OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE – TD – - e

OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
– TD –
ENSCR Chem.I.St-1
J. Roussel
2015-2016
1
J. Roussel
1
OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE : TD
FONDEMENTS DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
Ex. 1 – Déviation par un hémicylindre **
On considère un bloc de verre (indice n = 1, 5), de centre C et de rayon a, placé dans le vide.
R1
30°
C
R2
1. Déterminer, en justifiant, le trajet du rayon R1 jusqu’à sa sortie du bloc.
2. Répondre à la même question à propos du rayon R2 .
Ex. 2 – Lame à faces parallèles ***
On considère une lame de verre, d’indice n et de largeur e. A est une source ponctuelle.
A
•
e
air
verre
air
1. Montrer que le support d’un rayon lumineux qui frappe sous une incidence i la lame à faces parallèles
subit, en sortie, une translation horizontale de
¶
µ
tan r
(1)
d = e 1−
tan i
où r est l’angle de réfraction. Calculer cette translation pour i = 60°, e = 5 cm et n = 1,7.
2. Représenter sur la figure l’image virtuelle A’ de A. La lame à faces parallèles est-elle un système
stigmatique ?
3. Exprimez AA’ pour des rayons paraxiaux (peu inclinés par rapport à l’axe optique).
Ex. 3 – Étude d’un prisme ***
Considérons un prisme droit de base triangulaire et d’angle au sommet A = 55◦ 450 . Ce prisme est transparent
et présente un indice de réfraction n. On envoie un rayon lumineux dans un plan perpendiculaire au prisme.
Son trajet est représenté ci-dessous.
1. Ecrire les relations de Snell-Descartes relatives aux deux réfractions.
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A
i0
i
I
r
r
0
J
F IGURE 1 – Trajet d’un rayon lumineux à travers un prisme et définition des angles.
2. Relier l’angle A aux deux angles de réfraction r et r 0 .
3. La notice technique indique n = 1, 50. A quelle condition le rayon sort-il par la face opposée ?
4. La déviation angulaire D est l’angle (défini positif) entre le rayon incident et le rayon émergent du prisme.
Exprimer la déviation D du rayon incident en fonction de i , i 0 et A . Montrer que D ne dépend que de i si
A et n sont fixés.
5. Tracer, à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice, l’allure de la courbe représentative de D ( i ) et vérifier
l’existence d’un minimum. Utiliser le principe du retour inverse de la lumière pour montrer que le
minimum est obtenu quand i = i 0 .
6. Déduire une relation entre la déviation minimale D m , n et A .
7. Calculer D m .
Ex. 4 – Pouvoir dispersif d’un prisme **
On envoie sur un prisme, en incidence normale, un rayon lumineux de longueur d’onde λ = 578 nm à travers un prisme d’angle A
taillé dans un verre dont l’indice dépend de la longueur d’onde via
la loi de Cauchy
b
n(λ) = a + 2
λ
A
avec a = 1, 500 et b = 4, 00.10−15 m2 .
n(λ)
1. Tracer le chemin du rayon dans l’hypothèse ou il sort par la face opposée.
2. À quelle condition sur A , le rayon sortira-t-il par la face opposée du prisme ?
3. L’angle A vaut 30°. Le rayon sort-il par la face opposée ? Si oui, calculer la déviation angulaire D que
subit le rayon.
4. En réalité le rayon est constitué de deux composantes monochromatiques de longueur d’onde λ1 = λ − δλ
et λ2 = λ + δλ avec δλ = 1 nm (il s’agit du doublet jaune issu du spectre d’émission de l’élément mercure).
Calculer les déviations D 2 et D 1 correspondantes à chacune de ces composantes et déduire l’angle γ entre
ces deux rayons.
¯
¯
¯ D2 − D1 ¯
¯. Calculer P .
¯
5. Par définition, le pouvoir dispersif P du prisme vaut P = ¯
λ2 − λ1 ¯
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LES LENTILLES MINCES
Ex. 5 – Aberrations chromatiques d’une lentille ***
On considère une lentille plan-convexe, association d’un dioptre plan et d’un dioptre sphérique de centre de
courbure C et de rayon R = 30 cm. Cette lentille est taillée dans un verre d’indice de réfraction noté n.
R
C
F’
1. Calculez la position du foyer image F’, en utilisant les lois de Descartes et l’approximation de Gauss.
Montrez que la vergence de la lentille est proportionnelle à ( n − 1).
2. Pour la radiation bleue (λb = 486nm) l’indice vaut n b = 1, 523 et pour la radiation rouge (λr = 656nm) il
vaut n r = 1, 514. Calculez les distances focales f r0 et f b0 respectivement dans le rouge et dans le bleu.
