1. Cours 6: Anneau des polynOmes

1. Cours 6: Anneau des polynômes
1.1. L’ensemble des polynômes à une indéterminée
Dé…nitions: Soit (A; +; :)un anneau unitaire et commutatif
On appelle polynôme à une indéterminée Xet à coe¢ cients dans Atoutes écrit-
ure algebrique de la forme a0+a1X1+::: +an1Xn1+anXn+:::
où les ai2Asont nuls sauf un nombre …ni.
Si on note Pce polynôme, alors:
* Les aisont appelés les coe¢ cients de P.
* Le plus grand indice nvéri…ant an6= 0 (s’il existe) est appelé degré de Pet
noté deg Pet dans ce cas anXnest appelé terme dominant de P:
*Si le terme dominant de Pest 1Xnle polynôme Pest dit unitaire.
* Si tous les aisont nuls ,Pest appelé polynôme nul noté 0et par convention
deg 0 = 1
* Chaque élément a0de Aest un polynôme, appelé polynôme constant.
L’ensemble des polynômes à une indéterminée Xà coe¢ cients dans Aest noté A[X]:
Remarques:
1) Dans un polynôme, on omet souvent les aiXipour les ainuls et on l’écrit
suivant les puissances décroissantes de X.
2) On écrit souvent, Xau lieu de X1et Xnau lieu de 1Xn.
3) Soient P=a0+a1X1+::: +an1Xn1+anXn+:::
et Q=b0+b1X1+::: +bn1Xn1+bnXn+:::
(P=Q),(8i2N:ai=bi):
Exemples :
1) P=Xn1(où n2N) est un polynôme unitaire de degré nà coe¢ cients
dans Z;C.à.d P2Z[X]:
Le terme dominant de Pest Xnet ses coe¢ cients sont (1;0; :::; 0;1;0; :::; 0; :::).
C.à.d: Tous les coe¢ cients sont nuls sauf a0=1;et an= 1:
2) Q= 2X3p5Xest un polynôme non unitaire de degré 3à coe¢ cients
dans R;C.à.d Q2R[X]:
Le terme dominant de Qest 2X3et ses coe¢ cients sont 0;p5;0;2;0; :::; 0; ::::
C.à.d: Tous les coe¢ cients sont nuls sauf a1=p5et a3= 2:
3) S= 4 + 2iest un polynôme non unitaire de degré 0(polynôme constant) à
coe¢ cients dans C;C.à.d S2C[X]:
Le terme dominant de Sest 4+2iet ses coe¢ cients sont (4 + 2i; 0; :::; 0; :::) ;
C.à.d: Tous les coe¢ cients sont nuls sauf a0= 4 + 2i:

1.2. Opérations sur l’ensemble A[X]
Dé…nitions: Soient P=a0+a1X1+::: +an1Xn1+anXn+:::
et Q=b0+b1X1+:::+bn1Xn1+bnXn+::: deux polynômes de A[X]
On dé…nit la somme P+Qet le produit P:Q par:
P+Q= (a0+b0)+(a1+b1)X1+::: + (an1+bn1)Xn1+ (an+bn)Xn+:::
P:Q = P
i+j=0
ai:bj!+ P
i+j=1
ai:bj!X1+::: + P
i+j=n1
ai:bj!Xn1+ P
i+j=n
ai:bj!Xn+:::
Remarques:
1) c0=P
i+j=0
ai:bj=a0:b0=
0
P
i=0
ai:b0i
c1=P
i+j=1
ai:bj=a0:b1+a1:b0=
1
P
i=0
ai:b1i
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
cn=P
i+j=n
ai:bj=a0:bn+a1:bn1+::: +an:b0=
n
P
i=0
ai:bni
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2) Pour énoncer la proposition suivante, on adopte la convention suivante:
Pour tout n2N:n+ (1) = (1) + n=1;1 < n
et (1)+(1) = 1
Proposition: Soient P,Q2A[X];alors:
deg (P+Q)max (deg P; deg Q)et deg (P:Q)deg P+ deg Q
et si Aest un corps, alors deg (P:Q) = deg P+ deg Q
Preuve: Posons n= deg P,m= deg Q,
P=a0+a1X1+:::+an1Xn1+anXnet Q=b0+b1X1+:::+bm1Xm1+bmXm
1er cas) Si P= 0 ou Q= 0.
Par exemple si P= 0, alors P+Q=Qet P:Q = 0 ainsi
deg (P+Q) = deg Q= max (1;deg Q) = max (deg P; deg Q)
deg (P:Q) = 1 =1 + deg Q= deg P+ deg Q
2eme cas) Si P6= 0 et Q6= 0, alors:
2.1) Les coe¢ cients de P+Qsont tous nuls après le rang k= max (n; m)
donc deg (P+Q)max (n; m) = max (deg P; deg Q)
2.2) Les coe¢ cients ck=P
i+j=k
ai:bjde P:Q véri…ent pour tout k2N:
c(n+m)+k=P
i+j=n+m+k
aibj=a0bn+m+k+::: +anbm+k
|{z }
dans ce terme tous les bjsont nuls
+an+1bm+k1+::: +an+m+kb0
| {z }
dans ce terme tous les aisont nuls
= 0
2

