0; ::: : Le terme dominant de Q est 2X 3 et ses coe¢ cients sont 0; p C.à.d: Tous les coe¢ cients sont nuls sauf a1 = 5 et a3 = 2: 3) S = 4 + 2i est un polynôme non unitaire de degré 0 (polynôme constant) à coe¢ cients dans C; C.à.d S 2 C [X] : Le terme dominant de S est 4 + 2i et ses coe¢ cients sont (4 + 2i; 0; :::; 0; :::) ; C.à.d: Tous les coe¢ cients sont nuls sauf a0 = 4 + 2i: 1.2. Opérations sur l’ensemble A [X] Dé…nitions: Soient P = a0 + a1 X 1 + ::: + an 1 X n 1 + an X n + ::: et Q = b0 +b1 X 1 +:::+bn 1 X n 1 +bn X n +::: deux polynômes de A [X] On dé…nit la somme P + Q et le produit P:Q par: n 1 P + Q = (a0 + b0 )! + (a1 + b1 ) X 1 + + (an + bn ) X n + ::: ! ! ::: + (an 1 + bn 1 ) X ! P P P P P:Q = ai :bj + ai :bj X 1 + ::: + ai :bj X n 1 + ai :bj X n + ::: i+j=0 i+j=n 1 i+j=1 Remarques: 0 P P 1) c0 = ai :bj = a0 :b0 = ai :b0 i+j=0 c1 = P i+j=n i i=0 ai :bj = a0 :b1 + a1 :b0 = i+j=1 1 P ai :b1 i i=0 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: n P P cn = ai :bj = a0 :bn + a1 :bn 1 + ::: + an :b0 = ai :bn i+j=n i i=0 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2) Pour énoncer la proposition suivante, on adopte la convention suivante: Pour tout n 2 N : n + ( 1) = ( 1) + n = 1; 1<n et ( 1) + ( 1) = 1 Proposition: Soient P , Q 2 A [X] ; alors: deg (P + Q) max (deg P; deg Q) et deg (P:Q) deg P + deg Q et si A est un corps, alors deg (P:Q) = deg P + deg Q Preuve: Posons n = deg P , m = deg Q , P = a0 +a1 X 1 +:::+an 1 X n 1 +an X n et Q = b0 +b1 X 1 +:::+bm 1 X m 1 +bm X m 1er cas) Si P = 0 ou Q = 0. Par exemple si P = 0, alors P + Q = Q et P:Q = 0 ainsi deg (P + Q) = deg Q = max ( 1; deg Q) = max (deg P; deg Q) deg (P:Q) = 1 = 1 + deg Q = deg P + deg Q 2eme cas) Si P 6= 0 et Q 6= 0, alors: 2.1) Les coe¢ cients de P + Q sont tous nuls après le rang k = max (n; m) donc deg (P + Q) max (n; Pm) = max (deg P; deg Q) 2.2) Les coe¢ cients ck = ai :bj de P:Q véri…ent pour tout k 2 N : i+j=k P c(n+m)+k = ai bj = a0 bn+m+k + ::: + an bm+k + an+1 bm+k 1 + ::: + an+m+k b0 {z } | {z } | i+j=n+m+k dans ce terme tous les bj sont nuls =0 2 dans ce terme tous les ai sont nuls Ainsi degP (P:Q) n + m = deg P + deg Q: cn+m = ai :bj = a0 :bn+m + ::: + an 1 :bm+1 + an :bm + an+1 :bm | {z } | i+j=n+m dans ce terme tous les bj sont nuls 1 + ::: + an+m :b0 {z } dans ce terme tous les ai sont nuls = an :bm Si A est un corps, alors cn+m = an :bm 6= 0 car an 6= 0 et bm 6= 0. D’où deg (P:Q) = n + m = deg P + deg Q. Exemples : 1) Dans Q [X], soient les polynômes: P = 3X 2 1 C.à.d: P = 3X 2 + 0X 1 C.