3. On éclaire la lentille par un faisceau cylindrique parallèle à l’axe optique en lumière blanche, la lentille
étant limitée par un diaphragme de rayon R 0 = 10 cm. On place un écran à la distance d =
qu’on observe une tache circulaire dont on donnera la couleur et la dimension.
f b0 + f r0
2 .
Montrez
Ex. 6 – Construction *
Prolonger le trajet du rayon lumineux de la figure ci-dessous.
1 cm
L1
+
0
F1
F1
Ex. 7 – Projection **
Une lentille convergente donne d’un objet source AB une image renversée A’B’ et de même dimension. Exprimez
la distance AA’ en fonction de la distance focale f 0 de la lentille.
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Ex. 8 – Projection **
On souhaite projeter une diapositive carrée de 1 cm de côté pour obtenir une image nette de 2 m de hauteur sur
un écran placé à 10 m de la lentille du projecteur.
1. Quel type de lentille faut-il utiliser ? justifier la réponse à l’aide d’une construction.
2. Déterminer sa distance focale.
Ex. 9 – Focalisation **
À l’aide d’une loupe de focale f 0 = 3 cm, on focalise la lumière du soleil sur un plan situé dans le plan focal
de la loupe. Sachant que le diamètre apparent du Soleil vaut θ = 0, 5°, déterminer le diamètre de la tache
image.
Ex. 10 – Doublet de lentilles convergentes ***
Deux lentilles minces convergentes identiques, de distance focale 30 cm, sont écartées de 20 cm. Un objet AB
est placé à 60 cm devant la première lentille.
10 cm
B
L1
L2
+
A
1. Déterminer la position des images intermédiaire et finale par ce système à l’aide d’une construction
géométrique. Caractériser l’image finale et estimer le grandissement.
2. Retrouver la position de l’image finale ainsi que le grandissement par le calcul.
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INSTRUMENTS OPTIQUES
Ex. 11 – Punctum proximum **
Un œil normal a une vergence de 60 δ en vision à l’infini et une amplitude d’accommodation de 5 δ. Où se situe
son punctum proximum ?
Ex. 12 – Œil hypermétrope ***
Un œil hypermétrope, assimilable à une lentille mince convergente de 67 dioptries, a son plan focal image à 1
mm derrière la rétine.
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1. Sachant que l’accommodation maximale augmente sa convergence de 8 dioptries, calculer sa distance
minimale de vision distincte d m .
2. Calculer la vergence de la lentille correctrice qu’il faut placer à 2 cm de son centre optique O pour qu’il
puisse voir nettement à l’infini et sans effort.
3. Où est alors son punctum proximum ?
Ex. 13 – Correction d’une myopie ***
Un myope devenu presbyte a une vision telle que sa distance maximale de vision distincte est D = 100 cm, sa
distance minimale de vision distincte est d m = 40 cm.
1. Quelle lentille L 1 faut-il monter sur ses lunettes pour lui permettre de voir nettement à l’infini sans
accommoder ? Calculer sa vergence.
2. Pour obtenir la vision rapprochée à l’aide des mêmes lunettes, on accole à la partie inférieure de chaque
lentille L 1 une petite lentille convergente L 2 . Quelle doit être la vergence de L 2 pour que la distance
minimale de vision distincte des yeux regardant à travers les deux lentilles accolées soit ramenée à
d 0m = 20 cm ? On négligera la distance de L 1 à l’œil.
Ex. 14 – Profondeur de champ d’un appareil photographique ***
L’objectif d’un appareil photographique est assimilé à une lentille convergente de focale f 0 = 12 cm et de
diamètre Φ = 5 cm. Pour effectuer la mise au point, on fait varier la distance de la lentille au plan du film de
telle façon qu’une image nette se forme sur la pellicule.
1. On photographie un objet A situé à une très grande distance. Où doit-être placée la pellicule ?
2. Sur le même cliché apparaît l’image d’un motif B placé sur l’axe de la lentille à une distance de 3 m. Son
image nette est-elle sur le cliché ?
3. Les rayons qui proviennent de B et qui rentrent dans l’appareil forment sur la pellicule une tache de
rayon x. Déterminer la taille de cette tache en examinant les rayons passant par le bord de l’objectif. La
photo est acceptable si x < 0, 2 mm. La photo sera-t-elle nette ? Que peut-on faire pour améliorer la qualité
de la photo ?
4. On déplace la pellicule de manière à ce que l’image de B soit nette sur cette pellicule. Déterminez les
distances maximale et minimale d 1 et d 2 correspondantes aux objets tels que x = 0, 2 mm. Déduisez en la
profondeur de champ d 1 − d 2 .
Ex. 15 – Objectif photographique ***
L’objectif d’un appareil photo est modélisé par deux lentilles L1 et L2 . L1 est une lentille convergente de distance
focale image f 10 = 40 mm et L2 est une lentille divergente de distance focale image f 20 = −60 mm. La pellicule
est située à une distance fixe D = 50 mm et le réglage de la mise au point se fait en jouant sur la distance
d = O1 O2 .
