Application de la théorie des semi-groupes à l`intégration

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
ROBERT L ATTÈS
Application de la théorie des semi-groupes à l’intégration
d’équations aux dérivées partielles
Séminaire N. Bourbaki, 1951-1954, exp. no 81, p. 295-303
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Séminaire BOURBAKI
(Mai 1953)
APPLICATION
A
L’INTÉGRATION
THÉORIE DES SEMI-GROUPES
D’ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
DE LA
par Robert
INTRODUCTION. - Soit
E
un
espace de
LATTÈS.
~,
Banach,
(E,E) l’éspace
des
opérateurs
linéaires continus, muni de la topologie de la convergence simple forte ; soit
-~ U(t) une représentation continue du semi-groupe R+ dans
U(0) = 1 (identité) : on se propose d’étudier la différentiabilité
sentation de ces opérateurs, qui vérifient
t
On supposera
1. £ (E,E)
sont
encore
est
en
quasi-complet :
,~ (E,E) .
dans
opérateurs U(t)
outre que les
on
Soit
0
~ L1
intégrale existe,
Il faut noter que
a
une mesure
w
à
1 .
norme
et obtenir des
opérateurs qui
support compact appartenant à
(2)
et l’on
a
donc
donne
alors les deux résultats suivants :
(b) Si P’
reste
intégrer,
repré-
; posons
Cette
On
donc
peut
sont de
avec
de la
converge
bornée par E (a)
DEFINITION. -
Lorsque
faiblement,
qui tend
dans
vers
tend ainsi
D’ ,
vers
zéro,
zéro quand
vers
zéro,
et
si
U( )~0 .
alors
on
dira que l’on
(
a
la "bonne
convergence" .
.
on
REMARQUE. - Si les normes des U(t)
considère
comme le dual
sultats
ne
sont pas
~’~
bornées,
et l’ on modifie
précédents.
295
on
prend ,
comme
il faut les ré-
2. Définition de
U(T)
D°
On note
nulles pour
t
pour
=
0;
o~
(I)
xE
=
commutent
Si
avec
est
Tous
ces
une
définition,
x E E(T)
U(T).x .
on
U( ).x~E(T) .
si et seulement si
et
quantités
ces
U(T * 03B1).x
égales
sont
E
x
n
E(T) ~ et U(T).x
fois
notera
Alors
à
E(T) ,
E
lim
W
E
=
E(T)
les
E(T)
E
x
E(T) ,
sur
et si
et
y .
U(T).x
convergence"
indépendante
est
et si
x
E
de
E (T ~ w ) ~
{03B1} .
alors
).x = U(T).x .
U(T *
).x = y
lim
et de
de la "bonne
au sens
alors
et que
régularisant.
E(T)
La définition de
Si donc
en
U(~) ~
par
existe,
résultats s’obtiennent
THÉORÈME. -
3.
T)
fermé : c’est-à-dire si
alors
Si
E( *
E(T) est stable
U(T) .
faible
lim
(III) U(T)
x
c’est-à-dire que
résulte donc que
en
U( ~,)
si
U(T)
choisi,
dérivées
E(T) .
E
(Il)
~°
et l’on note cette limite par
T).x ,
U(T) [U( ).x] U( *
Il
ont toutes leurs
qui
alors les résultats suivants :
a
x
des fonctions
pour la bonne convergence. Par
U(T ~ eC),x existe,
On
T.
filtre de fonctions de
sera un
le domaine de définition de
E(T)
si
de D
le sous-espace
toutes,
pour
distribution
une
x f
existe,
L’opérateur infinitésima.l.
E(T)
et
U(T).x =
y
(utiliser
I et
III).
A.
C’est par définition
On note par
E(A)
THEOREME. - E(A)
dérivable pour
tout
De
son
domaine de définition.
est l’ensemble des
t = 0 , auquel
cas
x
tels que
t -4U(t).x
elle est fortement continûment dérivable pour
0 . Et l’on
t ~~,
a :
plus,
les
opérateurs U(t)
soit faiblement
et
A
commutent pour
x f
E(A) .
THEOREME. - Si
pour dérivée
tion
bornée
et
sur
(0~ +co) ),
03B2(03BB)>0 ,
donc, d’après
e-03BBtt
(1),
si
e t sa
x
E
dérivée . sont dans
D’oL1o
.
On
a :
E(A) :
avec t 6 E .
Ainsi,
t ..~ U(t).x
Lorsque
toute distribution
et l’on
tels que
parcourant E,
U(f).~ ~ ~
est exactement l’ensemble des
E(A)
Pour
une
parcourt l’espace des fonctions sommnables sur (0, +00) ayant
est sommable et à variamesure ~ sommable, c’est-à-dire si f
f
m
fois continûment
somme
finie de dérivées
est
T,
a :
différentiable,
d’ordre(
m
x
E
E(T)
de mesures
sammables,
~
(Généralisation
THEOREME. -
L’intersection des
E(T)
est l’ensemble
soit indéfiniment dérivable et
t --~ U(t) .x
pour
E
des
x
de
I-(3)).
tels que
E oo
U(T).x
con-
avec If E~~ .