à.d Q = 21 X 3 + 0X 2 + 4X + 0 alors, et Q = 21 X 3 + 4X P + Q = 0 + 21 X 3 + (3 + 0) X 2 + (0 + 4) X + ( 1 + 0) et = 12 X 3 + 3X 2 + 4X 1 P:Q = 3 12 X 5 + 0 21 + (3 0) X 4 + ( 1) 21 + (0 0) + (3 4) + (0 0) X 3 + ((( 1) 0) + (0 4) + (3 0)) X 2 + (( 1) 4 + 0 0) X + (( 1) = 32 X 5 + 0X 4 + 23 X 3 + 0X 2 4X + 0 = 32 X 5 23 X 3 4X 2 2 0) Théoreme: (A [X] ; +; :) est un anneau unitaire et commutatif. Preuve: Soient P = p0 + p1 X 1 + ::: + pn 1 X n 1 + pn X n + ::: Q = q0 + q1 X 1 + ::: + qm 1 X m 1 + qm X m + ::: et S = s0 + s1 X 1 + ::: + sk 1 X k 1 + sk X k + :: 1) P + Q = (p0 + q0 ) + (p1 + q1 ) X 1 + ::: + (pk 1 + qk 1 ) X k 1 + (pk + qk ) X k + ::: 2 A [X] : Alors l’addition des polynômes est une loi interne dans A [X] : 2) (P + Q)+S = ((p0 + q0 ) + s0 )+((p1 + q1 ) + s1 ) X 1 +:::+((pk 1 + qk 1 ) + sk 1 ) X k 1 + ((pk + qk ) + sk ) X k + ::: = (p0 + (q0 + s0 ))+(p1 + (q1 + s1 )) X 1 +:::+(pk 1 + (qk 1 + sk 1 )) X k 1 + (pk + (qk + sk )) X k + ::: = P + (Q + S) Alors l’addition des polynômes est une loi associative dans A [X] : 3) P +Q = (p0 + q0 )+(p1 + q1 ) X 1 +:::+(pk 1 + qk 1 ) X k 1 +(pk + qk ) X k +::: = (q0 + p0 )+(q1 + p1 ) X 1 +:::+(qk 1 + pk 1 ) X k 1 +(qk + pk ) X k +::: =Q+P Alors l’addition des polynômes est une loi commutative dans A [X] : 4) Le polynôme nul 0 + 0X 1 + ::: + 0X k 1 + 0X k + ::: est aussi noté 0: P + 0 = (p0 + 0) + (p1 + 0) X 1 + ::: + (pk 1 + 0) X k 1 + (pk + 0) X k + ::: =P 3 Alors le polynômes 0 est l’élement neutre de l’addition des polyômes dans A [X] : 5) Notons par P le polynôme ( p0 ) + ( p1 ) X 1 + ::: + ( pn 1 ) X n 1 + ( pn ) X n + ::: On a: P +( P ) = (p0 p0 )+(p1 p1 ) X 1 +:::+(pn 1 pn 1 ) X n 1 +(pn pn ) X n +::: =0 dans A [X] : Alors P est le symétrique de P par rapport à l’addition des polyômes ! ! ! P P P 6) P:Q = pi :qj + pi :qj X 1 + ::: + pi :qj X k 1 i+j=0 i+j=1 i+j=k 1 ! P + pi :qj X k + ::: 2 A [X] : i+j=k Alors la multiplication ! des polynômes ! est une loi interne dans ! A [X] : ! P P P P pi :qj + pi :qj X 1 +:::+ pi :qj X k 1 + pi :qj X k + ::: 7) P:Q = i+j=0 i+j=1 i+j=k 1 i+j=k ! ! ! ! P P P P qj :pi X k + ::: qj :pi X k 1 + qj :pi X 1 +:::+ qj :pi + = i+j=1 i+j=0 i+j=k 1 i+j=k = Q:P Alors la multiplication des pôlynomes est commutative dans A [X] : 8) Si Q = 1 + 0X 1 + ::: +!0X m 1 + 0X m ! + ::: .C.à.d: q0 = 1 et 8j 2!N ; qj = 0: P P P pi :qj X k 1 Alors P:Q = pi :qj + pi :qj X 1 + ::: + i+j=0 i+j=1 i+j=k 1 ! P pi :qj X k + ::: + i+j=k = (p0 :1) + (p1 :1) X 1 + ::: + (pk 1 :1) X k 1 + (pk :1) X k + ::: =P Alors Q = 1 est l’élément neutre de la multiplication des pôlynomes dans A [X] : 9) Notons respectivement les coe¢ cients de (P:Q) :S, P: (Q:S), P:Q et Q:S par ((P:Q) :S)l , (P: (Q:S))l ; (P:Q)l et (Q:S)l ! P P P ((P:Q) :S)l = (P:Q)r :sk = pi :qj :sk r+k=l r+k=l i+j=r ! P P P = pi :qj :sk = pi :qj :sk r+k=l i+j+k=r+k i+j+k=l 4 (P: (Q:S))l = P i+r=l = P i+r=l pi : (Q:S)r = P P i+r=l pi : ! pi :qj :sk i+j+k=i+r P qj :sk j+k=r = P ! pi :qj :sk i+j+k=l d’où (P:Q) :S = P: (Q:S) car ils ont les mêmes coe¢ cients. Alors la multiplication des pôlynomes est associative dans A [X] : 10) Gardons les notation de 7) et notons respectivement les coe¢ cients de (P + Q) :S; P + Q; P:S et Q:S par ((P + Q) :S)l ; (P + Q)l ; (P:S)l et (Q:S)l ; alors, P P ((P + Q) :S)l = (P + Q)r :sk = (pr + qr ) :sk r+k=l P P r+k=l = pr :sk + qr :sk = (P:S)l + (Q:S)l r+k=l r+k=l = (P:S + Q:S)l d’où (P + Q) :S = P:S + Q:S, car ils ont les mêmes coe¢ cients. Alors la multiplication est distributive par rapport à l’addition dans A [X]. Par suite (A [X] ; +; :) est un anneau commutatif et unitaire. Proposition: Si K est un corps commutatif, alors (K [X] ; +; :) est un anneau intègre. C.