Ainsi deg (P:Q)n+m= deg P+ deg Q:
cn+m=P
i+j=n+m
ai:bj=a0:bn+m+::: +an1:bm+1
| {z }
dans ce terme tous les bjsont nuls
+an:bm+an+1:bm1+::: +an+m:b0
| {z }
dans ce terme tous les aisont nuls
=an:bm
Si Aest un corps, alors cn+m=an:bm6= 0 car an6= 0 et bm6= 0.
D’où deg (P:Q) = n+m= deg P+ deg Q.
Exemples :
1) Dans Q[X], soient les polynômes:
P= 3X21C.à.d: P= 3X2+ 0X1
et Q=1
2X3+ 4XC.à.d Q=1 2X3+ 0X2+ 4X+ 0 alors,
P+Q=0 + 1
2X3+ (3 + 0) X2+ (0 + 4) X+ (1 + 0)
=1
2X3+ 3X2+ 4X1
et
P:Q =31
2X5+01 2+ (3 0)X4
+(1) 1
2+ (0 0) + (3 4) + (0 0)X3
+ (((1) 0) + (0 4) + (3 0)) X2+ ((1) 4+00) X+ ((1) 0)
=3
2X5+ 0X4+23 2X3+ 0X24X+ 0 = 3 2X523 2X34X
Théoreme: (A[X];+; :)est un anneau unitaire et commutatif.
Preuve:
Soient P=p0+p1X1+::: +pn1Xn1+pnXn+:::
Q=q0+q1X1+::: +qm1Xm1+qmXm+:::
et S=s0+s1X1+::: +sk1Xk1+skXk+::
1) P+Q= (p0+q0)+(p1+q1)X1+::: + (pk1+qk1)Xk1+ (pk+qk)Xk+::: 2A[X]:
Alors l’addition des polynômes est une loi interne dans A[X]:
2) (P+Q)+S= ((p0+q0) + s0)+((p1+q1) + s1)X1+:::+((pk1+qk1) + sk1)Xk1
+ ((pk+qk) + sk)Xk+:::
= (p0+ (q0+s0))+(p1+ (q1+s1)) X1+:::+(pk1+ (qk1+sk1)) Xk1
+ (pk+ (qk+sk)) Xk+:::
=P+ (Q+S)
Alors l’addition des polynômes est une loi associative dans A[X]:
3) P+Q= (p0+q0)+(p1+q1)X1+:::+(pk1+qk1)Xk1+(pk+qk)Xk+:::
= (q0+p0)+(q1+p1)X1+:::+(qk1+pk1)Xk1+(qk+pk)Xk+:::
=Q+P
Alors l’addition des polynômes est une loi commutative dans A[X]:
4) Le polynôme nul 0+0X1+::: + 0Xk1+ 0Xk+::: est aussi noté 0:
P+ 0 = (p0+0)+(p1+ 0) X1+::: + (pk1+ 0) Xk1+ (pk+ 0) Xk+:::
=P
3

