S ÉMINAIRE N. B OURBAKI ROBERT L ATTÈS Application de la théorie des semi-groupes à l’intégration d’équations aux dérivées partielles Séminaire N. Bourbaki, 1951-1954, exp. no 81, p. 295-303 <http://www.numdam.org/item?id=SB_1951-1954__2__295_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1951-1954, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire BOURBAKI (Mai 1953) APPLICATION A L’INTÉGRATION THÉORIE DES SEMI-GROUPES D’ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DE LA par Robert INTRODUCTION. - Soit E un espace de LATTÈS. ~, Banach, (E,E) l’éspace des opérateurs linéaires continus, muni de la topologie de la convergence simple forte ; soit -~ U(t) une représentation continue du semi-groupe R+ dans U(0) = 1 (identité) : on se propose d’étudier la différentiabilité sentation de ces opérateurs, qui vérifient t On supposera 1. £ (E,E) sont encore est en quasi-complet : ,~ (E,E) . dans opérateurs U(t) outre que les on Soit 0 ~ L1 intégrale existe, Il faut noter que a une mesure w à 1 . norme et obtenir des opérateurs qui support compact appartenant à (2) et l’on a donc donne alors les deux résultats suivants : (b) Si P’ reste intégrer, repré- ; posons Cette On donc peut sont de avec de la converge bornée par E (a) DEFINITION. - Lorsque faiblement, qui tend dans vers tend ainsi D’ , vers zéro, zéro quand vers zéro, et si U( )~0 . alors on dira que l’on ( a la "bonne convergence" . . on REMARQUE. - Si les normes des U(t) considère comme le dual sultats ne sont pas ~’~ bornées, et l’ on modifie précédents. 295 on prend , comme il faut les ré- 2. Définition de U(T) D° On note nulles pour t pour = 0; o~ (I) xE = commutent Si avec est Tous ces une définition, x E E(T) U(T).x . on U( ).x~E(T) . si et seulement si et quantités ces U(T * 03B1).x égales sont E x n E(T) ~ et U(T).x fois notera Alors à E(T) , E lim W E = E(T) les E(T) E x E(T) , sur et si et y . U(T).x convergence" indépendante est et si x E de E (T ~ w ) ~ {03B1} . alors ).x = U(T).x . U(T * ).x = y lim et de de la "bonne au sens alors et que régularisant. E(T) La définition de Si donc en U(~) ~ par existe, résultats s’obtiennent THÉORÈME. - 3. T) fermé : c’est-à-dire si alors Si E( * E(T) est stable U(T) . faible lim (III) U(T) x c’est-à-dire que résulte donc que en U( ~,) si U(T) choisi, dérivées E(T) . E (Il) ~° et l’on note cette limite par T).x , U(T) [U( ).x] U( * Il ont toutes leurs qui alors les résultats suivants : a x des fonctions pour la bonne convergence. Par U(T ~ eC),x existe, On T. filtre de fonctions de sera un le domaine de définition de E(T) si de D le sous-espace toutes, pour distribution une x f existe, L’opérateur infinitésima.l. E(T) et U(T).x = y (utiliser I et III). A. C’est par définition On note par E(A) THEOREME. - E(A) dérivable pour tout De son domaine de définition. est l’ensemble des t = 0 , auquel cas x tels que t -4U(t).x elle est fortement continûment dérivable pour 0 . Et l’on t ~~, a : plus, les opérateurs U(t) soit faiblement et A commutent pour x f E(A) . THEOREME. - Si pour dérivée tion bornée et sur (0~ +co) ), 03B2(03BB)>0 , donc, d’après e-03BBtt (1), si e t sa x E dérivée . sont dans D’oL1o . On a : E(A) : avec t 6 E . Ainsi, t ..~ U(t).x Lorsque toute distribution et l’on tels que parcourant E, U(f).~ ~ ~ est exactement l’ensemble des E(A) Pour une parcourt l’espace des fonctions sommnables sur (0, +00) ayant est sommable et à variamesure ~ sommable, c’est-à-dire si f f m fois continûment somme finie de dérivées est T, a : différentiable, d’ordre( m x E E(T) de mesures sammables, ~ (Généralisation THEOREME. - L’intersection des E(T) est l’ensemble soit indéfiniment dérivable et t --~ U(t) .x pour E des x de I-(3)). tels que E oo U(T).x con- avec If E~~ . Il convient de remarquer qu’en généralisant la première partie de (I)~ on a si x E E(T) ~ x E E(S ~ T) U(T).x E E(S) , et U(S ~ T) .x _ U(S) . ~ U(T) tient le sous-espace dense 4. L’opérateur et la THEOREME. - Pour continu U(e ..~t ) , U(e" ) pour Par de engendré E sur : résolvante. ~(a,) ~ 0 ~ Il n’est que E(A) ~ U(c~).