Formulation tropicale du théorème du Patchwork de Viro - IMJ-PRG

Formulation tropicale du théorème du
Patchwork de Viro et construction de courbes
algébriques réelles
Arthur Renaudineau
Juin 2011
Mémoire de M2 sous la direction d’Erwan Brugallé.
1

Table des matières
Introduction 3
1 Géométrie tropicale 4
1.1 Algèbretropicale .......................... 4
1.2 Le corps des séries de Puiseux et sa valuation non-archimédienne . 6
1.3 Hypersurfaces tropicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Théorème de Kapranov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Amibes et approximation d’hypersurfaces tropicales 18
3 Théorème du Patchwork de Viro 20
3.1 Théorème de convergence de Mikhalkin . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Quelques remarques sur W(Vf).................. 21
3.3 ThéorèmedeViro.......................... 23
3.4 Patchwork combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Un patchwork combinatoire plus général . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Patchwork et pertubation de courbes singulières 37
4.1 Introduction historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Constructions des C.A.R de degré ≤5, méthode des petites pertu-
bations................................ 37
4.3 Construction des courbes maximales de degré 6.......... 39
Conclusion 49
Bibliographie 50
2

Introduction
Oleg Viro a découvert dans les années 80 (cf [10]) une façon de construire
des hypersurfaces algébriques réelles par recollement d’hypersurfaces algébriques
"simples", connue sous le nom de "méthode de Viro" ou "Patchwork". Si les hy-
persurfaces recollées sont des hyperplans, cette méthode est alors combinatoire.
En 2000, Viro a remarqué (cf [11]) que son théorème du Patchwork pouvait s’ex-
primer à l’aide de la déquanfication de Maslov. C’était le premier pas vers l’utili-
sation de la géométrie tropicale en topologie des variétés algébriques.
Avec le développement de la géométrie tropicale, Grigory Mikhalkin a énoncé un
équivalent du théorème de Viro dans le langage tropical (cf par exemple [7])
On développe dans ce mémoire le langage de la géométrie tropicale pour ensuite
énoncer le théorème de Viro dans ce langage. On en déduira une formulation du
Patchwork combinatoire dans ce même langage, qu’on utilisera pour construire les
types d’isotopies des courbes maximales de degré 6dans R2.
Je tiens à remercier ici Erwan Brugallé pour la patience dont il a fait preuve face à
mes questions tout au long de ce "stage".
3

1 Géométrie tropicale
1.1 Algèbre tropicale
Introduisons tout d’abord quelques notations :
Soit l’ensemble T=R∪ {−∞} et soient les deux opérations binaires sur T:
“ + ” = max
“×”=+
Proposition 1 (T,“+”,“×”) est un semi-corps commutatif ie (T,“+”,“×”)
vérifie toutes les propriétés d’un corps commutatif mise à part l’existence d’un
inverse pour la loi “+”.
Définition 1 On appelle (T,“+”,“×”) le semi-corps tropical
Maintenant définies les opérations sur T, introduisons la notion de polynôme trop-
ical :
Définition 2 On appelle polynôme tropical de degré d un polynôme construit avec
l’algèbre tropicale, c’est à dire
P= “
d
X
i=0
aiXi”,ai∈T
On peut aussi définir la notion de fonction polynômiale tropicale :
P:T−→ T
x7−→ P(x)
Remarque 1 L’application usuelle
ϕ:{polynômes tropicaux} −→ {fonctions polynomiales tropicales}
P7−→ (x7→ P(x))
est surjective mais non injective.
Dans la suite, on désignera par polynôme les fonctions polynômiales (et non pas
les polynômes ! !)
On va développer dans la suite ce qu’on pourrait appeler la géométrie algébrique
tropicale, c’est à dire qu’on va étudier les ensembles définis comme racines de
polynômes tropicaux (à plusieurs variables). La première chose à faire est de définir
la notion de racine tropicale !
Définition 3 On dit que x0est racine de Ppolynôme tropical si il existe Qpolynôme
tropical tel que P= “ (x+x0)Q”.
Donnons une caractérisation des racines de P en fonction de son graphe (affine par
morceaux) :
4

Proposition 2 Soit P= “ Paixi”un polynôme tropical. x0∈Test racine de P
ssi
∃i6=jtels que P(x0) = ai+ix0=aj+jx0
Autrement dit, les racines de Psont les abscisses x0pour lesquelles le graphe de
Pse casse (n’est pas affine pour tout voisinage de x0).
De plus, l’ordre de x0correspond au max |i−j|, pour tous les i,j possibles. (C’est
la différence de la pente de Pautour de x0)
Preuve :
⇒:
Soit P= “ (x+x0)Q”avec Q= “ Pd
i=0 aixi”. En développant cette expression
on obtient :
P= “
d+1
X
i=0
bixi”
avec b0= “a0x0”,bi= “ai−1+aix0”et bd+1 =ad.
Or on a aussi :
P(x0) = “x0Q(x0) ” = x0+max (a0, a1+x0, ..., ad+dx0) = am+(m+ 1) x0
Il suffit maintenant de remarquer que bm+mx0=bm+1 + (m+ 1) x0=P(x0).
⇐:
Supposons x06=−∞ :
Soient i<j(imin et jmax) tels que P(x0) = ai+ix0=aj+jx0. Au voisinage
de x0, le graphe de Pressemble à :
(−∞,−∞)
y=ai+ix
y=aj+jx
On peut alors réécrire Pde la façon suivante :
P(x) = “a0+a1x+... +aixi+ajxj+... +adxd”
Montrons alors que “P(x)
x+x0”est un polynôme. On a le dessin suivant :
(−∞,−∞)
y=ai+ix
y=aj+jx
y=x0
y=x
5