à.d: (8P; Q 2 K [X] : P:Q = 0) ) (P = 0 _ Q = 0) Preuve: P:Q = 0 ) deg (P:Q) = deg 0 = 1 ) deg P + deg Q = 1 ) deg P = 1 _ deg Q = 1 )P =0_Q=0 1.3. Arithmétique dans K [X] Dans la suite, on suppose que K est un corps. 1.3.1. Divisibilité: Soient P ,B 2 K [X] On dit que B divise P , s’il exite Q 2 K [X] tel que P = Q:B Exemples: 1) Tout élément a 6= 0 du corps K divise tout polynôme P de K [X] Car: P = a: (a 1 P ) et a 1 P est bien un polynôme. 2) Tout polynôme P divise le polynôme nul 0; car: 0 = 0:P 5 3) X + 1 divise X 2 + X; car: X 2 + X = X (X + 1) Remarques: 1) 0 ne divise que 0: 2) Les diviseurs de 1 sont les éléments de K , qui sont les seuls éléments inversibles dans K [X] : En e¤et: Soit B 2 K [X] B divise 1 ) 9Q 2 K [X] : 1 = QB ) 9Q 2 K [X] : deg QB = 0 ) 9Q 2 K [X] : deg Q + deg B = 0 ) 9Q 2 K [X] : deg Q = deg B = 0 Donc Q = q0 2 K et B = b0 2 K avec 1 = q0 :b0 : (si 1 = QB; alors 0 = deg 1 = deg Q + deg B; d’où deg Q = deg B = 0 donc Q = q0 et B = b0 avec 1 = q0 b0 ) 3) Si B divise P , on dit que P est un multiple de B: 4) Si B divise P et P 6= 0 , alors deg B deg P En e¤et: B divise P ) 9Q 2 K [X] : P = Q:B ) 9Q 2 K [X] : deg P = deg Q + deg B deg Q 0; sinon deg Q = 1 donc deg P = deg Q + deg B = 1 C.à.d: P = 0 ce qui contredit les hypothèses. Alors deg P deg B 1.3.2. Division euclidienne dans K [X] : Soient P , B 2 K [X] Si B 6= 0, alors il existe un couple unique (Q; R) 2 K [X]2 tels que et deg R < deg B P = QB + R Preuve: a) Pour montrer l’existence, on a deux cas possibles. a.1) Si P = 0, alors P = 0:B + 0: C.à.d: Q = R = 0; ce qui véri…e deg R < deg B (car deg P = 1 et deg B 0) a.2) Si P 6= 0, deg P = n 2 N et deg B = m 2 N; alors P = p0 + p1 X + ::: + pn X n et B = b0 + b1 X + ::: + bm X m Raisonnons par récurrence sur n: * Si n = 0, c.à.d P = p0 , on a deux cas: 1er cas: Si m = 0; alors B = b0 d’où P = p0 b0 1 :B + 0. C.à.d: Q = p0 b0 1 et R = 0; ce qui véri…e deg R < deg B (car deg P = 1 et deg B = 0). 6 2eme cas: Si m > 0; alors P = 0:B + P: C.à.d: Q = 0 et R = P; ce qui véri…e deg R < deg B (car deg P = 0 et deg B > 0). * Supposons le théorème vrai pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à n 1 et montrons qu’il reste vrai pour les polynômes de degré n: On a deux cas 1er cas: Si m > n; alors P = 0:B + P: C.à.d: Q = 0 et R = P; ce qui véri…e deg R < deg B (car deg R = n et deg B = m). 2eme cas: Si m n; alors P = P an bn 1 X n m :B est de degré inférieur ou égal à n 1; alors d’après l’hypothèse de récurrence P = QB + R avec deg R < deg B par conséquent P = P + an bn 1 X n m :B = Q + an bn 1 X n m B + R , c.