~ par les )BI-A est exactement l’inverse de l’opérateur de se reporter à la formule (9). Les opérateurs E(A) de et sur E sont réciproques. Et E(A) : x E définition, la résolvante l’opérateur sera ... Image de pour (~ ( ~ ) ~ 0 , Laplace maintenant de t-~U(t) , à valeurs dans en mesure d’énoncer : c’est une r ~ M continu : . fonction holomorphe bornée pour de ~ ~ définie ~ ( ~) ~~ ~ ~ 0 . On est THEOREME DE HILLE-YOSIDA. - Si représentation ~,(E,E) dans U(t) et si les ple forte, E(A) R+ de sont de est l’inverse d’un PROBLEME. - A quelle générateur infinitésimal topologie de la bornée par 1 ~ alors on a et a norme opérateur t ~ U(t), de convergence sim- muni de la E ; pour x E E(A) est dense dans et est le A est A fermé, continu. condition, étant donné un opérateur A avec un domaine de générateur infinitésimal ’d’un semi-groupe, et d’un seul, d’applications t U(t) , continues de t ~~ 0 dans ~(E~E) (Topologie simple forte) avec U(0) = 1 et(U(t) ~ ~ ~. 1 ? E(A) , définition A est-il le réciproque (fondamentale) On est alors amené à démontrer la PRINCIPE DE LA .x peut donc définir de borné par Pour ~, ~,(E~E) , et (utilisation en dans t ~ 0 1 x E E (A) ~ Appelons J. l’opérateur continu ~( ~ I--A)~1 . est continue ; on x, et l’application est continue ~ l’application ÀJ ,r t --~U.~(t) U ~(t) satisfait ; à la loi de (t) U converge vers tz semi-groupe et semi-groupe dont le est donc est un un du fait que AJ ~ ~ %~ ~ J ~ ~ 1 ~ . lorsque a --~ A.x et est +oo . Et quand K(t).x , L’application t 4K(t) (E,E) j la loi de semi-groupe est conservée, K(t) l’on a K(0) = 1 et hK(t) Il ~ 1 : alors t9K(t) générateur infinitésimal est A ~ et ce semi-groupe est vers une ooy semi-groupe particulier tend eXP(tAJ,).X 0 dans ’ est continue de -..-~ précédent. DEMONSTRATION. - est défini pour tout AJ ~ du théorème limite unique. 5. Les problèmes d’intégration. Soit E un espace de Banach, de fonctions équation aux dérivées partielles ; A dépend pas de t. Soit E(A) un domaine une semi-groupe U(t) , et un seul, qui est ou distributions, soit un opérateur différentiel qui de définition de admette A pour A ; ne existe-t-il générateur infinitésimal un dans E(A) ? possible, c’est-à-dire loréque l’opérateur A vérifie les conditions de la réciproque du théorème de Hille-Yosida, on dira que l’on a résolu Inéquation (13) au sens des semi-groupes (on aura des solutions de (13) Lorsque ce problème est en faisant opérer U(t) problème REMARQUE. - Rappelons le quation (13) : u(s,O) = On cherche 1°) 2°) que que alors l’équation x(s) On cherche L’équation . nous avons Nous prenons rappelle problème un des au sens fonction donnée posé ici. Cauchy : semi-groupes, E(A) , solution du problème de Cauchy classique. au sens Lp . d2 A ! -dsz , et , nous - 2014 Lp (donc . allons étudier domaine de définition de que ’B) de une que l’on s’est problème ce pose pour l’é- se de la chaleur dans comme soient dans l’on soit résoluble sera une u(s,t) solution Cauchy naturel que l’on u(s,t) qui tende vers trouve, étant donné doit dans U(t).x(s) EXEMPLE. - Ici se une de t ~ 0 . Ce n’est pas x(s) lorsque Si toutefois il E(A)). les éléments de sur est aussi dans A , I’(A) LP) , on tel que suppose u(s) x(s) E et Lp , et 0 , 1p+~ . Aucune des solutions de l’équation homogène LP :: par conséquent, s’il problème envisagée elle est unique. n’est dans La solution élémentaire de (15) qui y a une est dans solution de L~ est (15) qui corresponde au LP(A) est dense dans LP, A On est donc dans les conditions correspond un semi-groupe U(t) différentiable de dans u(t, s) = U(t)x(s) que fermé ; A+ ~ applique Lp(A) sur L~ . d’application du théorème de Hille-Yosida: ,à A est et LP est continûment seul. -Comme un x E- pour LP(A) , on retrouve par dérivation vérifie l’équation de la chaleur. REMARQUE. - Soit la solution de est de la forme qui Ce on qui U(t).x(s) . qu’à partir montre retrouve bien d’une solution dérivée seconde pour l’opérateur Ces formules sont valables si montrent bien que domaine E(A) U’(0),x connue x est est dans mise sous générateur une distribution LP si et seulement si est donc bien celui dont la forme nous sommes U(t)’.x(s) ~ U(t). infinitésimal de Elles appartenant partis. x et x~~ ~ LP ; le 6. Les travaux de Yosida. YOSIDA des a utilisé cette méthode pour intégrer les variétés riemanniennes compactes. On considère équations un domaine de diffusion dans connexe espace de Riemann orientable et indéfiniment différentiable à m On montre que 2) muni de la métrique (m > tion du type de Lindberg, est déterminé par les g(x) =det(g..