Il convient de remarquer qu’en généralisant la première partie de (I)~ on a
si x E E(T) ~ x E E(S ~ T) U(T).x E E(S) , et U(S ~ T) .x _ U(S) . ~ U(T)
tient le sous-espace dense
4.
L’opérateur
et la
THEOREME. - Pour
continu
U(e ..~t ) ,
U(e" )
pour
Par
de
engendré
E
sur
:
résolvante.
~(a,) ~ 0 ~
Il n’est que
E(A) ~
U(c~).~
par les
)BI-A est exactement l’inverse de l’opérateur
de se reporter à la formule (9). Les opérateurs
E(A)
de
et
sur
E
sont
réciproques.
Et
E(A) :
x E
définition,
la résolvante
l’opérateur
sera
...
Image
de
pour
(~ ( ~ ) ~ 0 ,
Laplace
maintenant
de
t-~U(t) ,
à valeurs dans
en mesure
d’énoncer :
c’est
une
r
~
M
continu :
.
fonction
holomorphe
bornée pour
de ~ ~
définie
~ ( ~) ~~ ~ ~ 0 .
On est
THEOREME DE HILLE-YOSIDA. - Si
représentation
~,(E,E)
dans
U(t)
et si les
ple forte,
E(A)
R+
de
sont de
est l’inverse d’un
PROBLEME. - A quelle
générateur infinitésimal
topologie de la
bornée par 1 ~ alors
on a
et a
norme
opérateur
t ~ U(t),
de
convergence sim-
muni de la
E ; pour x E E(A)
est dense dans
et
est le
A
est
A
fermé,
continu.
condition, étant donné
un
opérateur
A
avec
un domaine de
générateur infinitésimal ’d’un semi-groupe, et
d’un seul, d’applications t
U(t) , continues de t ~~ 0 dans ~(E~E) (Topologie simple forte) avec U(0) = 1 et(U(t) ~ ~ ~. 1 ?
E(A) ,
définition
A
est-il le
réciproque (fondamentale)
On est alors amené à démontrer la
PRINCIPE DE LA
.x
peut
donc définir
de
borné par
Pour
~,
~,(E~E) ,
et
(utilisation
en
dans
t ~ 0
1
x E
E (A) ~
Appelons J. l’opérateur continu ~( ~ I--A)~1 .
est continue ; on
x, et l’application
est continue
~ l’application
ÀJ ,r
t --~U.~(t)
U ~(t) satisfait
;
à la loi de
(t)
U
converge
vers
tz
semi-groupe et
semi-groupe dont le
est donc
est
un
un
du fait que
AJ ~ ~ %~ ~ J ~ ~ 1 ~ .
lorsque a --~
A.x
et est
+oo .
Et
quand
K(t).x , L’application t 4K(t)
(E,E) j la loi de semi-groupe est conservée, K(t)
l’on a K(0) = 1 et hK(t) Il ~ 1 : alors t9K(t)
générateur infinitésimal est A ~ et ce semi-groupe est
vers une
ooy
semi-groupe
particulier
tend
eXP(tAJ,).X
0 dans ’
est continue de
-..-~
précédent.
DEMONSTRATION. -
est défini pour tout
AJ ~
du théorème
limite
unique.
5. Les
problèmes d’intégration.
Soit
E
un
espace de
Banach,
de fonctions
équation aux dérivées partielles ; A
dépend pas de t. Soit E(A) un domaine
une
semi-groupe
U(t) ,
et
un
seul, qui
est
ou
distributions, soit
un
opérateur différentiel qui
de définition de
admette
A
pour
A ;
ne
existe-t-il
générateur infinitésimal
un
dans
E(A) ?
possible, c’est-à-dire loréque l’opérateur A vérifie
les conditions de la réciproque du théorème de Hille-Yosida, on dira que l’on
a résolu Inéquation (13) au sens des semi-groupes (on aura des solutions de (13)
Lorsque
ce
problème
est
en
faisant
opérer U(t)
problème
REMARQUE. - Rappelons le
quation (13) :
u(s,O)
=
On cherche
1°)
2°)
que
que
alors
l’équation
x(s)
On cherche
L’équation
.
nous avons
Nous prenons
rappelle
problème
un
des
au sens
fonction donnée
posé
ici.
Cauchy :
semi-groupes,
E(A) ,
solution du
problème
de
Cauchy
classique.
au sens
Lp .
d2
A ! -dsz ,
et
,
nous
- 2014
Lp (donc
.
allons étudier
domaine de définition de
que ’B)
de
une
que l’on s’est
problème
ce
pose pour l’é-
se
de la chaleur
dans
comme
soient dans
l’on
soit résoluble
sera une
u(s,t)
solution
Cauchy naturel que l’on
u(s,t) qui tende vers
trouve, étant donné
doit dans
U(t).x(s)
EXEMPLE. -
Ici
se
une
de
t ~ 0 . Ce n’est pas
x(s) lorsque
Si toutefois il
E(A)).
les éléments de
sur
est aussi dans
A ,
I’(A)
LP) ,
on
tel que
suppose
u(s)
x(s)
E
et
Lp ,
et
0 , 1p+~ .