à.d: Q = Q + an bn 1 X n m et R = R; ce qui véri…e deg R < deg B (car deg R = deg R) b) Pour montrer l’unicité, on suppose que P = Q:B + R = Q1 :B + R1 tels que deg R < deg B et deg R1 < deg B: Alors (Q Q1 ) :B = (R1 R) et par passage aux degrés, on obtient deg (Q Q1 )+ deg B = deg (R1 R) max (deg R1 ; deg R) < deg B; d’où deg (Q Q1 ) = 1, ainsi Q Q1 = 0 et par suite R1 R = 0 Remarque: La preuve précédente montre que la division euclidienne de P par B; se ramène à la division euclidienne de P par B; avec deg P < deg P: Ceci est la base d’un procédé itératif appelé algorithme de la division euclidienne des polynômes. Exemple: Divisons P = 3X 5 2X 3 5X 2 + 1 par B = 2X 3 + 12 X 2 X 3X 5 + 0X 4 2X 3 5X 2 + 0X + 1 12 X 3 + 2X 2 X + 0 12X 4 + 4X 3 5X 2 + 0X + 1 6X 2 24X + 104 52X 3 29X 2 + 0X + 1 237X 2 + 104X + 1 donc le quotient Q = 6X 2 24X + 104 et le reste R = 237X 2 + 104X + 1 1.4. Fonctions polynômes d’une variable, polynôme dérivé et racine d’un polynôme Dé…nitions: Soit P = a0 + a1 X 1 + ::: + an 1 X n 1 + an X n un polynôme de K [X] : 1) On appelle fonction polynôme d’une variable x associée à P; la fonction Pe : K ! K dé…nie par: Pe (x) = a0 + a1 x1 + ::: + an 1 xn 1 + an xn 2) On dit qu’un élément est une racine ou zéro de P , si Pe ( ) = 0: 3) On appelle dérivé du polynôme P le polynôme noté P 0 et dé…ni par: P 0 = a1 + 2a2 X 1 + ::: + (n 1) an 1 X n 2 + nan X n 1 Exemples: 7 1) La fonction polynôme associée au polynôme P = X 2 + 2X 3 de R [X] est la fonction Pe : R ! R telle que Pe (x) = x2 + 2x 3 et les seules racines de P sont 3 et 1; car Pe ( 3) = Pe (1) = 0 Le polynôme dérivé de P est P 0 = 2X + 2 2)La fonction polynôme associée au polynôme P = X 2 2 de Q [X] est la fonction Pe : Q ! Q telle que Pe (x) = x2 2 et P n’a pas de racine car Pe (x) 6= 0 pour tout x 2 Q: Le polynôme dérivé de P est P 0 = 2X Remarques: 1) On dit que Pe (x) est obtenu par substitution de x à X dans P: e , P:Q g = Pe:Q e ; Pe0 = P f0 ; 2) On véri…e, facilement, que P^ + Q = Pe + Q 0 0 0 0 0 0 (P + Q) = P + Q et (P:Q) = P :Q + P:Q 3) Si deg P 1; alors deg P 0 = deg P 1 et si deg P < 1; alors deg P 0 = 1 Théorème: Soit P 2 K [X] et 2 K; alors: 1) Le reste de la division euclidienne de P par X est Pe ( ) : 2) est une racine de P si, et seulement, si X divise P Preuve: 1) On a P = (X ) Q + R où R et Q sont, respectivement, le reste ^ )Q e+R e et le quotient de la division euclidienne de P par X . Alors Pe = (X e ( ). , ainsi Pe ( ) = R e = R et R e ( ) = R: Or deg R < deg (X ) = 1; donc R et constant, d’où R e Par conséquent P ( ) = R: 2) Cette assertion est une conséquence directe de 1). Exemple: 3 est une racine du polynôme P = X 3 + 5X 2 + 3X 9 de R [X] ; alors P = (X + 3) Q avec Q = 2X + X 2 3 Ordre de multiplicité d’une racine: Soit P 2 K [X] et une racine de P: On appelle ordre de multiplicité de la racine de P; le plus grand m 2 N tel que (X )m divise P: * Si m = 1; on dit que est une racine simple