(x)) que 03BEj le processus ..n.. d’un dimensions condi- sous une stochastique homogène par rapport au temps équations tenseur contravariant et soit > 0 pour 03A3 i 03BE2i> 0 symétrique, al. (x) ; est supposé tel supposé tel que est opérateurs différentiels elliptiques des deuxièmes membres de (17) et (18) soient formellement adjoints et ne dépendent pas des coordonnées locales 3 on suppose également que g ij (x) sont des fonctions indéfiniment les différentiables des coordonnées locales. Alors : f(x) indéfiniment différentiable dans fÀ , unique f(x~t) de (17) telle que lim f(x~t)2014~ f(x) uniformément en x et 1°) A il correspond une solution . t-0 min X 2°) f(x) ~ f(x~t) ~ ’ A h(x) 3~) On limites. peut f(x) (max = max f(x) 0 si indéfiniment différentiable dans ~Cl ~ il correspond de unique max sous (18) une solution telle que - certaines conditions résoudre (18) avec une condition aux Pour démontrer où e(x) est A! est Si ces une résultats il faut utiliser une paramétrix de fonction indéfiniment différentiable. l’opérateur adjoint peut dès lors montrer, en appliquant qu’à (resp. A’) il correspond un semi-groupe et un seul U(t) (resp.V(t)) de C(n ~ --~ C(~ ) (resp. Les solutions, lorsqu’elles existent au sens des semi-groupes, pour (17) et (18) s’obtiennent donc le théorème de Hille-Yosida opérer à A, on A f(x) (resp. h(x)) en faisant on démontre qu’ils sont sur opérateurs les opérateurs U(t) (resp.V(t)) dont de transition. 7. Les travaux de Feller. FELLER a étudié sur la droite les équations aux dérivées partielles qui sont de type parabolique : Les opérateurs différentiels tions Sont formellement ces équations équations ces ces équa- adjoints l’un de l’autre. Il est alors naturel de résoudre dans des espaces Résolvant alors intervenant dans les deuxièmes membres de conjugués. au sens On des prendra respectivement semi-groupes, et C FELLER pose en L~’ . fait le opérateurs A (et A’) , trouver tous les semigroupes (ou les semi-groupes ayant une propriété donnée, par exemple celle d’être des semi-groupes d’opérateurs de transition) dont le générateur infinitésimal soit une restriction de A : c’est-à-dire si E(A) est un domaine de définition de A ~~ problème trouver un espace de divers suivant : Etant donné les semi-groupe E(A) l’opérateur infinitésimal où il coïncide avec semi-groupes ainsi attachés à culier le genre de tiale dont en problème considérant ces ait pour domaine A . FELLER est alors amené à caractériser les un opérateur donné ; et il précise en partil’équation ini- que l’on résout lorsque l’on revient à divers un sous- semi-groupes. BIBLIOGRAPHIE [1] HILLE (Einar). - math. Functionnal analysis and semi-groups, (Amer. math. Soc. Coll. Publ., vol. Soc., 1948 - New York, Amer. 31). (Einar).- Integration problem for Fokker-Planck’s equation in the theory of stochastic processes. - Congrès des Mathématiciens scandinaves Oslo, 1952, p. [11. 1949. [3] YOSIDA (Kosaku). - On the differentiability and the representation of one- [2] HILLE Trondheim], parameter semi-group of linear - operators, J. math. Soc. Japan, t. 1, 1949, p. 15-21. [4] YOSIDA (Kosaku). - An operator-theoretical treatment of temporally homogeneous Markoff process, J. math. Soc. Japan, t. 1, 1949, p. 244-253. [5] YOSIDA (Kosaku). - Integration of Fokker-Planck’s equation in Riemannian space, Ark. för Mat., t. 1, 1949, p. 71-75. [6] YOSIDA (Kosaku). - On the existence of the resolvent kernel for elliptic differential operator in a compact Riemann space, Nagoya math. J., t. 4, [7] YOSIDA (Kosaku). - On the fundamental solution of the parabolic a Riemannian space, Osaka math. J., t. 5, 1953, p. 65-74. [8] YOSIDA (Kosaku). - On the integration of diffusion equations in Riemannian spaces, Proc. Amer. math. Soc., t. 3, 1952, p. 864-873. FELLER (William). - The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations, Ann. of Math., t. 55, 1952, p. 468-519. 1952, [9] [10] p. a compact 63-72. equation in (Nicolas). - Livre VI, Intégration, chapitre III, paragraphe 4, Intégrales de fonctions vectorielles continues. - Paris, Hermann, 1952 (Eléments de Mathématiques, fascicule 13). BOURBAKI 303