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D
L1
L2
O1
Pellicule
O2
+
d
–M ISE
AU POINT À L’ INFINI –
1. Le système est réglé de façon à ce que les objets à l’infini donnent une image nette sur la pellicule. Calculer
la valeur de d, notée d ∞ , correspondant à ce réglage.
2. Faire un schéma du système et construire l’image d’un objet AB à l’infini vu sous l’angle α.
3. Exprimer la taille de l’image en fonction de α, d ∞ , f 10 et D .
4. On souhaite photographier une tour située à 3 km de 60 m de hauteur (on pourra considérer la tour à
l’infini). Quelle est la taille de l’image ?
5. Quel serait l’encombrement (distance lentille-pellicule) d’un objectif constitué d’une seule lentille donnant
de la tour une image de même taille ?
–M ISE
AU POINT À DISTANCE FINIE –
6. On veut faire la mise au point sur un objet proche. Dans quel sens faut-il déplacer la lentille divergente ?
7. Sachant que la distance d ne peut pas dépasser la valeur d max = 40 mm, déterminer la latitude de mise
au point, c’est-à-dire le domaine des positions de l’objet AB susceptibles de donner une image nette sur la
pellicule après mise au point.
Ex. 16 – La lunette de Galilée ***
Pour faire ses observations astronomiques, Galilée fabriqua une lunette constituée d’une lentille convergente
pour objectif et d’une lentille divergente pour oculaire.
1. Comment les lentilles doivent-elles être placées pour un fonctionnement afocal ?
2. Un astre de diamètre apparent α est observé à travers la lunette. Construire la marche des rayons.
3. Calculer le grossissement sachant que f 10 = 1330 mm et f 20 = −94 mm.
4. Quels sont les avantages de cette lunette par rapport à une lunette possédant un oculaire convergent ?
Ex. 17 – Principe et utilisation du microscope ***
Le microscope permet d’observer des objets proches mais minuscules, qui ont un diamètre apparent trop petit
pour être distingué à l’œil nu.
1. Rappeler ce que représente le punctum proximum de l’œil humain. On admettra par la suite que le
punctum proximum se situe à d pp = 25 cm de l’œil pour un être humain « moyen ».
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2. Les recherches sur l’œil normal ont montré qu’il ne pouvait pas séparer deux points lumineux distants
angulairement de moins de ² = 3.10−4 rad.
Un œil normal peut-il voir les détails d’un objet de dimension AB= 10 µm ? Justifier la réponse.
3. Une loupe de focale f 0 = 5 cm peut-elle suffire pour voir les détails de cet objet ? Justifier la réponse.
Indication : On rapelle que le grossissement d’une loupe vaut G = d pp / f 0 .
Un microscope peut être modélisé par un système de deux lentilles minces convergentes : L’objectif, très
convergent, de centre O1 , de distance focale f 10 = 4, 0 mm. L’oculaire, de centre O2 , de distance focale f 20 = 4, 0 cm.
Ces deux lentilles sont centrées sur le même axe et sont séparées de la distance D = 200 mm. La mise au point
se fait en déplaçant l’ensemble objectif-oculaire par rapport à l’objet observé.
L1
L2
B
O1
O2
A F1
+
F2
D = 200 mm
F IGURE 2 – Schéma de principe du microscope
4. L’objet que l’on cherche à observer est à 2 mm du foyer objet de l’objectif : AF1 = 2, 0 mm.
(a) Faire la construction des rayons (sur feuille fournie) pour déterminer la position de l’image finale.
On respectera l’échelle.
(b) L’image est-elle réelle ou virtuelle ? agrandie ou rétrécie ? droite ou inversée ? L’œil voit-il cette image
s’il se place contre l’oculaire ?
(c) Retrouver la position de l’image par le calcul.
Indication : Il est préférable d’utiliser la formule de Newton.
5. On rapproche le microscope de l’objet de sorte que l’image intermédiaire se situe entre F2 et O2 . Montrer
à l’aide d’une construction que l’image finale est virtuelle. Est-elle renversée par rapport à l’objet ?
6. Dorénavant on rapproche le microscope de sorte que l’image intermédiaire se situe exactement en F2 .
Dans ce cas où se situe l’image finale ? Quel est l’intérêt de cette configuration lorsque l’on envisage une
longue observation ?
7. À quelle distance de l’objectif faut-il placer l’objet AB ?
8. Calculer l’angle θ 0 sous lequel l’observateur voit l’image, sachant que AB = 10 µm (On supposera l’angle
petit)
9. Ce microscope permet-il de voir les détails d’un objet de dimension AB= 10 µm ? Justifier la réponse.
10. Le grossissement commercial du microscope G c est le grossissement pour lequel l’image finale est vue à
l’infini. Rappeler la définition d’un grossissement puis calculer G c .
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