de P * Si m = 2; on dit que est une racine double de P: * Si m = 3; on dit que est une racine triple de P: ...etc Exemple: 3 est une racine double du polynôme P = X 3 + 5X 2 + 3X 9 de R [X] ; car P = (X + 3)2 (X 1) Théorème: Soient P 2 K [X] et 2 K: est une racine simple de P si, et seulement, si Pe ( ) = 0 et Pe0 ( ) 6= 0 (où Pe0 est la dérivée de Pe) 8 Preuve: est une racine simple de P si, et seulement, s’il existe Q 2 K [X] tel que P = (X ) Q et Q ( ) 6= 0: 0 e e e0 donc Pe0 ( ) = Q ( ) ; d’où l’équivalence voulue. Or P = Q + (x )Q Exemple: Soit le polynôme P = X 3 + 5X 2 + 3X 9 de R [X] ; On a Pe (1) = 0 et Pe0 (1) 6= 0 (Pe0 (x) = 3X 2 + 10X + 3) Proposition: Si 1 ; 2 ; :::; r sont des racines deux à deux distinctes de P , r mi d’ordres de multiplicité respectifs m1 ; m2 ; :::; mr ; alors (X divise P: i) i=1 Preuve: Les i sont deux à deux distinctes, alors les polynômes X i sont mi premiers entre eux et par suite (X i ) sont premiers entre eux Or (X mi i) r divise P donc i=1 mi i) (X divise P: Corollaire: 1) Un polynôme de degré n 2 N admet au plus n racines distinctes. 2) Si P possède une in…nité de racines, alors P est le polynôme nul. Preuve: 1) Supposons 1 ; 2 ; :::; n+1 des racines distinctes de P; alors d’après n+1 la proposition précédente, i=1 n+1 (X i ) divise P; donc n+1 = deg i=1 (X i) deg P = n ce qui est absurde. 2) L’assertion 1) montre que si P admet une in…nité de racine, alors deg P 2 = N; donc P est nul. Théorème:(Théorème fondamental de l’algèbre): Tout polynôme non constant de C [X] admet au moins une racine dans C: Autrement dit: Tout polynôme de C [X] de degré n 1 admet n racines. (La preuve de ce théorème dépasse le cadre du cours d’algèbre de 1ere année LMD) Remarque: Il existe des formules donnant les racines d’un polynôme de degré 1; 2; 3 et 4 de C [X]. De telles formules n’existent pas pour un polynôme de degré n 5, alors on ne peut décomposer un polynôme de C [X] que dans des cas particuliers. Exemple: Soit P = X 7 8X 3 P = X 7 8X = X (X 6 8) = X (X 2 ) 23 = X (X 2 2) (X 4 + 2X 2 + 4) p p = X (X 2 2) X 2 + 1 i 3 X 2 + 1 + i 3 p p p p p p 1+i 1 pi 3 1 pi 3 p 3 p 3 X + X X + =X X 2 X + 2 X 1+i 2 2 2 2 P admet 7 racines dans C, 3 racines dans R et 1 racine dans Q. Cette écriture est une décomposition de P en facteurs indécomposables dans C [X] : 9 Pour obtenir la décomposition en facteurs indécomposables dans R [X] ; il faut remplacer les facteurs dont les produits sont des polynômes indécomposables dans R [X] par leurs produits. Cette écriture est une décomposition de P en facteurs indécomposables dans R [X] : Pour obtenir la décomposition en facteurs indécomposables dans Q [X] ; il faut remplacer les facteurs dont les produits sont des polynômes indécomposables dans Q [X] par leurs produits. p p p p 2 X + 2 X2 2X + 2 X 2 + 2X + 2 P =X X = X (X 2 2) (X 4 + 2X 2 + 4) cette écriture est une décomposition de P en facteurs indécomposables dans Q [X] : 10