Alors le polynômes 0est l’élement neutre de l’addition des polyômes dans A[X]:
5) Notons par Ple polynôme
(p0)+(p1)X1+::: + (pn1)Xn1+ (pn)Xn+:::
On a:
P+(P) = (p0p0)+(p1p1)X1+:::+(pn1pn1)Xn1+(pnpn)Xn+:::
= 0
Alors Pest le symétrique de Ppar rapport à l’addition des polyômes dans A[X]:
6) P:Q = P
i+j=0
pi:qj!+ P
i+j=1
pi:qj!X1+::: + P
i+j=k1
pi:qj!Xk1
+ P
i+j=k
pi:qj!Xk+::: 2A[X]:
Alors la multiplication des polynômes est une loi interne dans A[X]:
7) P:Q = P
i+j=0
pi:qj!+ P
i+j=1
pi:qj!X1+:::+ P
i+j=k1
pi:qj!Xk1+ P
i+j=k
pi:qj!Xk+:::
= P
i+j=0
qj:pi!+ P
i+j=1
qj:pi!X1+:::+ P
i+j=k1
qj:pi!Xk1+ P
i+j=k
qj:pi!Xk+:::
=Q:P
Alors la multiplication des pôlynomes est commutative dans A[X]:
8) Si Q= 1 + 0X1+::: + 0Xm1+ 0Xm+::: .C.à.d: q0= 1 et 8j2N; qj= 0:
Alors P:Q = P
i+j=0
pi:qj!+ P
i+j=1
pi:qj!X1+::: + P
i+j=k1
pi:qj!Xk1
+ P
i+j=k
pi:qj!Xk+:::
= (p0:1) + (p1:1) X1+::: + (pk1:1) Xk1+ (pk:1) Xk+:::
=P
Alors Q= 1 est l’élément neutre de la multiplication des pôlynomes dans A[X]:
9) Notons respectivement les coe¢ cients de (P:Q):S,P: (Q:S),P:Q et Q:S par
((P:Q):S)l,(P: (Q:S))l;(P:Q)let (Q:S)l
((P:Q):S)l=P
r+k=l
(P:Q)r:sk=P
r+k=l P
i+j=r
pi:qj!:sk
=P
r+k=l P i+j+k=r+k
pi:qj:sk!=P
i+j+k=l
pi:qj:sk
4

(P: (Q:S))l=P
i+r=l
pi:(Q:S)r=P
i+r=l
pi: P
j+k=r
qj:sk!
=P
i+r=l P i+j+k=i+r
pi:qj:sk!=P
i+j+k=l
pi:qj:sk
d’où (P:Q):S =P: (Q:S)car ils ont les mêmes coe¢ cients.
Alors la multiplication des pôlynomes est associative dans A[X]:
10) Gardons les notation de 7) et notons respectivement les coe¢ cients de
(P+Q):S; P +Q; P:S et Q:S par ((P+Q):S)l;(P+Q)l;(P:S)let (Q:S)l;
alors,
((P+Q):S)l=P
r+k=l
(P+Q)r:sk=P
r+k=l
(pr+qr):sk
=P
r+k=l
pr:sk+P
r+k=l
qr:sk= (P:S)l+ (Q:S)l
= (P:S +Q:S)l
d’où (P+Q):S =P:S +Q:S, car ils ont les mêmes coe¢ cients.
Alors la multiplication est distributive par rapport à l’addition dans A[X].
Par suite (A[X];+; :)est un anneau commutatif et unitaire.
Proposition: Si Kest un corps commutatif, alors (K[X];+; :)est un anneau
intègre.
C.à.d: (8P; Q 2K[X] : P:Q = 0) )(P= 0 _Q= 0)
Preuve:
P:Q = 0 )deg (P:Q) = deg 0 = 1
)deg P+ deg Q=1
)deg P=1 _ deg Q=1
)P= 0 _Q= 0
1.3. Arithmétique dans K[X]
Dans la suite, on suppose que Kest un corps.
1.3.1. Divisibilité:
Soient P,B2K[X]
On dit que Bdivise P, s’il exite Q2K[X]tel que P=Q:B
Exemples:
1) Tout élément a6= 0 du corps Kdivise tout polynôme Pde K[X]
Car: P=a: (a1P)et a1Pest bien un polynôme.
2) Tout polynôme Pdivise le polynôme nul 0;car: 0 = 0:P
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