Aucune des solutions de
l’équation homogène
LP :: par conséquent, s’il
problème envisagée elle est unique.
n’est dans
La solution élémentaire de
(15) qui
y
a une
est dans
solution de
L~
est
(15) qui corresponde
au
LP(A)
est dense dans
LP,
A
On est donc dans les conditions
correspond
un
semi-groupe U(t)
différentiable de
dans
u(t, s) = U(t)x(s)
que
fermé ; A+ ~ applique Lp(A) sur L~ .
d’application du théorème de Hille-Yosida: ,à A
est
et
LP
est continûment
seul. -Comme
un
x E-
pour
LP(A) ,
on
retrouve par dérivation
vérifie l’équation de la chaleur.
REMARQUE. - Soit la solution de
est de la forme
qui
Ce
on
qui
U(t).x(s) .
qu’à partir
montre
retrouve bien
d’une solution
dérivée seconde pour
l’opérateur
Ces formules sont valables si
montrent bien que
domaine
E(A)
U’(0),x
connue
x
est
est dans
mise
sous
générateur
une
distribution
LP
si et seulement si
est donc bien celui dont
la forme
nous sommes
U(t)’.x(s) ~
U(t).
infinitésimal de
Elles
appartenant
partis.
x
et
x~~ ~
LP ;
le
6. Les travaux de Yosida.
YOSIDA
des
a
utilisé cette méthode pour
intégrer
les
variétés riemanniennes compactes. On considère
équations
un
domaine
de diffusion dans
connexe
espace de Riemann orientable et indéfiniment différentiable à m
On montre que
2) muni de la métrique
(m >
tion du
type
de
Lindberg,
est déterminé par les
g(x) =det(g..(x))
que
03BEj
le processus
..n.. d’un
dimensions
condi-
sous une
stochastique homogène par rapport
au
temps
équations
tenseur contravariant
et
soit >
0
pour
03A3 i 03BE2i> 0
symétrique,
al. (x)
;
est
supposé tel
supposé tel que
est
opérateurs différentiels elliptiques des deuxièmes membres de (17) et (18)
soient formellement adjoints et ne dépendent pas des coordonnées locales 3 on
suppose également que
g ij (x) sont des fonctions indéfiniment
les
différentiables des coordonnées locales. Alors :
f(x) indéfiniment différentiable dans fÀ ,
unique f(x~t) de (17) telle que
lim f(x~t)2014~ f(x) uniformément en x et
1°)
A
il
correspond
une
solution
.
t-0
min
X
2°)
f(x) ~ f(x~t) ~
’
A
h(x)
3~)
On
limites.
peut
f(x)
(max
=
max
f(x)
0
si
indéfiniment différentiable dans ~Cl ~ il correspond
de
unique
max
sous
(18)
une
solution
telle que
-
certaines conditions résoudre
(18)
avec une
condition
aux
Pour démontrer
où
e(x)
est
A!
est
Si
ces
une
résultats
il faut utiliser
une
paramétrix
de
fonction indéfiniment différentiable.
l’opérateur adjoint
peut dès lors montrer, en appliquant
qu’à
(resp. A’) il correspond un semi-groupe et un
seul U(t) (resp.V(t)) de C(n ~ --~ C(~ ) (resp.
Les solutions,
lorsqu’elles existent au sens des semi-groupes, pour (17) et (18) s’obtiennent donc
le théorème de Hille-Yosida
opérer
à
A,
on
A
f(x) (resp. h(x))
en
faisant
on
démontre qu’ils sont
sur
opérateurs
les
opérateurs U(t)
(resp.V(t))
dont
de transition.
7. Les travaux de Feller.
FELLER
a
étudié
sur
la droite les
équations
aux
dérivées partielles qui sont de
type parabolique :
Les
opérateurs différentiels
tions Sont formellement
ces
équations
équations
ces
ces
équa-
adjoints l’un de l’autre. Il est alors naturel de résoudre
dans des espaces
Résolvant alors
intervenant dans les deuxièmes membres de
conjugués.
au sens
On
des
prendra respectivement
semi-groupes,
et
C
FELLER pose
en
L~’ .
fait le
opérateurs A (et A’) , trouver tous les semigroupes (ou les semi-groupes ayant une propriété donnée, par exemple celle d’être
des semi-groupes d’opérateurs de transition) dont le générateur infinitésimal soit
une restriction de
A : c’est-à-dire si E(A) est un domaine de définition de A ~~
problème
trouver
un
espace de
divers
suivant : Etant donné les
semi-groupe
E(A)
l’opérateur infinitésimal
où il coïncide
avec
semi-groupes ainsi attachés à
culier le genre de
tiale
dont
en
problème
considérant
ces
ait pour domaine
A . FELLER est alors amené à caractériser les
un
opérateur donné ;
et il
précise en partil’équation ini-
que l’on résout lorsque l’on revient à
divers
un sous-
semi-groupes.
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(Eléments de Mathématiques, fascicule 13).
BOURBAKI
303